CC BY
5Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
О
R
VOLUME 2 | ISSUE 12 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ СИММЕТРИК Т-ГИПЕРБОЛИК СИСТЕМА УЧУН АРАЛАШ МАСАЛАНИНГ ЦУЙИЛИШИ.
Давлатов Ш.О.
Карши мухдндислик иктисодиёт институтининг "Олий математика" кафедраси
доценти.
Холбеков Ш.О.
Карши мухдндислик иктисодиёт институтининг "Олий математика" кафедраси
катта укитувчиси.
АННОТАЦИЯ
Фундаментал фанларнинг илмий ва амалий татбицига эга булган математик физика, электродинамика ва амалий математика соуаларидаги мураккаб масалаларни сонли ечиш усулларини цуриш ва уларнинг турзунлигини тадциц этиш бугунги куннинг долзарб масалаларидан уисобланади. Ушбу мацолада гиперболик системаларга цуйилган аралаш масалаларни сонли ечиш учун тежамкор схемалар цуриш, уларнинг яцинлашишини исботлашни дастлабки цадамлари келтирилган.
Калит сузлар: Гиперболиксистемалар, узгармас коэффициентли, симметрик игиперболик система, аралаш масала, базис функциялар, чекли элементлар усули, аппроксимация, вектор-функцияларнинг аппроксимацияси, аралаш масаланинг ^(п = 0,1,2,...) цатламгача тацрибий ечими ва уакозолар.
Построение численных методов решения сложных задач в области математической физики, электродинамики и прикладной математики с научным и практическим применением фундаментальных наук и исследования их устойчивости является одной из актуальных проблем современности.Представлены начальные шаги доказательства сходимости .
Ключевые слова: гиперболические системы, постоянный коэффициент, симметричный t-гиперболическая система, смешанная задача, базисные функции, метод конечных элементов, аппроксимация, аппроксимация вектор-функций, приближенное решение смешанной задачи до слоя и др.
АННОТАЦИЯ
ABSTRACT
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
О
R
VOLUME 2 | ISSUE 12 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
The construction of numerical methods for solving complex problems in the fields of mathematical physics, electrodynamics, and applied mathematics with scientific and practical application of fundamental sciences and researching their stability is one of today's urgent issues. The initial steps ofproving convergence are presented.
Keywords: hyperbolic systems, constant coefficient, symmetric t-hyperbolic system, mixed problem, basis functions, finite element method, approximation, approximation of vector functions, approximate solution of a mixed problem up to a layer, etc.
Хрзирги кунда дунёда нефть-газ захираларини аниклаш, иншоотларнинг зилзилабардошлилигини аниклаш, сув иншотларини куриш каби сохаларга замонавий технологияларни жорий этиш, хусусан, илмий-техник имкониятлар суръатини ошириш, фан ва ишлаб чикариш интеграциясини кенгайтириш, гиперболик системаларга куйилган аралаш масалалар учун адекват хисоблаш моделларини куришда чекли элементлар усули назариясини такомиллаштириш буйича куплаб илмий тадкикотлар олиб борилмокда. Бунда аралаш масалаларни сонли ечиш учун тежамкор методлар яратиш ва уларнинг тургунлигини исботлаш мухим рол уйнайди. Шу сабабли гиперболик системаларга куйилган аралаш масалаларни сонли ечиш учун тежамкор схемалар куриш, уларнинг якинлашишини исботлаш хамда амалий масалаларга куллаш долзарб масала хисобланади
Мамлакатимизда фундаментал фанларнинг илмий ва амалий татбикига эга булган математик физика, электродинамика ва амалий математика сохаларидаги мураккаб масалаларни сонли ечиш усулларини куриш ва уларнинг тургунлигини тадкик этишга катта эътибор каратилмокда.
