Об одном методе решения нестационарных динамических контактных задач теории упругости об ударе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОБ УДАРЕ

© 2010 г. В.Б. Зеленцов

Ростовский военный институт ракетных войск, Rostov Military Institute of Rocket Forces,

пр. M. Нагибина, 24/50, г. Ростов н/Д, 344038, M. Nagibin Ave, 24/50, Rostov-on-Don, 344038,

[email protected] [email protected]

Предлагается численный по времени и аналитический по координате метод решения двумерных интегральных уравнений нестационарных динамических контактных задач теории упругости об ударе. Переменная по времени полуширина области контакта аппроксимируется ломаной линией.

Ключевые слова: нестационарная, контактная, задача, удар, интегральное, уравнение, метод, область, полуширина.

A numerical in time and analytical along the coordinate method of solving two dimensional integral equations for nonstationary dynamic contact problems of the elasticity theory on the impact is suggested. A time varying semewidth of the contact zone is approximated by the broken line.

Keywords: nonstationary, contact, problem, impact, integral, equation, method, zone, semiwidth.

Постановка задачи об ударе и ее интегральное уравнение

Рассматривается нестационарная динамическая контактная задача об ударе жесткого штампа с выпуклой формой основания в упругую полуплоскость (-да < х < да, y > 0), находящуюся в начальный момент времени (t = t0 = 0) в покое, горизонтальные и(х, y, t0) и вертикальные v(x,y,t0) смещения которой, а также их скорости равны нулю. Масса штампа m, начальная скорость удара v0. Штамп движется вдоль оси Oy , являющейся осью его симметрии. Вертикальные смещения поверхности упругой полуплоскости (-да <х< да, y = 0) в области контакта штампа с упругой средой определяются равенством v(x,0, t) = six, t), |х| < a(t), где е(х, t) - функция, описывающая закон движения и форму штампа; a(t) -полуширина области контакта штампа - неизвестная, знакоположительная функция, причем a(t0) = 0 .

Вне области контакта поверхность упругой полуплоскости свободна от напряжений, силы трения и сцепления в области контакта отсутствуют. а уу (х,0, t) = 0, a(t) <\х |< да, аху (х,0, t) = 0, |х| < да, где ayy, axy - нормальные и касательные напряжения. На

бесконечности смещения и напряжения отсутствуют.

Движение штампа на упругой полуплоскости описывается задачей Коши

mS(t) = Q(t) , s(t0) = S0, ¿(t0) = V0 , t e[t0, t*], (1) где s(t) - функция, определяющая закон внедрения штампа, входящая в s(x, t); Q(t) - сила сопротивления упругой полуплоскости внедрению штампа, причем Q(t) = -P(t), P(t) - сила контактного воздействия штампа; t* - время его отрыва от упругой среды.

Поставленная нестационарная динамическая контактная задача об ударе с помощью интегральных преобразований Лапласа (по времени t) и Фурье (по координате х) приводится к решению двумерного интегрального уравнения (ИУ) JJф(%,т)к- х, t - T)d£dr = 2л/ле(х,t) , х,t eQ, (2)

Q

в котором р(х, t) - искомое скалярное поле контактных напряжений между штампом и упругой полуплоскостью, Q: {х e [-a(t), a(t)\ t e [^,t, ]} (рисунок).

Двумерное ядро ИУ (2) представляется двукрат-

^ /да да

ным интегралом к (и, v) = —- J epvdp J K(a, p)e,auda .

2Л1 -/да —да

K(a,p) = (af(a,p) -a2)a2 (a,p)R l(a,p),

(3)

R(a, p) = (CTj (a, p) + a ) - 4a (a, p)&2 (a, p),

поперечная скорости упругих волн; X , ¡л - коэффициенты Ляме; р - плотность полуплоскости.

ИУ (2) удобно представить в виде двукратной квадратуры

г а(т)

I йт ¡р(4,т)к(4- х, г -т)й4,=2жц((х, г), (4)

0 -а(т)

г > 0, | х |< а(г).

