Об ударе клиновидного штампа в упругую полуплоскость Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ОБ УДАРЕ КЛИНОВИДНОГО ШТАМПА В УПРУГУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ

© 2004 г. В.Б. Зеленцов, С.А. Докучаев, А.В. Чукарин

The solution of the nonstationary dynamic contact problem on the impact of the wedge stamp into the elastic semiplane. The requirements imposed on the solution smoothness of the problem stated lead to the complementary condition by means of wwhich one can define the time-varrying widdth of the contact area between the stamp and the elastic semiplane being the function into the elastic semiplane defined from the differential eqquation for the massive stamp motion on the elastic semiplane.

Рассматривается нестационарная динамическая контактная задача о внедрении штампа в упругую полуплоскость. Для ее решения применяется метод, разработанный в [1, 2]. Требования, накладываемые на гладкость решения, приводят к дополнительному условию, благодаря которому определяется изменяющаяся во времени ширина зоны контакта между штампом и упругой полуплоскостью.

Ранее решения смешанных задач теории упругости с изменяющейся во времени границей смены краевых условий в аналитической форме рассматривались в [3, 4]. В [5] приведена подробная библиография рассматриваемого класса задач.

Постановка задачи и ее интегральное уравнение Рассматривается нестационарная динамическая контактная задача (НДКЗ) о внедрении жесткого штампа клиновидной формы в упругую полуплоскость -да < х < да, у > 0 (рис.1).

Внедрение осуществляется вдоль оси симметрии штампа у. Начальная скорость v0; погонная масса m ;

полуширина зоны контакта штампа с упругой полуплоскостью a(t). Силы трения и сцепления в зоне контакта штампа с упругой средой отсутствуют. Форма штампа и закон его внедрения в упругую среду задается функцией g(х, t) (t > 0, |х| < a(t)), которая имеет вид

§(х,/) = ^(/)-0х|, 0 = а§а, (1)

где 2а - угол раствора клина; е() - закон движения

центра масс штампа.

В начальный момент времени /=0 упругая полуплоскость находится в покое и поэтому смещения упругой среды и = и(х, у, /), V = у(х, у, :) и их скорости равны нулю.

Граничные условия рассматриваемой НДКЗ в общепринятых обозначениях теории упругости [6, 7] имеют вид X > о)

а

v(x,0, t) = g(x, t), |x| < a (2)

(x,0, t) = 0, a < |x| < да; axy (x,0, t) = 0, |x| < да , где

a, axy - нормальные и касательные напряжения.

На бесконечности (при

x2 + у 2 ^ да) напряжения и

смещения в упругой полуплоскости равны нулю.

Поставленная НДКЗ с помощью интегральных преобразований Лапласа [8], последовательно применяющихся к дифференциальным уравнениям теории упругости [6, 7], граничным условиям (2) и на бесконечности, нулевым начальным условиям, приводится к решению интегрального уравнения (ИУ) первого рода в безразмерной форме [1, 2]

1 - ■ ■ Ц-хч

л

J ФЬ p)k| —— |d# = 2fL (x p), |x| < ^

k(t)= JK(u)elutdu , K(u)= 2(1 -в2)b-2R- (u)

Г

R(u)=(2u2 +1) -4u2a 1a2 ; a 1 = V u 2 +1, a 2 = д/і

Л =-

a2 = c

u 2 +в2

pa

в=

2

c

£ + 2/л

c2 =

p

(3)

(4)

(5)

Ц

-1

/ь (x, р)=Д§ь (x, р); Д = 2 (1 -Р2 )и<

(х,р)=£1 (р)-0ар- |х|, |х| < 1.

В (3)-(5) срь (х, р) - трансформанта Лапласа функции (р(х, :) - искомой функции распределения контактных напряжений под штампом; §ь (х, р) -изображение Лапласа функции § (х, :), описывающей форму штампа и закон его внедрения в упругую среду (1); еь (р) - изображение Лапласа функции е() из (1); а = а(:) - полуширина зоны контакта (а(:)> 0); с1 и с2 - скорости распространения продольной и поперечной упругих волн смещений и напряжений; X, /и - коэффициенты Лямэ; р - плотность материала упругой среды. Контур интегрирования Г в комплексной плоскости и = Г + 1т проходит от -да до +да вдоль действительной оси (г = о) под углом - а^ р к ее положительному направлению.

