CC BY
41
Docent dr Miljko Popović,
pukovnik, dipt. inž.
Vojna akademija, Beograd
BORBENI ZAOKRET AVIONA
UDC: 623.746.34 : 627.7.07
Rezime:
U radu su prikazane jednačine kretanja težišta aviona u borbenom zaokretu i analiza uticaja koeficijenta opterećenja i ugla naginjanja na karakteristike borbenog zaokreta, kao što su: brzina, promena ugla nagiba putanje, prirast visine i vreme trajanja zaokreta.
Ključne reči: borbeni zaokret, koeficijent opterećenja, ugao naginjanja, ugao skretanja, aerodinamička sila, potisak.
COMBAT TURN
Summary:
The paper presents equations of motion of the aircraft center of mass in combat turn and effects of load factor and the bank angle on the characteristic of combat turn, such as: velocity, the flight path angle, increment of altitude and the time combat turn.
Key words: combat turn, load factor, bank angle, heading angle, aerodynamic force, thrust.
Uvod
Kretanje aviona u prostornom mane-vru može se analizirati na više načina, za-visno od toga u kojem koordinatnom siste-mu se rešavaju jednačine kretanja. Izbo-rom polubrzinskog koordinatnog sistema za rešavanje jednačina kretanja obezbeđuje se najjednostavnije dolaženje do karakteri-stika borbenog zaokreta, kao što su: pro-mena brzine, prirast visine, promena ugla nagiba putanje u odnosu na horizont i vreme trajanja zaokreta. Do sada, borbeni zaokret aviona razmatran je, nepotpuno, u [1], a horizontalni zaokret u [3].
Definicija borbenog zaokreta i
jednačine kretanja
Borbeni zaokret bez klizanja jeste neustaljeni prostorni manevar aviona, pri
kojem se menja pravac leta i istovremeno povećava visina. Borbeni zaokret obično se razmatra kao zaokret za 180°. Ovaj manevar najčešće se koristi u vazdušnoj borbi, kada se nastoji da se protivniku dođe iza leđa, i to, po mogućnosti, sa nadvišenjem. Prednost u visini je gotovo uvek poželjna, jer se potencijalna energi-ja može brzo pretvoriti u kinetičku i tako postići željena brzina.
Izbor koordinatnog sistema za
rešavanje jednačina kretanja
Da bismo potpuno definisali koordi-natni sistem, potrebno je odrediti pravac ose Oz. U dinamici leta uobičajeno je da se ona nalazi bilo u ravni simetrije, bilo u vertikalnoj ravni.
U prvom slučaju koordinatni sistem nazivamo brzinskim, Xv, Yv, Zv, a u dru-
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
287
gom polubrzinskim, Xv, Y*, Z*, kako je prikazano na sl. 1. Dakle, kod polubrzin-skog koordinatnog sistema osa OZ* to-kom kretanja aviona uvek ostaje u verti-kalnoj ravni, a osa OY* je uvek horizon-talna, što pojednostavljuje rešavanje jed-načina kretanja. Prema tome, položaj po-lubrzinskog koordinatnog sistema u od-nosu na sistem lokalnog horizonta odre-đuje se jedino pravcem ose OXv tj. uglo-vima x i Y.
Kretanje centra masa aviona može se izraziti u polubrzinskom koordinat-nom sistemu. Opšta jednačina kretanja centra masa aviona u proizvoljnom koor-dinatnom sistemu glasi:
m— = R + T + G (1)
dt
gde su:
m - masa aviona,
V - vektor brzine,
R - aerodinamička sila,
T - sila potiska,
G = m • g - težina aviona i
dV - izvod brzine po vremenu (apsolut-
no ubrzanje tačke).
Izvod vektora brzine u rotirajućem koordinatnom sistemu osa sa ugaonom
- • d’V dV _
brzinom ю je: ----=-----+ю x V, pa gor-
dt dt
nja jednačina primenjena na polubrzinski koordinatni sistem postaje:
dV * - - -
m-----+ m •ю x V = R + T + m • g (2)
dt
288
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
gde je:
ш*- ugaona brzina obrtanja polubrzi-nskog koordinatnog sistema u odnosu na koordinatni sistem prividnog horizonta.
Radi razvoja jednačina kretanja teži-šta aviona u polubrzinskom koordi-natnom sistemu potrebno je izvršiti neo-phodne transformacije.
Transformacija iz brzinskog u polu-brzinski koordinatni sistem ostvaruje se jednoosnom rotacijom oko ose OXv brzinskog koordinatnog sistema za ugao џ, (sl. 1). U daljem tekstu osa OXv obeleže-na je sa OX.