Скалярное поле контактных напряжений между штампом и упругой полуплоскостью

Как следует из (4), искомая функция <р(х, г) зависит также от неизвестных функций е(г) и а(г) и их производных

<р(х, г) = <р(х, г, ¿(г), ¿(г), а(г)). (5)

Для определения ¿(г) используется интегро-дифференциальное уравнение (ИДУ) (1), в правой части которого располагается интеграл д(г) = -р(г) = -р(х, г, ¿(г), ¿(г), а(г)) =

a(t)

= - \ф(x, t,s(t), s(t), a(t)) dx. -a(t)

(6)

CTj(a,p) = -Ja2 + p2 /c\ , ст2(a,p) = ■Ja2~hp2Tc[, где c =^p/(X + 2/) , c2 =^р/и - продольная и

Ранее методы решения смешанных нестационарных динамических задач теории трещин развивались в [1-4] и более поздних работах, а в [5-10] - при решении контактных задач об ударе.

О решении двумерных интегральных уравнений

Известно весьма ограниченное число специальных случаев, когда двумерные ИУ допускают построение аналитического решения [11]. Для получения приближенного аналитического решения ИУ (2), (4) используется метод последовательных приближений. 1-й член

решения с погрешностью, обратно пропорциональной a(t) , строится в виде суперпозиции [12]

p(x, t) = p+ (a(t) + x, t) + p (a(t) - x, t) -< (x, t) . (7)

Функции <p± (a(t) ± x, t), рда (x, t) определяются из двумерных ИУ

t да

J dr fp+ (a(r) + g, r)k(g - x, t -r)dg = 2л/ле(x, t), (8)

0 -a(r)

-a(t) < x < да,

t a(r)

J dr Jp_ (a(r) - g, r)k(g - x, t -r)dg = 2л/ле(x, t), (9)

0 -да

-да < x < a(t) ,

t да

J drJp (g, r)k(g - x, t - r)dg = 2kjU£(x, t) , (10)

0 -да

-да <x<да.

ИУ (8), (9) с помощью замен g = g' - a(r), x = x'- a(t) и g = -g' + a(r), x = -x' + a(t) преобразуются в новые (штрихи опускаются)

t да

JdrJp± (g, r)k(g - x + a(t) - a(r), t -r)dg = 0 0

= 2ftjus(+(a(t) - x), t), 0 < x <да. (11)

Получить аналитическое решение ИУ (11) с помощью интегрального преобразования Лапласа можно только в случае линеаризации разности

a(t) - a(r) = a(rc Xt -r), rc e [r, t]. (12) Введя обозначение ¿i(rc ) = V ( à(t) - скорость изменения полуширины области контакта) и подставив (12) в (1 1), получим ИУ вида

t да

JdrJp (g,r)k(g - x + V(t -r), t -r)dg =

0 0

= 2xjus(+(a(t) - x), t), 0 < x <да. (13)

После применения к (13) интегрального преобразования Лапласа, оно переходит в одномерное ИУ Винера-Хопфа [13] относительно трансформанты

Лапласа pL (x, p) контактных напряжений p± (x, t)

да

J < (g, p)kL (g - x, p, V)dg = 2nj±± (x, p) , (14)

0

0 <x <да.

да да

pL (g, p) = (g, r)e - prdr, eL (x, p) = J e(+(a(t) - x), t)e- pdt,

0 0

да

kL (g, p, V) = JK(a, p - iaV)eiagda, где K(a, p) оп-

-да

ределено в (3). Решение ИУ (14) <L (x, p) строится методом Винера-Хопфа [11-13], решение ИУ (10) рда (x, t) - с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье.

Преобразование (12) позволяет построить аналитическое решение ИУ (13) в том случае, если a(t) -линейная функция a(t) = a0 + V(t-10) или постоянная a(t) = a0 = const на [^, t]. Ввиду невозможности замены искомой a(t) на одну линейную функцию на всем промежутке [^, U ] предлагается отрезок [^, t, ]

разбить на элементарные [t0,tj, [t1,12], ..., [tn-l,tn], (tn < t*), на каждом из которых a(t) аппроксимируется соответствующими линейными функциями (хордами) a0 + V0(t -10), ax + Vx(t - tx), ..., an + Vn (t - tn ) (рисунок). Это позволит на каждом [tk р^] k=1, 2,...n построить аналитическое решение ИУ (13), а полученная таким образом ломаная будет приближенным представлением a(t) на [t0, t*].

