CC BY
10
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1
УДК 532.517 Б01 10.23683/0321-3005-2019-1-17-23
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, КВАДРАТА И ПЕНТАГОНА В ДВУХЖИДКОСТНОЙ ПЛАЗМЕ*
© 2019 г. И.А. Лысенко1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
ON STABILITY OF A VORTEX TRIANGLE, SQUARE AND PENTAGON IN THE TWO-FLUID PLASMA
I.A. Lysenko1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Лысенко Ирина Александровна - младший научный сотрудник, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: [email protected]
Irina A. Lysenko - Junior Researcher, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]
Рассматривается движение системы N точечных вихрей (N=3, 4, 5) одинаковой интенсивности в альфвеновской модели двухжидкостной плазмы. Уравнения движения являются гамильтоновыми. Исследуется устойчивость стационарного вращения системы из трёх, четырёх и пяти завихренностей, расположенных равномерно на окружности c радиусом R. Получены аналитические результаты, представленные в виде графиков на интервале 0 < R < 10.
Устойчивость понимается как орбитальная устойчивость, а неустойчивость - как неустойчивость равновесия редуцированной системы. Проведён аналитический анализ собственных значений матрицы линеаризации и квадратичной формы гамильтониана. Используются общие теоремы об устойчивости системы частиц с потенциалом течения, зависящим только от расстояния между ними. В итоге пространство параметров задачи разделяется на область устойчивости в точной нелинейной постановке, область линейной устойчивости, в которой требуется дополнительный нелинейный анализ с привлечением методов КАМ-теории, и область неустойчивости в нелинейной постановке.
Ключевые слова: точечный вихрь, двухжидкостная плазма, устойчивость, стационарное вращение, гамильто-нова система.
The stationary rotation of a system of N point vortices (N=3, 4,5) with identical intensities for the Alfven model of two-fluid plasma is considered. The equations of motion are Hamiltonian. The stability of stationary rotation for a system of 3, 4, and 5 vorticities lying uniformly on a circle of radius R is researched. The analytical results presented in the form of graphs on the interval 0 < R < 10 have been received.
The stability is interpreted as orbital stability, and the instability - is the instability of the system reduced equilibrium. The analytical analysis of eigenvalues of the linearization matrix and the quadratic form of the Hamiltonian carried out. General theorems on the stability of a system ofparticles with a stream potential that depends only on the distance between particles are used. As a result the parameter space of the problem is divided on three parts: the domain of stability in an exact nonlinear setting; the linear stability domain, where the stability problem requires additional nonlinear analysis with involvement of KAM-theory methods; and the instability in nonlinear setting domain.
Keywords: point vortex, two- fluid plasma, stability, stationary rotation, Hamiltonian system.
* Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ (№ 1.5169.2017/8.9).
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Введение
Задача об устойчивости стационарного вращения системы N одинаковых точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности (томсонов-ский вихревой N-угольник), была поставлена Кельвином (W. Thomson) [1]. Полное её исследование в линейной постановке на плоскости для уравнений Кирхгофа провели J.J. Thomson [2] и T.H. Havelock [3].
Обзор теоретических и экспериментальных работ, посвящённых этой проблеме для модели Кирхгофа в линейной и нелинейной постановке, представлен в статье [4]. Вращение вихревого N-угольника на плоскости устойчиво для N< 7, тогда как для N > 8 движение неустойчиво. В случае N < 6 достаточно линейного анализа, чтобы сделать заключение об устойчивости в точной нелинейной постановке, а для N = 7 необходимо привлекать нелинейные слагаемые [5].
Устойчивость томсоновского N-угольника для геострофических (бесселевых) вихрей изучалась в работах [6-9]. В [9] задача об устойчивости вихревого многоугольника сводится к исследованию устойчивости семейства равновесий гамильтоновой системы с циклической переменной. Используется теория Рауса для такого рода систем [10].
Задача об устойчивости правильного вихревого N-угольника в двухслойной вращающейся жидкости была рассмотрена в [11] для треугольника и квадрата, в [12] - для произвольного числа вихрей N >2. Задачи Кирхгофа и бесселевых вихрей - предельные случаи этой задачи для двухслойной жидкости. Поэтому анализ в работе [12] опирается на результаты, полученные в [4, 9]. В частности, оказалось, что экспоненциальная неустойчивость (устойчивость) в линейной постановке для двухслойной жидкости следует из экспоненциальной неустойчивости (устойчивости) в линейной постановке одновременно в моделях Кирхгофа и вихрей Бесселя.
