Критические случаи устойчивости равновесий в дифференциальных уравнениях с двумя косимметриями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

УДК 517-938, 531-36 DOI 10.23683/0321-3005-2018-1-26-32

КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЙ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С ДВУМЯ КОСИММЕТРИЯМИ*

© 2018 г. Л.Г. Куракин1'2, А.В. Курдоглян1

1 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия

CRITICAL STABILITY CASES OF EQUILIBRIA FOR TWO-COSYMMETRIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

L.G. Kurakin1'2, A.V. Kurdoglyan1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Куракин Леонид Геннадиевич - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д 344090, Россия; главный научный сотрудник, отдел математического анализа, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected]

Курдоглян Айк Варужанович - младший научный сотрудник, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: [email protected]

Leonid G. Kurakin - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Main Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, email: kurakin@math. sfedu.ru

Aik V. Kurdoglyan - Junior Researcher, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Рассматривается задача устойчивости равновесия дважды косимметричного дифференциального уравнения. Предполагается, что две косимметрии (векторные поля, ортогональные данному в каждой точке) удовлетворяют условиям Юдовича косимметричной версии теоремы о неявной функции. В частности, исследуемое равновесие некосимметрично, т.е. не является одновременно равновесием ни одной из косимметрий. Выполнено условие невырожденности - ядро соответствующей матрицы линеаризации двумерно. В этих условиях общего положения исследуемое равновесие является неизолированным и принадлежит двумерному непрерывному семейству равновесий. Устойчивость равновесия понимается как нейтральная устойчивость вдоль семейства равновесий и одновременно асимптотическая устойчивость в трансверсальных к нему направлениях. Критический случай, требующий нелинейного анализа, в рассматриваемой задаче имеет место, когда спектр устойчивости не содержит точек в правой полуплоскости, а его нейтральная часть ст, лежащая на мнимой оси, отлична от двукратного нуля. Случай общего положения распадается на шесть подслучаев, отвечающих различным спектрам устойчивости: ст ={02,0}, ст2 = {0,0,±гю}, ст3 ={03,0}, ст4 ={02,02}, ст5 = {02,0,±г'ю}, ст6 ={0,0,±2^,±гю2} • В каждом из них построена нелинейная модельная система и исследована устойчивость ее равновесия. Полученные результаты перенесены на полные уравнения. Для спектров ст - СТ5 неустойчивость доказана методом Шноля, связанным с понятием «растущее решение вида "инвариантный луч"», а в случае ст6 - с помощью функции Четаева. Для

* Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ № 1.5169.2017/8.9).

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

обоснования устойчивости применены теоремы Ляпунова и Румянцева об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных. Результаты для спектров ctj и ст2 обобщены на случай произвольной конечной коразмерности.

Ключевые слова: косимметрия, равновесие, устойчивость, прямой метод Ляпунова, коразмерность вырождения, инвариантный луч, динамическая система.

The problem of equilibrium stability of two-cosymmetric differential equation is considered. We propose that these co-symmetries (vector fields are orthogonal to initial field in each point) satisfy conditions of the implicit function theorem for dynamical systems with cosymmetry. In particular, analyzed equilibrium is not cosymmetric, so it is not the equilibrium of neither of two cosymmetries. We consider the nondegeneracy condition: the linearization matrix has two-dimensional kernel. Thus the equilibrium is nonisolated and lies in two-dimensional continuous family of equilibria. Equilibrium stability is interpreted as neutral stability along the equilibria family and, moreover, asymptotic stability in transversal direction to the family. The critical case of the problem takes place than the stability spectrum does not contained an equilibrium with positive imaginary part and the neutral part ст of the spectrum is not equal to double zero eigenvalue. The general case consists of six subcases, according to different stability spectra: ст1 = {02,0}, ст2 = {0,0+гю}, ст3 = {03,0}, ст4={02,02}, ст5 ={02,0,±/'ю}, СТ = {0,0,±/<Bj ,±гю2}. For each subcase we constructed nonlinear model system and analyzed stability of its eqilibrium. The results are generalized to original system. In the subcases ctj - ст5 instability is proved by Shnol method, which is related to the term "growing solution of the type of invariant ray", and in the subcase ст6 we constructed corresponding Chetaev function. To prove stability we applied Lyapunov and Rumyatsev theorems about asymptotic stability with respect to some of the variables. The results for spectra CTi and СТ2 we generalized to the case of any finite codimension.