Метод ломаной решения контактной задачи

Для решения двумерного ИУ (2) совместно с ИДУ (1 ) по времени t вводится общая для них сетка h = to + kh , k = 0,1,2,...,n, где h - шаг сетки, который назначается, так как время отрыва штампа от упругой среды t* заранее неизвестно и определяется в конце решения задачи. Отрезок [t0, tn ] разбивается на n элементарных отрезков [t0,tj, [t1,t2], ..., [tn-l,tn]. При этом область интегрирования Q в плоскости x, t, ограниченная кривыми x = ±a(t), разобьется на элементарные криволинейные трапеции ^, Ц, ..., Ц (рисунок). На 1-м шаге по времени t e [t0,t1] ИУ (2) рассматривается в области Ц :{xe[-a(t),a(t)], t,tx]}

JJ<(g,r)k(g-x,t-r)dgdr = 2nje{x,t), x,t еЦ, (15)

в котором p ¡(x, t) - искомая функция распределения контактных напряжений на Ц, k(u, v) и e(x, t) из (2), (4). Для получения приближенного аналитического решения ИУ (15) область интегрирования - криволинейная равнобедренная трапеция Ц - заменяется прямолинейной

равнобедренной трапецией Ц : 0A+A+ A- A- 0 , где A± A± - хорды (рисунок) с уравнениями

A±A± : ±a(t) = a0 + Vx(t-10), t e [t0,tJ, (16) V - неизвестный пока тангенс угла наклона хорды A+A+, который определяется по формуле V1 = = (a - a )/(к -10 ), a = a(t) = a(h ) после нахождения a.

Интегральный оператор по Ц в левой части (15) заменяется на интегральный оператор по Ц с ошибкой R (x, t)

[Jp(g,r)k (g-x, t - r)dgdr = (17)

Ц

= 2^/ue(x, t) + R (x, t), x, t еЦсЦ,

R (x, t) =- JJp (g, r)k(g - x, t - r)dgdr.

Ц-Ц

В предположении интегрируемости < ( x, t ), существования внутреннего интеграла в смысле главного значения ввиду разрыва k(g-x,t-r) на интервале интегрирования в полюсе Релея ±gR± = x±c2(t-r)/^R, где u = - корень уравнения R(u) = (2u2 -1) - 4u0, mx =-\lu2 -1, œ2 =-Ju2 - p1 , а также в предположе-

нии дифференцируемости а (г) на [г0, г^, для Я1(х, г) справедлива оценка

| яг (х, г)|< Ащ (х,г)къ, г е[г0, гх ], | х |< а (г), (18)

где щ0(х,г) - ограниченная, знакоположительная функция на ^ - ^; А0 - постоянная, пропорциональная а(гс), гс е [г0,гх]. Для решения ИУ (17) организуется итерационная схема метода последовательных приближений (МММ)

< (4т)к (4-х, г-т)й4йт= (19)

= 2n/u,s(x, t) + R1 к-1 (x, t) ,

x, t eDj cfij

JJp i,k (4, т)к(4 - x, t - r)d4dr = 2л/ле(х,t) + Rl k_!(x,t) ,

Qj

p10 (x, t) = 0, к = 1,2,..., сходимость которого определяется ограниченностью интегрального оператора [11] в левой части (19) и оценкой (18). 1-й член МММ при к = 1 определяется из ИУ, записанного в виде двукратной квадратуры t äj(j)

Jdr Jp\(4,т)к(4- x,t -r)d4 = 2я/ле(х,t), (20)

0 -ä1(r) '

t e [^,tj], | x |< a (t), где a (t) из (16). 1-й член МММ pn(x,t) приближенного решения ИУ (20) строится по формуле (7)

v 1 (x, t)=tp+l (a (t) + x, t) + <pu (a (t) - x, t) - Vn (x, t), (21) где p^j1(ä1(t) ± x, t), pinni(x, t) определяются из ИУ (8) -(10), в которых a(t) заменяется на a (t), Р± (x,t), pm (x, t) - на p± a (t) ± x, t), рП (x, t). С помощью замен 4 = ±4' + a (r), x = ±x' + a (t) ИУ (8), (9) в указанной выше редакции сводятся к ИУ на полуоси (13), где вместо V записывается V. ИУ (13) относительно

неизвестных р± (al (t) ± x, t) с помощью интегрального преобразования Лапласа приводятся к решению ИУ Винера-Хопфа (14) относительно трансформант

Лапласа р±\ (x, p). ИУ (10) решается с помощью преобразований Лапласа и Фурье.