Жахон тажрибаси шуни курсатадики, газ динамикаси, гидродинамика, электродинамика, деформацияланувчи каттик жисмлар механикаси ёки туташ мухитлар механикасининг катор муаммоларини тадкик этиш гиперболик системаларга куйилган аралаш масалалар ёрдамида тавсифланади. Бундай масалаларни сонли ечиш усуллари билан В.А.Ильин, Т.З.Исмагилов, Ю.А.Волков, В.М.Ковеня, К.Фридрих, А.М.Гришин, А.В.Гулин, А.А.Самарский, С.К.Годунов, В.М.Гордиенко, Х.О.Крайс, А.Н. Малышев, А.М.Блохин, Н.Г.Марчук, Р.Сакомота каби куплаб жахон олимлар шугулланишган. Уларнинг ишларида асосан гиперболик системаларга куйилган аралаш масалалар айирмали схемалар ёки чекли элементлар усуллари
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 12
educational, natural and social sciences A ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
ёрдамида сонли ечилган. Ушбу маколада бир улчовли симметрик t-гиперболик системага куйилган аралаш масалани сонли ечиш учун чекли элементлар усули ёрдамида ошкормас айирмали схемани куриш масаласини айрим жихдтлари келтирилган.
Q = (£1}£2) булсин. G = {(i,(0,Т), xeQ} сохада
A — + B — + Си = F(t, x) (1)
dt dx
симметрик t-гиперболик системани
Rlu{t,£l) = gl{t),
R2u(t,£2) = g2(t) и(0,x) = x), xeQ (3)
чегаравий ва бошлангич шартларни каноатлантирувчи и вектор-функцияни топиш талаб килинган булсин. (1)-(3) масаласи симметрик t-гиперболик система учун куйилган аралаш масала дейилади..
Бу ерда A, B - M х M улчамли симметрик хдкикий узгармас матрицалар; бундан ташкари A мусбат аникланган матрица; С - M х M улчамли хдкикий узгармас матрица; R, Я2 -мос тугрибурчакли узгармас матрицалар булиб,
уларнинг устунлар сони M га, сатрлари сони мос равишда A~lB матрицанинг мусбат ва манфий хос кийматлари сонига тенг; g1, g2 - берилган вектор-
функциялар булиб, уларнинг улчамлари мос равишда A~lB матрицанинг мусбат ва манфий хос кийматлари сонига тенг; y/(x) - берилган улчами M га тенг
булган вектор-функция; u(t,x) = (и,,и2,...,им)T -ноъмалум вектор-функция;
F (t, x) = ( f, f,..., fM )T -берилган вектор-функция.
(1)-(3) аралаш масаланинг чекли элементлар усули ёрдамида олинган айирмали схемаси.
[0,T] кесмани Nt булакка буламиз.
T
tn = Т' n,(n = 0,•••, Nt,T=^~r .
N t
кесмани Nx та тенг булакка булиб ( х = ^ +hi ,
£ -£
/ = 0,..., Л',., /? = ' ), аралаш масаланинг вакт буйича хар бир tn катламдаги,
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 12 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
N
(tn,x) такрибий ечимини unh = uh(tn,x) = ^u"((x) куринишда излаймиз. Бу
¿=0
ерда ((x) базис функция, x тугунда унинг киймати 1 га тенг, колган
тугунларда эса унинг киймати 0 га тенг, U = u(tn, xt) = (uM, un2l,..., u"Mi )г вектор. (1.1)
du u (t + r, x)- u (t, x) , ч
системада — ни —---1—1 муносабат билан алмаштирамиз, u (t, x)
урнига uh (tn, x) куямиз ва хосил булган системанинг хдр бир тенгламасини ф0 (x) базис функцияга купайтириб [x0, x ] кесмада, ф^ (x) базис функцияга купайтириб [x^-15 xN ] кесмада ва ф (x) базис-функцияларга купайтириб [x;-1,xi+1], i = 1,...,Nx-1 кесмаларда интеграллаймиз. Базис функциялар сифатида
i(xН
i-1
x el x
xi+1 x
(xi-1, xi
x e( xi, xi+1 e(xi-1, x+1);
i = 1,..., N-1
x e ( x.