Символ ядра ИУ и его основные свойства Функция К (и) - символ ядра ИУ (3) - четная, вещественная на действительной оси комплексной плоскости и = г +1 т . Ее асимптотическое поведение в нуле и на бесконечности дается соотношениями

-1

c

2

К (и ) = |и| 1 + о(и| 3) при | и| ^ да,

К (и ) = К (о) + 2 К "(о)и2 + О (и 4) при и ^ 0, (6)

К (о)= 2в(1 -в2 ),

К"(о)= 2в-1 - 9в2 + 8в3 + 8в4 - 8в5).

В комплексной плоскости и = Г + /т функция К (и) имеет 4 точки ветвления и =±в, и =+/ и 2 полюса Рэлея и = +/ % , определяющихся из алгебраического уравнения Рэлея я(ш) = о [7].

Для однозначного представления функции К (и) в комплексной плоскости и = г + / т проводятся разрезы от точек ветвления и = /, и = 1р до +/да вдоль положительной части мнимой оси (т и > о) и от точек ветвления и =-/, и = -1Р (в > о) до -/да вдоль отрицательной части мнимой оси (1ти < о). В разрезанной таким образом комплексной плоскости и = Г + / т с выколотыми точками полюсов Рэлея и = +/^0 функция К (и) - аналитическая, включая полосу |1т (и) < в, (в < 1 < 7о).

Асимптотическое решение ИУ

Решение ИУ (3) р! (х, р) при 0 < Л < 2в может быть построено по формуле [1, 2, 9]

L( \ L I 1 + x

P ( p) = P+

л p)+p-L(1Л£,p)-P(Лp

х ^ і,

в которой функции (р+ (х, р), из ИУ

(7)

определяются

J р± (;, p)k(; - x)d; = 2fL (± Лx +1, p)л l,

0 < x < да

(8)

J P^ (, p)k ( - x)d; = 2nfL (Ax, p)

-l

—да < х < да , (9)

ядро к() (4) после деформации контура интегрирования Г в действительную ось имеет вид

да

к() = | К (и )єіШ ёи .

—да

Уравнения (8) являются ИУ Винера-Хопфа на полуоси [10], а (9) - уравнение свертки Фурье на оси [11].

Решение ИУ (9) находится с помощью интегрального преобразования Фурье и дается формулой

P

^ p) = 7^ J

2пЛ _

fLF (u, p)

, K (u )

xdu .

(1О)

fLF (u, p) = 2n!0S(u)- 21l Лau 2, причем

где

хо =2(1 -в2 Ьа (p), X =-4-в2 )/) р_1;

^(и ) - дельта-функция Дирака в комплексной плоскости и (штрихами обозначены производные).

После вычисления квадратур в (10) получаем

д-рда (х, р)= (11)

(0)

є (p)--

l (u ) =

jl (u )- 4u2 [li(u і

2 да l(;)

—K (0) J— exp(-| x#)d# + |x|

п в;

2оіо-1 (uk 1 < u < да

в < u < 1

l1 (uk= (2u 2 -l) V (u), l0 (uk= 2І -в2 )ст20 ,

a10

= Vu2 -1, a20 = д/u2 -в2 .

При получении соотношения (11) учитывалось, что К '(о) = 0 ввиду четности функции К (и ).

Для решения ИУ (8) применяется стандартная процедура их решения методом Винера-Хопфа [1, 2, 10-12]. Рассмотрим ИУ (8) для р+" (х, р), доопределив его на всю действительную ось

да

IР+ (£ р)к( - х)с# =

j2nfL (Лx -1, p)Л l, 0 < x < да

\2nv- (x, p), - да < x < 0 .

(12)

понимается интегральный оператор

Под V! (х, р)

1 о

V! (х, р) = — |р+ (:, р)к ( - х)С£, определяющий

2П -да

трансформанту Лапласа упругих вертикальных перемещений v(x,:) поверхности упругой среды вне штампа.

После применения к ИУ (12) интегрального преобразования Фурье получим функциональное уравнение

К (и Р (и, р) = Л/ (и, р) + V1!1' (и, р), (13)

P+F (u, p) = JP+ (;, p)e'u;d; ,

0

да

f+LF (u, p )=J fL (л;-1, p)u;d;

V-17 (и, р)= IV- (#, рУи^с14

-да

относительно неизвестной трансформанты Лапласа-Фурье функции р+р (и, р), являющейся изображением Фурье искомой функции р+"(х, р). Функция /+р (и, р) определяется формулой /+!Р (и, р) = ДЛ-1 [- (е! (р) - ,7л)(/и)-1 + (14)

+ 77Л2 (1 - 2 ехр(/иЛ-1 ))(/и)-2 ], где г) = в а2с-1.

