Асимптотика периодических решений фактор- системы в задаче о пересечении тейлоровской и азимутальной неустойчивостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.516

АСИМПТОТИКА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ ФАКТОР-СИСТЕМЫ В ЗАДАЧЕ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ТЕЙЛОРОВСКОЙ И АЗИМУТАЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

© 2009 г. Н.В. Петровская, \В И. Юдович

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, vmmf@math. sfedu.ru

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, [email protected]

Метод осреднения применен для исследования амплитудной системы на центральном многообразии, возникающей при исследовании пересечения тейлоровской и азимутальной неустойчивостей в задаче Куэтта-Тейлора. Построена асимптотика периодических решений ее четырехмерной фактор-системы в предельном случае медленно меняющихся амплитуд обеих азимутальных волн.

Ключевые слова: задача Куэтта-Тейлора, амплитудная система, периодическое решение, асимптотический анализ.

The averaging method is applied to the 6D amplitude system on the central manifold in the case of intersection of Taylor and azimuthal instabilities in the Couette-Taylor problem. For its 4D factor-system in the case of slowly varying azimuthal waves the asymptotic of the periodical solutions is constructed.

Keywords: Couette-Taylor problem, amplitude system, periodical solution, asymptotical analysis.

Изучается шестимерная амплитудная система уравнений, возникающая при исследовании пересечения бифуркаций ответвления вихрей Тейлора и азимутальных волн от течения Куэтта между разновра-щающимися цилиндрами. Эта система была независимо выведена в работах [1, 2], результаты ее аналитического и численного исследования можно найти в [3, 4]. Система является универсальной для исследования пересечения бифуркаций в задачах с цилиндрической симметрией: например, она была использована в [5] при исследовании течения жидкости между проницаемыми цилиндрами и в [6] при исследовании устойчивости неизотермического течения Куэтта. Что касается пересечения бифуркаций рождения азимутальных волн с различными квантовыми числами, то они рассматривались в [2], где выписана амплитудная система восьмого порядка на нейтральном многообразии и изучены ее равновесия на инвариантных плоскостях. Результаты ее дальнейшего исследования содержатся в [7, 8].

В данной работе метод осреднения применяется для построения асимптотики периодических решений че-

тырехмерной фактор-системы шестимерной амплитудной системы [4] в случае медленно меняющихся амплитуд обеих азимутальных волн. Пусть po ■ exp('6o) -комплексная амплитуда тейлоровской моды, а р ■ expd&i) и р2 ■ exp(z'$2) - комплексные амплитуды азимутальных волн (p¡ - амплитуды; 6\ - фазы). Предположим, что скорость изменения амплитуд pi, Р2 со временем мала - порядка s , а тейлоровская амплитуда po изменяется с «нормальной скоростью» -порядка единицы. В этих предположениях фактор-система имеет следующий вид:

2 2 2 Po = + AP0 + B(p +р^) + DpР2 cosP)po,

р = s ■ (m + Pp0 + Qp2 + RpfPi +

+ spoP2(U cosP + V sin P),

P2 = s ■ (M + PPo + Rp + Qp2)P2 +

+ sp<?p (UcosP-VsinP), (1)

2

¡¡ = Cp - Р22) - 2Dpip2 sin p-E-ZÏ- х

Р\Р2

х ((Р12 + Р22) U Sin ¡ + (p2 - Р22) - F COS ¡) .

Здесь ¡ = Qi-Q2 - 2в0 - фазовый инвариант. Если решение системы (1) найдено, то фазы 0i определяются по явным формулам. Отметим, что уравнения (1) инвариантны относительно преобразования

(Р0,РР2,Р) ^ (Р0,Р2,Р1,-р) .

Для определения коэффициентов амплитудной системы приходится численно исследовать оба вида неустойчивости и вычислять функционалы, зависящие от решений соответствующих линейных спектральных краевых задач и их сопряженных [3-6]. Аналогичные результаты для системы восьмого порядка, описывающей пересечение бифуркаций рождения азимутальных волн с различными квантовыми числами, можно найти в работах [7, 8].

