CC BY
26
I HIDRODINAMIČKI MODEL
<П
§ PODVODNOG PROJEKTILA
o
” Pukovnik dr Miroslav Radosavljević, dipl. inž.
Vojna akademija
Rezime:
Radi dobijanja kvalitetnog matematičkog modela podvodnog pro-jektila u radu su definisane ulazne i izlazne veličine, brzine i ubrzanje projektila. Uz zadate uslove mogućeg kretanja projektila definisan je model podvodnog projektila sa šest jednačina.
Ključne reči: podvodni projektil, koordinatni sistemi, sile i momenti.
HIDRODINAMICAL MODEL OF AN UNDERWATER PROJECTILE
Summary:
The paper analyzes an underwater projectile. The input and output values, the projectile speed and acceleration are defined for a quality definition of the projectile mathematical model. With the conditions of the projectile potential movement previously set out, the torpedo model is defined by six equations.
Key words: Underwater projectile, coordinate systems, forces and moments.
Uvod
Moderni podvodni projektili su kompleksni tehnički sistemi kojima upravljaju računari ugrađeni u njih. Upravljanje takvim projektili-ma je zahtevno, a sinteza sistema zahteva kvalitetne matematičke modele.
Analiza performansi dobro upravljivih podvodnih projektila neminov-no zahteva detaljno poznavanje njihove dinamike, akustičkih senzora, uređaja za merenje pojedinih veličina koje direktno ili indirektno definišu dinamiku podvodnog projektila, kao i poznavanje poremećaja i uslova u kojima projektil izvršava svoju misiju.
Osnovu formiranja matematičkog modela podvodnog projektila čini analiza uslova i energetskog bilansa koji vladaju pri kretanju podvodnog projektila kroz vodu. Na osnovu poznatih zakona hidrodinamike i ener-getskih bilansa sistema projektila i voda, dolazi se do matematičkog modela dinamike podvodnog projektila. Rešavanjem ovako dobijenih sistema jednačina dobija se stanje podvodnog projektila u vodenom prostran-stvu u svakom momentu.
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
Sl. 1 - Izgled tipičnog podvodnog projektila
Ulazne i izlazne promenljive
Ulazne promenljive
Posmatrani podvodni projektil je multivarijabilni sistem upravljanja. Broj ulaznih promenljivih je različit i zavisi od tipa upravljanja. Klasični podvodni projektili imaju tri grupe upravljačkih organa: kormila (horizon-talna i vertikalna), elerone i pogon.
Mada promene pojedinih ulaznih promenljivih deluju dominantno na neku od izlaznih veličina, ne može se zanemariti njihov uticaj na ostale izlazne veličine. Štaviše, jedna ulazna promenljiva može, u određenom režimu rada, delovati značajno na više izlaza. Drugim rečima, sinteza kvalitetnog sistema upravljanja zahteva analizu dinamičkog ponašanja podvodnog projektila kao multivarijabilnog sistema.
Kormila su klasični upravljački organi podvodnog projektila. Posto-je od momenta kada se zna za ovu vrstu projektila i u najvećem broju su zadržali svoju ulogu i u današnje vreme. Kormila predstavljaju krute površine koje se ugrađuju na sam-om kraju (po krmi) podvodnog projektila. Postavljaju se u horizontalnu i vertikalnu (međusobno normalne) ravan podvodnog projektila. Otklon kormila u jednu ili drugu stranu, u odnosu na ravan simetrije, generiše sile i momente pod čijim uticajem se menjaju izlazne veličine.
Sl. 2 - Izgled izvršnih organa kojima se ostvaruju ulazne veličine
62
Kormila se postavljaju u parovima - simetrično u odnosu na refe-rentnu ravan projektila. Ovako postavljena, omogućavaju zauzimanje bilo kog položaja tačke u vodenom prostranstvu, što određuje manevarske osobine podvodnog projektila.
U horizontalnoj ravni postavljaju se horizontalna kormila, po jedno sa svake strane u odnosu na vertikalnu ravan. Njihovim otklonom ostvaruje se upravljanje u vertikalnoj ravni - zauzimanje određene dubine. Vertikal-na kormila ugrađuju se u vertikalnoj ravni podvodnog projektila čijim otklonom se dostiže bilo koja tačka u horizontalnoj ravni.
Ulazne promenljive u modelu dinamike projektila označavaju se sa: otklon smernog kormila SRV [0 ] i otklon dubinskog kormila SRH [0 ] .
Otklon kormila od nultog položaja može biti veoma različit. Pri određi-vanju predznaka otklona kormila najvažniji kriterijum predstavlja izbor od-govarajućih koordinatnih sistema. Među torpedistima je uobičajeno da je otklon vertikalnih kormila ulevo pozitivan, gledajući smer kretanja projektila. Kod horizontalnih kormila pozitivan otklon kormila je prema dole.
