CC BY
14
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 63-77.
УДК 517.956.226
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ЗАДАЧЕ О ЗАХВАТЕ В РЕЗОНАНС
Л.А. КАЛЯКИН
Аннотация. Две модельные задачи о захвате в резонанс анализируются методом усреднения, который приводит к адиабатическому приближению в главном члене асимптотики. Основной целью является приближенное (с использованием малого параметра) описание области захвата в резонанс. Эта область на фазовой плоскости состоит из точек, из которых стартуют резонансные решения с неограниченно растущей энергией. Область захвата зависит от дополнительного параметра, входящего в уравнения. Демонстрируется непригодность адиабатического приближения, когда область захвата становится узкой. В этом случае требуется значительное изменение метода усреднения. В результате для главного члена асимптотики возникает система нелинейных дифференциальных уравнений, которая не всегда оказывается интегрируемой.
Ключевые слова: нелинейные колебания, малый параметр, асимптотика, захват в резонанс, адиабатическое приближение.
Mathematics Subject Classification: 34D10, 34D20, 37J25, 34Е13
1. Введение
Мнение об исключительной эффективности математических методов в научных исследованиях считается общепризнанным и создает впечатление о всесильности математики. Широкое использование компьютеров способствует распространению этого мифа. Между тем в прикладных исследованиях часто обнаруживается ограниченность математического подхода. Возникающие проблемы обычно объясняются недостатками в используемых моделях: либо излишней сложностью, либо чрезмерной упрощенностью. Эффективность математики в приложениях во многом держится на искусстве упрощения сложных моделей до приемлимого уровня. Наиболее отчетливо это проявляется в задачах, которые ставятся в форме дифференциальных уравнений. Сложные исходные уравнения подменяются уравнениями, более простыми и доступными для аналитического и численного анализа. Аккуратное математическое оформление упрощений выполняется с привлечением понятия асимптотического приближения [1, 2]. Такой подход не всегда бывает простым. Трудности, которые приходится преодолевать, связаны с неравномерностью асимптотик [3]. Предъявляемые асимптотические формулы иногда оказываются не пригодны в той или иной области. Например, в банальном примере exp(-х/е) асимптотическая аппроксимация exp(-х/е) ~ 0 при е ^ 0 заведомо не пригодна в секторе х/е ^ 1. Неравномерности в асимптотических разложениях обнаруживаются для функций нескольких переменных и обычно указывает на наличие существенно особых точек.
L.A. Kalyakin, Adiabatic approximation in a resonance capture problem.
© Калякин Л.А. 2017.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №17-1101004).
Поступила 2 апреля 2017 г.
При исследовании решений дифференциальных уравнений широко практикуются разложения по малому параметру. Поскольку решение помимо параметра содержит зависимость, как минимум, от еще одной (независимой) переменной, то в таких задачах часто приходится сталкиваться с проблемой неравномерности разложений. Для построения равномерно пригодных асимптотических решений разработаны разные методы, основанные на идее многих масштабов [3]-[5]. При этом большинство исследователей предпочитают иметь дело с разложением по одному (скалярному) параметру. Наличие большего числа независимых параметров приводит к дополнительным проблемам с равномерностью, которые редко обсуждаются. Между тем это направление исследований интересно для приложений и содержит новые математические проблемы, см., например, [6].
В данной работе анализируется задача о захвате в резонанс при наличии двух параметров в исходных уравнениях. Разложение по одному из них создает иллюзию несущественности второго параметра. Ошибочность такого представления вскрывается на двух примерах,
1.1. Постановка задачи. При анализе резонансных эффектов в динамических системах одним из целевых объектов является область захвата в резонанс - множество начальных точек, из которых стартуют резонансные траектории. Для нелинейных систем это множество, как правило, не совпадает со всем фазовым пространством. Характерный пример дает система двух уравнений
dp dp — = a sin ^ — = Л - p, t> 0.
(1)
В асимптотических конструкциях, из которых извлекаются эти уравнения, величины p(t) и p(t) интерпретируются как поправка к энергии и сдвиг фазы быстрых колебаний. Резонансные решения идентифицируются с неограниченно растущей функцией p(t) и ограниченной фазой p(t). Такие решения бывают при переменных параметрах, например, при Л = pt, (р, а = const > 0), [7]. В более общем случае Л = Ао + pt константа Ао исключается сдвигом по переменной р. Отличия между резонансным и нерезонансным решениями показаны на рис, 1,
Рис. 1. Численное решение уравнений (1), Параметры р = 0.02, а = 0.2, Слева траектория нерезонансного решения с начальной точкой (-2.2,0), Справа траектория резонансного решения с начальной точкой (-2, 0)
Область захвата для случая А = рЬ изображена на фазовой плоскости с декартовыми координатами (р,р), рис, 2, Это множество описывается неравенствами (6), см, раздел 2, Из приведенных в (6) соотношений видно, что при р ^ 0 область захвата расширяется до максимально возможной, ограниченной сепаратрисами математического маятника.