Система (1) изучается в предельном случае e ^ 0 ; остальные параметры считаются фиксированными. В п. 1 рассматривается порождающая система, получающаяся из (1) при e = 0. Она имеет два первых интеграла: pi и p2 (при малых e амплитуды pi и Р2 - медленные переменные). При фиксированных значениях pi и p2 нелинейные уравнения для быстрых переменных po, ¡ интегрируются явно. Оказывается, что при некоторых ограничениях на параметры задачи в фазовом пространстве этих уравнений имеется единственный глобально устойчивый предельный цикл. Отметим, что ¡ - угловая переменная, а рассматриваемым циклам отвечают движения типа вращений.

Для изучения предельных циклов системы (1) при малых e Ф 0 используется метод осреднения [9]. В п. 2 выводятся осредненные уравнения 1-го приближения. Заметим, что для вычисления предельных циклов можно применять также метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в [10]; при этом ведущие амплитудные уравнения метода Ляпунова-Шмидта суть не что иное, как уравнения равновесий осредненной системы.

В п. 3 изучаются равновесия осредненной системы, которым отвечают порождающие циклы. В частности, обнаружена и проанализирована ситуация, когда порождающий цикл при изменении параметров системы возникает из петли сепаратрисы седло-узла (теорию этой бифуркации см., например, в [11]).

В п. 4 приводятся результаты вычислений, выполненных для одного комплекта параметров задачи. Вычислены порождающие циклы и исследованы их бифуркации. С использованием этих данных в качестве начальных приближений проведен расчет семейства периодических решений системы (1) при малых e > 0 .

1. Порождающая система

22

Введем обозначения: a = C(p - p^ ) ; b = 2Dpp2 ;

z = p2 + p22 ; с = 2(a + Bz) ; к = (a2 - b2)1/2.

Полагая в (1) e = 0, получаем порождающую систему

ß = a - b sin ß,

(З)

Pl = 0, P2 = 0; Pi и P2 - ее интегралы, а в полной системе - медленные переменные. Фиксируем их значения (неотрицательные) и рассмотрим уравнения (2), (3) при (р0,Р)eQ = R+xSj, R+ - положительный луч; S1 - окружность. Покажем, что при выполнении условий

\а\ > \b\, с > 0, A < 0 (4)

эти уравнения имеют единственный глобально устойчивый в Q предельный цикл типа вращений.

Заметим, что уравнение (3) при нарушении первого из условий (4) имеет равновесия, угловая переменная р при t ^ ж стремится к постоянному значению, и у системы (2), (3) нет периодических решений. Интегрируя уравнение (3) при |а| > Щ , находим

P(t) V, , k(t +10) ^ tgp(t) = а b + к• tg ( + 0) I. (5)

Далее для определенности будем считать, что

Р(0) = 0 .

Уравнение (2) подстановкой р0 = 1/ y приводится к линейному y = -(с + b cos Р) y - 2A.

Его общее решение при с ф О

y(t) = Ke ~ct (a - b sin ß) + yo (t) .

(б)

Здесь K - произвольная постоянная, а функция yo(t) периодична по t с периодом T = 2п!к и определяется равенством y0(t) = p + q sin ¡(t) + r cos ¡(t),

2Aab 2Ab

где p = ■

2 A(c2 + a2) с (с 2 + к 2)

q=

с(с2 + к2)

r =

Из (6) следует, что

Po (t) = (p + q sin ß(t) + r cos ß(t))'

-i/2

с2 + к2

(7)

2

Po = (с + 2 Apo + b cos ß)Po /2,

(2)

- единственное периодическое решение уравнения (2), устойчивое при с > 0 и неустойчивое при с < 0.