Eleroni su upravljački organi podvodnog projektila namenjeni za ograni-čavanje ugla nagiba u vertikalno-poprečnoj ravni. Svojim zakretanjem generi-šu silu i moment čijim delovanjem se vrši stabilizacija projektila u poprečnoj vertikalnoj ravni u željene okvire. Izrađuju se u vidu dve krute površine i postavljaju u horizontalnoj ravni. Otklon jedne krute površine elerona je u suprotnu stranu u odnosu na drugu kormilnu površnu. Otklon elerona u modelu podvodnog projektila obeležavaće se sa бе [0 ]. Pozitivan otklon je otklon leve
površine nadole, a desne nagore, gledajući u smeru kretanja projektila.
Pogon podvodnog projektila je upravljački organ. Svojim radom ge-neriše silu poriva koja, pretežno, obezbeđuje projektilu kretanje u pravcu njegove uzdužne ose. Osnovni element sile poriva je broj obrtaja prope-lera n[o/s]. Vektor ulaznih promenljivih dat je sledećim izrazom:
u (t ) = [[ ,бћ ,бе ] (1)
Izlazne promenljive
Izlazne promenljive podvodnog projektila jednoznačno određuju po-ziciju u vodenom prostranstvu. Predstavljaju meru delovanja ulaznih promenljivih i neželjenih spoljnih, poremećajnih, sila. Izlazne veličinu su:
kurs podvodnog projektila - Y[0 ], ugao trima ©[0 ], ugao nagiba -0 ], ugaone brzine - p [ 0/ s ], q [0/s] i r [ 0/ s ] i brzine podvodnog
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
projektila -Vx, Vy i Vz na odgovarajućim osama i koordinate podvodnog projektila u vodenom prostranstvu - x, y i z .
ski kvantifikator, meru zakretanja podvodnog projektila, u horizontalnoj ravni. Definiše se uglom zakretanja uzdužnice podvodnog projektila od ravni pravog meridijana na poziciji podvodnog projektila.
U ovom radu kurs podvodnog projektila označava zakretanje ulevo ili udesno od uzdužnice broda gađača, koja se predstavlja x -osom iner-cijskog koordinatnog sistema. Pozitivni ugao je zakretanje podvodnog projektila u desnu stranu gledano u odnosu na smer kretanja podvodnog projektila ili u smeru kretnja kazaljke na satu.
Ugao trima ©[0 ] jeste mera kojom se izražava zakretanje podvodnog projektila u vertikalnoj x- z ravni. Ova ravan leži u uzdužnici podvodnog projektila i normalna je na horizontalnu x- y ravan u kojoj, tako-đe, leži uzdužnica podvodnog projektila. Ove dve ravni su ravni simetrije podvodnog projektila.1 Pozitivni ugao zaokreta trima je „na pliće" ili kreta-nje u vertikalnoj ravni u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu.
Ugao bočnog nagiba 0 ] meri se odstupanjem poprečne ose pod-
vodnog projektila u poprečnoj vertikalnoj ravni od horizontalne ravni. Po-zitivno zakretanje je otklon z - ose u odnosu na x - y ravan nadesno.
Brzina podvodnog projektila predstavlja napredovanje težišta podvodnog projektila u smerovima odgovarajućih osa inercijskog koordinatnog sistema. Za ispravnu definiciju kretanja podvodnog projektila mora se uzeti ukupna brzina koja se dobija izrazom:
a smer sabiranjem vektorskih komponenti brzine.
Koordinate položaja podvodnog projektila u prostoru označavaju dostignutr nivo centra mase u inercijskom koordinatnom sistemu. Iznos vektora R određuje se sledećim izrazom:
a smer se dobija smerom vektorskog zbira komponenti x, z i z. Izlazni vektor ima dvanaest promenljivih prikazanih relacijom:
Kurs podvodnog projektila 0 ] predstavlja tradicionalno navigacij
(2)
R = yj x2 + y2 + z2
(3)
(4)
Projektil je dvoosno simetrično telo.
Na slici 3. šematski su prikazane ulazne i izlazne promenljive tipič-nog podvodnog projektila - torpeda.
Hidrodinamičke sile i momenti
n
d rv d rh
d e
► Z
Poremećajne sile i momenti
Sl. 3 - Blok-šema podvodnog projektila kao multivarijabilnog sistema
Koordinatni sistemi
Za rešavanje različitih problema upravljanja podvodnog projektila ko-ristiće se različiti koordinatni sistemi. Pravilan izbor koordinatnih sistema omogućuje dobijanje pogodnog oblika rešavanja matematičkog modela kretanja i upravljanja podvodnog projektila. U ovom radu korišćeni su: inercijalni (nepokretni), vezani i brzinski koordinatni sistemi. Pored nave-denih mogu se koristiti i polubrzinski i poluvezani. Na slici 4 prikazana su tri koordinatna sistema koji će se primenjivati u radu.