Данная работа посвящена исследованию задачи устойчивости томсоновского вихревого N-уголь-ника в модели двухжидкостной плазмы, рассмотренной в статье [13]. Она является частным случаем альфвеновской модели в двухжидкостной плазме [14], предложенной шведским учёным Альфвеном в рамках теории магнитной гидродинамики. Эта модель базируется на достижениях Кельвина в области исследования вихрей и следует электромагнитной теории Максвелла. Несколько позже G.K. Batchelor провёл аналогию между завихренностью и магнитным полем [15]. Уравнения двухжидкостной гидродинамики описывают электроны и ионы как две проводящие жидкости, связанные друг с другом силой трения и электромагнитными полями [16].
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1
Комплексные потенциалы течений, индуцированных вихревой нитью интенсивностью к, расположенной в точке z0, в задачах для двухжидкостной плазмы [13] и двухслойной жидкости [17] имеют вид
w(z) = ix[\n(z-z0)±pK0(\z-z0\)], 13 >0, где им отвечают знаки « + » и «—» соответственно. Здесь K0 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
В предельном случае (fi = 0) обе модели превращаются в модель Кирхгофа. При fi ^ +от (fi ^ —от) модель двухжидкостной плазмы (двухслойной жидкости) не переходит в модель бесселевых вихрей. Тем не менее в [12] для модели двухслойной жидкости и в данной работе для двухжидкостной плазмы показано, что результаты в задачах об устойчивости томсоновского вихревого N-угольника для этих моделей при fi ^ ±от и для модели бесселевых вихрей совпадают.
Параметры рассматриваемых задач: N - дискретный; R и в (0 < R < от, fi > 0) - непрерывные; R -радиус окружности, на которой расположены вихри. В задаче для двухслойной жидкости fi = h1/h2 - отношение толщин её слоёв hi и h2. В случае двухжидкостной плазмы в не имеет специального названия, её выражение через физические параметры модели см., например, в [13, 18].
В статье [13] численно исследовались собственные значения соответствующей матрицы линеаризации для задачи об устойчивости томсоновского вихревого N-угольника в двухжидкостной плазме. Результаты представлены в виде графиков [13, FIG.9] для отдельных значений параметров (N = 4,...,10 на интервале 0 < R <8 при fi = 4) с указанием, что они являются типичными для всех значений параметра в. Найдены значения R, при которых справедлива экспоненциальная неустойчивость. Для оставшихся R имеет место устойчивость в линейной постановке. Таким образом, при таких значениях R вопрос об устойчивости в точной нелинейной постановке остался открытым.
Частичный ответ на него получен в данной работе, где аналитически решается задача для той же модели двухжидкостной плазмы при всех возможных значениях в > 0 и 0 < R < 10 для случаев N = 3, 4, 5. Исследование опирается на результаты статьи [12], полученные для системы общего вида с гамильтонианом, зависящим только от расстояния между частицами:
K(q,p)= _
= — Zi<j<k<N W (qj — qk)2 + (pj — pk)2) . (1)
Здесь W - произвольная гладкая функция, определённая на М; q = Р =
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 1
= (р1,..., рм) - декартовы координаты частиц; Г £ К - некоторый параметр.
В итоге всё пространство параметров разделяется на три области: 1-я - область устойчивости в точной нелинейной постановке; 2-я - неустойчивости; 3-я - область, в которой имеет место критический случай в задаче об устойчивости, т. е. для линеаризованных уравнений выполняются условия устойчивости, а для полных уравнений требуется нелинейный анализ. Полученные аналитические результаты для N = 3, 4, 5 согласуются с численными результатами работы [13] и обобщают их.