Легко проверяется, что р2 > д2 + г2 при |а| > |б|. Пусть Ас < 0, тогда р > 0, >о(0 > 0 для всех г, и Р0(г) корректно определяется равенством (7). Итак, уравнения (2), (3) имеют единственный глобально устойчивый в П предельный цикл (5), (7) при выполнении условий (4). Отметим, что этими условиями исключается случай р= р2 .

2. Осредненные уравнения первого приближения

Основываясь на результатах п. 1, можно предполагать, что при малых е > 0 фазовая точка, движущаяся в соответствии с полной системой уравнений (1), совершает быстрые вращения вдоль цикла семейства (5), (7) с медленно эволюционирующими параметрами р1 и р2. Это представление оправдывается применением известных результатов по методу осреднения в случае быстрых вращений [9].

Подставим во 2-е и 3-е уравнения системы (1) найденные периодические функции Р0(г), Р(г) и осредним правые части уравнений по периоду Т . В результате приходим к системе осредненных уравнений 1-го приближения:

P =s-®i(p,p2) , р2 = s ■ Ф2 (р, P2) (8)

где Ф1 = (m + p( Po2) + QPi2 + RP2 }л +

+ U po2 cos p + v( po2 sin p) ■ P2 ,

ф 2 = (m + p( Po2)+Rp2 + Qpf) ■ P2 +

+ (u( Po2 cos p - v( Po2 sin p) ■ Pi .

Здесь (/) - среднее за период T -периодической

1 t

функции: = -\ f (t)dt. T o

Выразим средние значения , ^p2cosP) и

^Po sin p через параметры исходной системы и значения интегралов pi, P2. При b = 0 из (2), (3) сразу следует, что f = at, Po = -c /(2A). Тогда, очевидно, (po2cosp = 0 , ^Po sin p = 0.

Пусть теперь b ф 0. Продифференцируем (3) и разделим результат на p ; после осреднения получаем (cos p = 0. Далее, разделив (2) на p< и осреднив полученное равенство, находим ^Po) = -с /(2A). Непосредственным вычислением, переходя к интегрированию по в, получаем

Pß = J I"

sign(a)dß

T qP + q sin ß + r cosß

= g( Po2),

где

(2 2 2 2 г/2

(c + k )/(c + a )J . Умножая (3) на PÓ2, осредняя и используя последнее соотношение, имеем ^p2sin fp = [pp^■ (a-g)/b . Для определения

^Pocosp воспользуемся тождеством (7) в виде Po (p + q sin P(t) + r cosP(t)) = i. После его осреднения получаем ^p cos p ■ (ag - k2) /(be).

Итак, средние величины ^Po), (p^cosf и

^Po sin p выражаются через параметры исходной системы и значения интегралов p, P2 по формулам: (po2) = -с/(2A), (po2 sin ■ (a - g) /b ,

(p2cosp) = (po2) ■ (ag - k 2)/(bc). (9)

Легко убедиться, что справедливо тождество: a^p sin p + c^p cosp = b^p) . Отметим, что уравнения (8) определены при

p> 0, p2 > 0 , ai > b , с > o (10)

и инвариантны относительно преобразования

(P ,P2) ^ (P2'P ) .

3. Равновесия осредненных уравнений

Равновесиям осредненных уравнений отвечают порождающие циклы. Все равновесия определяются из уравнений

Ф1 Р ,Р2) = 0 , Ф2(А ,Р2) = 0 • (11)

Задача их отыскания сводится к решению полиномиального уравнения 4-й степени относительно г = р12 +р2 [12]. Каждому найденному значению г отвечает не более чем одна пара равновесий осреднен-ной системы, симметричная относительно преобразования (Р1,Р2) ^ (Р2,А). Таким образом, осредненные уравнения (8) могут иметь не более 4 пар равновесий.

