Бифуркации высоких коразмерностей в задаче Куэтта Тейлора Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4( 3), с. 1019-1021

УДК 532.516

БИФУРКАЦИИ ВЫСОКИХ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ В ЗАДАЧЕ КУЭТТА -ТЕЙЛОРА

© 2011 г. С.Н. Овчинникова

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

ovch@math.rsu.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Приводятся результаты расчета точек бифуркации коразмерностей 1, 2 и 3 в задаче об устойчивости течения Куэтта между вращающимися в одну сторону цилиндрами. Эти точки интересны тем, что в их малой окрестности возможно изучать аналитически, вполне строгими методами последовательности бифуркаций, включая развитие хаотических режимов. Найдено, что при большой скорости вращения цилиндров изменяется характер нейтральных кривых, соответствующих точкам бифуркации коразмерности 1, а также появляются разнообразные пересечения двух и трех нейтральных кривых (точки бифуркации коразмерности 2 и 3).

Ключевые слова: устойчивость, резонансы, бифуркации, амплитудные уравнения, нейтральные кривые, центральное многообразие.

Начиная с работ В.И. Юдовича (1986 г.). Р. Chossat и в. Iooss (1987 г.), стало возможным описывать поведение решений нелинейной системы Навье—Стокса в малой окрестности точек бифуркации высоких коразмерностей с помощью нелинейных амплитудных уравнений. Построение и анализ амплитудных систем в задаче об устойчивости течения Куэтта нужны для объяснения сложной диаграммы переходов между разнообразными течениями, наблюдаемыми в экспериментах. Вычисление точек бифуркации высоких коразмерностей является первым шагом в таких исследованиях.

Движение жидкости между соосными вращающимися цилиндрами описывается уравнениями Навье—Стокса, зависящими от безразмерных параметров: п — отношение радиусов, О — отношение угловых скоростей цилиндров, Я — безразмерное число Рейнольдса. Предполагается, что скорость течения и давление жидкости 2п/а-периодичны вдоль оси цилиндров (а — заданное осевое волновое число). При всех значениях параметров существует точное стационарное враша-тельно-симметричное решение системы Навье — Стокса — течение Куэтта с вектором у0 .

Критическими параметрами называются значения Я, О, а, п, при которых линеаризованная на течении Куэтта задача

дии + (А - ЯК)и = Уд,

V-и = а и \г =1,п = ° Ч \г =1,п = 0 имеет ненулевое решение (нейтральную моду). В

силу цилиндрической симметрии, нейтральная мода разыскивается в виде

г(ю -тО-каг)_ ч г(ю -тО-ка)~. ч

и = е т ф(г), д = е т д (г),

где целые т и к — соответственно азимутальное и осевое квантовые числа, Ют — вещественная частота.

Нейтральные кривые

Если цилиндры вращаются в одну сторону, то строго доказано [1] существование упорядоченной по возрастанию последовательности Я*1 < Я*,2) < к Я® критических чисел Рейнольдса ЯІ^П, а, п), которым отвечает монотонная потеря устойчивости (т = 0). Из результатов расчета следует, что такая последовательность су -ществует для невращательно-симметричных возмущений (т ф 0), причем вблизи границы (П = 1/п2) строгие неравенства нарушаются.

Различным квантовым числам т и ксоответс-твуют трехмерные семейства критических чисел Рейнольдса ЯДП, а, п) в четырехмерном пространстве П параметров задачи (Я, П, а, п). Если в П зафиксировать два из четырех параметров, например П и п, то на плоскости (Я, а) находятся кривые Я(р) = Я*р)(0, а, п), состоящие из критических точек (нейтральные кривые). В малой окрестности каждой точки нейтральной кривой на смену потерявшему устойчивость течению Куэтта появляется стационарный или колебательный режим, вектор скорости которого аналитически зависит от параметра надкритичности. Этот вторичный ре-

жим может быть устойчивым и неустойчивым.

