CC BY
2
Давлатов Ш. О.
Каршинский инженерно-экономический институт
Узбекистан, г.Карши
БИР УЛЧОВЛИ ФАЗОДА УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ СИММЕТРИК Т-ГИПЕРБОЛИК СИСТЕМАЛАРНИ СОНЛИ ЕЧИШ
АЛГОРИТМИ
Аннотация. В этой статье исследована смешанная задача для симметрических игиперболических систем с постоянными коэффициентами. В ней обоснована схема конечных элементов в случае равномерной сетки. Разработана программа расчета численного решения.
Ключевые слова: метод конечных элементов, алгоритм, смешанная задача, гиперболическая система, базисные функции, неявно-разностная схема.
Davlatov Sh. O. Karshi Engineering and Economic Institute
Uzbekistan, Karshi
ALGORITHM FOR NUMERICAL SOLUTION OF SYMMETRIC T-HYPERBOLIC SYSTEMS WITH CONSTANT COEFFICIENTS IN
ONE-DIMENSIONAL SPACE
Abstract.In this paper we consider the mixed problem for symmetric t-hyperbolic systems with constant coefficients. For the mixed problem we study the question justification scheme offinite elements in the case of a uniform grid. The results of numerical calculation of the model problem are given.
Keywords: finite element method, algorithm, mixed problem, hyperbolic system, basic functions, implicit difference scheme.
4. Масаланинг куйилиши:
G = {(t, x) : t g (О, T), x g Q} сохдда
A Su + B — + Cu = F (x, t) (1) St dx
симметрик t-гиперболик системани
R1(t)u(£ t ) = g (t)
R2(t)u(£2,t) = g2(t)( ) чегаравий шартларни ва t = 0 да
u(x,0) = ^(x), x gQ (3)
бошлаетич шартни каноатлантирувчи и вектор-функцияни топиш талаб килинган булсин. (1)-(3) масаласи симметрик 1;-гиперболик система учун куйилган аралаш масала деб номланади ([1]).
Бу ерда П = , ), А симметрик мусбат аникланган матрица, В симметрик матрица, С ихтиёрий матрица, ^, -мос туFрибурчакли узгарувчан матрица, ^,^,щ —берилган вектор функциялар. А,В,С - М хМ улчамли хакикий узгармас матрицалар, х, г эркли узгарувчилар,
и( х, г) =
(щ \
V им У
х
, г га боFлик ноъмалум вектор функция, ^(х, г) =
Г / ^
Л
V ^м У
х, г
га боFлик берилган вектор функция.
5. Тавсия этиладиган усул ва унинг турFунлиги.
Агар [£1, ] кесмани К та тенг булакга булиб ( х = 1Х + Ы,
/ - /
I = 0,..., N, Ы = ^^)
Х К '
Ых
ик (г, х) якинлашувчи ечимни иЫ (г, х и{ (г )ф (х) куринишда изласак.
Бу ерда ф (х) базис функция, щ (г) = и(х1, г) = функция сифатида
Ч (г)л и 21 (г)
V им, (г) У
вектор функция. Базис
Фо (х
(х ) =
X £ (хо, х);
о, X е(хо,х^);
Ф (х
(х )=
х - х.
х ^х);
х+1 х
х е(х, , х+1); I = 1,..., Мх-1 (4)
х £(х;-1, х;+1);
х — х
N—1
х £ (х N-1, хм ); £ (х N-1, хМ )
Фм (х )=<| Ы
О X £ (X М
функцияни оладиган булсак (1) система учун
аш;+1 + ви"+1 + С£и;+1 = т • + АЬЩ
I = 1,...М — 1
(5)
айирмали схемалар системасини оламиз.
и
2
1=0
Ы
Ы
Ы
о
Бу ерда Un = u( xt ,tn), F;n = F ( x ,tn) вектор функцияларнинг
аппроксимацияси ва куйидаги силжиш, урта, айирмали операторлар киритилган:
¥+лип = ип±1
т h _ 2 , h +1
L= —w + —h+—w 6 3 6
Ç 2
чизикли тенгламалар системаси ёпик булиши учун
x = tx да
n+1
)U 0(t n+1 ) = g1(t n +1 ) (6)
x = /2 да
R2(t
n+1
Ux (t n+1 ) = g2 (t n+1
чегаравий шартлар
U(0)=Y(xi) i = 0_N7 (7)
бошланFич шарт, x = lx ва x = /2 да u(x, t) вектор функциянинг чегаравий шарт куйилмаган компоненталари учун (1)- системанинг уларга мос келувчи тенгламалари аппроксимация килинади. Шундай килиб ёпик чизикли тенгламалар системаси хосил килинади.Бу чизикли тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечиш максадга мувофикрок[5].