65
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
Sl. 4 - Izgled inercijalnog, vezanog i brzinskog koordinatnog sistema
Inercijalni koordinatni sistem
Pravougli koordinatni sistem O0x0y0z0 nepomičan je u prostoru. Koordinatni početak se vezuje za neku proizvoljno izabranu tačku u prostoru. Osa O0x0 leži u smeru početnog kretanja podvodnog projektila, O0z0 usmerena je
vertikalno naniže ka centru gravitacije Zemlje, a osa O0y0 je postavljena tako
da čini pozitivno kretanje u smeru kretanja kazaljke na satu.
Zanemarivanjem rotacije Zemlje i kretanje broda gađača ovaj sistem se smatra inercijalnim. U navedenom koordinatnom sistemu prikazuju se putanje centra težišta mase podvodnog projektila.
Vezani koordinatni sistem
Vezani koordinatni sistem Oxyz čvrsto je vezan za centar mase podvodnog projektila. Podužna i Oz -osa leže u ravni simetrije, pri čemu je Ox -osa usmerena u pravcu kretanja, a Oy -osa normalna je na x - z ravan i usmerena je udesno. Položaj vezanog koordinatnog sistema pre-ma inercijalnom određen je Ojlerovim uglovima Y, ®,p.
Vezani koordinatni sistem često se naziva dinamički koordinatni sistem, a koristi se pri proučavanju i simulaciji samonavođenja podvodnog projektila.
Brzinski koordinatni sistem
Brzinski koordinatni sistem vezan je za putanju podvodnog projektila i koristi se pri definisanju i proučavanju hidrodinamičkih sila i momenata koji delu-ju na projektil. Definiše se osama Oj xj yj zj. Koordinatni početak leži u centru mase podvodnog projektila. Osa Oj xj kolinearna je sa vektorom brzine podvodnog projektila, osa Oyj pomaknuta je za ugao в u odnosu na Oy -osu, a Ozj -osa za ugao a u odnosu na Oz osu vezanog koordinatnog sistema.
<бГ)
Transformacija koordinatnih sistema
Položaj vezanog koordinatnog sistema u odnosu na inercijalni odre-đuje se međusobnim položajem odgovarajućih osa.
Položaj vezanog koordinatnog sistema u odnosu na inercijalni određuje se uglovima Y, ®,p.
Sl. 5 - Prelazak iz inercijalnog u vezani koordinatni sistem
Pretpostavimo da se ose vezanog koordinatnog sistema Oxyz u od-ređenom trenutku poklapaju sa osama O0x0y0z0 inercijalnog koordinatnog sistema. Transformacija iz inercijalnog u vezani kordinatni sistem ostvaruje se preko tri sukcesivne jednoosne rotacije, i to: rotacijom oko ose Oz0
inercijalnog koordinatnog sistema za ugao Y, rotacijom oko ose Oy0 inercijalnog koordinatnog sistema za ugao 0 , rotacijom oko ose Ox0 inercijalnog koordinatnog sistema za ugao <p, pri čemu su matrice sukcesivnih jednoosnih rotacija [Y],[0],[q>\ definisane na sledeći način:
Y =
[0]
M
cos Y sin Y 0
- sin Y cos Y 0
0 0 1
cos 0 0 - sin 0
0 1 0
sin 0 0 cos 0
“1 0 0 "
0 cos^ sin^
0 - sin^ cos^
(5)
(6)
(7)
Nakon množenja matrica sukcesivnih jednoosnih rotacija dobija se transformacija iz inercijalnog u vezani koordinatni sistem.
Cd = [Y][®]'M
(8)
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
Ova transformaciona matrica je ortogonalna, pa je transformacija iz vezanog u inercijalni koordinatni sistem definisana sledećom relacijom:
C = C
^Di ^iD
(9)
C„
cos T cos 0 sin T cos 0 - sin 0
sin^cos Tsin 0-cos^sin T sin^sin Tsin 0 + cos^cos T sin Tsin 0 cos^cos T sin 0 + sin^sin T cos^sin T sin 0-sin^cos T cos^cos 0
(10)
Ugao T predstavlja ugao skretanja u horizontalnoj ravni i smatra se pozitivnim pri skretanju osa od x ^ y , odnosno skretanju u smeru obrta-nja kazaljke na satu. Ugao 0 je ugao trima ili propinjanja, a pozitivan smer mu je pri zakretanju ose z ^ x ili zakretanju koje je suprotno kreta-nju kazaljke na satu. Ugao <p je ugao nagiba i smatra se pozitivnim pri skretanju ose y ^ z ,odnosno zakretanju koje je suprotno kretanju kazaljke na satu.
