CC BY
28
ШТРИХИ К ПОРТРЕТУ
DOI 10.18522/0321-3005-2016-2-113-116
ДАЛЬНОДЕЙСТВИЕ
(памяти В.И. Юдовича)
Моя первая встреча с Виктором Иосифовичем Юдовичем произошла на Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в Москве в 1964 г. Я только что защитил кандидатскую диссертацию. Однако настоящее знакомство произошло двумя годами позже. Никита Николаевич Моисеев, который лет за девять до этого переехал из Ростова в Москву, организовал в здании Вычислительного центра АН СССР семинар по теории гидродинамической устойчивости и турбулентности. Виктор Иосифович, имея к тому времени глубокие результаты по теории устойчивости, на равных дискутировал с мэтрами. Прошло десять лет, и его имя встало в один ряд с ведущими мировыми специалистами в этой области науки.
В 1972 г., в возрасте 38 лет, Виктор Иосифович защитил докторскую диссертацию «Математические вопросы теории устойчивости течений жидкости» в совете Института проблем механики, возглавляемом академиком А.Ю. Ишлинским (теперь это Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлин-ского РАН). Кандидатская диссертация «Исследование уравнений двумерного течения идеальной несжимаемой жидкости» была защищена в 1962 г. в МГУ им. М.В. Ломоносова. А в промежутке были выполнены работы по функциональному анализу, электростатике, теории пластин и оболочек. На одной из них [1] я хотел бы остановиться подробнее.
В этой работе [2] изучена нелинейная осесим-метричная задача равновесия пластины, которая сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. В одном из них имеется малый параметр при старшей производной, пропорциональный толщине пластины. Устремляя этот параметр к нулю, приходим к уравнению равновесия мембраны. Однако мембранное решение не позволяет удовлетворить естественным краевым условиям, в частности условию жесткого защемления пластины. Для того чтобы им удовлетворить, строится приближенное решение задачи, содержащее функции типа пограничного слоя.
Хотя формальная асимптотика решения задачи была известна, вопрос ее обоснования длительное время оставался открытым. Виктор Иосифович предложил для этой цели использовать метод Ньютона - Канторовича. Основной трудностью в его
применении является оценка нормы обратного оператора к производной Фреше, вычисленной на асимптотическом решении операторного уравнения. Виктор Иосифович заметил, что при стремлении малого параметра к нулю норма растет как фиксированная отрицательная степень параметра. В то же время порядок невязки при подстановке приближенного решения в уравнение оценивается величиной, имеющей степенное убывание по малому параметру. Эта степень может быть сделана сколь угодно большой, если продвинуться достаточно далеко в построении асимптотики. В итоге мы попадаем в условия действия теоремы Канторовича о сходимости метода Ньютона, что и дает обоснование сходимости приближенного решения к точному.
В [1] проявилась замечательная способность В.И. Юдовича видеть общее в частностях. Предложенная авторами схема обоснования асимптотики решения сингулярно возмущенных уравнений была использована в другой работе, посвященной асимптотическому интегрированию уравнения равновесия капиллярной жидкости в поле тяжести. Впоследствии сфера ее применения была распространена не только на эллиптические, но и на параболические задачи с малым параметром при старшей производной.
Приведу еще один пример, который показывает умение Виктора Иосифовича выявить математическую сущность явления, обнаруженного в конкретной ситуации, и построить на этой основе новую теорию. В 1975 г. была опубликована статья Д.В. Любимова [2] о конвективном течении в пористой среде, подогреваемой снизу. Автор обнаружил, что в задаче о фильтрационной конвекции потеря устойчивости равновесия ведет к рождению однопараметрического семейства стационарных решений, и каждое из них устойчиво относительно малых возмущений. Однако это явление не вкладывалось в существующие понятия этой теории. В частности, обнаруженное им семейство равновесий не было орбитой действия какой-либо группы сим-метрий в задаче фильтрационной конвекции. Эксперимент подтвердил наличие множества стационарных движений вблизи порога устойчивости основного состояния жидкости.
В.И. Юдовичем [3] была вскрыта математическая природа появления цикла равновесий в задаче, рассмотренной Д.В. Любимовым, и заложены основы теории косимметрии, получившей дальнейшее развитие в работах самого В.И. Юдовича и его учеников.