А при а ^ 0 уменьшается и вовсе исчезает при |а| < Такой результат удается извлечь благодаря интегрируемости системы при Л = рА,.
Однако, столь явное описание области захвата возможно далеко пе всегда. Менее тривиальный пример дает система уравнений главного резонанса:
dr
dt
dф
dt
— = a cos ф, г ——+ г2 — Л = —a sin ф, t> 0. (2)
Здесь переменные г, ф интерпретируются, как амплитуда и угол в полярных координатах на плоскости, В случае Л = Ло + pt, (а,р,Х0 = const > 0) наличие резонансных решений можно доказать, исследуя асимптотику решений па бесконечности. Дня амплитуды, неограниченно растущей в главном члене, получается r(t) = y/pit + 0(1), t ^ ж. Существует двухпараметрическое семейство таких решений |8|, Однако идентифицировать соответствующее множество начальных данных пе удается |9|, Ситуация усугубляется наличием двухпараметрического семейства перезопапспых решений с ограниченной амплитудой. Невозможность аналитического описания области захвата иногда объясняется пеиптегрируемостью системы (2), а точнее отсутствием форму,:: связи, какие известны, например, дня уравнений Пеплеве,
Заметим, что в приведенных примерах рост амплитуды обязан неавтономное™ уравнений, При А = const каждая из систем имеет первый интеграл, и все решения ограничены в компоненте p(t) юти rit). Интегрируемость "замороженной задачи" можно использовать дня исследования области захвата в частном случае слабой неавтономное™, когда А = А0+pt и множитель р мал. Соответствующие подходы основаны на построении асимптотики по малому параметру р ^ 0 и обычно связываются с термином "адиабатическое приближение" |5|, Однако в асимптотических конструкциях по малому параметру всегда возникает проблема равномерности по другим параметрам, входящим в уравнения, В рассмотренных системах проблемы возникают при |а| ^ 1, Например, в первом примере условие, необходимое дня существования области захвата, накладывает ограничение Ip/q-I ^ 1, которое означает, что а не должно быть слишком малым.
Приведенные выше примеры выглядят довольно просто, В них параметр а можно исключить масштабным преобразованием, сведя дело к случаю а = 1, Ясно, что при этом вместо р появится новая комбинация. Например, в первом примере появляется отношение р/а. В таком случае адиабатическое приближение имеет смысл лишь при р/а ^ 0,
В более сложных уравнениях не удается избавиться от дополнительных параметров столь простым способом. Таким примером может служить система двух дифференциальных уравнений
= fyZ(Ъф), = -37Z(Ъф), t > 0, (3)
определяемая функцией
Z(7, ф) = 1(7 - Л)2 + а \/72 + 2bq — d sinф. (4)
Здесь b,d > 0 - фиксированные константы. Положительный нуль подкоренного выражения 7о = л/b2 + d — b определяет границу области D = {7 > 70, гф g R1}, где рассматривается задача. Уравнения в форме (3),(4) возникают при описании движения заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны, бегущей в направлении однородного магнитного поля [10], § 17; см, также [11].
Если Л = const, то система (3) интегрируется, и па любом решении компонента 7(t) ограничена, В неавтономном случае с Л = А0+pt система (3) не интегрируется. Для случая слабой неавтономности с |р| ^ 1 обнаруживаются решения с неограниченно растущей компонентой 7(t), [12], Однако теперь а не исключается масштабными преобразованиями, и остается неясным, какие проблемы возникают в адиабатическом приближении из-за этого дополнительного параметра.
Надо иметь в виду, что в известных работах, посвященных анализу системы (3), адиабатическое приближение вовсе не используется. Например, предъявленная в [13, 14] конструкция не соответствует адиабатическому приближению. На первый взгляд игнорирование адиабатического приближения для слабо неавтономной системы выглядит странно, тем более, что приводит к более сложным асимптотическим конструкциям. Впрочем, такое игнорирование наблюдается и в других похожих ситуациях [9, 15],
В данной работе выясняются соотношения на параметры исходной системы, при которых адиабатическое приближение оказывается непригодным для описания области захвата в резонанс. Непригодность обнаруживается при малом коэффициенте а и проявляется в узости области захвата, которая схлопывается в линию при а ^ 0, Этот эффект не имеет отношения к явлению динамической бифуркации равновесия седло-центр, которое часто обсуждается в связи с задачей о захвате в резонанс, например, в [15]-[17]. Принципиальное отличие состоит в том, что схлопывапие области захвата соответствует бифуркации на линию проскальзывания, состоящую из точек равновесия.