(4)
фо ( x )
x ) = <
x1 x
A
0,
x e (xо, x1)' x e (x0, x1) '
ф (x )
x xNx -1 / \
- , x e( x^x-1, xNx);
0, x e(xNx-\, xA^)
функцияларни оладиган булсак, (1) система учун ушбу
1
AhLur + tB%0 un+1 + rCkLuT =-^0 + AhL^
AAL uM+1 + tB<E un+1 + rChL uM+1 = 1rhF"+1 + AhL uv
ДЛ. Nv ^ ДЛ. Nv ДЛ. Nv ^ Nv ДЛ. N-
2
n
Nx Nx
(5)
(6)
AhLu^1 + rB^un+l +TChLu;+1 = rh^1 + AhLun
i = 1,...Nx -1
айирмали схемани оламиз. Бу ерда uM = u(tn,,), FM = F(tn,,),i = 0,...,Nx вектор-функцияларнинг аппроксимацияси ва куйидаги операторлар киритилган
(7)
£ = 1+V, ^ -1..-1 . -1 -1
П 'Л У ' J -'п
3 6
-,L = 1 +1, £ =■
2 Nx 6 3 Nx
h
h
0
<
x
x
x
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 12
educational, natural and social sciences A ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
¥*ип = итт, l=1 +f+Z = - 2 ■
(1)-(3) масаланинг чегаравий ва бошлангич шартларини куйидагича аппроксимация киламиз:
х=1х да MA+i) = gi(X+i) (8)
?
х = t2 да R,uN (tn+1) = g2{tn+l\ (9)
ц (0) = y/(x) i = 0, Nx . (10)
Аралаш масаланинг tn (n = 0,1,2,...) катламгача такрибий ечими топилган деб, tn+1 катламдаги такрибий ечимини топиш учун ип+1, (i = 0,...,Nx) векторларнинг компоненталарига нисбатан (7)-(9) чизикли тенгламалар системасини хосил киламиз. Чизикли тенгламалар системаси ёпик булиши максадида х= <i} да и((,х) вектор-функциянинг чегаравий шарт куйилмаган компоненталари учун (5) айирмали тенгламалар системасидан уларга мос келувчи тенгламаларни оламиз. Масалан, u(t, x) вектор-функциянинг j - компонентасига чегаравий шарт куйилмаган булса, (5) айирмали тенгламалар системасидан у -тенгламани оламиз. x = i2 да эса u(t,x) вектор-функциянинг чегаравий шарт куйилмаган компоненталари учун (1.6) айирмали тенгламалар системасидан уларга мос келувчи тенгламаларни оламиз. Шундай килиб ёпик изикли тенгламалар системасини хосил киламиз. Бу чизикли тенгламалар системаси бош элементлар усули билан ечилган.
REFERENCES
1. Давлатов Ш.О. Узгармас коэффициентли симметрик t-гиперболик системаларни икки улчамли сохада текис турда чекли элементлар усули билан ечиш алгоритми. КдрДУ хабарлари, №3, 2012. Б. 6-15.
2. Давлатов Ш.О. Узгармас коэффициентли бир улчовли симметрик t-гиперболик системаларни чекли элементлар усули билан нотекис турда ечиш //Глобаллашув даврида математика ва амалий математиканинг долзарб масалалари, Тошкент 2021, 258-262 бетлар.
3. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями.// Дифференц. уравнения, 2000, т.36. №5, с.656-661.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
о
R
VOLUME 2 | ISSUE 12 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
4. Исмагилов Т.З., Ковеня В.М., Об одном методе построения схем точной факторизации для численного решения гиперболических уравнений. //Вычислительные технологии. т.6.№3,2003. с.75-91
5. Алоев Р.Д., Давлатов Ш.О. Построение и исследование схем конечных элементов для гиперболических систем с переменными коэффициентами. Amaliy matematika va information texnologiyalarning dolzarb muammolari - А1-Xorazmiy. Бухоро 2016.
6. Алоев Р.Д., Давлатов Ш.О. Устойчивость неявной схемы конечных элементов для симметрической гиперболической системы. Амалий математика ва информацион технологияларнинг долзарб муаммолари- Ал-Хоразмий. Конференция маколалари. Самарканд 15-17 сентябр 2014. 72-76 бетлар.