Понятие косимметрии естественным образом обобщается на случай динамических систем, а также обыкновенных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Наличие у динамической системы симметрии или косимметрии порождает существовании ее непрерывных семейств равновесий. Если динамическая система имеет интегралы, то косимметриями являются их дифференциалы. Такие голономные косимметрии хорошо известны.
Свойство, которое объединяет два семейства равновесий, состоит в бесконечной коразмерности вырождения соответствующих линеаризованных операторов. Однако причины неединственности равновесий в системах с симметрией и косимметри-ей различны: наличие симметрии говорит о скрытой переопределенности системы, тогда как наличие косимметрии свидетельствует о ее скрытой недооп-ределенности. Наглядное представление данной ситуации дают теорема о неявной функции для косим-метрических уравнений и ее обращение [4, 5].
Алгоритмических способов отыскания нетривиальных косимметрий пока не найдено. Но если свойство косимметрии обнаружено, оно дает много полезной информации о поведении динамической системы. К настоящему времени построен целый ряд примеров как диссипативных, так и консервативных систем, обладающих косимметриями (модель фазовых переходов в антиферромагнетиках [6], системы классической механики с симметричной потенциальной энергией [6], конвекция магнитной и многокомпонентной жидкости в пористой среде [7], внутренние волны в двухслойной жидкости, динамическая модель взаимодействия трех популяций).
Для научного творчества Виктора Иосифовича характерен подход к классическим проблемам механики с позиций современной математики. Ярким примером служит его работа [8]. Со времен Бенара и Рэлея известно, что в достаточно протяженном жидком горизонтальном слое со свободной границей при подогреве снизу возникает ячеистая структура, напоминающая пчелиные соты. Если верхняя граница является твердой стенкой, то вторичные течения проявляются в форме конвективных валов. Эффективное вычисление вторичных течений проводится с помощью метода Ляпунова — Шмидта, который позволяет свести исходную задачу к решению конечномерной системы уравнений раз-
ветвления. Эта система, как правило, имеет высокий порядок. Замечательное наблюдение Виктора Иосифовича состояло в том, что система уравнений разветвления наследует ряд групповых свойств исходной системы дифференциальных уравнений. Это позволяет, с одной стороны, понизить порядок системы уравнений разветвления, а с другой - размножать решения преобразованиями допускаемой ею группы.
Работа [8] породила новое направление в теории ветвления. Сфера применения предложенного Виктором Иосифовичем подхода включает теорию капиллярно-гравитационных волн, ветвление равновесных форм вращающейся жидкости со свободной поверхностью, анализ фазовых переходов в статистической теории кристалла, изучение структур на поверхности магнитной жидкости.
С И.И. Воровичем Виктор Иосифович опубликовал три работы [9 — 11]. Первая из них была посвящена теории гидродинамического удара, начало которой положила работа Н.Е. Жуковского (1882 г.). В работе [9] изучена задача о нецентральном ударе круглого диска о жидкость. Найдено условие его отрыва от свободной поверхности вследствие удара. В работах [10, 11] предложен оригинальный подход к анализу дифференциальных свойств обобщенных решений уравнений Навье — Стокса. С той поры Виктор Иосифович «заболел» уравнениями Навье — Стокса, и эта «болезнь» оказалась неизлечимой. Около трети работ из общего списка публикаций Виктора Иосифовича, насчитывающего 335 наименований, посвящено исследованию начально-краевых задач для этих уравнений и связанных с ними проблем конвекции, теории бифуркаций и гидродинамической теории устойчивости.
Надо сказать, что число монографий и учебников, написанных Виктором Иосифовичем, не так уж велико. Думаю, что это связано с его вовлеченностью во все новые и новые проблемы, к решению которых он привлекал своих учеников и коллег не только из Ростова, но и из других городов и стран.
Большой интерес представляет монография [12]. Время её написания относилось к «золотому веку» советской космической программы. Проблема разделения биополимеров представлялась одной из тех, для решения которой условия космического полета были почти идеальными. С этим были связаны надежды на выделение полезных белковых фракций из их смесей, что очень нелегко сделать на Земле ввиду развития неустойчивости конвективных течений. Считалось, что удастся наладить производство на орбите дефицитных лекарств. Мне трудно сказать, в какой мере данная программа осуществлена. В любом случае разработанная Виктором Иосифовичем
и соавторами теория является математическим фундаментом, необходимым для развития данной отрасли космической технологии.