Решение р j(x, t) ИУ (21) строится в классах

функций [11] pn (x,t) = (x,t)(ä2(t) - x2), где у < 3/2 и его величина зависит от соотношения скоростей c , с2, a(t). Аналитическая форма полученного решения (21) позволяет сформулировать дополнительные условия, из которых должна определиться пока неизвестная полуширина области контакта a (t) с неизвестной V . Требования к гладкости полученного решения на границе области контакта | x |= a (t), вытекающие из сохранения механического смысла контакта, приводят к необходимости обнуления коэффициентов при старшей особенности в (21) [5-10]

lim (äl2(t) -x2)ур!(x,t) = mxa(t),t,s(t),s(t), a(t)),

x^aj(t')-0 '

у< 3/2, (22)

в результате выполнения которых получаем уравнение

®х (а (г), г, ¿(г), ¿(г), а (г)) = 0, г е [г0, г1 ] (23) относительно пока неизвестных ¿(г), ¿(г), а (г). Геометрическое и механическое обоснование обнуления коэффициентов при старшей особенности зависит от формы основания штампа и проводится при решении конкретных задач [4 - 10].

Подставляя вместо t значение ^ в (23) и учитывая (16), получим уравнение для определения а1(г1) =

= а(гх) = а через неизвестные пока ^ = £(), ¿х = ¿(гх). Заметим, что затем неизвестные V и а (г) находятся по формулам (16).

Неизвестные ¿х и ¿х определяются из решения

ИДУ (1) с помощью численного пошагового метода [14] по схеме

¿п = ¿п-1 + Дёп-1 , ¿п = ¿п-1 + A¿п-1 , П = I2, „ . , (24)

где приняты обозначения: еп = е(гп), ¿п = ¿(гп), ап = а(гп). В случае использования схемы Эйлера

^¿п = Кгп ¿п ¿п, ап ) , А£п = Шп ¿п ¿п, ап ) , п = 0X2,■■■,

1(а, Ь, с, й) = -тГ1Р(а, Ь, с, й), g(a, Ь, с, й) = с, определяется Р(а,Ь,с,й) из (6) при г0 = 0 , ¿0=¿(г0) , ¿0 = ^, а = а(г0). При п = 1 из (24) определяются ¿х и ¿1. После интерполирования по узлам (г^)^^)), (^ ) и (г0 ¿0), (г1 ) получим уравнения хорд ¿г (г), а (г) на [^, г1 ], которые заменят ¿(г) и ¿(г) в (6) на следующем шаге итерационного процесса (24) при определении ¿2, ¿2.

Символическая форма (5) приближенного решения задачи на 1-м шаге метода при г е [г0, г^ с ошибкой, пропорциональной принимает вид

р(х, г) = рп (х, г, ¿1 (г), ¿^ (г), а (г)), х, г е ^ с ^,

1

а1 (г) = 2 ак (г)Н(г - г,ч, г, - г), ак(г) = ак-1 +¥к(г - гкА), (25)

к=1

¥к = (ак - ак-1 ) /(гк - гк-1 ) , ак-1 = а(гк-1) , к = 1,2,-~- , где Н(а,Р) = Н(а)И(Р); Н(г) - функция Хевисай-да; рп (х, г, ¿1 (г), ¿х (г), а (г)) - из (20).

Построение решения задачи на 2-м шаге метода при г е [г , г ] заключается в нахождении аналитического решения ИУ (2) на П2 :{х е [-а(г), а(г)\ г е [^, г2 ]} . Цр (4,т)к(4 - х, г -т)й4 = 2л^¿(х,г), х,г е о.2. (26)

П2

По аналогии с предыдущим шагом область интегрирования П2 в (26) заменяется на ^ : {х е[-а2 (г), а (г)], г е[^, г2 ]}, являющуюся прямолинейной равнобочной трапецией А+ А+А-А- (рисунок), боковые ребра А1± А2 которой опис^1ваются уравнениями А1±А2 : ±а2 (г) = а + V (г - Ь), г е [гх, г2 ], (27) где У2 = (а2 -ах)/(г2 -г{), а ИУ (26) принимает вид

К (4, т)к(4 - х, г - т)й4йт = (28)

□2

= 2ж/ле(х, г) + Я2 (х, г), х, г е с .

