CC BY
2
Давлатов Ш. О.
Каршинский инженерно-экономический институт
Узбекистан, г.Карши
БИР УЛЧОВЛИ ФАЗОДА УЗГАРУВЧАН КОЭФФИЦИЕНТЛИ СИММЕТРИК T-ГИПЕРБОЛИК СИСТЕМАЛАРНИ СОНЛИ ЕЧИШ
АЛГОРИТМИ
Аннотация. В этой статье исследована смешанная задача для симметрических игиперболических систем с переменными коэффициентами. В ней обоснована схема конечных элементов в случае равномерной сетки. Разработана программа расчета численного решения.
Ключевые слова: метод конечных элементов, алгоритм, смешанная задача, гиперболическая система, базисные функции, неявно-разностная схема.
Davlatov Sh. O. Karshi Engineering and Economic Institute
Uzbekistan, Karshi
NUMERICAL SOLUTION ALGORITHM OF SYMMETRICAL T-HYPERBOLIC SYSTEMS WITH VARIABLE COEFFICIENTS IN ONE-
DIMENSIONAL SPACE
Abstract.In this paper we consider the mixed problem for symmetric t-hyperbolic systems with variable coefficients. For the mixed problem we study the question justification scheme offinite elements in the case of a uniform grid. The results of numerical calculation of the model problem are given.
Keywords: finite element method, algorithm, mixed problem, hyperbolic system, basic functions, implicit difference scheme. 1. Масаланинг куйилиши: G = {(t, x) : t e (0,T), x eQ} сохдда
A(x, t) + B(x, t) ^ + C(x, t)u = F(x, t) (1)
симметрик t-гиперболик системани
R1(t)u(£ t ) = g (t )
R2(t)u(£2,t) = g2(t) ( ) чегаравий шартларни ва t = 0 да
u(x,0) = i/s(x), x eQ (3) бошлаетич шартни каноатлантирувчи u вектор-функцияни топиш талаб килинган булсин. (1)-(3) масаласи симметрик t-гиперболик система учун куйилган аралаш масала деб номланади ([1]).
Бу ерда П = (Рх, Р2), А симметрик мусбат аникланган матрица, В симметрик матрица, С ихтиёрий матрица, ^, Я2 -мос тyFрибурчакли узгарувчан матрица, g1,g2—берилган вектор функциялар. А,В,С - М хМ
улчамли хакикий узгарувчан матрицалар, л, г эркли узгарувчилар,
и( х, г) =
и л
V им
х.
, г га боFлик ноъмалум вектор функция, ^(х, г) =
Г / л
/2
V /м у
х, г
га боFлик берилган вектор функция.
2. Тавсия этиладиган усул ва унинг турFунлиги.
Агар [Р1, Р2 ] кесмани Ых та тенг булакга булиб ( х = ^ + Ы,
р — р
I = 0,...,N ,Ы = )
х N '
Ых
(г, х) якинлашувчи ечимни иЫ (г, х иг. (г )р. (х) куринишда изласак.
i=0
Ч (г)л
Бу ерда р (х) базис функция, щ (г) = и(х1, г) =
и 2. (г)
V им. (г ) у
вектор функция. Базис
функция сифатида
Ро (х
(х ) =
X £ (хо, хг);
X ^^хг);
Р(х
х — х,
х х);
хм х
о,
х е(х , х.+1 ); . = 1,..., Ых -1 (4)
х ^(х.-1, х.+1);
Ры (х
(х ) =
х — х
N—1
Ы
Х £ (х N-1, хы ); £ (х N-1, хЫ )
° х г (х ы
функцияни оладиган булсак (1) система учун
Аги+1 Ш^1 + В*+1^и*+1 + С*+1Ьи*+1 = т • + Аги+1 Ш*
. = 1,...Ых — 1
(5)
айирмали схемалар системасини оламиз.
и
2
Ы
о
Ы
Ы
Бу ерда Un = u(xi,tn), Fn = F(x.,tn) вектор функцияларнинг A° = A(x., tn ), ВП = B(x., tn ), СП = C(x., tn ) матрицаларнинг аппроксимацияси ва куйидаги силжиш, урта, айирмали операторлар киритилган:
¡±1
и ^
W±xUn = Un
т h _i 2 , h
L = —w + —h + —w 6 3 6
,_w+l _w_ ç 2
чизикли тенгламалар системаси ёпик булиши учун
x = £1 да Ri(t
и+1
)U o(t и+1 ) = g1(t и+1/ (6)
x = /2 да R2(t
и+1 )UNx (t и+1 ) = g2 (t и +1
чегаравий шартлар
Ut (0) = Y(x. ) i = 0TNT (7)
бошланFич шарт, x = ix ва x = /2 да u(x, t) вектор функциянинг чегаравий шарт куйилмаган компоненталари учун (1)- системанинг уларга мос келувчи тенгламалари аппроксимация килинади. Шундай килиб ёпик чизикли тенгламалар системаси хосил килинади.Бу чизикли тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечиш максадга мувофикрок[5].