Хотя корни многочлена четвертой степени явно выражаются через его коэффициенты, проще находить равновесия посредством вычислений или, в случае малости некоторых величин, с помощью построения асимптотики. Ниже рассматриваются два предельных случая, когда при изменении параметров задачи равновесие стремится к границе области, определяемой условиями (10) (возьмем то из симметричной пары равновесий, для которого р > Р2 )•

Предельный случай Р2 ^ 0 . Пусть параметры системы изменяются таким образом, что Р2 ^ 0. Переходя в (11) к соответствующему пределу и учитывая, что ^СсоБр^ 0 и ^рзт р^ 0, из 1-го уравнения находим предельное значение Р1

Р* = ((Ра-Ам)/(А<2 - РЕ))112, а из 2-го получаем условие на значения параметров, при выполнении которо-

*

го осредненные уравнения имеют равновесие (р ,0): 2аА(Я -0(а2 + с2) -БПас2 + БУс(2а2 + с2) = 0 . (12)

Предельный случай к ^ 0. Пусть параметры системы изменяются таким образом, что к ^ 0. Напомним, что осредненные уравнения выведены в предположении > |й|, т.е. к > 0 . При к = 0 порождающие

уравнения (2), (3) имеют равновесие типа седло-узел с

1 / 2

координатами р0 = (-с /(2 А)) , р = Б -я/2, 5 = ^п(аЬ), а при к ^ 0 предельный цикл (5), (7), вдоль которого проводится осреднение, вырождается в петлю сепаратрисы этого равновесия. Можно, однако, доопределить функции Ф1, Ф 2 по непрерывности и для к = 0 . Переходя в (9) к пределу при к ^ 0, имеем g ^ 0, ^Р^т р^ ^Ро), ^рсо8р^ 0 .

Соответственно, уравнения (11) принимают вид

[м + р( Р02) + аР + Р ) - Р + Рс2) - Р2 = 0,

М + рРо2) + КР12 + бР22 ) - Р2 - У5(Ро2) - А = 0 •

Добавляя к ним равенство |а| = |Ь|, учитывая (9) и исключая р1, р2, выводим условие совместности полученной системы:

2V (C2 + D2)(Bß- Qa) + + C(R - Q)(AD¡U - (DP + CV)a) = 0 .

Это равенство задает в пространстве параметров поверхность, точкам которой отвечает бифуркация превращения порождающего цикла в петлю сепаратрисы седло-узла.

Из уравнений (11), учитывая равенство |а| = |б|,

находим симметричную пару равновесий (р+, р_),

*[ 1^1 А

1 + -

(P-, р+ ) , гДе P+ = Z—

D

VC

+ D

2

* í P-=7

1 -

D

Л

■C

+ D 2

* (DP + CV )a- ADp

z =--

(DP + CV)B - ADQ

4. Пример расчета семейства предельных циклов

Определение коэффициентов амплитудной системы - отдельная трудная вычислительная задача: нужно численно исследовать оба вида неустойчивости (тейлоровскую и азимутальную) и вычислить функционалы, зависящие от решений соответствующих линейных спектральных краевых задач и их сопряженных. Для демонстрации полученных результатов это не обязательно, просто фиксируем в (1) значения коэффициентов A = Q = —1, C = D=P = V = 1, B = R = U = 0.

После этого в осредненных уравнениях (8) остается только два параметра (с и /), а фактически один: ввиду инвариантности системы (8) относительно преобра-

—2 2 2 зования (t,pi,р2,с,р) ^ (m t,mpi,mp2,m с,m p),

(m > 0), достаточно исследовать ее для с = 1. Тогда IpO^j = 1, ^р<з sin fi = (a — g)/b , и уравнения для определения равновесий осредненной системы (8) принимают вид

(/ +1 -Pi2)Pi +P2(a-g)/b = 0 ,

(/ +1 — p°)p2 — p(a — g)/b = 0 . (14)

Равновесия осредненной системы и порождающие циклы. Исключая из (14) величину g, получим

z2 = (/ +1) • z + b2/2.