Matrica transformacije brzinskog u polubrzinski koordinatni sistem je:
Transformacija iz koordinatnog si- 0 0
stema lokalnog horizonta u polubrzinski "1
koordinatni sistem ostvaruje se kroz dve Cvpb = 0 cos Џ - sin џ
sukcesivne jednoosne rotacije, i to: - rotacijom oko ose OZh koor- 0 sin џ cos Џ
dinatnog sistema lokalnog horizonta za ugao x (sl. 1) koja je definisana mat-ricom transformacije Ci;
- rotacijom oko novostvorene ose OY* za ugao у (sl. 1), koja je definisana matricom transformacije C2, gde su matrice transformacija jednoosnih rotacija:
Ci =
C2 =
cos x sin x 0
- sin x cos x 0
0 0 1
cosy 0 - sinY
0 1 0
sinY 0 cosy
cosycosX cosy sin x - sinY
- sin x cos x 0
sinY cos x sinY sin x cosY
Matrični oblik izraza (2) za polubr-zinski koordinatni sistem Xv = X, Y*, Z* glasi:
m
" V " " 0 * -ш * ш
x z y
Vy* + m * 0 -шх
1 * 1 * >> 1 1 Шх 0
1 1 1 я J 1
Vy* = Fy*
1 * 1 1 * 1
(3)
Matrica transformacije iz koordinat-nog sistema lokalnog horizonta u polubr-zinski koordinatni sistem jednaka je pro-izvodu sukcesivnih jednoosnih matrica transformacija:
CPb = C C =
W _ ^2 M _
gde su:
шх, i ш* - komponente vektora ugao-
ne brzine u pravcu osa polubrzinskog ko-ordinatnog sistema;
Vx, Vy* i V* - komponente vektora brzi-ne u pravcu osa polubrzinskog sistema;
Fx, Fy*, Fz* - projekcije svih spoljašnjih
sila u pravcu osa polubrzinskog koordi-natnog sistema.
U polubrzinskom koordinatnom si-stemu su:
- komponente vektora ugaone brzi-ne (odnosi su jasno uočljivi na sl. 1):
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
289
ах =-хsin у, ®у _y a* _xcosy - komponente vektora brzine:
Gh = {0,0, mg} - komponente težine u
koordinatnom sistemu lokalnog horizonta. Iz jednačine (5) dobija se:
V _ V,
Vy _ 0,
V. = 0
Komponente aerodinamičke sile
Gx =-mS sinY ,
Gy* _ 0,
Gz* _ mg cosy .
Transformacija komponenti aerodi-namičke sile iz brzinskog koordinatnog sistema Rv ={-Rx, Ry, -Rz} na ose
polubrzinskog koordinatnog sistema Rpb ={-Rx, Ry*, Rz*} vrši se pomoću
Komponente sile potiska
Sila potiska najpre se projektuje na ose brzinskog koordinatnog sistema, gde su njene komponente Tv = {t^, T^, Tzv}
matrice transformacije CVb, korišćenjem relacije:
Rpb _ Cpb • Rv
odnosno:
= {T cos(a -as), 0, -T sin(a -as)}, i na-kon toga u polubrzinski sa komponentama Tpb = {Tx, Ty„ Tz*}, pomoću relacije:
Tpb Cpb Tv
(6)
Rx' 1 О 0 1 "-Rx'
Ry* _ 0 cos ju - sin џ 0
Rz* _ 0 sin u cos u _- Rz _
- Rx
Odavde se dobija:
' Tx' "1 0 0 '
Ty* _ 0 cos u - sin u
T _ 0 sin u cos u
Rz sin u (4) T cos(a -as) T cos(a -as)
-Rz cos u 0 _ T sin(a -as )sin u
-T sin(a -as) -T sin(a - a) cos u
Komponente sile masa u pravcu osa polubrzinskog sistema
Komponente sile masa u pravcu osa polubrzinskog sistema iznose:
Gpb _ C2 • Gh (5)
gde su:
Gpb _{Gx, Gy*, Gz*} - komponente teži-ne u polubrzinskom koordinatnom sistemu,
pri čemu je as - smeštajni ugao krila aviona.
Tako su sada komponente svih spo-ljašnjih sila u pravcu osa polubrzinskog sistema:
Fx _ Tcos(a-as) -Rx - mgsiny,
F* _ [Rz + Tsin(a -as)] • sin u,
F _ -[R. + T sin(a -as )]-cos џ + mg cosy.
290
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
Nakon matričnog množenja izraza (3) i smene izraza za projekcije svih spo-ljašnjih sila u pravcu odgovarajućih osa, dolazi se do projekcija jednačina kretanja centra masa aviona u borbenom zaokretu na ose polubrzinskog sistema:
m—^ = Tcos(a-as)-Rx -mgsin^,
cos ymV^L = Rz + T sin ( - as ) sin џ,
mV dt. = Rz + t sin (a-as )
cos џ- mg cosy (7)
Dakle, kretanje aviona u borbenom zaokretu opisuju jednačine neustaljenog prostornog kretanja bez klizanja.
Nakon svih prethodnih razmatranja, sada se može grafički prikazati putanja aviona u toku borbenog zaokreta i sile koje deluju na težište aviona (sl. 2).
