Странные аттракторы в амплитудной системе, соответствующей пересечению бифуркаций в задаче Куэтта–Тейлора Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 532.516

СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ В АМПЛИТУДНОМ СИСТЕМЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЮ БИФУРКАЦИЙ В ЗАДАЧЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА

© 2012 г. А.А. Алексеев, И.В. Моршнева

Алексеев Александр Александрович - ассистент, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-mail: alxv@bk.ru.

Моршнева Ирина Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-mail: morsh@math.rsu.ru, morsh4@yandex.ru.

Alexeev Alexander Alexandrovich - Assistant, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: alxv@bk.ru.

Morshneva Irina Victorovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: morsh@math.rsu.ru, morsh4@yandex.ru.

Рассмотрены хаотические режимы течения жидкости между вращающимися цилиндрами в окрестности точек пересечения нейтральных кривых колебательной потери устойчивости в нерезонансном случае. В окрестности таких точек взаимодействие нейтральных мод описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд. Показано, что при определенных значениях параметров существуют хаотические решения амплитудной системы, которым могут соответствовать хаотические режимы течения жидкости.

Ключевые слова: задача Куэтта-Тейлора, пересечение бифуркаций, амплитудные уравнения, странный аттрактор.

Chaotic regimes of flow between two concentric rotating cylinders near codimension-2 bifurcation points are investigated. The interaction of neutral modes near such points is described by the system of ordinary differential equations for amplitudes. Results of calculation of chaotic solutions of amplitude system are presented.

Keywords: Couette-Taylorproblem, intersection of bifurcations, amplitude equations, strange attractor.

Постановка задачи

Рассматривается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными соос-ными цилиндрами радиусов г1, г2, вращающимися с угловыми скоростями соответственно (задача

Куэтта-Тейлора).

Безразмерные уравнения движения (уравнения Навье-Стокса) записываются в виде

^ + Аг = -Ур - Я1Ку, V) , (1)

Vv = 0,

где V = (уг,VQ,vz) - скорость течения; р - давление;

(г, 9,2) - цилиндрические координаты; ось г направ-

„ 2 „

лена вдоль оси цилиндров; ^ = ——- - число Рей-

V

нольдса; V - кинематический коэффициент вязкости; d = "л -1 - безразмерный зазор между цилиндрами;

(Av) z = -Avz

д2

1 д 1 д

A =—- +--+ — — + - ,

дг2 r дг r2 д9 dz2

(ДИ, v)) г = Vr ^ + ^ + Vz % - ~

дг г д9 дz г ,Т. ди9 v9 ди9 ди9 vu

дг г д9 дz г

(L(u, v)) z = V

dUz | vq dUz

дг г <дд

+ v,

дя

v = (i1 д_ r дг r 59 5z На твердых границах задано условие прилипания:

vr = vz = 0 > Vq=-^ , r = ■ 1

^ = vz = 0 > v9 =

Qn

■rç-1 rç-1

■rç-1 rç-1

ц = Г2 - отношение радиусов цилиндров. Линейный где Q = - отношение уга^ьк скоростей враще

оператор A и нелинейный оператор L определяются следующими дифференциальными выражениями:

Л s л vr 2 dvr ( Av)r = -Avr +-Г- +——-,

г г r 2 r2 59 '

vQ 2 5v9

п1

ния цилиндров.

Система (1) обладает группой симметрии G=SO(2)xO(2) - она инвариантна относительно вращений ¿9 , трансляций ¿¡2 и инверсии J, действую-

(Av)q =-aVq+^q-

2 г2 дд

щих Т8

на

поле скоростей по правилам:

LQv(t, г, 9, z) = v(t, г, 9 + 8, z) ;

2

Lhzv(t, r, е, z) = v(t, r, e, z + h) ;

Jv(t, r, e, z) = (vr (t, r, e, - z), ve (t, r, e, - z), - Vz (t, r, e, - z))

для любых вещественных 8 и h .

При всех значениях параметров система имеет точное решение v0 (r) = (0, v0e (r), 0) - течение Куэтта.

b =

R - Rir Ri(n2 - 1)d2

Ь Я2 - К Здесь у09 = аг + — , а = —^——

г -1)

П^ё2 2 где = ——-, К2 = ——- - числа Реинольдса,

V V

связанные с вращением внутреннего и внешнего цилиндра соответственно.

Исследовать устойчивость течения Куэтта относительно возмущении с периодическими по 2 полями

скорости и давления с заданным периодом — можно

а

методом линеаризации. Заметим, что требование периодичности играет здесь роль «осевого краевого условия».

Рассматривается случаи потери устоичивости течения Куэтта, при котором в спектре устоичивости находятся две пары чисто мнимых собственных значений. Это соответствует пересечению двух нейтральных кривых колебательной потери устойчивости. В указанном случае линеаризованная на течении Куэтта задача устойчивости имеет четыре независимые нейтральные моды:

ф00 = е-1(а^+тд+каг)ф0Ю(г) ,

Ф01 = е-1'(ш»'+,и0-*аг)фм (г) , Фт = е

(ш»'+й6+;а2)Ф20 (г), Ф11 = е-'(»,/+"е-1а2)ф11 (Г),

взаимодействие которых в малой окрестности точки пересечения может приводить к появлению разнообразных режимов движения.

