CC BY
24
Dr Danilo Cuk,
naucni savetnik
IZBOR FAKTORA ROTACIJE VEKTORA POTISKA ZA BALISTICKU RAKETU SA LAMBERTOVIM VODENJEM
UDC: 531.55 623.54
Rezime:
Predmet rada jeste primena Lambertovog vodenja na balisticku raketu. Koristeci funda-mentalnu jednacinu za upravljacki vektor brzine razvijena je formula za odredivanje ugla ori-jentacije vektora potiska u zavisnosti od faktora rotacije njegovog pravca. Izvedena formula zahteva Q-matricu koja povezuje diferencijalnu promenu vektora polozaja rakete sa odgovara-jucom diferencijalnom promenom korelisane brzine za fiksnu poziciju cilja i konstantno vreme slobodnog leta rakete. Izborom parametra rotacije vektora potiska dobijaju se razliciti profili ugaonog polozaja rakete i ugla njene brzine u zavisnosti od vremena. Podesavanjem parametra rotacije vektora potiska moguce je ostvariti prekid rada raketnog motora pri nultom napad-nom uglu i, na taj nacin, smanjiti pocetne poremecaje slobodnog leta rakete.
Kljucne reci: balisticka raketa, trajektorija, vodenje, Lambertovo vodenje, Q-vodenje.
CHOICE OF THE ROTATIONAL FACTOR OF THE THRUST VECTOR FOR THE BALLISTIC MISSILE WITH LAMBERT GUIDANCE
Summary:
This paper deals with the application of the Lambert guidance to the ballistic missile. By using the fundamental equation for the velocity-to-be-gained, the demanded command for the thrust angle is developed in terms of the rotational factor of its direction. The developed formula requires the Q-matrix which links a differential change in the missile position vector to the corresponding differential change in the correlated velocity for the fixed target position and the constant time offree flight. The choice of the rotational parameter provides different profiles of the missile attitude and flight path angle with time. By adjusting the rotational parameter for the thrust vector, the cut-off of the rocket engine can occur at zero angle of attack and the initial perturbations during free flight may be thus reduced.
Key words: planning, function of planning, process of planning, principles of planning, types of planning, characteristics of planning, management by planning, planning logistics.
Uvod
Balisticke rakete se karakterisu tra-jektorijom koja se sastoji od tri osnovna dela: aktivnog dela koji traje od trenutka lansiranja do prekida rada raketnog motora, slobodnog leta koji predstavlja naj-duzi segment i realizuje se u vrlo razre-denoj atmosferi, i faze povratka u atmos-feru ciji pocetak nije precizno definisan, ali se karakterise znatnim porastom sile
otpora i drugih aerodinamickih sila i mo-menata. Poslednja faza leta traje do udara u zemlju i moze biti sa ili bez navodenja rakete na cilj. Korekcija putanje obicno se vrsi u pocetnoj fazi leta dok radi raket-ni motor, pri cemu se vektor potiska usmerava u zavisnosti od zeljenog mane-vra. Informacije o kretanju rakete dobijaju se od inercione merne jedinice (IMJ) sa tri brzinska ziroskopa i tri akcelerome-tra koji su cvrsto vezani za telo rakete.
Takav sistem inercione navigacije poznat je kao besplatformni inercioni navigacio-ni sistem (BINS) ili „Strapdown INS".
Uobicajeno je da balisticke rakete imaju dve faze vodenja i upravljanja, koje se realizuju promenom pravca vektora potiska. Dok se raketa nalazi u guscim slojevima atmosfere koristi se vodenje po programskoj putanji (otvoreni sistem vodenja) koje treba da obezbedi let rakete sa minimalnim aerodinamickim optere-cenjem. Kada je raketa izvan gustih slo-jeva atmosfere bira se takav zakon vodenja koji omogucava slobodnije manevri-sanje rakete radi ponistavanja izmerene ili procenjene greske vodenja. Vodenje rakete u ovoj fazi leta zahteva sracunava-nje tzv. korelisane brzine koja obezbedu-je let rakete do zeljene tacke u prostoru samo pod uticajem sile gravitacije. Pre-ma tome, u trenutku kada stvarna brzina rakete, koja je odredena numerickim al-goritmom BINS-a, dostigne pravac i in-tenzitet korelisane brzine, prekida se rad raketnog motora i raketa leti samo pod uticajem sile gravitacije. Signal vodenja, ili greska vodenja, jeste vektor koji pred-stavlja razliku izmedu korelisane brzine i izmerene brzine rakete. Ova metoda vodenja naziva se Lambertovo vodenje po nemackom matematicaru Johanu Hein-richu Lambertu, koji je 1761. formulisao teoremu koja predstavlja teorijsku osno-vu za proracun korelisane ili zahtevane brzine rakete [1], [2].