я2 (х, г) = - \\р2 (4, т)к(4 - х,г - т)й4йт.

□2-о2

Q

Оценка Я2(х, ^ аналогична (18) и определяется неравенством | Я2( х, () \< А2 w2 (х, ()И3, t е[1 (2], | х |< а2 О, где А - постоянная, а щ (х, Г) - ограниченная функция.

Итерационная схема МПП решения (28) представляется в виде (19), где вместо р1к (х, ^ и Дх, Г)

записываются р2к(х,Г) и Л2А:_г(х,t). 1-й член МПП функции р21 (х, Г) определяется из ИУ при к = 1

t а2(т)

| Ст ¡р21(£,т)к(£ — х, t — т)С£ = 2я/ле(х, Г), (29)

1 —а2(т)

t е , ^ ], | х |< а2 О .

Решение ИУ строится в виде суперпозиции (7)

р21 (х, ^ = р21 (а2 (^+х, ^ + р—х (а2 (^ — х, ^ — р21 (х, ^. (30) В ИУ (29) производится замена переменной т по формуле т— Ц =Т и вводится обозначение t — Ц = t' (штрихи далее опускаются)

t a2(z+ti)

J dr fp2 (g,r + tj )k(g - x, t -r)dg =

(31)

0 -a2(?+t\)

t да

| Ст \р2\ (а 2 (т + ^ ) + £,т + 1Х )к (£ — х, t — т)С£ =

0 —а2 (т+'1)

= 2ж/ле(х, t + 1Х), —а2 ( + 1Х) < х < да,

г а2(т+Ц)

| Ст | р—г (а 2 (т + ^ ) — £,т + ^ )к (£ — х, t — т)С£ =

0 —да

= 2п}ле(х,t + ^) —да < х < + , (32)

t да

|Ст |рда (£, т + ^)к(£ — х, t — т)С£ = (33)

0 —да

= 2ж}е(х, t + ^ ), —да < х <да . После проведения замен £ = ±£' + а2 (т + ^), х = ± х' + а2 (т + ^) (32) преобразуются в ИУ

t да

| Ст\р±л (£, т + ^ )к (£ — х + У2 С — т), t — т)С£ = (34)

0 0

= 2ж}£(±(а2 С + ^ ) — х), t + ^ ) , 0 < х < да. Применив к (34) преобразование Лапласа, получим одномерное ИУ в трансформантах Лапласа

Jp^ (g, p)kL (g- x, p,V2)dg =

(35)

= (x,p) + r2 (x,p), 0 < x , p2\(g, p) =

= i Pn (g, r)e~"'dr, sL (x, p) = °je(+(a2 (t) - x), t)e"ptdt,

г2± (х, р) = |р±1 (£, р)кь (£ — х, р, У2)С£ — 2л}£± (х, р) ,

0

^ Ч __

р2±! (£, р) = ¡р±1 (£,т)е ~ртСт, £±(х, р) = \е(+(аг — х), ^в^'Л; 0 0

т2 (х, р) являются малыми функциями, оценка которых пропорциональна к : | г2 (х, р) |< М± (х, р)к , Ы2 (х, р) ограничены по обеим переменным.

Для решения ИУ (35) организуется МПП [14] по схеме

да

Jptlk (g, p)kL (g-x, p,V2)dg= (36)

= 2я}в(х, t + ^ ), t е [0, ^ — ^ ], | х |< а2 С + ^ ). Решение ИУ (31) строится по формуле (30), где вместо t записывается t + ^, а р±1 (а С + ^) ± х, t + ^),

р21 (х,t + определяются из ИУ

= 2nfj.SL (x, p) + r2^_j (x, p) , 0 < x <да

да

Рг,и (g, P) = Jptxk (g,r)ep'dr ,

ptxk(g,p) = Jpi\,k(g,r)e prdr, k = 1,2,

r^k (x, p) = Jptxk (g, p)kL (g- x, p,Vl)dg- 2njj£± (x, p) .