Система амплитудных уравнений

Малая окрестность точки пересечения бифуркаций

9 2

задается выражениями: Я1 = Я1* + , К = К2* + , где е - вещественный малый параметр; коэффициенты £1, ¿2 - параметры надкритичности.

Асимптотическое решение нелинейной системы в окрестности точки 0^*, Я2*) ищется в виде

V = у0 + е(Ф + Ф*) +К ,

Ф = ^00(Т)Ф00 +^01(Т)Ф01 +^1о(т)Фю +^11(т)Фц , где -неизвестные амплитуды, зависящие от медленного

времени т = е2/. При малых е с помощью теоремы о центральном многообразии строится система комплексных дифференциальных уравнений первого порядка для амплитуд [1, 2].

Рассматривается случай, когда ни одно из шести резонансных соотношений (указанных в [3]) между азимутальными и осевыми квантовыми числами и между фазовыми частотами не выполняется. Тогда амплитудная система содержит только члены, отвечающие обязательным резонансам, и имеет вид

&) = ^оо(а + A^ос|2 + B^0i|2 + C ^1с|2 + D^1l|2) , Юх =^0i(CT + в ^оо|2 + A|^0i|2 + D^iol2 + C|^ii|2), (2)

§о =^ю(Ц + P ^оо|2 + S ^if + U ^ю|2 + V ^iif)'

§i = ^„(ц + S^оо|2 + PM2 + V^ю|2 + U^iil2).

Комплексные коэффициенты а, ц, A, B, C, D, P, S,U,V системы (2) выражаются явно через решения серии линейных неоднородных краевых задач.

При исследовании режимов движения в (2) удобно перейти к системе для инвариантов группы симметрии, которыми в данном случае являются модули комплексных амплитуд:

Йоо = P00(ar + ArРоо2 + BrP0i2 + CrPm2 + DrPii2)>

P%1 =P01(аr + ВгРоо2 + ArP012 + DrРю2 + CrPii2) > (3)

&0 = Pi0»r + PrP002 + SrP012 + UrPi02 + VrPi12) >

$1 =PiiOr + SrP002 + PrP012 + VrPi02 + UrPi12) .

Здесь и далее нижний индекс r означает действительную часть, а i - мнимую часть комплексного числа. Система (3) носит название моторной подсистемы. После того как найдено решение моторной подсистемы, фазы находятся простым интегрированием уравнений

2 2 2 2 = ai + Ai Р00 + BiP01 + CiPi0 + DiPi1 >

2 2 2 2 0i =ai + BiP00 + AiP0i + DiPi0 + CiPii >

2 2 2 2 10 = Ц + PiP00 + SiP01 + UiPi0 + ^Pii >

2 2 2 2 ¡1 = Mi + SiP00 + PiP0i + ^iPio + ^iPii :

нуля,

иначе

если амплитуды отличны от Уоо, Уоь ^10, VII не определены.

Системы (2), (3) выписаны в [4], там же приведены формулы для расчета коэффициентов и рассмотрены равновесия системы (3) на инвариантных подпространствах, на которых обращаются в нуль одна или несколько амплитуд. Этим равновесиям отвечают стационарные, периодические и квазипериодические режимы исходной системы уравнений Навье-Стокса. Также в [4] показано, что у системы (3) имеется одно-параметрическое семейство равновесий общего положения при выполнении условия: (Аг - Вг Хиг - Уг) - (Сг - Бг )(Рг - 8Г) = 0. (4)

Хаотические режимы движения амплитудной системы

Вопрос о существовании хаотических режимов движения в амплитудных системах, соответствующих пересечению бифуркаций в задаче Куэтта-Тейлора, изучался ранее для случая пересечения нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости при равенстве осевых квантовых чисел. В [5, 6] было показано, что странный аттрактор в моторной подсистеме возникает в результате последовательности бифуркаций удвоения периода предельного цикла, ответвляющегося от одного из равновесий системы (смешанных азимутальных волн). Подобное поведение обнаруживалось как в системе с коэффициентами,

рассчитанными для классической задачи Куэтта-Тейлора, так и для задач с вторичными эффектами, в частности, неизотермической задачи Куэтта-Тейлора, задачи о течении жидкости между двумя проницаемыми цилиндрами. Заметим, однако, что пока не проведен анализ устойчивости таких режимов относительно возмущений, нарушающих заданную периодичность, вопрос о соответствии им хаотических режимов течения жидкости, наблюдаемых в эксперименте, остается открытым.

Система вида (2) также возникает в целом ряде задач с цилиндрической симметрией, в частности, в задаче Куэтта-Тейлора с вторичными эффектами. Эти эффекты (при соблюдении условий симметрии) оказывают влияние на значения коэффициентов амплитудной системы, но не на её вид. Следовательно, системы (2) и (3) заслуживают рассмотрения при произвольных значениях коэффициентов.