Функции р' (и, р), (и, р) регулярны в верх-

ней полуплоскости 1т(и) > 0 , а V—(и, р) — в нижней полуплоскости 1т(и) < в, в > 0 комплексной плоскости и =а + іт; функция К (и) регулярна в полосе |іт(м) < в . Предполагая возможность факторизации функции К (и) [10]

К (и )= К + (и )К —(и ), (15)

где К +(и), К —(и) регулярны соответственно в верхней (іт(и)>—в) и нижней (іт(и )< в) полуплоско

1

c

2

-да

да

стях, подставим выражение (15) в уравнение (13) и разделим его левую и правую части на К — (и). Образовавшуюся в результате этого функцию

8 (, р) = ЛКГ1 (и)/' (и, р) (16)

представим в виде суммы двух функций [10]

8(, р) = 8 + (, р) + 8 — (м, р), (17)

где 8 +(, р) регулярна в верхней (іт(и)> 0), а

8 — (,р) — в нижней (іт(и)<в) полуплоскости

и = х + і т. При этом получаем

g + (U, p)=^Z cкn (P) g +n (u), (18)

к=!п=0

сіо(р) = -(ffL (p) - пЛ(1 + л/ - 2ЛYp ))Л-!, cn (P) = c2i (p) = -2c20 (p) = -2пЛ ,

gk+о (u) =--к^Г) , k = 1,2,

(iu) K- (о)

1(u)=-L J ixpfcij'L

gl

2п г0+ ZK-(Z) Z-

u iu

g+l(u k =

ехр1

(шЛ l)

(iu )2 K -(0)

Y- =

iK -(о)

"Mp) ’

к-(о) r exp^ 1 )

X (куКлс)

Значение % дано в (14). Контур интегрирования Г0+ проходит в верхней полуплоскости вдоль разрезов от +/да до /в по мнимой оси (справа) и от /в до +/да (слева); выбор ветвей для вычисления корней Г , г2 осуществляется так, что вдоль берегов разреза

■^— и 2 + в2 = ±ід/и 2 — вв , V— и 2 + 1 = ±ІУІП 2 — 1 , где верхний знак берется для правого берега, а нижний - для левого берега разреза. Штрихами обозначены производные.

В результате представления (17) функциональное уравнение принимает вид

P+F ( р)к + (и) — 8 + ( р) =

= 8 — (, р )+ vLF (и, р )К —1 (и ). (19)

Ввиду убывания на бесконечности всех функций в (19) и теоремы Лиувилля получим из уравнения (19) два равенства

р+F (, р)К + (и) — 8 + (, р) = 0 , (20)

(21)

vLF (и, р)КГ1 (и) + §- (и, р) = 0 для определения р+^ (и, р) и v-'F (и, р).

Искомое решение р+ (х, р) ИУ (8) определяется с помощью обратного преобразования Фурье от р+"р (и, р) из соотношения (20)

P

I ^-г,

p) = 7T J

g

2п.

-к P )

K +(u )

e-uxdu,

с > 0, 0 < х <да . (22)

Функция § + (и, р) дается формулой (18).

Заметим, что из соотношения (21) определяется вторая неизвестная функция v-'F (и, р). После ее обращения по Фурье получим

1 да

V-- (х, р) =- |§- (и, р)К- (и)-ихСи, - да < х < 0,

2П -да

где §-(и, р )= § (и, р)-§+(и, р), тогда как функция § (и, р) дана выражением (16).

Решение р- (х, р) второго уравнения (8) совпадает с Р+ (х р) ввиду четности / ^:) по координате х , т. е. /ь (+ Лх -1, р) = /ь (- Лх +1, р) в (8). На этом же

основании и v+ (х, р) = V- (х, р).

Заметим, что для вычисления квадратур в выражении (22), определяющем решения ИУ (8) р+ (х, р), необходимо знание функций К ±(и). В общем случае она определяется в сингулярных квадратурах [7], что затрудняет анализ полученных результатов и их численную реализацию.

Аппроксимация символа ядра интегрального уравнения

Для получения эффективного решения ИУ (8) заменим функцию К (и) - символ ядра (4) ИУ (8) - аппроксимирующей функцией К0 (и), предложенной ранее [1, 2]. Имеем

Ко(и) = Vи2 +в2 (и2 +%2)-1 ехр[ (и)+М- (и)], (23)

М±(и) = 1 ^ск (у1в±Ш -л/1 +/и)2к+2 .