Постановка задачи
Рассматривается система N одинаковых точечных вихрей интенсивности Г в альфвеновской двухжидкостной плазме. Их движение описывается гамильтонианом р), заданным формулой (1),
где функция Ж имеет вид
№(О = 1п(О+/ЗК0(О, Р>0. (2)
В комплексных переменных гк = цк + 1рк,
= Чк — ^Рк переходим к системе с гамильтонианом г,г),р(г,г)), где ъ = = (zl,...,zN), Ё = (г^,...,гмУ;
¿к = 21Н,к; ¿к = —21Н,к, к = 1.....N. (3)
Аналитические исследования будут проводиться с использованием параметра в, а результаты в виде графиков для наглядности будут представляться в полуполосе (Я, а) £ К2: 0 < К < 10, —1 < а < 1, где
а = 1-%, —1<а<1.
1+р
Справедливо соотношение В=—, В>0.
^ 1+а ^
Система (3) имеет точное решение:
2nj(k-l)
ик = Re n ,
zk = eiWNtuk,
R > 0, к = 1,...,Ы, (4)
соответствующее стационарному вращению системы N точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного ^угольника.
Угловая скорость шм задаётся выражением
(R, ß)=±- Yl-A W'(RBm)B.
8nR
(5)
где
1
W'(RBm)=-^-ßK1(RBm),
RB,
cos
2mn
N-l
на которой угловая скорость = 0 . В пере-
менных ^,а) им отвечают кривые (рис. 1).
Функции Ям^) монотонно убывают по переменной Я и возрастают по N.
Вш —2 2С-п
Она монотонно возрастает по переменной в и монотонно убывает по Я.
Направление вращения вихрей для каждого N меняется при переходе параметра в через кривую
Рн(Ю=-
Рис. 1. Графики aN(R) = 1 соответствующие mn = 0
для N = 3, 4, 5 / Fig. 1. The graphs of the functions aN(R) = l-p*^ corresponding to the solution of the equation mn = 0 for N = 3, 4, 5
Поставим задачу об устойчивости вращения (4), (5) правильного вихревого ^-угольника для модели с гамильтонианом (1), (2).
Исследование состоит в применении результатов статьи [12], полученных для гамильтониана вида (1) с произвольной функцией Ж, где устойчивость стационарного вращения понимается как орбитальная устойчивость [4]. Под неустойчивостью будем понимать неустойчивость двумерного семейства орбит (4), (5).
Переформулируем для гамильтониана (1), (2) рассматриваемой модели двухжидкостной плазмы теоремы об устойчивости и неустойчивости стационарного вращения [12, теоремы 3.1 и 3.2].
Введём величины = 0,1,2; к = 1,..., Ы):
к
lk
= -^2Ym=\[(l +
C0s~^~) Вт^от +
+4(l -
1-2Cr,
2птк\ К1т
+ cos-
N ) RBm
+
R Ym=\ Kl (RBm)Bm
+
2(N-l)-k(N-k) 4R4 '
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 1
x2k
+
X fe + 2(1 + ^т)Кот)
2nmk\
cos—— ) X
+
N
k(N-k)
4
2nmk „ . 2mn
sm——, Sm = sin^-,
N
N
2 — -¿^N-1 с V л0к
= Ki(.RBm), I = 0,1
и полиномы Р(Ы, к, Л):
Р(И,к,Л) = Л2+ р1(И,к)Л + р0(И,к),
к = 1,...,И, (6)
с коэффициентами
Р1(М,к) = -(А1к + А2к),
р0(М,к) = А1кА2к-Л2к. (7)
Собственные значения соответствующей линеаризованной матрицы задачи вычисляются по формуле
о± = -ИАок ± 2^-А1кА2к, к = 1.....N. (8)
Для стационарного вращения (4), (5) модели с гамильтонианом (1), (2) справедлива
Теорема 1. Пространство параметров (Ы,Р,Р) разделяется на три непересекающиеся области, отвечающие случаям 1, 2, 3.
Случай 1. Стационарное вращение (4), (5) орби-тально устойчиво в точной нелинейной постановке задачи, если коэффициенты р0 (Ы, к) полиномов Р(Ы,к,Л), заданных равенствами (6), (7), положительны для любого к = 1,..., р0(Ы,к) = А1к(Ы,Р,р)А2к(Ы,2^,р) -
-А2ок(Ы,Р,Ю>0,к = 1.....[^ (9)
При этом у всех полиномов Р(Ы, к, Л) корни одного знака для каждого к = 1,..., где - целая
часть числа —.