Uvođenjem koeficijenata tangenci-jalnog i normalnog opterećenja,
nx
T cos (a-as)-Rx mg
n =
Rz + T sin (a -as)
mg
jednačine (7), sa dodatom kinematskom jednačinom dh/dt = Vsiny, postaju:
n sin џ
dV , .ч
— = g( -sm/)
d X g
dt V cos у
dy g ( ч
— = —(n cos u- cosy) dt V
dh
dt
= V sin у
(8)
Sistem diferencijalnih jednačina (8) određuje uticaj koeficijenata normalnog i tangencijalnog opterećenja na promenu brzine V, ugla nagiba putanje у i ugaone brzine dx/dt u toku izvođenja borbenog zaokreta, za datu vrednost parametra p.
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
291
Koeficijenti opterećenja nx i n me-njaju se u toku izvođenja zaokreta. Me-đutim, može se pretpostaviti da su kon-stantni. Pri tome se pretpostavlja da od vrednosti n = 1 pilot na ulasku u zao-kret trenutno prelazi na određeno n u samom zaokretu, i da se od njega opet trenutno vraća na n = 1 na završetku zaokreta.
Ako kao nezavisno promenljivu uvedemo ugao skretanja putanje x, na-kon deljenja prve, treće i četvrte jednači-ne sistema (8) sa drugom jednačinom, dobijamo sistem jednačina:
dV
d x
dy d X dh
d X dt
d X
V cosy n sin p cosy n sin p
( - sinY)
(n cos p- cosy)
V2 sin у cosy g n sin p V cosy g n sin p
(9)
Jednačine (9) određuju promenu brzine V, ugla nagiba putanje у i visine h u toku izvođenja borbenog zaokreta u zavisnosti od ugla skretanja putanje x, a sa nx, n i p kao parametrima. Dodata je i četvrta jednačina, koja neposredno sledi iz druge jednačine sistema (8), a koja određuje vreme t borbenog zao-kreta.
Moguća varijanta borbenog zaokreta je zaokret sa nx = 0, tj. kada je za sve vreme izvođenja zaokreta propulzivna si-la T jednaka ili gotovo jednaka sili aero-dinamičkog otpora Rx.
Prirast visine Ah = h2 - hj, jedna od najvažnijih karakteristika borbenog zaokreta, dobija se iz energetske jednačine, tj. iz jednakosti promena potencijalne i kinetičke energije:
Ah = ^----^ = -L-
2 g 2 g
1 -
( V A2 _2_
v V j
(10)
Rezultati proračuna
Sistem diferencijalnih jednačina (9) rešen je u MATLAB-u korišćenjem me-tode Runge-Kutta četvrtog reda za brzinu ulaska u borbeni zaokret V1 = 310 m/s sa korakom promene ugla skretanja Ax = 0,05 rad i pri nx = 0.
Zavisnost V2/V1 = f (n) prikazana je na sl. 3 za nekoliko vrednosti ugla na-ginjanja p.
Krive у 2 = f (n), ugao nagiba putanje na izlasku iz borbenog zaokreta, pri-kazane su na sl. 4 za nekoliko vrednosti ugla poprečnog naginjanja p. Presečne tačke ovih krivih sa apscisom odgovaraju pravilnom horizontalnom zaokretu za ko-ji je n = 1/cosp .
Prirast visine Ah prikazan je na sl. 5 u bezdimenzionalnom obliku n = Ah
(2g/V2) [4], u zavisnosti od koefici-
jenta normalnog opterećenja za nekoliko vrednosti ugla poprečnog naginjanja p.
Na sl. 6 prikazan je uticaj koefici-jenta normalnog opterećenja n i ugla naginjanja p na vreme zaokreta u bezdimenzionalnom obliku t = t • (g/Vj) [4].
292
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
293
Sl. 5 - Prirast visine u borbenom zaokretu
294
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
Zaključak
U radu su izvedene i analizirane jed-načine kretanja aviona u borbenom zao-kretu. Jednačine kretanja rešavane su u polubrzinskom koordinatnom sistemu, iz praktičnih razloga, jer se njegovim koriš-ćenjem najlakše dolazi do karakteristič-nih parametara borbenog zaokreta.
Rezultati proračuna pokazuju:
- vreme zaokreta se smanjuje sa po-većanjem koeficijenta normalnog optere-ćenja i sa smanjenjem ugla naginjanja. Sa povećanjem koeficijenta tangencijal-nog opterećenja povećava se vreme zaokreta, ali je taj uticaj umeren i sve manji
što je veći koeficijent normalnog optere-ćenja;
- za prirast visine optimalni uglovi naginjanja su između 45 i 50° za sve vrednosti koeficijenta normalnog optere-ćenja. Prirast visine se povećava sa pove-ćanjem koeficijenta nx, ali za veće vrednosti koeficijenta normalnog opterećenja uticaj je mali.
Literatura:
[1] Rendulić, Z.: Mehanika leta, Vojnoizdavački i novinski centar, Beograd, 1987.
[2] Nenadović, M.: Stabilnost i upravljivost letelica - prvi deo, SSNO, Beograd, 1981.
[3] David G. Hull: Fundamentals of Airplane Flight Mechanics, Springer 2007.
[4] Gajić, D.: Mehanika leta - Neustaljena kretanja aviona, Žarkovo, 1986.
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3/2007.
295