2 к=0

Постоянные с к определяются из условий наилучшей аппроксимации К (и ) в комплексной плоскости и = г + /т с разрезами. В этой области К0 (и) -однозначная аналитическая функция. Ее факторизация, т.е. представление в виде К0 (и) = К0 (и)К- (0), достигается элементарными средствами, при этом

К0 (и)= ехр|М±(и)]. (24) ± Г)0 + 1и

Основные свойства функций К0 (и) и К 0 (и) указаны ранее [1].

С технической точки зрения аппроксимация символа ядра К (и) (4) функцией (23) сводится к определению коэффициентов аппроксимации йк (к = 0,1,2,...,п). Для их определения могут использоваться различные классические методы теории аппроксимации функций в комплексной области [13]. Вследствие того, что асимптотика функции К0 (и)

(23) на бесконечности (при |и| ^ да) совпадает с асимптотикой К (и), аппроксимацию К (и) (4) функцией К 0 (и) достаточно осуществить в круге с центром в начале координат. Учитывая степенной харак-

тер

функций K(u) (6) и K0 (u) (23)

в окрестности

нуля (и = о), для определения постоянных Ск можно использовать разложения этих функций в степенные ряды. Это приводит к условиям совпадения функций К (и ) и К±(и) с функциями К0 (и) и К± (и) и соответствующих производных в нуле, которые можно

записать в виде (индекс 1 указывает порядок производной)

К()(о)= К*/)(0), 1 = 0,2,...,2ш, (25)

К±;)(0)= К±(;)(0), 1 = 1,3,5,...,2ш -1; (26)

при этом должно выполняться условие п = 2ш, а в соотношениях (26) берутся только либо верхние, либо нижние знаки плюс и минус. При этом учитывались следующие свойства функций К ± (и):

К 0 (и )= К - (- и ); К 0(; )(и ) = (- 1);К-(;)(- и ), 1 = 1,2,...

Для реализации условий (26) необходимо определить функции К ± )(о) , что легко достигается классическими средствами [10], по формуле

к '-'{и )=^ даК ',(а> Са1, 1=1,2

+ W 2П -да К (а) (а-и)

Таблица 1

Значения аппроксимации ( ё0 , ё1)

V 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

ё 0 8,55131 8,17620 7,44457 6,31635 4,76377

ё1 82,41143 49,50915 25,73097 9,69981 0,52344

причем учитывается равенство К± (0) = у/К (0).

Ввиду четности К (и ) все К (1—11)(0)= 0

( = 1,2,...), а все К±21 )(0) выражаются через К(21 ^(0) и К ±21—^(0), например для ]=1

К ±(0) =

1

К ±(0)

1К "(0) + К ±2 (0)

2

Аппроксимация (23) при п = 0 использовалась ранее [1, 2]. При решении поставленной НДКЗ необходима более точная аппроксимация, так как уже полученные общие формулы решений (22) содержат производные от функций К (и) и К ±(и) при и = 0 . Для п = 2 (ш = 1) условия (25), (26) принимают вид

К (о)= К о (о), К + (о) = К +0/(о), К "(о) = К 0' (о), (27)

из которых получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных

С о , С , С 2 .

ё0 + 2Ь^1^1 + 3Ь є2 ё2 = Ьз,

2 )

(28)

в которой Ь1 = Ь 11п(2(1 — в2 По);

Ь2 = —(2в П0 + 2П0вс0 )(ь П0 л/в) 1;

Ьз = 4^Л/в(4П02-4П02в — 1)ьУ ) є1 = (в+4д/в+1)^—; є2 = (в++1)^

ё = ( + #)

Ь= ( в с0 =1 да КМ

П 0 и.

К (и )

ём

= ±і-

К ±(0). (29)

При выводе соотношений (28) использовалась производная от К± (0) при п = 2, вычисляемая по формуле

К ±0/(0) =

. 2в — По + ПоЬуТв^о + 2Ьё1 + 3Ь 2ё2)

2П в

Расчеты показали, что наиболее оптимальным вариантом аппроксимации является вариант при п = 1 и при выполнении первого и третьего условий в (27). В этом случае для определения ё0 и ё1 необходимо в системе линейных алгебраических уравнений (28) положить ё 2 = 0 и оставить первое и третье уравнения, откуда определяются ё 0 и ё1.