2
Случай 2. Оно неустойчиво, если по крайней мере у одного из собственных значений (8) вещественная часть положительна. Это означает, что неравенство
Alk(N,R,ß)A2k(N,R,ß)<0 (10)
справедливо хотя бы при одном к = 2,..., j^J.
Случай 3. Если нарушаются условия случаев 1 и 2, то в задаче об устойчивости стационарного вращения (4), (5) требуется нелинейный анализ. В линейном приближении имеет место устойчивость.
Замечание 1. В случае двухслойной жидкости выполняется неравенство A2k > 0 при всех значениях параметров. Линейная задача сводится к исследованию знака A1k. В рассматриваемой модели двухжидкостной плазмы A2k может менять свой знак, поэтому условия неустойчивости (10) становятся более разветвлёнными.
Дальнейший анализ состоит в применении теоремы 1 для решения задачи об устойчивости стационарного вращения (4), (5).
Устойчивость и неустойчивость томсоновского вихревого N-угольника (N = 3, 4, 5) в двухжидкостной плазме
Пусть выполняется неравенство 0 < а < 1 . Исследование показало, что при таких а для всех значений параметров N = 3, 4 ,5 и R > 0 справедливо условие (9) теоремы 1, т.е. стационарное вращение (4), (5) орбитально устойчиво в точной нелинейной постановке (случай 1).
Теперь рассмотрим область —1 < а <0, 0< < R < 10. Результаты применения теоремы 1 на плоскости параметров (R, а) приведены для правильного вихревого треугольника, квадрата и пентагона (рис. 2, 3).
Области с различным характером устойчивости
отделяют кривые и (к = 1,..., |jJ, i = 1,2),
на которых обращаются в нуль левые части неравенств (10) и (9) соответственно.
Эти кривые задаются аналитическими формулами. Линии (к = 2,...,\jJ, i = 1,2) отделяют области неустойчивости (случай 2) и устойчивости в линейной постановке задачи, а линии
s(f)=s(f)(R) (к = 1,..., jjJ, i = 1,2) разделяют область линейной устойчивости на две части - область орбитальной устойчивости (случай 1 ) и область, в которой требуется нелинейный анализ (случай 3). На всех изображённых кривых выполняются условия, соответствующие случаю 3.
Заметим, что в случае чётного N = 4 при к = j^J линии l(u}(R) и s(m)(R) (i = 1,2) совпадают, а
Ы1 Ы1
также для всех рассмотренных N выполняется равенство s(i\r) = aN(R).
Случай N=3. Диаграмма устойчивости стационарного вращения (4), (5) приведена на рис. 2а. Ли-
нии s|1) (R) и s2(3) (R) задаются формулам
,(3)
s1(3)(R) = a3(R) = 1 —
2
4
$(3)(Д) = 1
Случай N=4. Диаграмма устойчивости приведена на рис. 2б. Изображённые линии задаются формулами
з[?(Р) = а4(Р) = 1- 3
s(f(R) = 1
V2RK1 (V2R)+RK1 (2R)+3 ' 3
R(2RK0(V2R)+V2K1(V2R)+K1(2R))+3 ' 2
S22 (R) 1 2R(RK0(2R)+K1(2R))+l '
sg(R) = l$(R) = 1— 2
(RK0(V2R)+V2KI(V2R))
+2
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1
Кривые s(f(R) и s^R) пересекаются в точке Случш N=5. Диаграмма усшмиюст предстж-04(3,122; —0,951) лена на рис. 3 для значений 0 < R < 10.