Сонли аппроксимацион схемамизнинг тургунлигини исботлаш кулай булиши учун A матрицани бирлик матрица деб хисоблаймиз. П сохани чекли,ички умумий нукталарга эга булмаган элементларга(кесмаларга) буламиз.Элементни(кесмани) K харфи билан белгилаймиз.У холда П = УK
K сП
T
[0,T] кесмани N булакга буламиз. tk = т • к,(к = 0,..., Nt), т =-
Nt
Сонли аппроксимацион схемамизнинг тургунлигини исботлаш
учун (1)-(3) аралаш масала ягона ечимга эга ва куйидаги шартлар
(Du, u) Г(П) = (Bu, u) x=^ _ (Bu, u) x=A > 0 (8)
C + C* > 0 (9)
бажарилади деб фараз киламиз[2]-[4]. Бу ерда D = nB, n П сохага бирлик ташки нормал, I бирлик матрица.
Теорема.
Якинлашувчи ечим uh е р (K) K да бир кийматли аникланган ва куйидаги тенгсизлик уринли
Uh (t, x)| П < eTUh (0, x)||n + (T + 1)(eT _ 1) F (10)
2
Бу ерда норма |u|n = Цu • u , F = max|F (t, x)||Q
Ушбу теорема аппроксимацион ошкормас схемамизнинг (8) ва (9) шартлар бажарилганда TypFyH эканлигини курсатади.
Ушбу алгоритм асосида, Delphi-7 дастурлаш тилида, схема турFунлигини етарли шартлари булган (8) ва (9) шартларни текшириб шартлар бажарилмаган холатда бажарилмаганлиги хакида маълумот берадиган ва (1)-(3) масалани сонли ечимини берадиган, фойдаланишга кулай, интерфейсли дастур яратилган.
6. Дастур ёрдамида олинган натижалар.
1-масала.
QcR сохада сунувчи тулкин тенламаси
W + pwt - = ф0
t = 0 да w, щ берилган
Г(Q) да w = 0
щ = щ, щ = щ белгилашлар киритиб куйидаги системани оламиз
ut +
Г 0 - я Г 0 0 > Г 01
uv + u =
V- 1 0 ) x V0 Р)
Бу масалада
' 0 -- П 0
D =
булади,
Агар соха Q = {x: 0 < x < 2ж\, Р = 1 ва ф = л/2 sin x cos л/2 - sin x sin Булиб t = 0 да щ = 0, u2 = л/2 sin x x = 0 ва x = 2n да чегаравий шарт u2 = 0. t > 0 учун бундай аралаш масаланинг аник ечими
щ = cos x sin
/2t, щ =
/2 sin x cos л^
булади.
Текшириб куриш кийин эмас берилган аралаш масалада теорема шартлари бажарилади.
Пастдаги жадвалда Щ Q = J u - u нормада, x буйича булаклар сони
' Q
Nx = 10 ва Nx = 20 булганда, вакт буйича булаклар сони N хар хил булганда, t = 10 даги аник ечим билан чекли элементлар усули оркали олинган ечим фарки u - v кандай булгани келтирилган. Бу ерда v чекли элементлар усули
оркали олинган ечим.
Nt Nx = 10 Nx = 20
10 1.4727946 1.4809423
20 0.8696831 0.9004951
30 0.6106927 0.6495351
40 0.4648763 0.5072824
50 0.3713381 0.4152946
100 0.1727490 0.2133765
200 0.0872766 0.1022803
250 0.0797011 0.0794215
300 0.0784801 0.0642277
600 0.0898479 0.0288687
1200 0.1018759 0.0201977
Адабиётлар:
1. С. К. Годунов Уравнения математической физики. М.: Наука,1979,372с.
2. R. S. Falk and G. R. Richter. Explicit finite element methods for symmetric hyperbolic equations. SIAM J. NUMER. ANAL.Vol.36, No.3 pp. 935-952
3. K. O. Friedrichs, Symmetric positive linear differential equations, Comm. Pure Appl.Math.,11 (1958), pp. 333-418.
4. С.К.Годунов, А.В.Забродин и др.Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука,1976. 75 с.
5. L. J. Segerlind.Applied Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, Inc. 1976. 289-308 с.