Položaj brzinskog koordinatnog sistema u odnosu na vezani koordinatni sistem definiše se uglovima а, p. Brzinski koordinatni sistem se pre-vodi iz vezanog obrtanjem određenih osa, kao što je prikazano na slici 4.
Transformacija iz brzinskog u vezani koordinatni sistem ostvaruje se preko dve sukcesivne jednoosne rotacije, i to: rotacijom oko ose Oz iner-cijskog koordinatnog sistema za ugao a i rotacijom oko ose Oy inercij-skog koordinatnog sistema za ugao p.
[p]
[а]
cos p - sin p 0
sin p cos p 0
0 0 1
cos а 0 - sin а
0 1 0
sin а 0 cos а
(11)
(12)
Nakon množenja matrica sukcesivnih jednoosnih rotacija dobija se matrica transformacija iz brzinskog u vezani koordinatni sistem.
C = [а][в]
cosа cos в sin p
sin а cos p
cos а sin p - sin а cos p 0
sin а sin p cos p
(13)
<бТ)
Pošto je matrica ortogonalna matrici transformacije, tada se transfor-macija iz vezanog u brzinski kordinatni sistem može predstaviti sledećim izrazom:
Cb = CT (14)
Ugao a je napadni ugao podvodnog projektila i smatra se pozitiv-nim kada je prednji deo podvodnog projektila usmeren prema površini mora. Ugao в je ugao klizanja, a smatra se pozitivnim kada struja vode dolazi prvo na repni deo podvodnog projektila, pa na prednji.
Brzine i ubrzanja podvodnog projektila
Za određivanje apsolutne brzine i ubrzanja podvodnog projektila u vezanom koordinatnom sistemu pretpostavlja se uopšteno kretanje kru-tog tela sa šest stepeni slobode. Koordinatni početak inercijalnog i vezanog koordinatnog sistema se, u principu, ne podudaraju (sem u momentu lansiranja). Vezani koordinatni sistem leži u centru mase podvodnog projektila. Kretanje podvodnog projektila predstavlja se kretanjem tačke te-žišta njegovog centra mase. Na slici 6. prikazani su smerovi komponena-
ta vektora brzine V(Vx, Vy,Vz) iubrzanja Q(p, q,r) podvodnog projektila, kao i uglovi koji daju smer brzini i ubrzanju podvodnog projektila.
Sl. 6 - Grafički prikaz smerova i položaja vektora brzine i ubrzanja podvodnog
projektila
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
U nekom trenutku položaj težišta mase podvodnog projektila u inercijal-nom koordinatnom sistemu određen je radijusom vektora ROG, a u dinamič-
kom koordinatnom sistemu sa RG. Iz slike 6 se vidi da vredi sledeća relacija:
Rog = Roo + Rg (15)
ili ako se primeni matrica transformacije vezanog koordinatnog sistema u inercijalni:
ROG ROO CDI ' RG
Izraz (16) može se napisati i u sledećoj formi:
Rg = Cdi •((G - ROO )
(16)
(17)
Ukoliko težište podvodnog projektila ima koordinate xG,yG, zG, a
zna se da su i, j,k jedinični vektori vezanog koordinatnog sistema, on-da se izraz (15) može napisati u sledećem obliku:
ROG = ROO + RG = ROO + XG ' i + yG ' j + ZG ' k (18)
Kretanje podvodnog projektila podrazumeva translatorno i rotaciono kretanje centra mase u odnosu na inercijalni koordinatni sistem. Ovako definisano kretanje zove se apsolutno kretanje.