А годом позже вышла еще одна монография [13]. Не побоюсь сказать, что до работ В.И. Юдо-вича гидродинамическая теория устойчивости занималась изучением частных, хотя и важных задач. В этой области работали выдающиеся ученые -лорд Рэлей, В. Гейзенберг, Дж.И. Тейлор, Ц.Ц. Линь. Однако используемый ими метод линеаризации не имел математического обоснования. Такое обоснование дал Виктор Иосифович. Для этого ему пришлось существенно продвинуться в теории несамосопряженных операторов.
Занимаясь построением общей теории, В.И. Юдович не избегал исследования конкретных задач. Одна из них - это проблема Куэтта - Тейлора о течении жидкости между вращающимися цилиндрами. Дж.И. Тейлор обнаружил, что после достижения критической скорости вращения внутреннего цилиндра на смену простому течению Куэтта с круговыми линиями тока приходит новое стационарное движение с периодической структурой вихрей. Дальнейший анализ показал, что с увеличением скорости вращения движение становится нестационарным. Причина этого — пересечение нейтральных кривых, отвечающих разным типам бифуркаций. Взаимодействие соответствующих им нейтральных мод вблизи точки бифуркации можно описать в терминах решения динамической системы амплитудных уравнений. Это было сделано независимо Виктором Иосифовичем и французскими учеными Ж. Иоссом и Ф. Шосса в 1986 г.
Выше я упомянул лишь о некоторых направлениях научной деятельности Виктора Иосифовича. Они далеко не исчерпывают его научное наследие, включающее также труды по вибрационной механике и работы последних лет жизни по задаче протекания для идеальной жидкости совместно с учениками. Список его работ украсил бы биографию любого представителя академической науки, однако, работая в вузе, он считал необходимым писать учебники и методические пособия. Нужно обладать немалой смелостью, чтобы написать новый курс уравнений математической физики. Ведь только в отечественной литературе имеются прекрасные учебники И.Г. Петровского, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова и А.А. Самарского, В.С. Владимирова, С.К. Годунова. Но смелость всегда была присуща Виктору Иосифовичу. Его лекции по этому предмету [14, 15] содержали не только классический материал, но и дополнение к нему в виде упражнений, которые не найдешь в известных задачниках.
Мне не довелось слушать лекции Виктора Иосифовича, но я уверен, что на них никогда не было скучно. Вот как он начинает излагать хрестоматийную тему - принцип максимума и его следствия:
«Пирог, посаженный в духовку, нередко подгорает снаружи, но вряд ли кто-нибудь видел, чтобы он подгорел внутри, оставаясь снаружи сырым. Это наводит на мысль, что максимальная температура достигается на границе тела. Но в недрах Солнца и звезд температура много больше, чем на их поверхности. Причиной тому - внутренние источники тепла от термоядерных реакций. Дальше мы увидим, что при отсутствии источников тепла (отрицательные источники, или стоки, - допустимы) температура действительно принимает максимальное значение на границе стержня - или в начальный момент, потому что в начальный момент можно создать произвольное распределение температуры».
Далее следуют доказательство принципа максимума для линейного уравнения теплопроводности в случае однородного стержня постоянной длины, его обобщения на случай переменной длины стержня и на случай, когда коэффициент теплопроводности зависит от температуры. Затем идут многомерные аналоги принципа максимума, теоремы единственности, априорные оценки решений параболического уравнения с младшими членами и доказательство существования классического решения задачи о кольце в случае, когда начальная функция всего лишь непрерывна. Здесь слушатели знакомятся с применением теоремы Банаха — Штейнгауза в конкретной ситуации.
Еще одно учебное пособие, написанное Виктором Иосифовичем вместе с А.А. Есиповым и Л.И. Сазоновым [16], я бы назвал книгой для занимательного чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Эта книга популярна и поныне.
Широта научного диапазона Виктора Иосифовича позволяла ему готовить специалистов по многим направлениям математики и механики: математический анализ, дифференциальные уравнения, вычислительная математика, механика жидкости, газа и плазмы, механика деформируемого твердого тела, математическое моделирование. Он является основателем ведущей научной школы РФ, неоднократно получавшей государственную поддержку.