2. Пример смещенного маятника
Чтобы отчетливо выявить роль параметра а в адиабатическом приближении, полезно проанализировать задачу, для которой известно точное решение, В качестве таковой рассмотрим наиболее простую нелинейную слабо неавтономную систему (1), В ней малый параметр 0 < р ^ 1 присутствует в коэффициенте А = рЬ. Дифференциальные уравнения дополняются начальными условиями
рк=о = Ро, = Ро.
Требуется:
1, Выяснить условия, при которых существуют точные решения с неограниченно растущей компонентой р(£), т.е. определить точную область захвата в резонанс,
2, Получить приближенное описание области захвата на основе адиабатического приближения с малым параметром р.
3, Выяснить ограничения на параметр а, при которых адиабатическое приближение становится непригодным для описания области захвата.
2.1. Точное решение. В случае когда Л = р1, система (1) сводится к уравнению математического маятника с постоянным крутящим моментом (уравнение смещенного маятника):
dt2
= р — a sin р,
(5)
хорошо известному в задачах о захвате в резонанс [5, 7]. Уравнение интегрируется, поскольку имеется первый интеграл
ф2/2 — рр — a cos р = const.
Информацию о возможных решениях можно усмотреть на фазовом портрете в декартовых координатах (р,ф).
Рис. 3. Фазовый портрет уравнения маятника с крутящим моментом. Слева: |р/а| > 1, справа: |р/а| < 1
Если |р/а| > 1, то неподвижных в уравнении (5) точек нет, и все траектории уходят на бесконечность, рис. 3. Такие решения с неограниченно растущей компонентой ф(^)= рЬ2[1/2 + 0(Ь-1)], £ ^ то соответствуют проскальзыванию фазы. Вторая компонента р(£) па таких решениях ограничена.
Если |р/а| < 1, то в уравнении (5) существуют неподвижные точки типа центр и седло. Сепаратриеная петля охватывает центр и образует границу области (см. правую часть рис. 3, внутри которой фазовые траектории замкнуты и соответствуют периодическим решениям с ограниченной фазой ф(Ь). Помимо того, существует много решений с проскальзыванием (неограниченным ростом) фазы.
Эти результаты, полученные для уравнения (5), позволяют полностью решить вопрос о резонансных решениях в системе (1). Такие решения существуют лишь при условии |р/а| ^ 1. Их начальные значения (р0,р0) либо находятся внутри сепаратрисной петлей, либо лежат па сепаратрисах, входящих в седло. У таких решений компонента ^(¿) ограничена, а р(£), согласно второму уравнению из (1), растет:
р(г) = А(г) - ф(г) = рг + о(1), г ^ то.
Аналитическое описание начальной области захвата (множества начальных данных (р0,р0)) дается формулами:
1 2
— a cos — ррс ^ -р0 — a cos р0 — рр0 ^ —a cos — pps.
(6)
Здесь рс, координаты неподвижных точек системы типа центр и седло, определяемые уравнением sin р = р/а с условия ми 0 < < < к. Ввиду 2^-периодичноети по р рассматривается одна петля на фазовой плоскости.
При р ^ 0 предельное положение области захвата представляется ячейкой, ограниченной сепаратрисами маятника:
— а ^ ^р2 — a cos р0 ^ а. (7)
Эту область можно использовать как аппроксимацию точной области захвата при малых р ^ 1, Однако такое приближение не является равномерным по а. При мэлых Q ~ р < 1 ячейку (7) нельзя использовать для приближенного описания области захвата из-за больших ошибок. Так, например, при а < р резонансных решений вовсе нет, хотя ячейка (7) имеет ненулевую площадь порядка О (л/а), а ^ 0,
Причину неравномерности можно выявить масштабным преобразованием. При замене р = у/ар, t = Il/у/а получается уравнение с коэффициентами а =1, А = (p/a)t. Отсюда видно, что в качестве малого параметра следует использовать отношение р/а, а при р « а никаких малых параметров в задаче нет и упростить ее нельзя.
Мы рассмотрим ниже систему в форме (1), чтобы акцентировать внимание на роли дополнительного параметра а, который в более сложных уравнениях не убирается столь простым преобразованием,
2.2. Адиабатическое приближение. Если параметр р мал, то коэффициент А = pt
меняется медленно. Идея адиабатического приближения состоит в использовании решения замороженной системы, в которой А считается постоянным. Замороженная система (1) имеет первый интеграл
H(р, р; А) = (р — А)2/2 — a cos р = Е = const
р = Х + pit,Е), р = p(t, Е).