При больших значениях П > 0 нейтральные кривые перестают быть выпуклыми. Кривые, отвечающие различным по порядку критическим числам Рейнольдса, пересекаются и при дальнейшем возрастании П становятся замкнутыми. Если зазор между цилиндрами мал, то сначала появляются замкнутые нейтральные кривые с большими азимутальными числами т. На рис. 1 для различных т и п при а = 5.81291 построены кривые, состоящие из точек пересечения, соответствующих двум первым по порядку критическим числам Рейнольдса.

Рис. 1

Для п = 1.13257 удалось описать процесс изменения вида нейтральных кривых для m = 7. На рис. 2 видно, как нейтральные кривые перестают быть выпуклыми, становятся замкнутыми и, постепенно уменьшаясь, исчезают вблизи границы Synge (П = 0.77959).

Рис. 2

Кривые Я(1) = Я*;1)(а) (черные линии) и Я(2) = К*2)(а) (красные) построены при П = 0.7 (кривые с номером 1), П = 0.74757 (2), П = 0.753 (3), П = 0.755 (4), П = 0.7576 (5). Синие линии состоят из точек пересечения кривых Я(1) = Я,(1)(а) и Я(2) = Я,(2)(а) при различных значениях П.

Пересечения нейтральных кривых

Нейтральные кривые, отвечающие различным значениям квантовых чисел (m.k) и (n.l), пересекаются, и в каждой точке пересечения существует несколько независимых нейтральных мод. Когда параметры системы изменяются в малой окрестности таких точек, становится возможным сильное взаимодействие этих (точнее, слегка измененных) мод, которое описывается нелинейной системой амплитудных уравнений на центральном многообразии. Эти амплитудные системы выведены с помощью осреднения по быстрому времени. Если в точке бифуркации коразмерности 2 выполняются некоторые резонансные соотношения между параметрами, то у амплитудной системы появляются дополнительные резонансные слагаемые.

Вычисление точек пересечения нейтральных кривых, расчет коэффициентов амплитудных уравнений позволил провести конкретный анализ возможных режимов движения жидкости вблизи течения Куэтта [2, 3]. В случае вращения цилиндров в противоположные стороны существует семь типов амплитудных систем [4].

Проведенный анализ показал, что при вращении цилиндров в одну сторону существуют три типа амплитудных систем. Вычислены точки пересечения двух нейтральных кривых для каждого из трех типов амплитудных систем при п = 1.13257.

Найдены несколько точек пересечения трех нейтральных кривых. Так, пересекаются две нейтральные кривые, которые соответствуют двум первым по порядку критическим числам Рейнольдса при m = n = 6 и k = l = 1, и кривая, отвечающая квантовым числам m1 = 2 и k1 = 1. В остальных точках азимутальные и осевые квантовые числа различны.

Исследование таких систем только начато и классификацию типов амплитудных систем в точках бифуркации коразмерности 3 предстоит построить.

Список литературы

1. Юдович В.И. // ПММ. 1966. Т. 30, вып. 4. С. 688-698.

2. Моршнева И.В., Овчинникова С.Н. // Изв. РАН. МЖГ. 2009. №6. С. 21-31.

3. Моршнева И.В., Овчинникова С.Н. // ПМТФ. 2010. Т. 51, №6. С. 55-62.

4. Yudovich VI., Ovchinnikova S.N. // J. Math. Fluid Mech. 2009. Vol. 11. P. 469-491.

BIFURCATIONS OF HIGHER CO-DIMENSIONS IN THE COUETTE - TAYLOR PROBLEM

S.N. Ovchinnikova

Results of calculation of bifurcation points of co-dimensions 1, 2, 3 in the Couette flow between concentric co-rotational cylinders are presented. In the near vicinity of these points, one can investigate analytically the sequence of bifurcations leading to chaotic regimes. The form of neutral curves of co-dimension-1 changes for high angular velocities of the cylinders, and various intersections of 2 and 3 neutral curves (bifurcation points of co-dimensions 2 and 3) appear.

Keywords: stability, resonances, bifurcation, amplitude equations, neutral curves, central manifold.