Keywords: cosymmetry, equilibrium, stability, direct Lyapunov method, codimension of degeneracy, invariant ray, dynamical system.

Теория косимметрии В.И. Юдовича [1, 2] появилась как объяснение необычного эффекта, обнаруженного Д.В. Любимовым [3] в одной из задач фильтрационной конвекции. Необычность состояла в существовании непрерывного семейства равновесий.

В работе [1] показано, что в динамической системе с косимметрией такие однопараметрические семейства равновесий встречаются в условиях общего положения. Если косимметрий несколько, например, п, то в условиях общего положения такие семейства являются п -параметрическими поверхностями [4]. Если все собственные значения матрицы линеаризации при равновесии семейства лежат в левой полуплоскости, кроме п -кратного нуля, то это равновесие устойчиво по Ляпунову в точной нелинейной постановке [5-7]. Оно экспоненциально неустойчиво, если есть хотя бы одно собственное значение в правой полуплоскости. Спектр устойчивости меняется вдоль семейства равновесий, и потому в условиях общего положения семейство разбивается на устойчивые и неустойчивые по линейному приближению области. Эти области разделены граничными равновесиями, устойчивость которых зависит от нелинейных слагаемых системы.

Под устойчивостью равновесия, принадлежащего семейству, здесь и далее понимается устойчивость по Ляпунову и одновременно асимптотическая

устойчивость в трансверсальных направлениях к этому семейству.

Ввиду наличия двумерного семейства равновесий динамическая система с двумя косимметриями имеет два параметра, названных в работе [8] внутренними. Таким образом, в случае общего положения в таких системах встречается не более двух вырождений.

В работах [9, 10] исследована устойчивость граничных равновесий в случае одной косимметрии.

В данной работе исследована устойчивость граничных равновесий системы с двумя косимметри-ями в случаях общего положения. Два из них обобщены на случай произвольной конечной коразмерности вырождения.

Постановка задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение в пространстве Р"

11 = Е(и), Е(0) = 0, и е Р. (1)

Отображение F : О — Нп является аналитическим в некоторой окрестности нуля Ос п и допускает две непрерывные косимметрии

Ьу : О —^ Н" (у = 1, 2). Согласно определению, введенному В.И. Юдовичем [1, 2, 4], это означает, что в

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

каждой точке ие О и у = 1, 2 векторы F(u) и Ьу (и) ортогональны:

(Г(и),Ь; (и)) = 0.

Считаем выполненными следующие предположения:

Предположение 10. Уравнение (1) имеет неко-симметричное равновесие

0 еО: F(0) = 0, Ь1(0) * 0, Ь2(0) * 0.

В работах [1, 4] показано, что каждый вектор Ь у (0) принадлежит ядру оператора А*, сопряженного к производной А = F'(0). Таким образом, точка нуль принадлежит спектрам а(А) и а(А ) опе-*

раторов А и А .

Предположение 20. Система векторов {^(0), Ь2(0)} является линейно независимой и выполнено условие минимальности вырождения: ядро оператора А является двумерным.

Предположение 30. Спектр ст(А) является нейтральным (т.е. целиком лежит на мнимой оси) и отличен от двукратного нуля.

Согласно принципу сведения В.А. Плисса [11], к задаче устойчивости нулевого равновесия системы (1) при предположении 30 сводится более общая задача, когда спектр ст(А) отличен от нейтрального, но целиком лежит в замыкании левой полуплоскости.