Сонли аппроксимацион схемамизнинг тургунлигини исботлаш кулай булиши учун A матрицани бирлик матрица деб хисоблаймиз. Q сохани чекли,ички умумий нукталарга эга булмаган элементларга(кесмаларга) буламиз.Элементни(кесмани) K харфи билан белгилаймиз.У холда Q = УK
K cQ
T
[0,T] кесмани N булакга буламиз. tk = т • к,(к = 0,..., Nt ),т =-
Nt
Сонли аппроксимацион схемамизнинг тургунлигини исботлаш учун (1)-(3) аралаш масала ягона ечимга эга ва куйидаги шартлар
{Du, и)\Г(Д) = (Bu, и)\x=Î2 _(Bu, и)\ x=ti > 0 (8)
C + C* _ — > 0 (9)
dx
бажарилади деб фараз киламиз. Бу ерда D = nB, n Q сохага бирлик ташки нормал,
I бирлик матрица. Теорема.
Якинлашувчи ечим uh е р (K) K да бир кийматли аникланган ва куйидаги тенгсизлик уринли
Uh (t, x)| Q < eTUh (0, x)||Q + (T + 1)(eT _ 1) F (10)
Бу ерда норма ||u||n = jju • u, F — max)\Fh (t, x)|
i|2 In
Ушбу теорема аппроксимацион ошкормас схемамизнинг (8) ва (9) шартлар бажарилганда турFун эканлигини курсатади.
Ушбу алгоритм асосида, Delphi-7 дастурлаш тилида, схема турFунлигини етарли шартлари булган (8) ва (9) шартларни текшириб шартлар бажарилмаган х,олатда бажарилмаганлиги хдкида маълумот берадиган ва (1)-(3) масалани сонли ечимини берадиган, фойдаланишга кулай, интерфейсли дастур яратилган.
3. Дастур ёрдамида олинган натижалар. 1-масала.
— + (5 - x) — + u2 — (5 - x)(2x +1) +12 + 2 dt dx
du9 du9 „ 2
—- -1—- - щ — 3t - x - xt dt dx
Агар соха n = {x: 0 < x < 2} булиб t — 0 да
— 2 _ 9 _
— x , — 2 x чегаравий шарт
x — 0 да
щ — u2 - 2 -12 x — 2 да
u2 — щ +12 - 2t - 4 .
t > 0 учун бундай аралаш масаланинг аник ечими
щ — x(t + x), u — 2 - x + t2
булади.
Текшириб куриш кийин эмас берилган аралаш масалада теорема шартлари бажарилади.
Пастдаги жадвалда У — j u • u нормада, x буйича булаклар сони
Vj
Nx —10 ва Nx — 20 булганда, вакт буйича булаклар сони N хар хил булганда, t —10 даги аник ечим билан чекли элементлар усули оркали олинган ечим фарки u - ^ кандай булгани келтирилган. Бу ерда v чекли элементлар усули
оркали олинган ечим.
Nt Nx —10 Nx — 20
50 6.3151753 6.3113112
100 0.4037771 0.4057528
200 0.2001872 0.2017784
400 0.7890118 0.7864681
800 0.3964902 0.3934927
1600 0.0366795 0.0249919
3200 0.0321308 0.0135450
6400 0.0609874 0.0503640
n
Адабиётлар:
1. С. К. Годунов Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979,372с.
2. R. S. Falk and G. R. Richter. Explicit finite element methods for symmetric hyperbolic equations. SIAM J. NUMER. ANAL.Vol.36, No.3 pp. 935-952
3. K. O. Friedrichs, Symmetric positive linear differential equations, Comm. Pure Appl.Math.,11 (1958), pp. 333-418.
4. С.К.Годунов, А.В.Забродин и др.Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука,1976. 75с.
5. L. J. Segerlind.Applied Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, Inc. 1976. 289-308 с.