ё0 = (2Ь1 є2 — Ь3)А0 ;

= (Ь3 — Ь1)А—01; А 0 = 2є2 — 1. (30)

Ниже в табл. 1 приведены величины ё0 и ё1, рассчитанные по формулам (30) для различных значений коэффициента Пуассона V. При V є [0, 0,48] погрешность аппроксимации по |К (и ) не превышает 5 %, а при V є [0,48, 0,49] — 6 %. Увеличение погрешности при значениях V, близких к 0,5, связано с тем, что при v= 0,5 (в = 0) не существуют К± (0) и К (0), что

видно из соотношений (6) и (29).

В специальных случаях аппроксимацию вида (23) можно строить, определяя постоянные ё к из других условий и по другим характерным точкам, например, по точкам ветвления, по полюсам Рэлея и т.п.

Приближенное решение ИУ (8)

Для получения решения ИУ (8) по формулам (22) воспользуемся аппроксимацией К(м) вида (23) при п=1, коэффициенты которой ё0 и ё1 определены формулами (30) для любых значений коэффициента Пуассона V. Подставив К +(м) из (24) в (22) вместо К+ (м), после вычисления квадратур получим

р± (х, р) — решение ИУ (8)

А—Р (х, р) =

= Е с к (р)рк (х, р) + 2 с к (р)рк (±Лх ± 1, р) ; (31)

к=1 к=6

да

Р1 (х, р) = кЛ01 т(4) ехр(—фс)ё%;

в

да т(4)

Р2 (х, р) = кЛ0 ехр(—4х)ё4;

в

4

. . 2 да т(4) . 4 “ т(п) , , ,

Pз(х, р) = —т і—г ехр(—т)й?41т—^ ехР(—Пх)ёп;

П в 4 Л в(п+4)

Р4 (х, р) = —— даехр(—4х|)ё4 ; Р5 (х, р) = 1;

Пв 42

Рб( х р) = х; р?( х р) = |х|я (±х);

С1( р) = (Є (р) — ПЛ(1 + Лу— + 2Лу°р ))л

1 .

ск = пЛ;

k = 2,3,4; с5 (p) = (L (p) - пЛ)(Лк(0)) ;

C6 (p) = K- (0)пЛ ; C7 (p) = -C4 (p)(AK(0))-l; i да m(4)

m(4) =

в<;< i m2(;) = ^i(#) exp| --^(4) р^з(#)

g (u) =

|gl(u)

^ci = Пр4 ехр(-Л)^^ ; k„o = (Ж-(0))

п в 4 A

mi(#), 1 <4<да m^4) = ^(4) ехр

m2(4)

(4) ^ - # .

^i(4) = i------;

M4) = (1 + в- 2#)d0 +

+ ((4-в)2 -6(4-в)(1 -4) + (1 -4)2)d

W3 (4) = 4л/Т7(2(1 + в - 24)d1 + )

®(4)=((7-41 )2;

7+ = iK+ (0)/k + (0).

Отметим, что решение ИУ (8) получено в классе интегрируемых функций, допускающих особенности трансформанты Лапласа контактных напряжений на крае зоны контакта в точках х = ±1, т. е.

L -1/ 2

р± (х, р) = о (х, р)(1 ± х) , где со (х, р) е С[-1,1]. Эту

особенность в соотношении (31) после вычисления квадратуры доставляет функция р[ (х, р). Кроме этого, р± (х, р) в (31) имеет логарифмическую особенность при х^ 0, которую доставляет ей функция

рр (х, р).

Решение нестационарной динамической контактной задачи

Решение НДКЗ о внедрении клиновидного штампа в упругую полуплоскость получается после применения обратного преобразования Лапласа к полученному асимптотическому решению ИУ (3), записанного в форме суперпозиции (7) решений ИУ (8), (9); р± ((1 ± х)/л, р), рда (х/Л, р) даются формулами (31). В результате решение поставленной НДКЗ имеет вид

k = 1,2

Д^да (u, t) = 12к- (0)(ё(0 + є(0))-

- в c2 H (t -в Ы)Ф4 (u, t) - в c2 K- (0)uS(t);

(32)

2

Фз(u, t) = 7 J

■2 (do®(4) - di®2(4))

(r-/u)/12

2 j J c3 (т)ql(т - 4

П J3u+ti в

x да*((r-4t2)u l)m(4)4 ld4dz;

2

t/u

P( x, t) = P+

a(1 I x)

+ P-

a(1 - x)

■P«

,t

P± (x, t), P<rj (x, t) определяются соотношениями:

Д-І p± (u, t) = £ H (t -ви) u ~3/2Ik Фк (u, t) +

k=i

+ H(t — в u — ti) u Ф3 (u, t) +

+ H(t - |в u - ti |)ф4 (|u - 12 I, t) +

I £ H(t)Ck (t)ф (u, t) + H(t)C1 (tФ7 (| u -121, t);

k =5

t-в

Фk (u, t) = kn0 J ck ^)qk (t -т, u)m* ((t - r)u _і^т,

в

Ф4 (u, t) = — J 41(4)d4, п в

Ф5 (u, t) = 1, Ф6 (u, t) = Ф7 (u, t) = u ;

Ci (t) = -2 (є(0 + є(0)) + nt-l (a£(t) +

1< u < да

g 2 (u) в < u < 1

gi(u) = u"2li(u)CT20 - 4u2CTioa2olol(u)a2o +1

g 2(u) = u'2li(u)CT2o

t /12

+ Y- H (t) + 2t-1H (t - ti) j 4-1 m (4)d4);

в

ck (t) = nt-1 H(t) , k = 2,3,4 ;

c5 (t) = t2 K-l (0)(i;(t) + є(0)) - nK-l (0)<5(t);

C6(t) = nt2-iK-l (0)^(t) ; C7 (t) = -nK-\0)S(t),

4 44 - в 4 u ч Поu -1

где m*(4) = ^---------— m(4); qk (t,u) = -

По -4

tk yjt -в1

k = 1,2 .

Функции ш(4) и 1(4) даны после формул (31) и (11) соответственно.

В формулах (32), как и во всех предыдущих, параметр а - полуширина зоны контакта штампа с упругой полуплоскостью - функцией времени :, в том числе и под интегралами по т. Формулы (32) для р± (и,:), рда (и,:) пока не могут быть решениями НДКЗ, так как содержат особенности корневого типа (1±х)-1/2 на краях зоны контакта, свидетельствующие о наличии на них источников упругой энергии (или изломов поверхности упругой среды). Для получения гладкого ограниченного на концах зоны контакта решения НДКЗ необходимо обратить в нуль коэффициент, стоящий перед (1±х)-/2 при х——±1, т.е. выполнить

условие Нт Ф1 (а(1 ± х)/с2 ,:) = 0, что приводит к х ^ ±1

уравнению для определения полуширины зоны контакта а(:):

41: е(т) '

а(:) = сСт - 2с2х_: -

в О j t -',

4 г*/1'1 Ф - 4t 2

----C2K-(0)H(t- ti^Vt J m(4) 4 2 d4;

п в 4

(33)

tk = a/c

k = 1,2.

Уравнение (33) записано в виде, удобном для реализации на ЭВМ. Постоянные ^— даны в табл. 2 для различных значений коэффициента Пуассона V.

ax

t

t

c

c

К C2

2

2

k

2, u) X

Таблица 2

Значения параметра у-

V 0,00 0,i0 0,20 0,30 0,40

Y- 0,33i2 0,35i9 0,3632 0,3434 0,i894

Можно видеть существенное влияние на параметр у_ коэффициента Пуассона V, а следовательно, и существенную зависимость ширины зоны контакта от свойств упругой среды. При малых : имеет место следующая оценка а(:):

а(:) = 2(0_^о -с2у_): + О(:) при :^о. (34)

Из выражения (34) следует, что для выполнения требования а(:)>0 и а 0(:) < ск , где ск - скорость волны Рэлея, должно выполняться двойное неравенство 0 < 2 (0-1 V, - с2у_) < ск, 0 = а, откуда следует ограничение, накладываемое на угол раствора клина 2 а 2 аг^(с27- До )< 2а < 2 аг^(ск + 2с2 у-) Л>о) < п .

Следует заметить, что решение рассматриваемой НДКЗ содержит логарифмическую особенность по координате х при х— 0, порождаемую угловой точкой клина и содержащуюся в (32) в функции Ф4 (х| а /с 2,:), которая имеет вид

Ф4 (х|а/с2 ,:) =

ln

Cit + ^(cit)2 - (ax)2

H

t-

Ф4* (u, t) =

Для этого найдем сначала Р- (р) Р'(р) = |р! (х, р) Сх.

-а

Рассмотрим ИУ (3). Пусть известно его решение для правой части вида /1 (х, р) = 1. Обозначим его р'(х, р). Умножим левую и правую части ИУ(3) на ар0 (х, р)Сх и проинтегрируем полученное равенство по х от -1 до 1. Поменяв затем порядок интегрирования, учитывая четность К(и) и свойства р'(х, р),

получим формулу для Р- (р)

1 1

Р! (р) = аХ0 | р0 (х, р)Сх +аХ1 | р0 (х, р)|х|Сх, (37)

-1 -1

где Х0,Х1 даны в (10).