Ukoliko se za izraz (18) nađe prvi izvod, dobija se sledeći oblik brzi-ne kretanja centra mase podvodnog projektila:
dROG dy r di dj dk
—— = — ROO + xG —+yG ■—+zG —
dt dt dt dt dt (19)
Primenom Poisonovog izraza za prvi izvod po vremenu izraza (19) na jedinične vektore vezanog koordinatnog sistema, i ako se zameni:
Q = p •i +q • j +r •k dobija se sledeći izraz:
VOG = VOO +&X RG
(20)
(21)
Analizom dobijenih brzina proizilazi da je brzina podvodnog projekti-la jednaka V = VOO. Izraz (21) se u matričnom obliku može napisati:
~VX -i" i J k V -r • yG q • zg
V = Vy -J + P q r = Vy - r • XG P • ZG (22)
1 1 _ XG yG ZG _ Vz q • xg P • yG _
Apsolutno ubrzanje težište mase podvodnog projektila u vektorskom obliku dobija se iz izraza (21) i poprima sledeći oblik:
a = aOO + Pxpx RG ) + Zdp- x RG (23)
Izraz (23) može se predstaviti u matričnom obliku na sledeći način:
I
P
J k ix J k
q r + p q r
XG - P • ZG Vz - q • XG + P • yG _ XG yG ZG _
(24)
ili u matričnom obliku:
a =
aX
a
az
Vx - rVy + qVz-(q2 +r 2) xg+(q - r )+(p+q )zo
Vy- PVz + rVx-(+r 2 )уо +(rq - p )zg +(qp+r )xc
К - qVx+PVy - (r (+q2 )zg + (pr - q )xg+(rq+p))
(25)
Hidrodinamički model podvodnog projektila
Osnovna pretpostavka za određivanje matematičkog modela podvodnog projektila jeste da se njegovo kretanje može dovoljno tačno predstaviti modelom krutog tela u kvazistacionarnom strujnom polju vode. Pored navedene, uvode se i sledeće pretpostavke: kretanje okružujuće vode podvodnog projektila nastaje jedino usled kretanja podvodnog projektila; kretanje vode je bezvrtložno; oko projektila postoji beskonačna teč-nost; projektil poseduje dve međusobno normalne ravni simetrije; projek-tilu se u odnosu na pravac kretanja mogu razlikovati prednji, zadnji, gornji i donji deo; projektil predstavlja kruto telo sa šest stepeni slobode kreta-
71
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
nja; sistem projektila i okružujuća voda ima isto toliko stepeni slobode kao i samo kruto telo; za projektil je čvrsto vezan dinamički koordinatni si-stem; hidrodinamički koeficijenti sila i momenata zavise od Rejnoldsovog broja, vektora brzine, ubrzanja, ugaone brzine i otklona komandnih povr-šina; projektil i hidrodinamički efekti na trup podvodnog projektila u kreta-nju potiču od sila i momenata koje nastaju usled kretanja vode i spoljne sile i momenata tih sila koje podrazumevaju neinercijalne sile.
Kretanje u idealnoj vodi
Karakteristike idealne vode su nestišljivost, homogenost i bezvisko-znost. Za kretanje podvodnog projektila i vode postoji potencijal
(pp (x0,y0, z0, t) brzine kretanja vode us. Projekcija ove brzine na ose
inercijalnog koordinatnog sistema date su u sledećem obliku:
и
sx0
дЏр
dx0
; и„
syo
dpp dpp
d—; uszo = -dJp
Фо 0 dzo
(26)
U hidrodinamici je poznato da potencijal cpp mora da zadovolji La-plasovu jednačinu:
д 2PP + д 2pp + д2рр дХ02 + д 2 У0+ д 2 z0
0
(27)
Granični uslovi ovog izraza su:
- na dovoljno velikim rastojanjima voda miruje, što se matematički može predstaviti izrazom:
д2рр д2фр д2фр
lim—p = lim—= li^—= 0
дх0
д2 У0
д2 Z0
(28)
- voda ne prolazi kroz površinu podvodnog projektila (ne ulazi u unutrašnjost podvodnog projektila):
Vn
d<Pn
dn
(29)
gde je:
Vn - brzina vode u smeru normale na površinu tela,
dm
—- - normalna brzina čestica u dodiru sa projektilima u istoj tački,
dn
CjD
n - spoljna normala na element površine podvodnog projektila dS,
V = -\J x2 + y2 + z2 .
Potencijal pp moguće je odrediti samo ako se poznaju komponente
brzine pojedinih tačaka površine podvodnog projektila S.
Za centar mase podvodnog projektila vezan je koordinatni početak vezanog koordinatnog sistema koji se kreće brzinom V i ugaonom brzi-nom Q. Brzina bilo koje tačke M, proizvoljno izabrane na površini podvodnog projektila S, u inercijalnom koordinatnom sistemu se u vektor-skom obliku može predstaviti:
VM = V + Qx R (30)
Izraz R = x0 • i + y0 • j + z0 • k predstavlja udaljenost izabrane tačke
M na površini podvodnog projektila S od koordinatnog početka inercijal-nog koordinatnog sistema.
Normalna komponenta brzine bilo koje tačke na površini podvodnog projektila može se izraziti sledećim izrazom :
Vn = ~pL\S = Von = V0 oП + (QxR)on (31)
dn v ;
Veličina brzine u pravcu normale na površinu prema izrazu (32) je:
Vn = Vx0 C0s (n. x) + Vy0 C0s (n. У) + Vz0 C0s (n. z) +
+p [y cos (n, z) - y cos (n, y)J + q [z cos (n, x) - x cos (n, z)] + (32)
+r [ x cos (n, y ) - y cos (n, x) .