а/а б/b
Рис. 2. Диаграммы устойчивости: а - N = 3; б - N = 4. В светлой области 1 имеет место орбитальная устойчивость; в заштрихованной области 2 - вращение N вихрей неустойчиво; в серой области 3 требуется нелинейный анализ / Fig. 2. Stability diagrams: а - for N = 3; b - for N = 4. In the light domain 1 the stability in an exact nonlinear problem setting takes place; in the hatched domain 2 - rotation of N vortices is unstable; in the dark domain 3 - problem requires the nonlinear analysis
23456789 10
Рис. 3. Диаграмма устойчивости для N = 5: а - 0 < R < 2; б - 2 < R < 10. Обозначения областей те же, что и на рис. 2 / Fig. 3. Stability diagram for N = 5: a - 0 < R < 2; b - 2 < R < 10. The domain designations are the same as in the fig. 2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 1
Здесь линии (R) и I® (R) задаются выражениями
= 1 -
8
-5R(bK1(ÎR)+aK1 (iR))+3R(aK1(iR)-bK1(ÎR))+A1 '
Аг = R2 [2/5(K0(1bR) - K0(1aR)) +
+5 (Ko(1aR) + Ko(±bR))] + 4,
l(5) = 1 l22 1
24
2V5R2(K0(2aR)-K0(1bR))+5R2(K0(1aR)+K0(±bR))+A2'
A2 = R[bK1(1aR) - aK1(1bR) + +-5 (b^QuR) + aK^bR))] + 12,
a = ^10-2-5, b = ^10 + 2-5. Кривые s^p (R), i = 1,2, определяются по формулам s(5)(R) = as(R) = 1-
4b
2V5RK1(laR)+V5RK1(lbR)+5RK1(lbR)+2b '
8(1-^5)
+
s 12 (R) 1 aR(K1(1aR)-2K1(1bR)--5K1(1aR))+A3'
A3(R) =
= R2 (ïKo^bR) - 3-5Ko(1bR) - 2-5Ko(12aR)) +4(1 --5).
Функции s(5>(R), i = 1,2, являются решениями уравнения po (5,2 = 0 и не выписаны здесь ввиду их громоздкости.
Координаты точек пересечения кривых на рис. 3: 05(1,724-, -0,689), U5(2,075; -0,780), Ç5(3,016; -0,665) и D5(3,76; -1).
Благодарим Л.Г. Куракина за постановку задачи и внимание к работе.
Литература
1. Thomson W. Floating magnets (illustrating vortex systems) // Nature. 1878. Vol. 18. P. 13-14.
2. Thomson J.J. A Treatise on the Motion of Vortex Rings. London: Macmillan, 1883. P. 94-108.
3. Havelock T.H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation // Philosophical Magazine. 1931. Vol. 11 (70). P. 617-633.
4. Kurakin L.G., Yudovich V.I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon // Chaos. 2002. Vol. 12 (3). P. 574-595.
5. Kurakin L.G., Yudovich V.I. On nonlinear stability of steady rotation of a regular vortex polygon // Dokl. Phys. 2002. Vol. 47 (6). P. 465-470.
6. Stewart H.J. Periodic properties of the semi-permanent atmospheric pressure systems // Quarterly of Applied Mathematics. 1943. Vol. 1. Р. 262.
7. Stewart H.J. Hydrodynamic problems arising from the investigation of the transverse circulation in the atmosphere // Bulletin of the American Mathematical Society. 1945. Vol. 51. P. 781-799.
8. Morikawa G.K., Swenson E.V. Interacting motion of rectilinear geostrophic vortices // Phys. Fluids. 1971. Vol. 14 (6). P. 1058-1073.
9. Kurakin L.G., Ostrovskaya I.V. On stability of the Thomson's vortex N-gon in the geostrophic model of the point Bessel vortices // Regul. Chaotic Dyn. 2017. Vol. 22 (7). P. 865-879.
10. Routh E.J. A Treatise on the Stability of a Given State Motion. London: Macmillan, 1877. 108 p.
11. Kurakin L.G., Ostrovskaya I.V., Sokolovskiy M.A. On the stability of discrete tripole, quadrupole, Thom-son'vortex triangle and square in a two-layer/homogeneous rotating fluid // Regul. Chaotic Dyn. 2016. Vol. 21 (3). P. 291-334.
12. Kurakin L.G., Lysenko I.A., Ostrovskaya I.V., Sokolovskiy M.A. On Stability of the Thomson's Vortex N-gon in the Geostrophic Model of the Point Vortices in Two-layer Fluid // J. of Nonlinear Science. 2018. URL: https://doi.org/10.1007/s00332-018-9526-2 (дата обращения: 17.12.2018).
13. Bergmans J., Kuvshinov B.N., Lakhin V.P., Schep T.J. Spectral stability of Alfven filament configurations // Physics of Plasmas. 2000. Vol. 7, № 6. P. 2388-2403.
14. Alfven H. On the existence of electromagnetic-hy-dromagnetic waves // Arkiv. F. Mat. Fysik. 1942. Vol. 29B, № 2. P. 7.