Здесь р, р решение уравнения маятника со значением первого интеграла р2/2 — а cos р = Е. Далее используется семейство периодических решений (при энергии —а < Е < а). Их частота ш = ш(Е) зависит от Е. Через эти функции ниже выписывается приближенное решение для "размороженной"задачи с А = pt.
В формальных конструкциях удобно использовать функции с фиксированным периодом:
R(S, Е) = piS/ш, Е), Ф(£, Е) = piS/ш, Е)). В силу уравнений маятника эти функции удовлетворяют тождествам по переменным S, Е:
udsR = а sin Ф, ш<9,Ф = —R, R2/2 — a cos Ф = Е, RdER + а япФ0ёФ = 1, ^S^.
В исходной задаче с переменным коэффициентом А = X(t) делается замена переменных по формулам
p(t) = x(t) + R(S(г),Е(г)), p(t) = ф^(t),е(t)).
Для новых искомых функций S(t),E(t) получаются уравнения
НЧ
— = ш(Е ) — A' (t)u(E )дЕ ФiS,E ), АЕ
а— = Х (t)u(E )ds ФiS,E).
Если коэффициент X(t) медленно меняется, так что X'(t) = О(р), р ^ 0, то главные члены асимптотики зависят от медленного времени:
Е = Ео(т) + О(р), S = p-1So(r) + 0(1), р ^ 0, (г = pt).
Они определяются из усредненных уравнений
dEo dSo , s
= 0' ^ =
Таким образом, в главном члене асимптотики функция E(t) = const + 0(р) остается постоянной (является адиабатическим инвариантом) на временах 0 < т < 0(1), или в быстром масштабе 0 < t < 0(р-1).
В адиабатическом приближении решение описывается через решение маятника формулами:
p(t) = X(t) + p(t, Eo) + O(p), p = <p(t + 0(1),Eo) + O(p), p ^ 0, 0 <t< 0(p-1 ).
Приближенные решения при Л = pt имеют амплитуду р = pt + p(t,E) + 0(р), медленно растущую по времени р = pt + 0(1), t ^ то. Начальные данные, при которых функции р,ф ограничены, соответствуют сепаратрпсной ячейке маятника (7),
Из этих формул может создаться впечатление, что ячейка (7) представляет собой область захвата в резонанс. Однако из сравнения с точной областью захвата видно, что из точек вблизи границы стартуют нерезонансные решения с проскальзыванием фазы. Численное решение уравнений (1) приведено на рис, 1, Слева решение с начальной точкой (-2.2, 0) из приближенной области захвата, оно оказывается нерезонансным. Справа резонансное решение с начальной точкой (-2, 0) из точной области захвата.
Отличия между областями представлены на рис, 4 и 5, Разница между точной (6) и приближенной (7) областями захвата имеет порядок 0(^~р) при р ^ 0, если фиксировано значение а = 0, Если же вмеете с р ^ 0 стремится к нулю параметр а ^ 0, то область захвата как приближенная, так и точная сжимаются и ширина их имеет порядок О (у/а). Вместе с тем происходит смещение точной области захвата, так что ошибка по фазе оказывается порядка единицы, если а = О(р).
Как указывалось выше, подходящим малым параметром является отношение р/а, а разница между областями захвата имеет порядок 0(yjр/а). Приведем па этот счет точные результаты,
2.3. Погрешность области захвата в адиабатическом приближении. Неподвижная седловая точка ps исходного точного уравнения (5) находится из уравнения sin р = р/а. Ее асимптотика в главном члене равна ж и определяет расстояние до сед-ловой точки маятника:
к — ps = р/а + 0((р/а)2), р/а ^ 0. Сепаратриеная траектория для уравнения (5) (при ф = р) удовлетворяет соотношению
1 р2 — a cos р — рр = —a cos ps — pps = а — рп + рО((р/а)), р/а ^ 0,
которое определяет точную границу области захвата р = рех(р). Асимптотическое описание двух ветвей этой границы дается формулой
V2(cos <р + 1) + + 0((р/а)2)}, р/а ^ 0.
a 2y2(cos р + 1) J
Уравнение границы для приближенной области захвата р = pas(p) соответствует сепаратрисам маятника
pas = 2(cos p + 1).
Разность этих функций описывает "вертикальный зазор "между границами. Для него выписывается асимптотика
lPas(P) — Рех(Р)1 = Vâl-—^ ^ + 0((р/а)2)], р/а ^ 0
La 2y2(cos p + 1) J
pex = ±v a
на промежутке р0 < Р < <fs, где определена еепаратрпеная петля исходной системы.
Левая граница р = р0 этого промежутка является точкой пересечения еепаратриеной петли с осью р = 0, Она определяется из уравнения
—a cos р — рр = —a cos — pps = а — рж + рО((р/а)), р/а ^ 0, и ее асимптотика определяет расстояние до — ж (левой еедловой точки маятника)
ж + р0 = у]р/а 2^ + 0(р/а), р/а ^ 0.