Teorijske osnove resavanja Lamber-tovog problema date su u [1], dok je in-zenjerski pristup resavanja Lamberto vog vodenja efikasno objasnjen u [2]. Najve-ci broj radova koji se bave metodama nu-merickog resavanja Lambertovog problema odnosi se na letelice velikog dometa,
pre svega kosmicke letelice [3], [4]. U radu [5] izucava se optimalno vodenje kosmicke letelice kroz atmosferu pri raz-licitim ogranicenjima u toku leta i trenut-ku prekida rada raketnog motora.
Predmet ovoga rada jeste primena Lambertovog vodenja na balisticke rakete malog dometa, a izucava se i uticaj faktora rotacije vektora potiska na gene-risanje razlicitih profila promene uglova propinjanja i brzine rakete. Radi simplifi-kacije matematickog modela rakete zane-mareno je njeno aerodinamicko opterece-nje, sto ne utice na osnovne zakljucke o mogucnostima primene Lambertovog vodenja.
Korelisana brzina
U teoriji leta tela u polju centralne gravitacione sile odreduju se intenzitet i ugao brzine tela u trenutku prekida rada raketnog motora, koji omogucuju poga-danje cilja u odredenoj tacki u prostoru. Vektor ove brzine naziva se korelisana ili zahtevana brzina letelice. Ako poznaje-mo pocetni polozaj letelice r i krajnji polozaj cilja rT odreduje se centralni ugao (ugao izmedu ova dva vektora sa po-cetkom u centru Zemlje):
0 = arccos
(r ■ r)
(1)
Polazeci od centralnog ugla , vektora polozaj a letelice r, vektora polozaj a cilja rT i datog ugla brzine c, odreduje se intenzitet korelisane brzine Vc na osnovu formule iz [2], str. 256:
Vc = f(r, rT ,0,Yc)
(2)
Intenzitet korelisane brzine Vc kori-sti se za odredivanje vremena leta na osnovu egzaktne formule koja je izvede-na u [2], str. 258:
tTf = f (Vc ,0,7c )
(3)
Lambertov problem moze se posta-viti na sledeci nacin: za date vrednosti r, rT i tTf treba naci intenzitet Vc i ugao c korelisane brzine. Resenje za vektor korelisane brzine podrazumeva jedan itera-cioni postupak u kojem se menja ugao c sve dok se odredeni parametar, npr. ukupno vreme leta tTf objekta izmedu dve tacke u prostoru, ne postigne sa pro-pisanom taCnoscu. Ovakav numericki al-goritam prikazan je u [2] i ima za cilj shvatanje i resavanje Lamberto vog problema. U objavljenoj literaturi postoje metode za efikasno numericko resavanje Lambertovog problema i njihovu prime-nu u realnom vremenu [3], [4].
Ukoliko je stvarna brzina rakete jed-naka korelisanoj brzini u odredenoj tacki, njena misija se nastavlja prekidom rada raketnog motora i balistickim letom od tog trenutka. U teoriji Lambertovog vo-denja korisno je definisati upravljacki vektor brzine:
V = V -V.
(4)
Vg =0
(5)
Opsti koncept Lambertovog vode-nja predstavljen je na slici 1 na kojoj je definisan upravljacki vektor brzine. Tacka M predstavlja polozaj rakete u trenutku t. Puna linija kroz tacku M je aktivni deo trajektorije, a prekid rada motora u tacki CO obezbeduje let do ci-lja T. Druga putanja (linija crta-crta) je-ste tangentna na korelisanu brzinu u tac-ki M, koja omogucuje pogadanje istog cilja. Vektor Vc mora da lezi u ravni ko-ju cine vektori polozaja rakete i cilja, r i rT, respektivno.
Polazeci od jednacine kretanja rakete:
dV.
dt
=fT+g
(6)
gde je g vektor gravitacionog ubrzanja, a fT ubrzanje (specificna sila) vektora poti-ska, izvodi se diferencijalna jednacina upravljackog vektora brzine:
dVg dV dV_
g
dt dt dV
V
dt
dt
- fT - g = b - fT
(7)
/
gde je:
Vektor Vg predstavlja brzinu koju treba dodati tekucem vektoru brzine rakete Vm da bi se izvrsio prekid rada ra-ketnog motora u tom trenutku. Uslov pri kojem treba izvrsiti prekid rada motora odreden je jednacinom:
b =
V dt
- g
(8)
U trenutku prekida rada raketnog motora tekuca brzina dostize vektor ko-relisane brzine, pri cemu b , jer se od tog trenutka let odvija samo pod uticajem sile gravitacije.