Для поиска странных аттракторов в системе (3) использовалась процедура, предложенная в [7]. Именно для каждого коэффициента выбирался диапазон и шаг изменения, затем для каждого набора значений коэффициентов проводилось интегрирование системы (3) методом Рунге-Кутты с вычислением показателей Ляпунова для каждой траектории. Критерием хаотичности поведения траектории считалась положительность старшего показателя Ляпунова при отрицательности суммы все четырех показателей (условие диссипативности системы). Следует отметить, что описанная процедура не может гарантировать, что найдены все странные аттракторы в моторной подсистеме, а также что все найденные аттракторы являются различными.

Показатели Ляпунова рассчитывались по алгоритму, предложенному в [8]. Вычисления проводились с использованием массивно-параллельной вычислительной системы на основе технологии CUDA, что позволило проверить достаточно широкий диапазон параметров.

В результате расчетов был обнаружен ряд примеров хаотического поведения траекторий системы. Все аттракторы найдены в системах, для которых выполняется условие (4). Для таких систем в качестве начальной точки при интегрировании выбиралось одно равновесие из семейства равновесий общего положения, которое при некоторых значениях свободных параметров аг, цг претерпевает колебательную потерю устойчивости. Численные результаты, однако, показывают, что найденные аттракторы устойчивы по отношению к малым изменениям параметров, нарушающим соотношение (4). Рассмотрим два характерных примера.

Первый аттрактор найден в системе со следующими значениями коэффициентов:

Ar = -0,625; Br = 1,1; Cr = 1,3; Dr = -1,0; Pr = -1,0; Sr = -0,4; Ur = 0,2; Vr = -0,6.

например, при аг =-10,0 странный аттрактор существует лишь в диапазоне 22,94 <цг < 23,181.

Рис. 1. Проекции странного аттрактора на координатные плоскости

Данный хаотический аттрактор возникает в результате последовательности бифуркаций удвоения периода предельного цикла, рождающегося при цг = 22,646 в результате колебательной потери устойчивости равновесия общего положения. Последовательные бифуркации этого цикла удовлетворяют закону универсальности Фейгенбаума. Проекции аттрактора на координатные плоскости при аг =-10,0, цг = 23,176 показаны на рис. 2. Форма хаотической траектории мало отличается от формы породивших её циклов. Соответствующие показатели Ляпунова и координаты точки на аттракторе: Л! = 1,42, Л, = 0, Л, = -0,0008, Л, = -23,1,

Ч

Р00 = 5,°7, Р01 = 2Д6, Р10 = 5Д6, Р11 = 3,81

Рис. 2. Область существования первого странного аттрактора в плоскости свободных параметров

Второй из найденных аттракторов возникает в системе со следующими значениями коэффициентов: Аг = -1,2; Вг = 1,1; Сг = 1,3; Бг = -1,0; Рг = -1,0; 8г = -0,4; иг = 0,4; Уг = -0,2. Область существования аттрактора показана на рис. 3.

Область его существования на плоскости параметров аг, цг приведена на рис. 1. Аттрактор существует в узкой области (показанной черным цветом) между областями регулярного движения (белый цвет) и выхода траекторий на бесконечность (серый цвет). Так,

Рис. 3. Область существования второго странного аттрактора в плоскости свободных параметров

Она имеет фрактальную структуру с множественными областями регулярного движения, чередующимися с регионами хаотичности. Вид траектории, соответствующий некоторым значениям при аг = -10,0, показан на рис. 4. При выходе из областей регулярного движения происходит каскад бифуркаций, вновь приводящий к возникновению странного аттрактора.

Рис. 4. Режимы движения в амплитудной системе, соответствующие различным значениям параметра

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-0131252 мола).

Литература

1. Юдович В.И. Переходы и возникновения хаоса в тече-

ниях жидкости // Аннотации докладов 6-го Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986. С. 661.

2. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor problem. N.Y.,

1994. 233 p.

3. Yudovich V.I., Ovchinnikova S.N. Resonances in the inter-

section of bifurcations in the Couette-Taylor problem // Patterns and Waves / A. Abramian, S. Vakulenko, V. Volpert (Eds.). Saint-Petersburg, 2003. P. 55-77.

4. Юдович В.И., Овчинникова С.Н. Пересечения бифурка-

ций в проблеме Куэтта-Тейлора. I. Нерезонансный случай. 2005. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 5.04.2005. № 458-В2005.

5. Колесов В.В., Хоперский А.Г. Неизотермическая пробле-

ма Куэтта-Тейлора. Ростов н/Д, 2009. 192 с.

6. Романов М.Н. Движение жидкости между вращающи-

мися проницаемыми цилиндрами : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 2011. 200 с.

7. Sprott J.C. Some simple chaotic flows // Physical Review E.

1994. Vol. 50, № 2. P. R647-R650.

8. Dieci L., Jolly M.S., Van Vleck E.S. Numerical Techniques

for Approximating Lyapunov Exponents and Their Implementation // J. Comput. Nonlinear Dynam. 2011. Vol. 6. P. 011003-1-7.

Поступила в редакцию

3 апреля 2012 г.