Komponente translatorne i ugaone brzine su funkcije vremena, dok koordinate x, y, z to nisu. Iz izraza (32) proizilazi da se granični uslovi, dati izrazima (28) i (29), na površini tela podvodnog projektila S mogu izraziti u obliku zbira od šest članova, pri čemu je:
dPp Tr dPpl jr dPp2 Tr dPp3 dPp4 dPp5 dPp6 (33)
dn dn y dn dn dn dn dn
gde su рџ (i = 1,2,..., 6) pojedini potencijali koji zadovoljavaju Laplasovu jednačinu i uslov da je u beskonačnosti рџ ^ 0, a na površini tela važe sledeći granični uslovi:
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
dp
pi
= cos
(n, X);
dp
P 2
= cos
(n у);
dn dn
= у • cos (n, z)-у cos (n, у);
dPp3
dn
= cos
(nz);
dPp 4
= z cos
(n, x)- x cos (n, z )
(34)
= x cos (n, у)- у cos (n, X)
dn
dPp5
dn
dPp6
dn
Granični uslovi na površini tela ne zavise od vremena, što navodi na zaključak da potencijal ppi (i = 1,2,...,6) zavisi samo od oblika tela. Radi jednostavnijeg pisanja uvode se sledeće smene:
v = Vx; v2 = V; v = vz; v4 = p; v = q; v6 =r (35)
Korišćenjem izraza (2.35) potencijal ppi može se predstaviti sledećim izrazom:
6 6 Pp (x у,z, t) = 2 V () • Pm (X у,z) = Z vPp
(36)
i=1
i=1
Kinetička energija sistema projektil - okružujuća voda
Kinetička energija sistema definiše se kao zbir kinetičkih energija podvodnog projektila i okružujuće sredine vode, odnosno:
TS =1 • CT • DS • C (37)
S 2 S
gde je:
C = [_K, Vy, Vy, P, q,r] - vektor opštih brzina,
Ds - matrica inercije sistema koja se izračunava kao:
DS = Dl + D
(38)
Iz hidrodinamike je poznato da se kinetička energija tečnosti može predstaviti u obliku površinskog integrala površine podvodnog projektila S s potencijalom p ,
P ftp *ppds
TL=- тЦрр
dn
(39)
74
Izraz (39) izvodi se uzimajući spoljnu normalu na kontrolnu površinu posmatrane zapremine. Negativni predznak potiče od spoljne normale na površinu tela u kretanju, što je suprotno od prethodno uzimanih. Ukoliko se izraz (36) uvrsti u izraz (39) izraz za kinetičku energiju vode može se prikazati u sledećem obliku:
1 6 6 t = 2 z z
vivk
i=1 k=1
ff ^kpk 7(,^
S у
=1Z ZvivkAik
(40)
i=1 k=1
gde je:
smislu reči.
koja se zove pridruženim masama1 u širem
Dl =[^ ] = [Л ], (i = 1,2,...,6; k = 1,2,...,6)
(41)
Zbog simetričnosti članova matrice od 36 elemenata, matrica DL mo-že se predstaviti sa 21 elementom. Ravni simetrije dalje smanjuju broj članova Xik ф 0. Za projektil koji ima dve ravni simetrije (xy) i (xz) potreb-
no je odrediti samo 8 elemenata -Xik: (Xik) = ima dimenziju mase
[kg ]; Л26,Л35 ima dimenziju statičkog momenta [kgm] i (Xik)ik=4 5 6 ima
dimenziju momenta inercije [kgm2].
S obzirom na postojanje ravnine simetrije (xy) i (xy), te postavlja-njem koordinatnog početka u težište mase podvodnog projektila i posta-vljanjem koordinatnih osa tako da predstavljaju ose inercije
(( = Iyz = Ixz = o), matrica inercije podvodnog projektila je:
m
m 0
D =
m
I,
I
zz
(42)
1 Na osnovu Kirhovljeve i Lambove teorije za određivanje hidrodinamičkih sila pri kretanju krutog tela u idealnoj homogenoj tečnosti javlja se pojam o pridruženoj vodi. Pridružena masa je neka zamišljena masa vode sa svojstvom da se njena kinetička energija pri kretanju brzinom jednakoj brzini tela jednaka kinetičkoj energiji celokupne tekućine koja okružuje telo. Inercijsko delovanje vode na telo jednako je povećanju mase tela u odgovarajućem smeru za određeni iznos.