O
Sl. 1 - Koncept Lambertovog voáenja LP - tacka lansiranja; T - cilj, CO - prekid rada motora, [1 ]
nuli. Dakle, pravac vektora potiska u funkciji od upravljackog vektora brzine odreduje se matricnom jednacinom:
fT*Vg=cb*Vg
Smenom fT = b (7) u (9) dobija se:
dVi dt
(9)
iz jednacine
(cb - f) x Vg =1 cb + - b
x V =
(c - 1)b +
dt
x Vg = 0
(10)
Parametar c predstavlja meru rotaci-onog efekta na upravljacki vektor brzine Vg, odnosno pravac vektora potiska (fT). Ako je c = 0, bice:
fr x Vg = 0
(11)
Sl. 2 - Inercioni koordinatni sistem
Princip Lambertovog vodenja svodi se na podesavanje pravca vektora potiska tako da upravljacki vektor brzine tezi ka
sto znaci da je pravac vektora potiska usmeren duz upravljackog vektora brzine Vg. U slucaju vrednosti c = 1, jednacina (9) svodi se na:
dV
dt
g x V = 0
(12)
pa je upravljacki vektor brzine paralelan svom izvodu. Rotacioni efekat na upravljacki vektor brzine jednak je nuli, pa je:
V
g
±-r=const,
V
(13)
Izbor vrednosti parametra c predstavlja jedan od zadataka ovog rada.
Fundamentalna jednacina upravljackog vektora brzine
Vreme slobodnog leta bice definisa-no kao vreme koje je preostalo raketi do pogadanja cilja:
tff = tTf t
Vc = Vc(r, t)
(15)
r=xi+yj+zk Vc =uci +vcj +wck
(16) (17)
Q =
Q-matrica se definise na sledeci nacin:
Qxx Qxy Qx:
Qyx Qyy Qyz = ^ (18)
Qzx Qzy Q.
dr
gde su elementi matrice:
Q.x
Zyx
(14) Qzx =
duc Qxy dUc Qxz dUc
dx ' ~dy ' ~ dz
dvc Qyy- dvc Qyz-- dvc
dx ' = dy ' dz
dwc Qzy = dwc Qzz = dwc
dx ' dy ' dz
gde su: t - tekuce vreme; tTf - ukupno vreme leta rakete (vreme od trenutka lan-siranja do udara u cilj).
Vektor korelisane brzine zavisi od tekuceg vektora polozaja rakete r i teku-ceg vremena leta t:
Koriscenjem definicije Q-matrice moze se napisati:
dVc =Q dr
(20)
pri cemu se podrazumeva implicitna za-visnost od pocetnog polozaja rakete (lan-sirnog mesta), polozaja cilja i ukupnog vremena leta tTf.
U teoriji Lamberto vog vodenja po-sebnu ulogu ima Q-matrica, po kojoj se ova metoda vodenja cesto nazi va Q-vo-denje. Usvojimo geocentricni inercioni koordinatni sistem (Oxyz na slici 2) sa jedinicnim vektorima i, j, k duz njegovih osa x, y, z, respektivno. Ako se vektori polozaja rakete i korelisane brzine izraze projekcijama duz osa geocentricnog iner-cionog koordinatnog sistema:
Prema tome, Q-matrica pokazuje uticaj diferencijalne promene vektora polozaja rakete na diferencijalnu promenu korelisane brzine pri konstantnom polo-zaju cilja i nepromenjenom vremenu slobodnog leta rakete, tf.