15. Batchelor G.K. On the spontaneous magnetic field in a conducting liquid in turbulent motion // Proc. Roy. Soc. A. 1950. Vol. 201. P. 405-416.
16. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1975. 525 c.
17. Sokolovskiy M.A., Verron J. Dynamics of Vortex Structures in a Stratified Rotating Fluid // Atmospheric and Oceanographic Sciences Library. Vol. 47. Cham: Springer, 2014. 382 p.
18. Lakhin V.P., Schep T.J., Westerhof E. Current-vortex filament model of nonlinear Alfven perturbations in a finite-pressure plasma // Physics of Plasmas. 1998. Vol. 5, № 11. P. 3833-3848.
References
1. Thomson W. Floating magnets (illustrating vortex systems). Nature. 1878, vol. 18, pp. 13-14.
2. Thomson J.J. A Treatise on the Motion of Vortex Rings. London: Macmillan, 1883, pp. 94-108.
3. Havelock T.H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation. Philosophical Magazine. 1931, vol. 11 (70), pp. 617-633.
4. Kurakin L.G., Yudovich V.I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon. Chaos. 2002, vol. 12 (3), pp. 574-595.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1
5. Kurakin L.G., Yudovich V.I. On nonlinear stability of steady rotation of a regular vortex polygon. Dokl. Phys. 2002, vol. 47 (6), pp. 465-470.
6. Stewart H.J. Periodic properties of the semi-permanent atmospheric pressure systems. Quarterly of Applied Mathematics. 1943, vol. 1, p. 262.
7. Stewart H.J. Hydrodynamic problems arising from the investigation of the transverse circulation in the atmosphere. Bulletin of the American Mathematical Society. 1945, vol. 51, pp. 781-799.
8. Morikawa G.K., Swenson E.V. Interacting motion of rectilinear geostrophic vortices. Phys. Fluids. 1971, vol. 14 (6), pp. 1058-1073.
9. Kurakin L.G., Ostrovskaya I.V. On stability of the Thomson's vortex N-gon in the geostrophic model of the point Bessel vortices. Regul. Chaotic Dyn. 2017, vol. 22 (7), pp. 865-879.
10. Routh E.J. A Treatise on the Stability of a Given State Motion. London: Macmillan, 1877, 108 p.
11. Kurakin L.G., Ostrovskaya I.V., Sokolovskiy M.A. On the stability of discrete tripole, quadrupole, Thom-son'vortex triangle and square in a two-layer/homogeneous rotating fluid. Regul. Chaotic Dyn. 2016, vol. 21 (3), pp. 291-334.
12. Kurakin L.G., Lysenko I.A., Ostrovskaya I.V., Sokolovskiy M.A. On Stability of the Thomson's Vortex N-gon in the Geostrophic Model of the Point Vortices in Two-layer Fluid. J. of Nonlinear Science. 2018. Available at: https:// doi.org/10.1007/s00332-018-9526-2 (accessed 17.12.2018).
13. Bergmans J., Kuvshinov B.N., Lakhin V.P., Schep T.J. Spectral stability of Alfven filament configurations. Physics of Plasmas. 2000, vol. 7, No. 6, pp. 2388-2403.
14. Alfven H. On the existence of electromagnetic-hy-dromagnetic waves. Arkiv. F. Mat. Fysik. 1942, vol. 29B, No. 2, p. 7.
15. Batchelor G.K. On the spontaneous magnetic field in a conducting liquid in turbulent motion. Proc. Roy. Soc. A. 1950, vol. 201, pp. 405-416.
16. Kroll N., Traivelpis A. Osnovy fizikiplazmy [Fundamentals of plasma physics]. Moscow: Mir, 1975, 525 p.
17. Sokolovskiy M.A., Verron J. Dynamics of Vortex Structures in a Stratified Rotating Fluid. Atmospheric and Oceanographic Sciences Library. Cham: Springer, 2014, vol. 47, 382 p.
18. Lakhin V.P., Schep T.J., Westerhof E. Current-vortex filament model of nonlinear Alfven perturbations in a finite-pressure plasma. Physics of Plasmas. 1998, vol. 5, No. 11, pp. 3833-3848.
Поступила в редакцию /Received_17 января 2019 г. / January 17, 2019