Для многих ученых Виктор Иосифович был учителем и наставником, но иногда дистанция сокращалась. Это случалось во время игры в баскетбол или в шахматы, а также во время пробежек с младшими товарищами по левому берегу Дона. Порой кроссовая дистанция, начинавшаяся от дома Виктора Иосифовича, достигала 14 км. Мне расска-
зывали, как один молодой ученик, совсем не предполагавший бегать, встретил Виктора Иосифовича, который уже начинал свой путь в сторону моста через Дон. Желание пообщаться с ним было так велико, что молодой человек побежал вместе с Виктором Иосифовичем, несмотря на отсутствие спортивной формы. К счастью, в тот раз дистанция кросса была короче.
Память возвращает меня к жаркому лету 1968 г. Виктор Иосифович пригласил меня остановиться в коммунальной квартире, где он проживал вместе с женой и дочерью. «Прекрасная составляющая» их семьи в те дни отдыхала на побережье, отношения с соседом по коммуналке были нормальными, и мы втроем спасались от жары зеленым чаем (средством, неведомым до той поры). Однако радикальным спасением от жары был дневной сон. Творческий процесс начинался ближе к вечеру и продолжался до середины ночи. Помню наши ночные прогулки по Пушкинской улице. Ее бульвар в то время не был вымощен квадратной плиткой, зато на нем росли роскошные деревья и стояли автоматы с газировкой за копеечную цену.
Однажды Виктор Иосифович рассказал мне о задаче, восходящей к знаменитой работе Ж. Лерэ, в которой рассматривалась стационарная задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в области, на границе которой задано поле скорости. Граница области течения может иметь несколько компонент связности. (Простейший пример такой области -сферический слой). В силу условия несжимаемости, суммарный расход жидкости через границу области равен нулю. Лерэ доказал разрешимость задачи в предположении нулевого расхода через каждую связную компоненту границы. Имеет ли стационарная задача протекания для уравнений Навье — Стокса решение в общем случае, до сих пор неизвестно.
Проблема Лерэ занимала умы более чем сорока ученых из одиннадцати стран. Она вошла в число перечисленных Виктором Иосифовичем одиннадцати великих проблем математической гидродинамики.
Мой рассказ о Викторе Иосифовиче я назвал «Дальнодействие». Тем самым хотелось подчеркнуть влияние его работ и его личности на научное сообщество как в пространстве, так и во времени. Я испытывал это влияние на протяжении сорока лет нашего знакомства и дружбы; ощущаю это влияние и сейчас.
Литература
1. Срубщик Л.С., Юдович В.И. Асимптотика уравнений большого прогиба круглой симметрично загруженной пластины // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4, № 3. С. 657 — 672.
2. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу // ПМТФ. 1975. Т. 16, № 2. С. 131 — 137.
3. Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки. 1991. Т. 49, вып. 5. С. 142 — 148.
4. Юдович В.И. Теорема о неявной функции для косимметрических уравнений // Мат. заметки. 1996. Т. 60, вып. 2. С. 313 — 317.
5. Юдович В.И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесий динамической системы и ее затягивании // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 1. С. 22 — 34.
6. Юдович В.И. Косимметрия и консервативные системы // Избр. труды. Т. 3. Ростов н/Д., 2009. С. 177 — 286.
7. Юдович В.И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде // Изв. вузов. Сев-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск «Математическое моделирование». 2001. С. 175 — 178.
8. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление // ПММ. 1967. Т. 31, вып. 1. С. 101 — 111.
9. Ворович И.И., Юдович В.И. Удар круглого диска о жидкость конечной глубины // ПММ. 1957. Т. 21, вып. 4. С. 525 — 532.
10. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарное течение вязкой жидкости // Докл. АН СССР. 1959. Т. 124, вып. 3. С. 542 — 545.
11. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости // Мат. сб. 1961. Т. 53, № 4. С. 393 — 428.
12. Юдович В.И., Бабский В.Г., Жуков М.Ю. Математическая теория электрофореза: применение к методам фракционирования биополимеров. Киев, 1983. 202 с.
13. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов н/Д., 1984. 191 с.
14. Юдович В.И. Лекции об уравнениях математической физики. Ростов н/Д., 1998. 240 с.
15. Юдович В.И. Лекции об уравнениях математической физики. Часть вторая. Ростов н/Д., 1999. 255 с.
16. Есипов А.А., Сазонов Л.И., Юдович В.И. Руководство к решению задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ростов н/Д., 1989. 336 с.
В.В. Пухначев