Таким образом, на большей части промежутка р0 < р < расстояние между границами оценивается величиной порядка О(р/о), р/а ^ 0, Однако вблизи точки поворота сепаратрисы (р = 0, р = р0) расстояние увеличивается до 0(у/р]а), рис, 4,5, Этот результат соответствует известной оценке для области пригодности метода усреднения [18],
р р
Рис. 4. Сепаратрисы маятника (пунктирные линии) ограничивают область захвата в резонанс в адиабатическом приближении, Сепаратриеная петля (сплошная линия) ограничивает точную область захвата в резонанс. При фиксированном а = 1 разность зависит от параметра Слева р = 0.5; справа р = 0.1
Рис. 5. Сепаратрисы маятника (пунктирные линии) ограничивают область захвата в резонанс в адиабатическом приближении, Сепаратриеная петля (сплошная линия) ограничивает точную область захвата в резонанс. При малых а, р разность зависит от отношения р/а. Слева р = 0.1, а = 0.2; справа р = 0.02, а = 0.2, Этот рисунок соответствует масштабному сжатию рис, 4
Обсуждаемые асимптотические формулы имеют смысл при р/а ^ 0, Если же оба параметра имеют один порядок малости р/а ~ 1, то рассуждения о близости областей захвата становятся неверными. Хотя обе области оказываются узкими: р2 ^ а, но происходит сильное изменение по фазе ф из-за смещения точки = —к + p/o¡). Точная область захвата вовсе исчезает при а < р.
Вывод. Адиабатическое приближение не годится для описания области захвата при малой амплитуде а ~ р.
В рассмотренном примере интегрируемость исходной неавтономной системы (1) играет решающую роль для исчерпывающего анализа задачи. Это свойство позволяет описать точную область захвата и сравнить ее с результатом асимптотического приближения,
3. Система главного резонанса
Еще один сравнительно простой пример дает известная система уравнений главного резонанса (2), Коэффициент А = А0 + pt берется зависящим от медленного времени, т.е. 0 < р ^ 1 считается малым параметром. Кроме того, малым может быть положительный коэффициент а > 0, Рассматривается вопрос о резонансных решениях с неограниченно растущей амплитудой r(t). Основная цель: в задаче по определению области захвата, в резона,не выяснить непригодность адиабатического приближения при малых а.
Константа А0 = const > 0 берется фиксированной, положительной. Без ограничения общности можно считать А0 = 1, поскольку к этому случаю уравнения сводятся перенормировкой переменных г = гл/Aü, t = í/A0 и остальных коэффициентов а = аХ30/2,р = Д/А0- Далее знак волны опускается.
Задача с А = 1 + pt позволяет немного уменьшить громоздкость формул и более отчетливо выявить роль оставшейся пары параметров р, а. Для уравнений (2) известно существование двухпараметричеекого семейства резонансных решений с неограниченно растущей амплитудой r(t), [8], Однако множество начальных точек для таких решений (область захвата в резонанс) остается неизвестным,
3.1. Замороженная система. Для автономной (замороженной) системы с А = const имеется первый интеграл:
J(г, ф) = ^г4 — 1 \r2 + а г sin ф = const.
Структура фазового портрета (линий уровня первого интеграла) зависит от параметров а,\, рис, 6, Никаких резонансных решений в автономной системе не существует,
3.2. Адиабатическое приближение. Если параметр р мал, то возможно адиабатическое приближение. Оно основано на решении замороженной системы. Асимптотическая конструкция выполняется методом усреднения аналогично предыдущему примеру; детали приведены в работе [19], В этом приближении можно идентифицировать часть области захвата. Она ограничена еепаратриеными петлями, которые берутся из фазового портрета при начальном значении А, в рассматриваемом случае при А = 1, Определенная таким образом область захвата (точнее, ее детерминированная часть) зависит от параметра а. На рис, 7 приведены примеры для разных значений а. Здесь не обсуждается захват в резонанс из множества точек, которое находится вне еепаратриеной петли и описывается в вероятностных терминах [18],
При изменении коэффициента А фазовый портрет деформируется, В частности, еепа-ратриеные петли уходят па бесконечность с ростом А, Вместе с ними смещаются замкнутые траектории, которые соответствуют периодическим решениям замороженной системы, Для размороженной системы точные траектории похожи на спирали. Они приближенно описываются с использованием решений усредненной системы. Площадь, охватываемая
Рис. 6. Фазовый портрет замороженной системы главного резонанса зависит от параметров а и Л
У У
Рис. 7. Область захвата в резонанс для системы главного резонанса в адиабатическом приближении извлекается из фазового портрета при начальном значении А. Эта область сужается при уменьшении параметра а
такой приближенной траекторией, остается постоянной в главном члене асимптотики по малому параметру р ^ 0. В таком случае площадь есть адиабатический инвариант, а соответствующее приближение называется адиабатическим. Поскольку площадь между сепаратрисами растет с ростом А, то траектории, стартующие из области захвата медленно уходят па бесконечность. Этот эффект идентифицируется с явлением захвата в резонанс.