к = 0,1,2,..., e± (x,p), e± (x,p) даны в (35). В качестве 1-го приближения используется решение ИУ (36) при к = 1 с учетом того, что p210(x,p) = 0 .

да

J (£, р)к± (£ - x, p, V2 )d£ = 2nfi£I± (x, p), (37)

0

0 < x .

ИУ (37) является ИУ Винера-Хопфа [13] и совпадает с (14), если p1 (x, p) заменить на p2±t1(x, p), V - на V2, по аналогии с тем, как это было сделано на 1-м шаге метода, где p±L (x, p) заменялась на pff (x, p). Отсюда

следует, что в качестве решения p2 ±j (x, p) ИУ (36) можно взять pI± (x, p) , заменив аг (t) на а2 (t), V -на V2. Решение ИУ (33) p2X(x,t) = q\\(x,t) и не зависит от t1. Обратим по Лапласу plI± (x, p), предварительно умножив его на exp(^p) и вернувшись к старой переменной t. Тогда решение задачи или ИУ (22) можно записать как в форме (21), так и в символической (5) p2 (x, t) = pj j(x, t,s(t), e(t), а2 (t)) , x, t e Q2 с Q2, (38) где а2 (t) даны в (27). Следуя схеме, после обнуления в (38) коэффициента при старшей особенности, подобно (22), (23) на границе области контакта | x |= а2 (t), получим уравнение

ах (а2 (t), t, e(t), s(t), U2 (t)) = 0, t e ft, ^ ]. (39) После замены t на t2 в (39) определяется а2 = = а2 (t2) = а(t2) через s(t2) = е2, и s(t2) = £2. Интерполирование по узлам (t0,s0), (t1,s1), (t2,s2) и (t0,s0), (t1,£1), (t2 ,s2) позволяет получить s2 (t) и s2 (t) в каждой точке ft, t2 ] и записать их в (38) вместо s(t) и s(t).

Полученные приближенные решения задачи (25) на , (38) на А, на временн^1х отрезках , tj ] и , ^ ], позволяют составить решение задачи на Ц +П2 на [^, ^ ] с погрешностью, пропорциональной h p(x, t) = pn (x, t, s2 (t), s2 (t), а2 (t)),

x, t еЦ+ЦсЦ+Ц , (40)

2 _ _

где а2({) =1 ак(t)H(t - h-Ь tk -1) , ак (t) = ак-1 + Vk (t - tk-1) , к=1

V = (ак - ак-1) /(?к - tk-l) , ак = а(1к ) = ак (1к ) , к = 1,2,.~ .

0

0

0

0

СО

0

0

0

Алгоритм решения задачи на n -м шаге метода ломаных на отрезке [t , t ] полностью повторяет решение на 2-м. Моэтому для получения формул для n -го шага достаточно в (26) - (40) вместо индекса 2 писать индекс n , вместо индекса 1 - индекс n -1, вместо Q, a2 (t), ^ - Qn , an (t), tB4 соответственно. Решение задачи на n -м шаге метода в символической форме имеет вид

pn (x, t) = р1Л (x, t, s(t), s(t), an (t)) , x,t e Qn c Qn , где

a (t) = a ,+ V (t -1 ,), V = (a - a ,)/(t -1 ,) , а

n \ s n-1 n\ n-1 / > n V n n-W Vln n-1/ >

вместо s(t) и s(t) записываются интерполяционные формулы sn(t) и sn(t) по узлам (t0,s0), (t1,s1), ...,

(tn ,sn) и (t0,S0) , (t1,S1) , (tn ,sn) .

Мосле определения решения с погрешностью, пропорциональной h на всех отрезках [t0,tj, [t1,12], ..., [tn-1, tn ], составляется решение задачи на всем промежутке [t0, tn ]

n _ n

p(x, t) = Pn(x, t,sn (t), Sn (t), an (t)), x,t e2 Q c£Qi, (41)

i=1 i=1

n

где an (t) = 2 ak (t)H (t - tk-1, tk -1), ä (t) = ük-1 + Vk (t - tk-),

к=1

Vk = (ak -ak-i)/(tk -tk-1), ak = a(tk) = ak(tk), k = 1,2,..