Как показано в работе [4], из предположений 10, 20 следует существование двупараметриче-ского аналитического семейства 5 равновесий уравнения (1) , для которого и = 0 - граничное равновесие (0 е 5). В дальнейшем (1) будем рассматривать просто как уравнение, имеющее двумерное аналитическое семейство равновесий, на которое не наложены какие-либо дополнительные ограничения, кроме предположения

30 . Чтобы

доказать, что это не ограничивает общности рассмотрения задачи, в каждом рассмотренном далее случае построены соответствующие косимметрии, удовлетворяющие условиям 10, 20. Будем считать, что семейство равновесий локально расположено на плоскости, чего всегда можно добиться заменой переменных.

В данной работе рассматриваются различные случаи нейтрального спектра устойчивости а(А). Для каждого из них применяется стандартный приём [12]: сначала исследуется устойчивость равновесия модельной системы, получаемой заменами переменных и отбрасыванием части слагаемых исходной системы (1). Затем полученные условия устой-

чивости и неустойчивости переносятся на полные уравнения.

Далее используются следующие обозначения: х, Ху - вещественные, а 7 , Iу - комплексные переменные; ю >0, ю у >0 - положительные вещественные числа; а(А) = {0к ,01 ,±7ю1,±7'ю2} - спектр, состоящий из двух простых пар собственных значений ±'ю у и к +1 -кратного нулевого собственного значения, отвечающего двум жордановым клеткам размерами к х к и I х I матрицы А.

Случай спектра а^А) = |)2,0|. Система (1) трёхмерна и заменами переменных в жордановом базисе матрицы А приводится к виду

Х=х2 - Х2=х282(х)- Х3=х283(х)- (2)

где

g 2(x) = S аукх(х3 + x2 у+k >0

g3 (x) = S b jkx{ x'k + x2^3 (x), у+k >0

b10 = b20 = ••• = ^n =0-

N 0

Здесь х = (Х1,Х2,Хз)Т, а д2 и д3 - аналитические функции. Число N е N можно считать сколь угодно большим, но конечным. Этого можно добиться полиномиальной заменой переменных. Двумерное семейство равновесий представляет собой плоскость Х2 = 0 . Под Х2 -устойчивостью нулевого равновесия будем понимать его устойчивость по Ляпунову и одновременно асимптотическую устойчивость в трансверсальных направлениях к плоскости Х2 = 0 [13].

Система (2) обладает двумя косимметриями, удовлетворяющими предположениям 10, 20: Ь1=(82-1,0)Т, Ь2=(8з,0,-1)Т .

Теорема 1. Пусть N = 1 (Ь10 = 0). Нулевое равновесие системы (2) неустойчиво, если аю * 0 или

а10 = 0 а20 > 0. (3)

Это равновесие Х -устойчиво, если

аш = 0, а20 < 0. (4)

Доказательство. Неустойчивость. Пусть а10 * 0 . Модельная система

Х1 — Х2, Х2 — аш Х1Х2, ХХ3 — 0

имеет растущее решение вида «инвариантный луч» (по терминологии [12]):

Х1 = Р1Г Х2 = Р1Г2, Х3 =0, Г = г2, Р1 = 2а-)1. (5)

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

Перейдём к обобщённым сферическим координатам Я >0 , 0 = (0Ь 02)г , полагая

Х = РЯ Х2= р!Я2(1 + 0!), Хз= Я202.

Когда переменная Я ^ 0 , а 0 меняется внутри некоторой окрестности нуля W сК2, система (2) принимает вид

Я = Я2 (1 + 01) + о(Я2), <0 = Яf (0) + о(Я), f (0) = -2(1 + 01)0. (6)

Рассмотрим угловую систему 0 = f (0). Её равновесие 0 = 0, отвечающее растущему лучу (5), асимптотически устойчиво в линейном приближении. Согласно теореме Шноля [12], это влечёт неустойчивость нулевого равновесия полной системы (2).