Однако, надо помнить, что такое приближение пе всегда соответствует точному решению. Решения, стартующие вблизи границы указанной приближенной области захвата, могут оказаться перезопапспыми. Ширина такой приграничной полоски оценивается величиной порядка 1ппри р ^ 0, [18]. Это означает, что захват в резонанс гарантируется из более узкой области, нежели та, что заключена между сепаратрисами. Более того, описание области захвата в адиабатическом приближении может оказаться вовсе неверным, если расстояние между сепаратрисами слишком мало. Как раз такой эффект наблюдается при малых значениях параметра а. Дело здесь не в оценках погрешности, которые могут оказаться грубыми. Численные эксперименты показывают, что траектории, стартующие из узкой области захвата, большей частью оказываются перезопапспыми. Оценки ширины приграничной области, дня которой захват в резонанс пе гарантируется, известны [18] в терминах адиабатического параметра р. Ниже даются оценки ширины области захвата через параметр а. Все вместе это позволяет сформулировать ограничения
на пару параметров а, р, когда приграничная полоека перекрывает всю область, и захват в резонанс из точек между сепаратрисами не гарантируется.
Теорема 1. Расстояние между сепа,ра,трисам,и, при X = 1 имеет асимптотику
[1 + О(а)], приа ^ 0. (8)
Доказательство, Неподвижные точки системы находятся на лучах с углом ф = ±ж/2. Их радиус-координаты находятся из уравнений г3 — г ± а = 0, Отсюда легко выписывается асимптотика для радиус-координат седла г+(а) в верхней полуплоскости и центра г-(а) в нижней полуплоскости
г±(а) = 1 т о,/2 + 0(а2), а ^ 0. Для значений первого интеграла 3± в этих точках получается соотношение
3± = 3(г±, ±к/2) = 1 г±[г± — 2г± т 4а] = 1 г±[±3а — г±], так что для разности получается асимптотика
" 4'
Уравнение для сепаратрис 3(т,ф) = 3+ рассмотрим па луче ф = —ж/2 и воспользуемся разложением Тейлора в неподвижной точке г-:
1
3+ — 3- = —7 [(г+ + г-)3а + г+ — г-] = а + 0(а2).
Поскольку То получаем
3- + ^ Лг (г-, —п/2)(г — г-)2 + 0(г — г- )3 = 3+.
Згг (г-, —ж/2) = 3г2 — 1 = 2 + О(а)
(г — Г-)2[1 + О(а)] + 0(г — г-)3 = 3+ — 3- = а + 0(а2).
Следовательно расстояние от центра до сепаратрисы: 1г — г-1 = л/а[1 + О (а)]. Отсюда вытекает асимптотическая оценка расстояния между сепаратрисами.
Похожим образом оценивается расстояние на других лучах. Впрочем, монотонность по углу расстояния между сепаратрисами видна из фазового портрета. Теорема доказана.
Следствие 1. Если параметр а не слишком мал: а ^ О1пр\), р ^ 0, то для системы (2) применим метод адиабатического приближения по малому параметру р ^ 0. Границы области захвата, приближенно описываются, сепа,ра,трисам,и, замороженной системы при Ь = 0, [18].
Следствие 2. Если параметр а слишком мал: а ^ О(р), р ^ 0, то метод адиабатического приближения по малому параметру р ^ 0 не применим, и область захвата, в резона,не не определяется, сепа,ра,три,са,м,и, замороженной системы.
Доказательство следствий следует из результатов об оценке ширины приграничной области величиной 0(р\1пр\) в комбинации с оценкой (8),
3.3. Приближение смещенного маятника. Из оценки (8) следует, что область захвата сужается при уменьшении а. Этот эффект в точности соответствует тому, что был продемонстрирован в предыдущем примере, В той, более простой задаче известно положение точной области захвата. Ошибка адиабатического приближения выявляется из сравнения, Эта ошибка оказывается большой, если параметр а мал, например, при а = О(р). Более того, выяснено, что при а = О(р) путем масштабного преобразования исходная
система редуцируется к уравнениям (1) с а = 1, р = 0(1) (или, что то же, к смещенному маятнику (5)) без каких либо малых параметров. Точная область захвата ограничена еепаратриеной петлей такой системы.