(15)

Далее, выражая g из каждого уравнения (14) и

складывая полученные равенства, с использованием (15) находим

g = a • (2 + /- z).

Подставляя в (16) g = k • ((c2 + k 2)/(c2 + a2)

(16) 1/2

упрощая, приходим к уравнению относительно вели-

2 , 2

чины г = р1 + р2 :

г4 _ (5р + 7)г3 + (8р2 + 24р + 4)г2 _ - (4р3 + 20р2 + 4р_ 20) г _ (8р2 + 32р +16) = 0 . (17) Если г найдено, то р1 и р2 (р >р2) определяются по формулам:

р? = (г + т]г(2р + 2_г)/2 ,

P2 = (z - z(2p + 2 - z )/ 2 .

(18)

Требования положительности и вещественности

2 2 I I I, I

Pi и P2 вместе с условием a > b приводят к огра-

ничению

/ + 1 < z < 4(/+1)/3 .

Такие решения уравнения (17) существуют только при ре (р^р), где - единственный действи-

3 2

тельный корень уравнения р + р + 3р_ 1 = 0, Р1 = 0,2956, а р2 = 2 (Р1 и р2 определяются условиями (12) и (13)). Для каждого рер,р2) уравнение (17) имеет единственное решение г0 , удовлетворяющее условию (19). По известному г = г0 значения интегралов р1 и р2 определяются из (18), а ¿0(0 и ¡(г) - по (5) и (7).

Пусть М = (дФI / др]-) - матрица Якоби, вычисленная на равновесии осредненной системы (8). Равновесие асимптотически устойчиво, если след матрицы Зр М отрицателен, а ее определитель БйМ положителен. Эти условия выполнены для найденных равновесий при всех значениях параметра ре р, р2).

При р — ру + 0 имеем г0 — р +1, р —^ л/р1 +1 , р2 — 0 . Предельному значению параметра р = р1 отвечает порождающий цикл ¡(г) = (р + 1)г, р0 (г) = 1 с периодом Т = 2я/(р1 +1) - равномерное вращение фазовой точки по окружности.

При р — р2 _0 — 4(р +1)/3 = 4, р2 — 2 + 42 ,

рр — 2 _ 42 . При этом период порождающего цикла стремится к бесконечности, а сам он вырождается в петлю сепаратрисы равновесия р0 = 1, ¡ = п /2 порождающих уравнений (2), (3).

Рисунок 1 демонстрирует, как изменяется характер колебаний р0(г) при изменении параметра р в интервале (р1, р2). Если значение р близко к р1, то график функции р0(г) имеет форму, близкую к синусоидальной (кривая 1 на рис. 1, р = 0,44). С ростом параметра р период порождающего цикла растет, и колебания принимают релаксационный характер (кривая 4 на рис. 1, р = 1,86).

Предельные циклы системы (1) при малых е. Найденные ранее порождающие циклы были использованы как начальные приближения при численном исследовании предельных циклов системы (1) при малых е > 0 .

Рис. 1. Зависимость р(г) для порождающего цикла при различных значениях параметра р (1 - р = 0,44; 2 - р = 1,15; 3 - р = 1,58; 4 - р = 1,86)

ч

/

и

Вычисления показали, что при достаточно малых е в фазовом пространстве системы (1) существует симметричная пара устойчивых предельных циклов, близких к порождающим. На рис. 2 - 4 представлены некоторые результаты этих расчетов.