Неустойчивость равновесия в случае (3) доказывается аналогично. Модельной является система

х1 = x2, х2 = а20Х1 Х2 Замена координат

э1/2 „ _ 1л 0 3/2

ъ. = 0.

(7)

xi = ß2 R1

f

ß 2 =

3

2a

, X2=~ ß2 R3/2(1 + Öi),X3= R ^1/2

>0

3/2r

20

hi(x) = /fi5 + /ff - xix2 + ^ *14'

6/5 , jf/5 a2,0 4 x3 + /12--jj" x1 ,

а для полных уравнений (2) - функция Щ:

Щ (x) = х|/5 + /2625 (x) - S (x) - sign (x2)ixjxf +1 x5

где /22 (x) = x2 - 2 2 ak xj+^3 ,

j=0k=0 j +1

4 2 a

S1(x) = x1x2 - 2 2

jk j+2 k x x3 .

^ ^ ТТт" х1 у =0k=0 у + 2

Это верно ввиду соотношений при | х 0 :

Я,

6/5 , ,6/5 a2,0 4 x3 + j12 --j^- x1 ,

~ x6/5 + j6/5 a2,0 x4 x3 + j22--— x1 ,

Я (x)|

(3)

'-x2 - I x2 I x14 - I x2 I x3.

приводит к системе (6) с функцией

3

f (0) = -—(1 + 01)0 , к которой применяется теорема Шноля.

Устойчивость. Пусть выполнены условия (4). Последовательными заменами переменных, не меняющими коэффициент «20,

х3 ^ х3 - х]+1х| , k = 0,1,2, у = 0,... ,4

в порядке возрастания двузначного числа к] добьёмся выполнения равенств Ьук = 0 . Модельная система (7) имеет два интеграла /11(х) = х3 и

^12(х) = х2 х3 •

Плоскость х2 = 0 - инвариантное множество, заполненное равновесиями системы (2). Поэтому систему (2) будем рассматривать отдельно в областях х2 > 0 и х2 < 0. Утверждение теоремы 1 об устойчивости для модельной системы (7) доказывает функция Ляпунова (| х 0):

Теорема доказана.

Следующее утверждение обобщает теорему 1 и доказывается аналогично.

Теорема 2. Пусть выполнены условия

«10= «20= . = ат-1,0 = 0, ат0 * 0 т ^ N.

Нулевое равновесие системы (2) неустойчиво, если т = 2к + 1 или т = 2к, ^2к,0 > 0.

Это равновесие х2 -устойчиво, если т = 2к,

«2к,0 < 0.

Случай спектра ст2(А) = {0,0,±г'ю}. Четырёхмерная система (1) заменами переменных в жорда-новом базисе матрицы А приводится к виду

где

x1 = F^u) = S | z | +ft(u), x2= F2(u)=|z|2 B(x) + 92 (u), z = F3 (u) = iraz + zC(x) + ß(u),

z = F3(u),

B(x) = 2 bjkxjx'k, C(x)= 2 Cjkxjx'k. j+k >0 j+k >0

(8)

Здесь х = (х1, х2), и = (х, 2) , 8* 0 , Ью = Ь20 = .•• = ЬNo=0. Число N можно сделать сколь угодно большим. Коэффициенты сук = сук + 2~]к 6 с , Ьук, сук, сук 6 К, а аналитические функции ql : О ^ К и Q : О ^ С при | и 0 удовлетворяют асимптотикам q^ (и) = о( 213 ),

б(и) = о( 212)•

Уравнения (8) при 8 * 0 обладают косимметри-ями, удовлетворяющими предположениям 10, 20

L1(u) = -

1

2ю | z |2

L2(u) = -

1

- (- 2Re(izF3 (u)),0, izF1 (u),-izF1 (u))T (- Fz(u), F1(u),0,0)^,

8 | 2 |2

так что справедливы равенства

Ь1(0) = (1,0,0,0)г, Ь2(0) = (0,1,0,0)г.

h

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

Знакоотрицательность производной Hl2 |(9) и её

Теорема 3. Нулевое равновесие системы (8) неустойчиво, если 8с10 > 0 . Это равновесие х -устойчиво, если 8с10 < 0 . Здесь сю = ЯеСю.