Вышеупомянутое р0 (х, р) - решение ИУ (3) для случая /1 (х,р) = 1 -находится элементарно [1, 2] в виде суперпозиции (7), в которой

п

P+ (x, p) = 1

Poo (x, p) =

пЛк - (0) 1

- Jm(u)e uxdu +•

. в K+ (0)

где ш(и) определена в формулах

: '\ (#2 - в2) ~1/2 С4 +: (#)С#| н (: -в и);

\в в )

где 1\ (и) содержатся в (11).

Движение штампа на упругой среде

Внедрение клиновидного штампа в упругую полуплоскость рассчитывается как движение абсолютно жесткого тела и сводится к определению движения центра масс, который располагается на оси симметрии штампа, совпадающей с осью Оу. В этом случае движение штампа можно рассматривать как движение материальной точки массы ш, дифференциальное уравнение которой и начальные условия имеют вид [1, 2].

шё(0 = 0(:) , е (0) = Vо , е(0) = е0 , (35)

где Q(t) - сила упругого сопротивления среды внедрению штампа - связана с силой контактного воздействия Р(:) формулой

а а

Q(t) = | гуу(х,о,:)Сх = -|р(х,:)Сх = -Р(:),

-а -а

а

Р(:) = |р( х,: )Сх, (36)

-а

Здесь р(х,:) - контактные напряжения. При определении Q(t) можно воспользоваться формулой (36). Укажем здесь более короткий путь определения Р(:).

ЛК (0)

(31). Подставив р'(х, р) в (37), получим выражение для Р (р)

а-1Р! (р) = (X + X )Р! (р) - Х1ЛР2°+ (р) + (38)

+ 2Х1ЛР2! (р) + (2Х0 + X )Л-1К- (0).

Введены обозначения:

PkL(p) = - 2

J

m(4)

^ /т' 2 I l- exp(-^) \ 4

пк-(0) в 42 К л 1

k = 1,2,3

P2L+ (P) = -

P2o (P) = -

j m(£) Ii I exp(-#1) df.

пк-(0) в 42 К у-лпі

-J— да ^<-4^

пк- (0) J 42 г л ь

в которых функция ш(4) дана в (31), а Х0, X даны в (10).

Нетрудно получить Р(:), взяв оригинал от Р (р) в (38), что дает следующую формулу:

(аД)-1 Р(:) = 2:2 К - (0)(ё(:) + £(0))+Р1е (:) -

-0с2 (:2 р (:) - Р2+ (:) + 2Р20 (:) +:22 К- (0)<5(:)), в которой приняты обозначения:

2 ■?ш(г)(н(:) - н (: - 2^))

(39)

Pi(t) = -

P^(t) = -

пк- (0) в 4 2

nK-(0) в 4

H (t - 24t2))d 4;

2

J —(4 (£(t) -<^(t - 2412) >

P2+ (t)=-

п K- (0) в 4

xa

xa

t

xa

c

c

1

2

да

x

х(н(Г) + (/-2#/2) H(Г-2#/2)^#,

2 ш от(<?)

Р20(?) = к (0) |-----~(? - 0 t2)H ( - 0 ?2) d 0 ,

^ Л - (0) д ^

где 4 = а/ск (к=1, 2), А дано после (5), а б((), Н(?) -соответственно дельта-функция Дирака и функция Хевисайда.

Для определения закона движения штампа е(/) необходимо функцию Р(Г) из (39) подставить в правую часть обыкновенного дифференциального уравнения (35) с учетом (36), откуда становится ясно, что искомая е(/) существенно зависит от другой неизвестной функции а(/). В этом случае обыкновенное дифференциальное уравнение (35) превращается в интегро-дифференциальное уравнение типа Вольтер-ра [11, 14] относительно е(/), содержащем еще одну неизвестную функцию а(0.

При численном решении полученного интегро-дифференциального уравнения относительно е(/) на каждом шаге его интегрирования неизвестная функция а(?) определяется из дополнительного условия (33) как корень алгебраического уравнения с учетом естественного условия а(0)=0. Описанный выше алгоритм достаточно просто и эффективно реализуется на ЭВМ в среде МаШСаЛ

В качестве иллюстрации вышеизложенного метода решения нестационарной динамической контактной задачи об ударе жесткого клиновидного штампа в упругую полуплоскость приведены графики заглубления жесткого клиновидного штампа е(/), м,с параметром раствора и = ctga =0,001, массой т =150 кг/м в процессе его удара в упругую полуплоскость с начальной скоростью у0 = 5м/с (рис. 2). Сплошная линия соответствует е(/) для плоскости из стали (Е = 21011 Н/м2,

V = 0,25), штриховая - из титана (Е = 1,210п Н/м2,

V = 0,3), штрихпунктирная - из алюминия (Е = = 6,751010 Н/м2, V = 0,35). По горизонтальной оси дано время /. Конец графиков е(/) по горизонтальной оси / определяет время отрыва штампа от упругой полуплоскости /*, а ордината концов графиков указывает величину заглубления штампа е(/) в упругой полуплоскости, при котором произошел его отрыв.

