Расчет бикритических точек в задаче об устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516

РАСЧЕТ БИКРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ЗАДАЧЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ПРОНИЦАЕМЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

© 2009 г. В.В. Колесов, М.Н. Романов

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, dnjme@math.sfedu.ru

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, dnjme@math.sfedu.ru

Исследуются течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя проницаемыми бесконечными вращающимися концентрическими цилиндрами. Рассчитаны нейтральные кривые монотонной вращательно-симметричной и колебательной трехмерной неустойчивости основного режима, а также точки их пересечения.

Ключевые слова: вязкая жидкость, устойчивость, нейтральные кривые, проницаемые цилиндры, число Рейнольдса.

It has been investigated the viscous incompressible liquid flows between two pervious infinite concentric rotating cylinders. It has been computed the neutral curves of monotonous rotation-symmetric and three-dimensional oscillatory main mode instability, and also the points of their intersection.

Keywords: viscous liquid, stability, neutral curves, pervious cylinders, Reynolds number.

Постановка задачи

Пусть вязкая однородная несжимаемая жидкость заполняет полость между двумя твердыми проницаемыми бесконечными концентрическими цилиндрами с радиусами и Н2 < Угловые скорости внутреннего и внешнего цилиндров обозначим соответственно П] и 0.2.

Предположим, что внешние массовые силы отсутствуют, расход жидкости через поперечное сечение полости цилиндров равен нулю, количество жидкости, втекающей через поверхность одного цилиндра, совпадает с количеством жидкости, вытекающей через поверхность другого цилиндра.

В этом случае уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности, записанные в безразмерных цилиндрических координатах, допускают точное решение [1]

V0 =

2 u0tp

xl

\

ds + const,

Uor =

r

(1)

u0ip

ar

2+1

ai ln r +1

* = <

OR2 -1

a = -

R =

RX+2_1 Здесь

b=l — a.

Q =

a\ =" Q2

OR2 -1

ln R

V

- вектор скорости;

П0 - давление; X = S/v - радиальное число Рейнольдса; S - коэф-

фициент, определяющий интенсивность поступления жидкости через поверхность одного цилиндра и вытекания ее через поверхность другого цилиндра; V - ко-

32

эффициент кинематической вязкости; число Рейнольдса; Хо =/'//- •

Выполненные в [1-3] вычисления показали, что с ростом числа Рейнольдса Л течение (1) может потерять устойчивость двумя способами. В результате его монотонной вращательно-симметричной неустойчивости возникают стационарные вихри Тейлора. Колебательная трехмерная неустойчивость порождает автоколебательный режим с бегущими в азимутальном направлении волнами. Соответствующие нейтральные кривые при определенных значениях параметров задачи могут пересекаться.

Целью данной работы является численный анализ условий существования точек пересечения нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости основного режима (1). Вблизи таких бикрити-ческих точек нелинейное взаимодействие тейлоровской и азимутальной мод может приводить к образованию сложных режимов движения жидкости [3].

Линеаризованная задача устойчивости

Наложим на основной режим (1) бесконечно малые возмущения V и П , т. е. будем искать решение уравнений Навье-Стокса в виде

У = У0+У, П' = П0 +П/Я. (2)

Пусть т, а и с - азимутальное и аксиальное волновые числа и неизвестная фазовая скорость азимутальных волн.

Подставляя (2) в уравнения Навье-Стокса и отбрасывая нелинейные слагаемые, получаем линеаризованную задачу устойчивости. Разыскивая её 2к/т-

r

3

s

s

r

и 2л/я-периодическое соответственно в азимутальном и аксиальном направлениях решение в виде

V = ф-),о(г)Мг) 3 е-*т*+ов-'*), П = ,

получаем после разделения переменных комплексную спектральную задачу

+ i-z d 1-Х m2

dr2 r dr r2 'T2

dq dr -2 Aß) и 2 im

V + i-x d 1 + X m2

dr2 r dr r2 'T2

.2

-тсо

--7Г-СС -lÄ4i-niC0^P =

im . 2 im

=--q - Agu H--— и,

r r2

d

2

2

и ± — x и III 7 J

—— +----— - a -iä%- mco

dr

r

dr

r

2

]w = -iaq ,(3)

du и im

--1----v-iaw = 0 ,

dr r r

Ii = v = м> = 0 ( = 1, R

( d П

g =

d l)

v0tp r

arx + — % Ф -2 r

flllnr+1 £ = -2~

для определения критического значения числа Рей-нольдса Л и частоты нейтральной азимутальной моды c (фазовой скорости азимутальных волн).