Доказательство. Заменой Х1 — 8-1Х1 приходим к случаю 8 = 1.

Неустойчивость. Пусть с10 > 0 . От модельной системы

2

Х1 =| г | , Х2 = 0, 7 = + Сюх^ переходим к трёхмерной (р =| г |2)

Х1 = ^ Х2 = 0, р = 2с10 xlP, имеющей растущее решение

Х1 = Р3Г, Х2 = 0, р = Р3г2, г = г2, Р3 = — > 0.

определённая отрицательность по переменной 7 следуют из асимптотики [13]

Hl2(u)|

(9)

--1 z I4 -xfl^l2 -xi2|z|2, |uH 0.

(9)

c10

В координатах R , 0 = (9Ь92)T

Х1= Р3^, Х2= Я^, р = Р3*2(1 + 61) модельная система (9) имеет вид

Я = Я2(1 + 61), (Э = Rf (6)Д (6) = -(1 + е1)(261,362)Т. Равновесие 6 = 0 угловой системы 0 = f(6)

Теорема доказана.

Следующее утверждение обобщает теорему 3 и доказывается аналогично.

Теорема 4. Пусть

с10 = с20 = - = сш-1,0 = 0, ст0 * 0, т ^ ^

Нулевое равновесие системы (8) неустойчиво, если ст0 > 0. Это равновесие 7 -устойчиво, если

ст0 < 0 .

Случаи спектров устойчивости а3(А) -ст6 (А). Результаты исследования в четырех различных случаях спектра а(А) приведены в таблице. В ней использованы обозначения: 8у, 8ук, Чу, кук , С , Б - аналитические функции, разложения в ряд Тейлора которых начинаются с линейных слагаемых. В случаях СТ5 и Стб правые части полных уравнений приведены к нормальной форме

асимптотически устойчиво. Неустойчивость нуле- Пуанкаре - Дюлака соответственно до третьего и вого равновесия полных уравнений (8) следует из четвертого порядков включительно. теоремы Шноля.

Устойчивость. Пусть с10<0. Последовательными заменами переменных Ь,

2

а4: Q(a) = aa + (a2 + ^з)а + 04, 2

0,1,2), не меня-

( Х2 — Х2 —^ Ху+Х, к = 0,1,2, у = 0,1,2 ),

ющими коэффициент с10 , в порядке возрастания двухзначного числа к] добьёмся выполнения равенств Ьук = 0;

7 -устойчивость нулевого равновесия системы (8) доказывает функция Ляпунова Н2:

3

Н2(и) = х2/3 + ^3(и) - 52(и) - Х1Х2 - ^,

где

/32(и)=| 712 -2 2 2 ух/ +1Хк, у=0к=0 у +1

52 (и) = Х1 | 7 |2 -2 2 2 у х{ +2х2 .

у=0к=0 у +2

Положительная определённость функции Н 2 следует из асимптотики

Н2(и)~ Х24/3+|7|2 -С10Х2, | и |— 0.

C2(a) = b1a + (b2 + b3)a + b4, V(a) = a V2 (a) - V1(a) , P(A) = V2 (a)A,2 + d{k + d0,

).

d0 = 2V2(a) + — (^a3 - a^a2 -b4a + 04).

d1 = V2(a) + — (b1a3 + b3a2 + 02a + 04

a

a5 : A у (u) =

а6: Hy1

_ qy+1(u) - gy+1(x)q1(u)

(гю + C(u)) z + D (u)Z _ gj1h22 - gj 2h21

к11к22 - к12к21

„ _8у 2к11 - 8 у1к12

Н у 2--,

к11к22 - к12к21

сук = Ьу1а1к + Ьу2а2к, А = с12с21 (с11с22 - с12с21).