Е (t) 10

У' / s''" -- ____

4 ■У / / у s' .

/

t 10 , с

Рис. 2. Заглубление штампа в упругую полуплоскость

На рис. 3 даны графики изменения P(t) - силы контактного воздействия штампа на упругую полуплоскость для вышеуказанных материалов полуплоскости. Следует заметить, что момент времени t максимального заглубления штампа в упругую полуплоскость s(t) (рис. 2) и момент времени достижения силой P(t) (рис. 3) максимального значения не совпадают для рассматриваемых материалов, что свидетельствует о наличии разности фаз этих характеристик.

Р®107.Н

/~\

/ / ^ / \

/// ^ /'/ л

К'

f/ f 1 1 і

Рис. 3. Сила контактного воздействия штампа на упругую полуплоскость

На рис. 4 даны графики изменения скорости внедрения штампа в упругую полуплоскость є(ґ), м/с,

для тех же материалов полуплоскости и в тех же обозначениях.

На рис. З представлены графики изменения полуширины зоны контакта ait), м, и величины «геометрической» зоны контакта є( )/и , м - абсциссы точки пересечения клиновидного контура штампа с осью х.

а®,Жм

0.15

/ /' . //'£ У' \

V V N Х__ ч

// \ ' 1 1 1 |

110 ,

Рис. 5. Графики изменения полуширины a(t), м, и геометрической е()/и , м зон контакта

Однако, когда штамп еще не дошел до своего максимального заглубления, a(t) становится меньше

е()/и , а затем убывает до нуля. Самостоятельный интерес представляет собой скорость изменения ширины зоны контакта a(t), графики изменения кото-

a(t) ш3, м/с

V ХА

] 1 ' і 1

і і і 1 1 | ' і

0 3 7 10

Рис. 7. Скорость изменения полуширины зоны контакта

Г рафики полуширины зоны контакта a(t) заканчиваются пересечением горизонтальной оси t (указывая время t„ отрыва штампа от упругой среды, так как a(t„) = 0), тогда как графики «геометрической» зоны контакта в момент отрыва t= t„ показывают, что штамп отрывается от упругой среды в заглубленном положении.

На рис. 6 даны графики разности a(t)- е((t)/и полуширины истинной зоны контакта a(t) и ей соответствующей «геометрической» зоны е()1и , которые показывают, что на начальном этапе внедрения штампа в упругую полуплоскость a(t) превышает е^)/и . Это означает, что на начальном активном этапе внедрения штампа выдавливаемый основанием штампа материал упругой среды выпучивается вдоль контура штампа, увеличивая ширину зоны контакта a(t) по сравнению с величиной «геометрической» зоны контакта е()1и (рис. 1).

рой для рассматриваемых здесь случаев представлены на рис. 7.

Литература

1. ЗеленцовВ.Б. // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 2. С. 317-326.

2. Зеленцов В.Б. // Изв. РАН МТТ. 1999. № 3. С. 34-44.

3. КостровБ.В. // ПММ. 1974. Т. 33. № 3. С. 551-560.

4. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М., 1986.

5. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М., 1995.

6. Лурье А.И. Теория упругости. М., 1970.

7. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М., 1981.

8. Batman H., Erdelyi A. Tables on Integral Transforms. N.Y. etc. Mc Graw-Hill, 1954. Бейтмен Г., Эрдели А. Таблицы интегральных преобразований. М., 1969.

9. Александров В.М. Асимптотические методы в механике контактных взаимодействий. // Механика контактных взаимодействий. М., 2001. С. 10-19.

10. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., 1962.

11. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. М., 1968. 14. Дeч Г. Руководство к практическому применению пре-

12. Ворович И.И. и др. Неклассические смешанные задачи образования Лапласа и 7- преобразования. М., 1971. теории упругости. М., 1974.

13. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М., 1986.

Ростовский военный институт ракетных войск_________________________________________________________11 июля 2003 г