Koristeci oznake na slici 1 pretpo-stavimo da imamo dve rakete: hipotetic-ku (korelisanu) raketu sa brzinom Vc i stvarnu raketu sa brzinom Vm. Da bi se korelisana raketa poklopila sa stvarnom raketom za interval At, diferencijalna promena njenog vektora polozaja bice:
-V At=V At-V At=dr
(21)
Odgovarajuca promena brzine stvar-ne rakete za vreme At dobija se iz (6), imajuci u vidu da je izlozena dejstvu gra-vitacionog ubrzanja g i specificne sile fT:
AVm=fT At+gAt
(22)
Promena korelisane brzine u intervalu At iznosi:
AVC =g At+Qdr
(23)
Prvi clan obuhvata uticaj gravitacio-nog ubrzanja, jer se korelisana raketa krece pod uticajem gravitacionog ubrzanja, a drugi clan je posledica promene korelisane brzine zbog pomeranja koreli-sane rakete do poklapanja sa stvarnom raketom. Smenom (2l) u (23) dobija se promena korelisane brzine za vreme At:
AVc = g At+Q (—Vg At )
(24)
Promena upravljackog vektora brzi-
ne je:
Vg M = ДУС- Д Vn
(25)
pa se smenom (24) i (22) u (25) i delje-njem sa At definitivno dobija fundamen-talna jednacina upravljackog vektora br-
zine:
dV
dt
8=-fT-QV
(26)
Upravljanje i manevar rakete pomocu vektora potiska
U procesu Lambertovog vodenja vektor potiska ima dvostruku namenu (slika 3):
l. Na osnovu razlike izmedu zahteva-nog ugla orijentacije rakete 0d i stvarnog ugla 0 vrsi se otklon upravljackih organa , tako da se generise upravljacka komponen-ta sile potiska i njen moment oko tezista. Pomocu sistema za upravljanje vrsi se sta-bilizacija ugaonog polozaja rakete oko zahtevanog ugla 0d, pri cemu prelazni proces traje veoma kratko u odnosu na ukup-no vreme vodenja, ukoliko su parametri sistema upravljanja korektno podeseni. Signal upravljanja, odnosno otklon upravljac-kih organa , formira se na osnovu infor-macija o zahtevanom uglu 0d, stvarnom uglu i ugaonoj brzini rakete q. Prva veli-cina dobija se iz algoritma Lambertovog vodenja polazeci od upravljackog vektora brzine Vg kao ulazne informacije, a druge dve velicine mere se pomocu BINS-a.
2. Posto je telo rakete dostiglo zah-tevani ugao orijentacije 0d, komponenta sile potiska u pravcu normale na vektor brzine proizvodi manevar zaokretanjem tangente na putanju sve dok se stvarna brzina ne poklopi sa korelisanom brzi-nom. Istovremeno, tangentna komponenta vektora potiska proizvodi tangentno ubrzanje, pri cemu se intenzitet stvarne brzine Vm priblizava intenzitetu korelisa-ne brzine Vc. Rotacijom vektora stvarne brzine i izjednacavanjem njenog intenzi-teta sa korelisanom brzinom, upravljacki vektor brzine Vg svodi se na nulti vektor, cime se stvaraju uslovi za prekid rada ra-ketnog motora.
Podaci o korelisanoj brzini, uglovima i ugaonim brzinama tela rakete dobijaju se sa odredenim ucestanostima odabiranja, ta-ko da se procesi koji su opisani u tackama 1 i 2 ovog odeljka neprekidno ponavljaju sve do gasenja raketnog motora.
Sistem upravljanja ugaonim poloza-jem rakete sa povratnim vezama po uglu i ugaonoj brzini propinjanja opisuje se elementom drugog reda [6], cija je funk-cija prenosa:
s) 0d (s)
s 2 + 2ßO)nS + G)l
(27)
. _ an _ Fsina Y_V~ mV
Za male vrednosti napadnog ugla dobija se priblizni izraz:
Y_ -L
a Ta
gde je: T _ mV
(29)
F
(30)
Vremenska konstanta T karakterise kasnjenje ugla brzine u odnosu na napad-ni ugao rakete ili u odnosu na ugao propinjanja (T = Tq). Tipicna zavisnost „vremenske konstante" T u fazi ubrza-vanja od vremena prikazana je na slici 4.
Ucestanost je reda 3-4 rad/s i zavisi od inercionih karakteristika rakete, vek-tora potiska i faktora pojacanja po uglu i ugaonoj brzini propinjanja rakete. Faktor relativnog prigusenja podesava se na vrednost = 0,5 - 0,7.