Отметим, что при А < 0 вопрос об устойчивости остался открытым. Этот случай труден. Даже в более простой аналогичной задаче для случая одной косимметрии со спектром а(А) = {0,±/Ю1,±/Ю2} необходимые и достаточные условия устойчивости не удалось получить [9].

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

Спектры устойчивости ст3 (A) ... ст6 (A) / Stability spectra ст3 (A) ... ст6 (A)

Спектр Полная система Модельная система Косимметрии L, L2 Условия устойчивости

3 аз(Л) = {03,0} x1 = Х2, x2 = x3у < Х3 = = x2 g1(x) + x3 g 2(x) Х4 = = x2 g3(x) + x3 g 4(x) x1 = _ x2 = x3, x3 = ax1 x2, x4 = 0 ' g1 ^ g 2 -1 v 0 , fa Л g 3 g 4 0 1J Неустойчивость: а Ф 0

^ 4(A) = 2 2 = {02,02} Х1 = x2, x2 = , = x2 g1(x) + x4 g 2(x) x3 = x4' = = x2g3 (x) + x4g4(x) x1 = x2y x2 = ^1x1x2 + 02 x1x4 + + Ü3 x3 x2 + 04 x3 x4, x3 = x4, x4 = ¿1x1x2 + ¿2 x1x4 + + ¿3 x3 x2 + ¿4 x3 x4 f g1 Л - 1 g 2 1 0 J f g 3 Л 0 g 4 I- 1J Неустойчивость: За е Р а Ф 0: Г(а) = 0,Г2(а) ф 0 и корни Р(Х) не лежат на мнимой оси

а5(Л) = = {02,0,+/ю} ■*1 = x2 + Re91(u), xx2 = x2 g 2(x) + Re^2(u)' " x3 = x2g3(x) + Re93(uX z = i<z + zC(u) + zD(u), z = -iroz + zC (u) + zD (u) x1 = x2y 2 JC2 = 0x1x2 + b | z | , ' x3=0, z = i»z + C0 x1z, Z = -i»z + C0 x^ '2 g 2 - 2 0 A ,A f 2g3 ^ 0 - 2 A2 a2 V 2 у Неустойчивость: Ь ие с0 ф 0, 3а ф 4Ие С0

аб (Л) = = {0Д+л»1+л»2}, (»1 ><»2, а>1 Ф 2<»2, (»1 Ф 3(»2 •¿1 = Re( z1gn(u)) + + Re( z2 g12(u)), x2 = Re(z1g 21(u)) + + Re( z2 g 22 (u)), ¿1 = iro^ + + z1^11(u) + z2^12(u), < . ^2 = '<2 z2 + + z1^21(u)) + z2^22 (u), = -+ + z^^) + z2Ä12(u), z2 =_-'<2 z2 + _ . + z1^21(u)) + ^2^22 (u) 2 2 x1 = a11 1 z1 1 +a12 1 z2 1 У 2 2 x2 = a21 1 z1 1 +a22 1 z2 1 y < z1 = i(1z1 + (Bnx1 + B12x2)zb z2 = '<2 z2 + (B_21x1 + B.22 x2 ) z2 ■ z1 = -i(1z1 + (B11x1 + B12 x2) zb z2 = -i<2 z2 + (B21x1 + B22 x2) z2 '-2 0 H11 H12 H11 vh12 f 0 - 2 h 21 h 22 h 21 ч h 22 Л J I) А > 0 . Неустойчивость: Сц > 0 либо С22 > 0; г -устойчивость: С11 < 0, С22 < 0 .; II) А < 0 -вопрос открыт

Литература

1. Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки. 1991. Т. 49, № 5. С. 142-148.

2. Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it // Chaos. 1995. Vol. 5, № 2. P. 402-411.

3. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу // ПМТФ. 1975. Т. 16, № 2. С. 131-137.