О 10

Рис. 2. Графики функции р0 (г) при щ = 1,15 для г е [0,2Т], Т - период порождающего цикла (1 - е = 0 , порождающий цикл; 2 - е = 0,01; 3 - е = 0,02; 4 - е= 0,05)

Рис. 3. Замкнутые кривые - проекции предельных циклов

системы (1) на плоскость (р, р2), соответствующие различным значениям щ е (щ , щ2) (при фиксированном е = 0,02). Точкам кривой АВ соответствуют значения интегралов порождающей системы

1,6

Рис. 4. Проекции предельных циклов системы (1) на плоскость р1, р) при р = 1,15 (2 - е= 0,01;

3 - е = 0,02; 4 - е = 0,05); точка 1 соответствует порождающему циклу ( е = 0)

На рис. 2 приведены графики периодической функции р0 (t) при р = 1,15 для различных значений

s . С ростом параметра s период функции Po(t) убывает, но на промежутке t е[0,Т] ( T - период порождающего цикла) при малых s она остается близкой к (7) не только качественно, но и количественно.

При малых s>0 функции p(t) и p¿(t) также являются периодическими (при s = 0 они постоянны). Колебания происходят в окрестности значений интегралов pi и р2 порождающей системы, определяющихся по формулам (18). На рис. 3 приведены проекции предельных циклов системы (1) на плоскость (р, P2 ) при фиксированном s = 0,02 и различных значениях р из интервала (рь р). Кривая AB определяется параметрическими уравнениями (18), координаты ее точек - константы интегралов р и р2

для ре (pi,Р2), точке A отвечает значение р = Pi, точке B - р = р2 .

На рис. 4 приведены проекции предельных циклов системы (1) на плоскость (р,р2), но для различных значений s при постоянном р = 1,15. При s ^ 0 проекция предельного цикла на плоскость (р,р2) стягивается к точке (точка 1 на рис. 4), координаты которой -значения интегралов р1, р2 для порождающего цикла.

Работа выполнена в рамках европейского научного объединения «Регулярная и хаотическая гидродинамика» (грант РФФИ 07-01-92213 -НЦНИЛ) и аналитической ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (грант 2.1.1/554). Исследование поддержано грантами РФФИ 07-01-00389 и 08-01-00895, а также грантом АФГИР (CRDF) RUM1-2842-RO-06.

Литература

1. Юдович В.И. Переходы и возникновение хаоса в течениях жидкости // 6-й Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике. Ташкент, 1986. C. 661.

2. Chossat P., Demay Y., Iooss G. Interaction de modes azimutaux dans le probleme de Couette-Taylor // Arch. Rational Mech. Anal. 1987. Vol. 99. P. 213-248.

3. Onset of Chaos through Intersections of Bifurcations in Couette-Taylor Flow / V. Kolesov [et al.] // ZAMM. 1996. Vol. 76, suppl. № 4. P. 567-570.

4. Колесов В.В., Юдович В.И. Расчет колебательных режимов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 4. С. 81-93.

5. Kolesov V., Shapakidze L. On transitions near the intersection point of bifurcations in the flow between two rotatiing permi-ble cylinders // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2000. Vol. 122. P. 79-91.

6. Колесов В.В., Хоперский А.Г. Простейшие режимы движения жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 2. С. 97-109.

7. Овчинникова С.Н., Юдович В.И. Пересечение бифуркаций в проблеме Куэтта-Тейлора. I. Нерезонансный случай. Ростов н/Д, 2005. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 5.04.2005 № 458-В2005.

8. Yudovich V.I., Ovchinnikova S.N. Resonances in the co-dimension-2 bifurcations in the Couette-Taylor problem // Patterns and Waves. Saint Petersburg, 2003. P. 55-77.

9. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М., 1971. 508 с.

10. Юдович В.И. Асимптотика предельных циклов системы Лоренца при больших числах Рэлея. Ростов н/Д, 1978. 48 с. Деп. в ВИНИТИ 31.07.78 № 2611-78.

Поступила в редакцию

11. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов [и др.]. М., 1967. 496 с.

12. Петровская Н.В., Юдович В.И. Асимптотика предельных циклов амплитудной системы в задаче о пересечении тейлоровской и азимутальной неустойчивостей. Ростов н/Д, 1990. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 12.06.90 № 3342-В90.

15 мая 2009 г.