Численные результаты

Задача на собственные значения (3) решалась численно методом пристрелки на компьютере IBM PC

Pentium IV. Для проведения расчетов использовалась программа Crit Win 2.1, разработанная на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Вычисления выполнены для случая, когда отношение угловых скоростей цилиндров меняется в диапазоне -1 < Q < ОД, R = 2 (радиус внешнего цилиндра в 2 раза больше радиуса внутреннего), т = 0 (вращательно-симметричные возмущения) и Я7 = 1 (трёхмерные возмущения, 2л -периодические в азимутальном направлении). Результаты

представлены на рисунке и в табл. 1, 2.

375

250 :

125

ч

1 m=1

1 1 1 1 1 1 m=0

---Y----- 1 1 1 1 1

-0.725

-0.45

-0.175

Нейтральные кривые при R = 2 , % = —0,5, а — 3

Таблица 1

Критические значения числа Рейнольдса для вращательно-симметричных (т = 0) и колебательных трехмерных возмущений (т = 1) в случае R = 2

и =

r

m X=0,5

a=2 a=3 a=4 a=5 a=2 a=3 a=4 a=5

0 -1,0 Я 874,0 603,3 474,6 402,9 332,9 239,4 198,7 179,6

0 -0,5 я 275,1 201,7 171,4 159,1 138,7 109,0 100,3 101,0

0 0,0 я 80,0 70,6 73,3 82,4 77,3 68,0 70,7 79,9

0 0,1 я 89,8 79,4 82,7 93,5 90,3 79,5 82,8 93,8

1 -1,0 я 808,8 535,3 410,6 374,5 250,9 242,9 191,6 174,6

c 0,495 0,298 0,353 0,371 0,360 0,333 0,336 0,340

1 -0,5 Я 209,7 172,2 161,1 155,6 124,6 101,1 97,6 101,5

c 0,294 0,336 0,336 0,325 0,260 0,288 0,300 0,305

1 0,0 Я 97,6 79,2 80,4 89,8 92,2 75,6 77,1 86,8

c 0,304 0,307 0,314 0,325 0,325 0,329 0,335 0,343

1 0,1 Я 110,3 89,5 91,2 102,6 109,8 89,3 91,1 102,9

c 0,362 0,365 0,371 0,380 0,371 0,375 0,380 0,386

Вычисления показали, что при вращении цилиндров в одном направлении нейтральные кривые не пересекаются. Когда цилиндры вращаются в разные стороны 0<О , нейтральные кривые могут иметь от одной до 3 точек пересечения в рассматриваемых диапазонах изменения параметров задачи (см. рисунок и табл. 2).

Наличие точек пересечения нейтральных кривых в случае вращения цилиндров в различных направлени-

Когда цилиндры вращаются в разные стороны (]<0 и |п| достаточно велик, увеличение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего цилиндра ^ > 0 дестабилизирует основной режим (1), причем этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше величина .

Если же имеет небольшие значения либо

О > 0 и достаточно велико, ситуация усложняется. В зависимости от значений других параметров задачи изменение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего или внешнего цилиндров может оказывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее воздействие на основной режим (1).

Поступила в редакцию_

ях свидетельствует о том, что возмущения, порождающие вихри Тейлора и азимутальные волны, сильно взаимодействуют. Следовательно, при соответствующих значениях параметров в окрестности точки пересечения могут возникать сложные режимы движения жидкости. Напротив, при вращении цилиндров в одинаковых направлениях точки пересечения нейтральных кривых отсутствуют, поэтому при соответствующих значениях параметров трудно ожидать возникновения сложных режимов.

2

Работа поддержана грантами аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/554, 2.1.1/6095.

Литература

1. Шапакидзе Л.Д. Об устойчивости течения Куэтта между

двумя вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР. Механика жидкости газа. 1975. № 3. С. 146-148.

2. Shapakidze L. On the stability of flows between two rotating

cylinders // Proc. of the Intern. Conf. of Appl. Mech. 1. Beijing, China, 1989. P. 450-454.

3. Kolesov V., Shapakidze L. On oscillatory modes in viscous

incompressible liquid flows between two counter-rotating permeable cylinders // Trends in App. Math. to Mech. 2000. Vol. 106. P. 221-227.

3 июля 2008 г.

Таблица

Бикритические точки, соответствующие пересечению нейтральных кривых монотонной вращательно-симметричной и колебательной трехмерной неустойчивости

X a=2 a=3 a=3 a=3 a=4 a=4 a=4 a=5

0,5 Q -0,431 -0,910 -0,417 -0,439 -0,530

Я 116,1 210,6 91,8 91,3 104,5

0 Q -0,384 -0,993 -0,796 -0,370 -0,389 -0,459

Я 123,3 313,7 226,9 96,6 95,6 108,1

-1 Q -0,304 -0,857 -0,640 -0,291 -0,305 -0,349

Я 142,9 459,2 286,1 109,2 106,5 117,8

-2 Q -0,234 -0,693 -0,214 -0,664 -0,525 -0,221 -0,247

Я 158,0 586,8 111,4 431,2 303,0 106,2 115,1