Po zavrsetku prelaznog procesa i dostizanja zahtevane vrednosti ugla orijentacije rakete 0d, normalno ubrzanje proizvodi ugaonu brzinu tangente na pu-tanju:
30
Vreme [s]
Sl. 4 - Kasnjenje ugla brzine
Zeljena vrednost ugla orijentacije vektora potiska, odnosno uzduzne ose rakete zavisi od upravljackog vektora brzine Vg i izabranog algoritma Lambertovog vodenja. U ovom radu izabrana je jedna varijanta Q-vodenja koja se svodi na pro-racun ugla vektora potiska pomocu faktora rotacije upravljackog vektora brzine c. Izjednacavanjem (7) i (26) dobija se:
b=-QVg (31)
pa smenom (9) sledi: f xVg =cVg x QVg (32)
Uvodenjem nove vektorske velicine: p = cVgx(QVg) (33)
dobija se:
fTxVg=p (34)
Mnozenjem matricne jednacine (34) s leva, sa upravljackim vektorom brzine Vg, dobija se:
Vg x (fTx Vg) = Vg x p (35)
Primenom pravila za dvostruko vek-torsko mnozenje tri vektora a, b, c ([7], str. 134):
a x (b x c) = (a ■ c)b - (a ■ b)c (36)
jednacina (35) transformise se u sledeci oblik:
(Vg ■ Vg)fT- (Vg ■ fT)Vg = Vg x p (37) ili
fT = ( Vg + Vg x p)/(Vg ■ Vg) (38) gde je:
= (Vg ■ fT) = (fT ■ Vg) (39)
Polazeci od formule za intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora b i c ([7], str. 133):
lb x cl2 = lb ■ bl ■ lc ■ cl - (b ■ c)2 (40)
iz jednacine (34) sledi:
lpl2 = (fT ■ fT) ■ (Vg ■ Vg) - (fT ■ Vg)2 (41)
Imajuci u vi du definiciju parametra , (39), iz (41) proizilazi:
= ((fT ■ Vg) = [(fT ■ fT) (Vg ■ Vg)-(p ■ p)f2
(42)
Prema tome, zeljeni pravac vektora potiska (ugao orijentacije uzduzne ose rakete) odreduje se pomocu jednacine (38), pri cemu se vektorska velicina p i parametar sracunavaju na osnovu (33) i (42), respektivno. Izvedena formula za parametar zahteva poznavanje intenzi-teta specificne sile fr = (^ ■ fi)0'5 = a koji se dobija iz BINS-a.
Matematicki model kretanja
rakete sa Lambertovim vodenjem
Sile koje deluju na raketu pri nje-nom ravanskom kretanju u gravitacio-nom polju Zemlje jesu, pored ostalih, sila privlacenja Zemlje i sila potiska kojom se raketa upravlja do postizanja korelisane brzine. Jednacine kretanja napisane su u inercionom koordinat-nom sistemu sa pocetkom u centru Ze-mlje (slika 2). Zanemarena je rotacija Zemlje. Koordinate rakete u cilindric-nom koordinatnom sistemu (lucno ra-stojanje na povrsini Zemlje i visina leta) sracunavaju se posle svakog koraka integracije diferencijalnih jednacina kretanja na osnovu koordinata poloza-ja rakete u inercionom koordinatnom sistemu.
Polazeci od Njutnovog zakona gra-vitacije i sumiranjem svih potrebnih jed-nacina iz prethodnog odeljka dobija se matematicki model ravanskog kretanja balisticke rakete sa Lambertovim vode-
njem.
Jednacine kretanja rakete
t& GMX
V =--2 , „2,15 +ax
v =
( ^ + / ) GM
( x2 + / )L X = Vx, y = Vv
m = m0 + mt, m =
+ a„
V /,,2 , ,,2\1.5 V
(43)
F
^svS
F
9 = q
q = a>l(9d -9) -2ßO)nq
Korelisana brzina
(44)
ф = arccos
(r • rT )
V = f(r, гтФ,Гс )
tf = tf -1 = f (V ,ф,ус ) r = [x V]T , Гт =[xtVt ]T
(45)
Proracun matrice Q
= [x + Dx y]T
ф = arccos
(ri • rT )
Vc1 = f (ri, rT , Ф g c1)
tff = tTf - t = f (Vc1. rT c1)
Uc1 = Vc1 cos gc1. Vc1 = Vc1sin gc1
Q = Uc1 - Uc Q = vc1 - vc
zixx i ' s--vx
(46)
Dx
Dx
Qzx = о
a =—, ax = a cos9, a = a sin9 m
Sistem upravljanja ugaonim poloza-jem rakete
Proracun korelisane brzine obavlja se iterativnim postupkom, variranjem ugla c izmedu procenjene minimalne i maksimalne vrednosti, dok se ne postig-ne zadato vreme slobodnog leta rakete.