Сходимость метода по h можно улучшить с помощью дополнительных итераций в (36).

Так, решение задачи с погрешностью, пропорциональной h2 на каждом шаге по t, строится по формуле px, t) = р1л (x, t, S1 (t), ¿1 (t), Ü1 (t)) + P212 (x, t, Sn (t), Sn (t), an (t)),

n

n > 2, где an (t) = 2 A (t)H(t - tk, tM -1), ak (t), Vk из

k=2

(41), а p212(x, t) определяется на 2-м шаге метода, как

2-е приближение при решении ИУ (35) по схеме (36). Решение задачи с погрешностью, пропорциональной h3, на каждом шаге по t дается формулой р(x, t) =

= Р1,1 (x, t, s1 (t), S1 (t), a1 (t)) + Р2,1,з (x, t, sn (t), Sn (t), an (t)),

n > 2, где функция p213 (x, t) определена на 2-м шаге

метода, как 3-е приближение решения ИУ (35).

Мри увеличении количества разбиений n и уменьшении шага h приближенное решение задачи (41) стремится к точному на Q

р( x, t) = limp(x, t, sn (t), Sn (t), an (t)) =

n—

= p(x, t, lim sk (t), lim Sk (t), lim ak (t)). (42)

n—n n—n n—n

Сила контактного воздействия штампа на упругую среду P(t) определяется формулой (6) после подстановки в нее (41), время отрыва штампа от упругой среды t* -как величина нетривиального корня уравнения

lim a (t) = 0 при условии P(t*,s(t*),s(t*), a(t*)) = 0.

n—n

С практической точки зрения процесс решения задачи заканчивается, когда соседние члены последовательностей sn (t), sn (t) и a„ (t) в (41), (42) мало отличаются друг от друга.

С механической точки зрения метод ломаной используется, когда скорость распространения полуширины области контакта Vk = a(tck) tck e[tk-1,tk]

(k = 1,2,...,n) соизмерима с величиной скорости продольной c , поперечной c и релеевской c волн. Если же a(t) = V < cR , то предпочтительней использовать метод ступенчатой, когда a(t) аппроксимируется ступенчатой линией: a(t) = a^ (= const) на [t ,t ] . Все формулы для метода ступенчатой получаются из соответствующих формул метода ломаной, если в них положить V = 0, k = 1,2,.,n .

Литература

1. Freund L.B. Crack propagation in an elastic solid subjected to general loading - I. Constant rate of extension // J. Mech. Phys. Solids. 1972. Vol. 20. Р. 129-140.

2. Freund L.B. Crack propagation in an elastic solid subjected to general loading - II. Non-unoform rate of extension // J. Mech. Phys. Solids. 1972. Vol. 20. Р. 141-152.

3. Костров Б.В., Осауленко В.И. Распространение трещины с произвольной переменной скоростью под действием статических нагрузок // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 1. С. 84-99.

4. Слепян ЛИ. Механика трещин. Л., 1990. 296 с.

5. Зеленцов В.Б., Докучаев С.А., Чукарин А.В. Об ударе клиновидного штампа в упругую полуплоскость // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. № 2. С. 42-50.

6. Зеленцов В.Б. О нестационарных динамических контактных задачах теории упругости с изменяющейся шириной зоны контакта // ПММ. 2004. Т. 68, вып. 1. С. 119-134.

7. Зеленцов В.Б. Нестационарная динамическая контактная задача теории упругости об ударе параболического штампа в упругую полуплоскость // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 1. С. 28-46.

8. Костров Б.В. Автомодельные смешанные динамические задачи о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машиностроение. 1964. № 4. С. 54-62.

9. Robinson A.R., Thompson J.C. Transient stresses in an elastic half space resulting from the frictionless indentation of a rigid wedge - shaped die // Z. Angew. Mach. and Mech. 1974. Vol. 54, № 3. P. 139-144.

10. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М., 1986. 328 с.

11. Интегральные уравнения / П.П. Забрейко [и др.]. М., 1968. 448 с.

12. Ворович ИИ., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М., 1974. 456 с.

13. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., 1962. 279 с.

14. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., 1978. 512 с.

Поступила в редакцию_16 марта 2010 г.