Рассматриваемая здесь система (2) более сложная, и исключить параметры масштабным преобразованием не возможно. Однако, такую операцию можно проделать в асимптотическом приближении. На этом пути в главном члене асимптотики обнаруживается тот же смещенный маятник (5), который в случае а = О(р) не содержит малых параметров, Сепаратриеная петля для такой системы определяет положение области захвата в асимптотическом приближении при Q ~ р ^ о.
Теорема 2. Если малые параметры а,р находятся в отношении: О(р) ^ а ^ 1, то область захвата, будет узкой порядка 0(л/а). Ее граница приближенно описывается, сепратрисной петлей смещенного маятника, который соответствует системе
dp d-ф
— = sinф, —— = vr — р, r> 0 ^У;
dr dr
с коэффициентом и = р/2а и т =
Доказательство, Если параметр а ^ 1 мал, то сепаратрисы замороженной в начальной момент системы (2) оказываются вблизи окружности г = 1, Поэтому естественной выглядит попытка уточнить положение узкой (при малых а) области захвата вблизи этой линии, С этой целью делается сдвиг и масштабное преобразование для амплитуды r(t) = 1 + \Jа/2р(т), ф = р — ж/2, т = \¡2at. После такой замены получается система
1 , 1
dp dip Г , ,
— = sin ф, ——+ р — VT = V & ^-cos ф--т= р
dr dr . /— ~
2
т> 0.
L v^2 + V^P 2V2
с коэффициентом и = р/2а. После этого ставится задача о поиски решений с неограниченно растущей функцией р(т), Задача решается в асимптотическом приближении по параметру а ^ 0 при условии, что второй параметр и ^ const < то не велик. Для главных членов асимптотики
р(т) = ро(т) + O(V^), Ф) = Ро(т) + O(Va)
получается система (9) которая редуцируется к смещенному маятнику (5), Сепаратриеная петля па фазовом портрете этого уравнения существует при lu| < 1 и описывает границу области захвата в этом приближении. Очевидно при |а| < р/2 такой области не существует, Теорема доказана.
Если параметр а те слишком мал |а| ^ р, то в уравнении смещенного маятника параметр v оказывается малым. Здесь снова возможно адиабатическое приближение при v ^ 0, Получаемая в этом приближении область захвата совпадает с ячейкой, ограниченной сепаратрисами маятника. Учитывая условия перехода к смещенному маятнику, получаем ограничения р ^ |а| ^ 1,
Таким образом, плоскость параметров а, р в окрестности нуля разбивается на несколько секторов. Область захвата в каждом из них описывается разными формулами. Эти формулы асимптотически совпадают в областях перекрытия секторов. Более того, в области перекрытия можно выписать отдельную формулу, получаемую в адиабатическом приближении для системы (9), Эти результаты соответствуют идеям о согласовании асимптотических разложений [3], которые обычно применяются к разложениям в разных областях независимых переменных,
3.4. Приближение главного резонанса. В исходной системе (2) с Л = А0 + pt содержится еще один параметр А0, До сих пор он считался фиксированной положительной константой. Однако, если этот параметр мал, либо равен нулю, то приведенный выше анализ не годится, В частности, адиабатическое приближение не определяет область захвата,
Рис. 8. Отличия в определении области захвата между: адиабатическим приближением (пунктирная .пиния) и приближением смещенного маятника (сплошная .пиния) при малых ~ р ^ 1. Результат аналогичен рис. 5
хотя бы уже потому что при Л = 0 фазовый портрет системы не содержит сепаратрис. В этом случае удобно сделать перенормировку переменных, исключив один из параметров: £ = а-2/3т, г = а1/3Н(т). В результате для новых функций К,ф(т) получается система
—— = сое 0, К
(0 + К2 - Л
(Ж
— вт — , £ > 0
(10)
с коэффициентом Л = А0а-2/3 + ра-4/3т.
Если в этом коэффициенте параметр ра-4/3 ^ 1 мал, а А0а-2/3 ^ 0(1) не велико, то возможно адиабатическое приближение. Область захвата приближенно определяется величиной А0а-2/3, Это приближение может оказаться не годным, если А0 слишком мало.
Если параметр ра-4/3 = 0(1) не мал, а А0а-2/3 ^ 0(1) не велико, то адиабатическое приближение пе возможно. В этом случае полная система уравнений главного резонанса (10) представляет собой модельную задачу, которая пе допускает дальнейшего упрощения. Область захвата определяется в численных экспериментах.
Рис. 9. Фазовый портрет замороженной системы (3),(4)
4. Асимптотическое приближение для общей системы
Похожая ситуация имеет место для более общих уравнений (3),(4), Неавтономная система здесь также не интегрируются, и никакой информации о точной области захвата в резонанс нет.