Ostali elementi Q-matrice dobijaju se istom procedurom, s tim sto koordina-ta y varira za y, a koordinata x zadrzava istu vrednost. S obzirom na to da modeli-ramo ravansko kretanje rakete, bice:
Qxz Qyz Qzz
Lambertovo voâenje
Uc = Vc cos Yc, vc = Vc sin Yc Vc =[ucvc 0]T, V, =[VxVy о ]T Vg = Vc - Vm, p = cVg x QVg ß = [(fr • fr )(Vg Vg ) - (p • p)] (47)
= ßVg + Vg x p =[ ]T
fr = (V • V ) ~\-fTxfrv°J
\fr\ = (fr • frГ = a,9d = arctgf^
JTx
Pocetni uslovi
xo = (R + ho)cosÇo, Vo = (R + ho)sin% Vx о = Vi cos(n/2 -Yo +%) Vv о = Vosin(n/2 -Yo +%)
Yo = Yco +&y,9 = Yco + ay, qo = о
(48)
Polozaj cilja (granicni uslov) <T = XT / R
x(tTf ) = xT = (R + hT ) cos(^»0 + <T ) (49)
y(tTf ) = yT = (R + hT )sm(^o +<t )
Polozaj rakete u cilindricnom koor-dinatnom sistemu
ro =[xo yo ]T , r = [xy ]T
(r ' r)
< = arccos, 0 . .
(50)
X = R<, h = ( x2 + y2)05
R
Ulazni podaci za numericku simula-ciju Lambertovog vodenja balisticke rakete obuhvataju sledece parametre: silu potiska (F), specificni impuls raketnog goriva (Isp), ukupno vreme rada raketnog motora (tb), pocetne parametre kretanja rakete i polozaj cilja. Promena parameta-ra kretanja rakete u toku Lambertovog vodenja zavisi od faktora rotacije upra-vljackog vektora brzine (c).
Rezultati nuniei icke simulacije
Na osnovu matematickog modela kretanja rakete sa Lambertovim vode-njem, koji je prikazan u prethodnom po-glavlju, izvrsena je modifikacija programa Fortran iz [2], str. 267. U pomenutoj literaturi izucava se Lambertovo vodenje samo u varijanti kada se vektor potiska usmerava duz upravljackog vektora brzine, sto odgovara parametru rotacije c = 0. Pri tome, sistem upravljanja ugaonim polozajem rakete posmatran je kao bezi-nercioni element, sto znaci da vektor potiska trenutno zauzima pravac upravljac-kog vektora brzine.
Modifikacija programa za Lambertovo vodenje rakete [8] obuhvata prosirenje postojeceg programa kompletnim algorit-mom Q-vodenja, koji sracunava Q-matri-cu i zahtevani ugao propinjanja rakete (vektora potiska) prema postupku koji je prikazan u ovom radu. Sistem upravljanja i stabilizacije ugaonog polozaj a rakete modeliran je elementom drugog reda. In-tegracija diferencijalnih jednacina izvrsena je metodom Runge-Kutta drugog reda.
Numericki primer u ovom radu odno-si se na balisticku raketu dometa X = 400 km. Pasivna masa (struktura + korisni te-ret) iznosi 2000 kg. Polazeci od zahteva da raketni motor treba da ostvari brzinu od 2200 m/s sa gorivom specificnog impulsa 200 Ns/N, dobijaju se sledeci osnovni ra-ketodinamicki podaci: sila potiska F = 240 kN, maksimalno vreme aktivne faze leta rakete tb = 34,5 s, pocetna masa rakete mo = 6250 kg i masa goriva mg = 4250 kg. Na lansirnom mestu korelisana brzina iznosi Vc = 1952 m/s i njen ugao elevacije c = 45,642° za zahtevani domet od X = 400 km i ukupno vreme leta tTf = 300 s.
Dijagrami promene kinematickih parametara balisticke rakete i ulaznih ve-licina za upravljanje (9d) i Lambertovo vodenje (Vc, c) prikazani su na slikama 5 i 6, za faktor rotacije c = 10.
2.0 1.6 1.2
t! 03
0.4 0.0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Vreme [s]
Sl. 5 - Brzina balisticke rakete
Ê 0.8
r c=
1 0 10
0d
Y
t- Y
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Vreme [s]
Sl. 6 - Parametri Lambertovog voäenja
Brzina rakete (slika 5) monotono raste do trenutka tco = 33,5 s kada dostize vrednost korelisane brzine, pa se u tom trenutku prekida rad raketnog motora. In-tenzitet korelisane brzine u istom periodu neznatno opada. Ugao korelisane brzine ( c) linearno opada sa vremenom leta, pri cemu zahtevani ugao vektora potiska naj-pre dostize maksimalnu vrednost, da bi do prekida rada raketnog motora monotono opadao do vrednosti koja je za 2-3° veca od ugla korelisane brzine. U pocet-nom delu putanje prisutna je intenzivna rotacija vektora brzine, a zatim ugao vektora brzine sa malim gradijentom opada-nja tezi ka vrednosti ugla korelisane brzine u trenutku prekida rada raketnog motora. Dinamika sistema upravljanja u pot-punosti odgovara periodu Lambertovog vodenja, posto ugao propinjanja 9 vec posle 2-3 s dostize zahtevani ugao vek-tora potiska 9d.