4. Yudovich V.I. The cosymmetric version of the implicit function theorem // Linear topological spaces and complex analisis. Ankara: METU-TUBITAK, 1995. Vol. 2. P. 105-125.

5. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950. 471 с.

6. Ляпунов А.М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1963. 117 с.

7. Каменков Г.В. Избранные труды. Т. 2: Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972. 215 с.

8. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Bifurcations accompanying monotonic instability of an equilibrium of a cosymmetric dynamical system // Chaos. 2000. Vol. 10, № 2. P. 311-331.

9. Куракин Л.Г. Критические случаи устойчивости. Обращение теоремы о неявной функции для динамических систем с косимметрией // Мат. заметки. 1998. Т. 63, № 4. С. 572-578.

10. Куракин Л.Г. Об устойчивости граничных равновесий в системах с косимметрией // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1324-1334.

11. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 6. С. 1297-1324.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

12.Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1985. 215 с.

13. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 254 с.

References

1. Yudovich V.I. Kosimmetriya, vyrozhdenie reshenii operatornykh uravnenii, vozniknovenie fil'tratsionnoi konvektsii [Cosymmetry, degeneration of solutions of operator equations, the emergence of filtration convection]. Mat. zametki. 1991, vol. 49, No. 5, pp. 142-148.

2. Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it. Chaos. 1995, vol. 5, No. 2, pp. 402-411.

3. Lyubimov D.V. O konvektivnykh dvizheniyakh v poristoi srede, podogrevaemoi snizu [Convective motions in a porous medium heated from below]. PMTF. 1975, vol. 16, No. 2, pp. 131-137.

4. Yudovich V.I. The cosymmetric version of the implicit function theorem. Linear topological spaces and complex analisis. Ankara: METU-TUBITAK, 1995, vol. 2, pp. 105-125.

5. Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustoichivosti dvizheniya [The general problem of the stability of motion]. Moscow: Gostekhizdat, 1950, 471 p.

6. Lyapunov A.M. Issledovanie odnogo iz osobennykh sluchaev zadachi ob ustoichivosti dvizheniya

[Study of one of the special cases of the problem of stability of motion]. Leningrad: Izd-vo Leningradskogo un-ta, 1963, 117 p.

7. Kamenkov G.V. Izbrannye trudy [Selected works]. Vol. 2. Stability and oscillations of nonlinear systems. Moscow: Nauka, 1972, 215 p.

8. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Bifurcations accompanying monotonic instability of an equilibrium of a cosymmetric dynamical system. Chaos. 2000, vol. 10, No. 2, pp. 311-331.

9. Kurakin L.G. Kriticheskie sluchai ustoichivosti. Obrashchenie teoremy o neyavnoi funktsii dlya dinamicheskikh sistem s kosimmetriei [Critical cases of stability. The inversion of the implicit function theorem for dynamical systems with cosymmetry]. Mat. zametki. 1998, vol. 63, No. 4, pp. 572-578.

10. Kurakin L.G. Ob ustoichivosti granichnykh ravnovesii v sistemakh s kosimmetriei [On the stability of boundary equilibria in systems with cosymmetry]. Sib. mat. zhurn. 2001, vol. 42, No. 6, pp. 1324-1334.

11. Pliss V.A. Printsip svedeniya v teorii ustoichivosti dvizheniya [The principle of reduction in the theory of stability of motion]. Izv. AN SSSR. Ser. math. 1964, vol. 6, pp. 1297-1324.

12. Khazin L.G., Shnol' E.E. Ustoichivost' kriticheskikh polozhenii ravnovesiya [Stability of critical equilibrium positions]. Pushchino: ONTI NTsBI AN SSSR, 1985, 215 p.

13. Rumyantsev V.V., Oziraner A.S. Ustoichivost' i stabilizatsiya dvizheniya po otnosheniyu k chasti peremennykh [Stability and stabilization of motion in relation to a part of variables]. Moscow: Nauka, 1987, 254 p.

Поступила в редакцию /Received

12 сентября 2017 г. /September 12, 2017