Анализ задачи в адиабатическом приближении основан на первом интеграле для замороженной системы,
Z(7, ф) = ^(7 — А)2 + a\J72 + 267 — d sin ф = const.
Фазовый портрет похож на систему главного резонанса. Фазовые траектории за исключением пары сепаратрис представляют собой замкнутые кривые на плоскости с полярными координатами фОбласть захвата в резонанс находится между еепаратриеными петлями, Эта область сужается при а ^ 0, Детальное исследование узкой области захвата изложено в [22],
Отметим, что уточнение положения узкой области захвата приводит либо к задаче для смещенного маятника, либо к системе главного резонанса [22], Такие результаты соответствуют известным работам физиков в [13, 14], Они объясняют причину, по которой адиабатическое приближение игнорировалось в этих и в других работах, например, [20, 21],
5. Заключение
Задачи о захвате в резонанс можно исследовать приближенно методом усреднения, если исходные дифференциальные уравнения содержат медленно меняющиеся коэффициенты, В общей ситуации это приближение не будет равномерным относительно других параметров, входящих в уравнения. Условия применимости используемого приближения выявляются при анализе роли дополнительных параметров. Критическими оказывается значения параметров, при которых приближенная область захвата ехлопываетея в линию. Вблизи таких значений используется другая форма метода усреднения, которая в главном члене асимптотики приводит либо к уравнению смещенного маятника, либо к системе уравнений главного резонанса. Вопрос об оценке точности описания области захвата в таком подходе остается открытым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабич В.М., Булдырев B.C. Искусство асимптотики // Вестник ЛГУ. 1977. №13. С. 5-12.
2. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика. М.: УРСС, 2004.
3. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989. 336 с.
4. Боголюбов Н.Н.,Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Наука, М., 1974.
5. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985.
6. Брюнинг И., Доброхотов С. Ю., Потеряхин М. А. Об усреднении для гамильтоновых систем с одной бы,cm,рой фазой и м алым и амплитудам,и // Матем. заметки. 2001. Т. 70, вып. 5. С. 660-669.
7. Чириков Б.В. Прохождение нелинейной колебательной системы через резонанс // Доклады АН СССР. 1959. Т.125, № 5. С. 1015-1018.
8. Калякин Л.А. Асимптотики решений уравнений главного резонанса // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 137, № 1. С.142-152.
9. Калякин Л.А. Асимптотический анализ моделей авторезонанса // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63, № 5. С. 3-72.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Терия поля. М.: Наука. 1973.
11. Милантьев В.П. Циклотронный авторезонанс (к 50-летию открытия явления) // Успехи физ. наук. 2013. Т.180, №8. С. 875-884.
12. Калякин Л.А. Асимптотический анализ модели циклотронного гиромагнитного авторезонанса // Вестник ЧелГУ, Физика. 2015 Вып. 21. С. 68-74.
13. K.S. Golovanivskv Autoresonant Acceleration of Electrons at Nonlinear ECR in a Magnetic Field Which is Smoothly Growing in Time // Phvsica Scripta. V. 22. 1980. P. 126-133.
14. K.S. Golovanivskv The Gyromagnetic Autoresonance // IEEE Transactions on plasma science. V. PS-1 1, № 1. 1983. P. 28-35.
15. A.P. Itin, A.I. Neishtadt, A.A. Vasiliev Capture into resonance in dynamics of a charged partice in magnetic field and electrostatic wave // Phvsica D. 2000 V. 141, № 4. P. 281-296.
16. R. Haberman, E.K. Ho Boundary of the basin of attraction for weakly damped primery resonance // J.Appl. Mech. 1990. V. 62, №3. P. 941-946.
17. O.M. Kiselev and S.G. Glebov An asymptotic solution slowly crossing the separatrix near a saddle-centre bifurcation point // Nonlinearitv. 2003. V.16, P. 327-362.
18. Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно меняющимся параметром // Прикладная математика и механика. 1975. Т. 39, № 4. С. 621-632.
19. L.A. Kalvakin Asymptotic Analysis of an Autoresonance Model // Russian Journal of Mathematical Physics. 2002. Vol. 9, №. 1. P. 84-95.
20. T. Armon and L. Friedland Chirped resonance dynamics in phase space //J- Plasma Phvs. 2016. V. 82, 705820501.
21. T. Armon and L. Friedland Capture into resonance and phase-space dynamics in an optical centrifuge // Phvs. Rev. A. 2016. V. 93. 043406.
22. Калякин Л.А. Асимптотический анализ модели гиромагнитного авторезонанса // ЖВММФ. 2017 Т. 57, №2. С. 285-301.
Леонид Анатольевич Калякин Институт математики с ВЦ УНЦ РАН ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: klenru@mail. ru