Uticaj faktora rotacije upravljackog vektora brzine (c) na oblik dij agrama ugla propinjanja i ugla nagiba putanje prikazan je na slikama 7 i 8, respektivno. Ako je c = 0, ugao propinjanja rakete blago raste do prekida rada motora. Dija-gram ugla brzine (t) za c = 0 nalazi se malo ispod krive (t) za c = 1, koja nije
prikazana na slici 7 zbog veoma male razlike u odnosu na krivu sa parametrom c = 0. Prema tome, ako je c = 0, vektor potiska se postavlja u pravcu upravljackog vektora brzine Vg, a ugao najspori-je raste ka uglu korelisane brzine c. Ako je c = 1, ugao vektora potiska dostize ve-oma brzo maksimalnu vrednost, a zatim blago opada do prekida rada raketnog motora. Gradijenti krivih (t) i c(t) su-protnog su znaka, tako da je efekat rotacije na upravljacki vektor brzine jednak nuli. Analiticki je pokazano da upravljacki vektor brzine Vg i njegov izvod Vg
imaju isti pravac za c = 1. Sa porastom velicine c raste rotacioni efekat vektora potiska, tako da se ugao brzine vise pri-blizava uglu korelisane brzine, a pri naj-vecim vrednostima c krive (t) i c(t) se poklapaju.
50
45
Ñ 40
35
30
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Vreme [s]
Sl. 7 - Uticaj faktora rotacije na ugao brzine rakete
Pri odredenim vrednostima faktora rotacije (c = 17 na slikama 7 i 8) ugao brzine i ugao propinjanja 9 teze ka istoj vrednosti, koja je jednaka uglu korelisa-ne brzine c, sto znaci da se prekid rada raketnog motora odvija pri nultom na-padnom uglu ( co = 0). Ovakav rezim leta povoljan je za balisticke rakete, jer fa-za nevodenog ili slobodnog leta pocinje minimalnim poremecajima.
60 5550 45 40 35
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Vreme [s]
Sl. 8 - Uticaj faktora rotacije na ugao propinjanja
a 0 1 c= 17
f= urt Yc
r
15
20
25 30 Vreme [s]
35
40
Sl. 9 - Parametri leta rakete pri vodenju od t = 15 s
Kod balistickih raketa faza vode-nja rakete obicno ne pocinje odmah po njenom lansiranju. Radi smanjenja aerodinamickog opterecenja bira se program koji obezbeduje manevar rakete u dozvucnoj oblasti. Po izlasku iz gustih slojeva atmosfere raketa prelazi na fazu Lamberto vog vodenja sa mo-guCnoscu izvodenja vecih manevara. Na slici 9 prikazani su karakteristicni parametri leta rakete, ako se Lamberto-vo vodenje ukljuci u t = 15 s. Preostalo vreme od oko 18 s dovoljno je da se pocetna greska - odstupanje ugla brzi-ne od ugla korelisane brzine -
c = 5° u potpunosti kompenzira i do-
stignu parametri koji obezbeduju poga-danje cilja na zadatom dometu u vre-menu tTf = 300 s.
Zakljucak
U radu je analiziran uticaj faktora rotacije na upravljacki vektor brzine koja predstavlja ulaznu velicinu za Lamberto-vo vodenje balisticke rakete. Radi kom-pletnosti izlozenog materijala, neki delo-vi, koji se odnose na korelisanu brzinu i upravljacki vektor brzine, preuzeti su iz dostupne literature. Posle izvodenja fun-damentalne diferencijalne jednacine upravljackog vektora brzine, razvijena je formula za proracun zahtevane vrednosti ugla orijentacije vektora potiska u funk-ciji od parametra rotacije. Takav pristup zahteva poznavanje Q-matrice koja predstavlja vezu izmedu diferencijalnih promena vektora polozaja rakete i korelisane brzine.