75
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
Uvrštavanjem (41) i (42) u (43) dobija se matrica inercije sistema:
+ § 0 0 0 0 0
0 m + X22 0 0 0 2—6
D = 0 0 m + 233 0 235 0 (43)
0 0 0 I + 244 0 0
0 0 Л53 0 I + 255 yy 55 0
0 2-62 0 0 0 I + 266 zz 66
Uvrštavanjem izraza (43) u (37) dobija se izraz za kinetičku energiju:
TS = — [Q + K\) • + {m + 222 ) • +{m + Лз ) • VZ +
2L (44)
(lxx + 244 ) • P2 + (lxx + 255 ) • q2 + (lxx + 266 ) • Г 2 ]
Opšti oblik jednačine kretanja podvodnog projektila
Za inercijalni prostor u kojem razmatramo inercijalni koordinatni sistem, poznati zakon dinamike (zakon količine kretanja i momenta količine kretanja) u neograničenom vodenom prostranstvu može se napisati u obliku:
dR = d, Q + В) = F
dt dt
dSL ds (Q +1) -
dt dt
(45)
(46)
gde su:
R - glavni vektor količine kretanja težišta mase podvodnog projektila, Q - glavni vektor količine kretanja tela,
В - glavni vektor količine kretanja vode,
F - glavni vektor spoljašnjih sila,
L - moment količine kretanja s obzirom na težište,
K - glavni momenat količine kretanja tela,
I - glavni momenat količine kretanja vode,
M - glavni momenat spoljnih sila,
ds/dt ~ označava prvi izvod po vremenu u inercijalnom koordinatnom si-stemu.
Jednačina kretanja tela s hidrodinamičkim karakteristikama najčešće se razvija u vezanom koordinatnom sistemu. Njegova primena zahteva niz transformacija. Imajući u vidu osobine prvog izvoda vektorske funkcije u vezanom i inercijalnom prostranstvu zakoni dinamike su napisani u pri-kladnoj formi u sledećem izrazu:
dR
dSR
dt dt
(( x R )
(47)
^ = — + ( x L ) + |V x R dt dt
(48)
gde su:
Q - ugaona brzina zakretanja podvodnog projektila,
V - translacijska brzina kretanja podvodnog projektila.
Izrazi su pisani za opšti slučaj, kada težište centra mase i težište tela ne leže u istoj tački. Prvi član u izrazu (47) predstavlja relativnu brzinu vr-
ha vektora R u vezanom koordinatnom sistemu, a drugi član je preno-sna brzina. Treći član u izrazu (48) posledica je kretanja koordinatnog početka vezanog koordinatnog sistema u odnosu na inercijalan.
Pomoću izraza (49) mogu se izraziti jednačine kretanja u vezanom koordinatnom sistemu:
— + (x R ) = F dt
+ (x L ) + (V x R )= M
(49)
(50)
Iz teorijske mehanike poznate su projekcije impulsne sile R = Q + B
i impulsnog momenta L = K +1 na osama vezanog koordinatnog sistema. Određene su parcijalnim izvodima ukupne kinetičke energije sistema voda + projektil, po odgovarajućim komponentama brzine, odnosno uga-one brzine:
77
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
d_
dt
d_
dt
1 CD
dVx
dTs +
dVy
dTs
1— Oj _
\dTs 1 ”
dp
dTs +
dq
dTs
dr
T - r T
DVZ DVy
Fx
Fy
Fz
q
dT^
dr
- r •
T
dq
dTS dTS
r------ - p ■■ s
dp
dr
dTS dTS
p •—- - q •■ s
dq
dp
V .dlL
У dVz
v •^Tl
V dVx
<Г_
dV
V •
Vz и J.s
dVy
dTS
vx s
DVZ
dF
Vv
y dVx
Mx
MY
Mz
(51)
(52)
gde su:
Fx, Fy, Fz - uzdužna, bočna i poprečna spoljašnja sila na telo podvodnog projektila,
Mx, My, Mz - momenti bočnog nagiba, posrtanja i zakretanja izazvani spoljnim silama.
Nakon jednostavnijih transformacija izrazi (51) i (52) mogu se jedno-stavnije napisati na sledeći način:
D4 • — + B • D4 • C = P s dt s
(53)
gde je:
P = [Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz ] - vektor spoljnih sila i momenata, B - kvadratna matrica opštih brzina oblika:
B
0 -r q 0 0 0
r 0 -p 0 0 0
-q p 0 0 0 0
0 -Vz Vy 0 - r p
Vz 0 -Vx r 0 q
-Vy Vx 0 - q p 0
(54)
<zT>
Nakon svih množenja vektorske jednačine (53) dolazi se do šest skalarnih jednačina kretanja podvodnog projektila u vezanom koordinat-nom sistemu:
(m + Лц )• Vx -(m + 122 )• Vy • r -126 • r2 +(m + 4 )• V • q + 4 • q2 "F, "
(m + 122 )• Vy +A26 •r + ( +Ац )• Vx •r -( + 4 )• Vz • p -^ • p • q Fy
(m + Л33 )• Vz + 4 •q-(n + Ац )• Vx • q + (n +^22 )• Vy • P + Л2в • P •r Fz
(( + 444 )p-(m + 422 )• Vx • Vz -426 • Vz • r + (m + 43 )• Vy • Vz + 45 • Vy ' q - Mx
(yy + 455 )• q • r -435 • Vz • r + (zz + 466 )• q • r + 426 • Vy ' 4 =
(yy + 455 ) • q + 45 • Vz + (m + 4 ) • Vx • Vz - (m + 43 ) • Vx • Vz - 4 • Vx • q + My
(( + 444 )• P • r + (zz + 466 )• P • r-426 • Vy • P У
(( +4* )• r +^26 • Vy -(m + 4 )• Vx • Vy +(m + ^22 )• Vx • Vy +^26 • Vx • r - Mz
_(( + 444 )• P • q + (zz + 455 )• P • q +4 • Vz • P
(55)
Zaključak
Sprovedenim modelovanjem podvodnog projektila pokazano je da se radi o multivarijabilnom objektu sa šest stepeni slobode. Analizom objekta definisane su ulazne i izlazne veličine i njihove mere. Kvalitetnim izborom koordinatnih sistema omogućeno je dobijanje matematičkog mo-dela za rešavanje na računaru.