U zavisnosti od stepena rotacije upravljackog vektora brzine mogu se do-biti razliciti profili promene uglova brzi-ne i vektora potiska i izabrati vrednost koja odgovara postavljenoj misiji rakete. Podesavanjem faktora rotacije bira se prekid rada raketnog motora pri nultom napadnom uglu, cime se smanjuju neze-ljeni poremecaji rakete na pocetku faze balistickog leta.
Dalja istrazivanja primene Lamberto vog vodenja na balisticke rakete, treba da obuhvate pojave vezane za atmosfer-ski let kada se ne mogu zanemariti aero-dinamicke sile i momenti. Razvoj efika-snih numerickih algoritama za proracun korelisane brzine i Q-matrice predstavlja prioritet u realizaciji ove metode vodenja tokom cele faze ubrzavanja rakete.
Spisak oznaka:
a =
an =
ax, ay =
b =
c =
F =
F =
fx =
flx, fTy =
GM =
m mg
m
h hT
Isp p
q Q
r
rx R s t tb
tTf
T
tff
ubrzanje potiska, m/s2 normalno ubrzanje, m/s2 projekcije ubrzanja vektor def. u (8) faktor rotacije vektora potiska vektor potiska intenzitet sile potiska, kN vektor specificne sile projekcije specificne sile, m/s2
gravitacioni parametar, GM = 3,986 x 1014 m3/s2 vektor gravitacionog ubrzanja masa rakete, kg masa goriva, kg sekundna potrosnja goriva, kg/s visina leta rakete, m visina polozaja cilja, m specificni impuls goriva, Ns/N
vektor def. u (33) ugaona brzina propinjanja, rad/s
matrica 3 x 3 def. u (18) i
(19)
vektor polozaja rakete vektor polozaja cilja poluprecnik Zemlje, m Laplasov parametar tekuce vreme leta rakete, s vreme rada raketnog motora, s
ukupno vreme leta rakete, s
konstanta kasnjenja ugla brzine
vreme slobodnog leta
V, Vm = V =
Vx, Vy = Vc = Vc =
u, vc, Wc=
Vg = Xt =
T
(Vx)
vektor brzine rakete intenzitet brzine rakete, m/s projekcije brzine rakete vektor korelisane brzine intenzitet korelisane brzine, m/s
projekcije korelisane brzine upravljacki vektor brzine lucno rastojanje cilja od lansirnog mesta, m napadni ugao rakete, rad, ° napadni ugao pri gasenju motora
parametar def. u (39) i (42) ugao brzine rakete, rad, ° ugao korelisane brzine, rad, °
ugao propinjanja rakete, rad, °
zahtevani ugao propinjanja geografska sirina, rad, ° centralni ugao rakete, rad, ° centralni ugao cilja, rad, ° odstupnje ugla brzine od ugla korelisane brzine, rad, ° sopstvena ucestanost sistema upravljanja raketom, 1/s
faktor relativnog prigusenja sistema upravljanja raketom
intenzitet vektora transponovanje matrice vektorski proizvod
(Vx) =
skalarni proizvod dva vektora
0 -V z Vr
Vz 0 -Vx
-Vr Vx 0
co
g
co
d
T
n
O
xyz
inercioni koordinatni sistem
inerciona merna jedinica besplatformni inercioni navigacioni sistem pocetni uslov
IMJ = BINS =
0 =
Literatura:
[1] Sioruris, M. G.: Missile Guidance and Control Systems, Spring-Verlag, New York, 2004.
[2] Zarchan, P.: Tactical and Strategic Missile Guidance, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc., Washington, 1999.
[3] Battin, R. H.: Lambert's Problem Revisited, AIAA Journal, Vol. 15, No. 5, May 1977, pp. 707-713.
[4] Battin, R. H., Vaughan, R. M.: An Elegant Lambert Algorithm, J. Guidance, Vol. 7, No. 6, Nov.-Dec. 1984, pp. 662-670.
[5] Calise, A. J., Melamed, N., and Lee, S.: Design and Evaluation of a Three-Dimensional Optimal Ascent Guidance Algorithm, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 21, No. 6, November-December 1998, pp. 867-875.
[6] Pitman, R. G.: Inertial Guidance, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1962.
[7] Mamuzic, Z. P.: Determinante, Matrice, Vektori, Analiticka geometrija, Gradevinska knjiga, Beograd, 1981.
[8] Cuk, D.: Modifikacija programa za Lambertovo vodenje balisticke rakete (Program u FORTRAN jeziku), Beograd, 2006.