Uvažavanjem osnovnih zakona mehanike i uslova koji vladaju pri kretanju projektila kroz vodu uspostavljena je statička i dinamička ravno-teža na osnovu kojih je formiran sistem od šest diferencijalnih jednačina.
Sagledavanjem karakteristika tipičnih projektila broj jednačina sve-den je na potrebni (minimalni). U sistem jednačina uključena je masa vo-de (pridružene mase) koja se javlja pri kretanju projektila kroz vodu. Na desnoj strani sistema jednačina date su sile i momenti koji uravnotežuju sistem. Navedene sile, momenti i pridružene mase, svakako, traže dalje istraživanje.
Literatura
[1] Podobrij, G.M. i dr.: Teoretičeskije osnovi torpednogo oružija, Boennoe izdateljstvo Ministarstva oboroni SSSR, 1969.
[2] Patrašev, A.N. i dr.: Prikladnaja gidromehanika, Ministrastvo oboroni SSSR, Moskva, 1970.
[3] Voronjec, K., Obradović, N.: Mehanika fluida, Građevinska knjiga, Beograd, 1979.
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3 / 08
[4] Grupa autora: Podmornički trenažer, matematički model podmornice, Brodarski institut Zagreb, 1980.
[5] Nenadović, M.: Stabilnost i upravljivost letelica, prvi deo, SSNO, Beograd, 1981.
[6] Stojić, R.: Prilog sintezi dinamičkog upravljanja letom aviona, doktorska teza, Tehnička vojna akademija, Beograd, 1984.
[7] Zabnev, A. F.: Torpednoe oružie, M. Boenoizdat, Moskva, 1984.
[8] Neimark J. I. i dr.: Dinamičeskie modeli teoriji upravlenija, Nauka, Glav-naja redakcija fiziko-matematičeskoj literaturi, Moskva, 1985.
[9] Dorodni, V. P.: Torpedi, DOSAAF SSSR, Moskva, 1986.
[10] Marinković, M.: Dinamička analiza torpeda, Doktorska disertacija, Zagreb, 1987.
[11] Minović, S.: Osnovi teorije samonavođenih raketa, VINC, Beograd, 1987.
[12] Lazarević, Ž.: Tehnička hidroakustika, MT Uprava GŠ JNA, Beograd, 1987.
[13] Rusov, L.: Mehanika - Dinamika Naučna knjiga, Beograd, 1988.
[14] Radosavljević, M., Milovanović, M., Mataušek, M.: Softversko i softver-sko-hardverska simulacija samonavođenja akustičkog torpeda na brazdu broda, XLII konferencija ETRAN-a, Vrnjačka banja, 1998.
[15] Radosavljević, M.: Računarska realizacija sistema samonavođenja torpeda na trag broda, Vojnotehnički glasnik, juli-avgust, 432-438, 1998.
[16] Radosavljević, M. Modelovanje i softversko-hardverska simulacija upravljanja akustičkim torpedom, magistarki rad, ETF Beograd, 1998.
[17] Milovanović, M., Radosavljević, M.: HIL simulacija samonavođenja akustičkog torpeda na brazdu broda, Naučnotehnički pregled, br. 4, str. 15-23, Beograd, 1999.
[18] Radosavljević, M.: Teorijski i eksperimentalni načini određivanja pridru-ženih masa vode pri kretanju podvodnih projektila, Naučnotehnički pregled, br. 5, str. 81-86, Beograd, 2001.
[19] Tomašević, N.: Matematika 3 - udžbenik, GŠVSCG, Uprava za škol-stvo i obuku, VA, Beograd, 2002.
<јГ)
