CC BY
12
УДК 532.517 DOI 10.23683/0321-3005-2017-4-1-24-30
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРАВИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ВИХРЕВЫХ ЗАРЯДОВ
ВНЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ*
© 2017 г Л.Г. Куракин1'2, А.П. Мелехов1, И.В. Островская1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия
ON THE STABILITY OF A REGULAR SYSTEM OF THE VORTEX CHARGES
OUT-SIDE A CIRCULAR DOMAIN
L.G. Kurakin1'2, A.P. Melekhov1,1.V. Ostrovskaya1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia
Куракин Леонид Геннадиевич - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия; главный научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: kurakin@math.sfedu.ru
Мелехов Андрей Петрович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: melekhov@math.sfedu.ru
Островская Ирина Владимировна - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: ostrov@math.sfedu.ru
Leonid G. Kurakin - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Main Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: kurakin@math.sfedu.ru
Andrew P. Melekhov - Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: melekhov@math.sfedu.ru
Irina V. Ostrovskaya - Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: ostrov@math.sfedu.ru
* Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ (№ 1.5169.2017/8.9).
Рассматривается задача устойчивости системы точечных вихревых зарядов, расположенных в вершинах правильного Ы-угольника (М=2,...,8) вне круговой области. Потенциал взаимодействия между зарядами обратно пропорционален расстоянию между ними. Аналитически исследованы квадратичная часть гамильтониана и собственные значения матрицы линеаризации. Получены условия устойчивости по Раусу и экспоненциальной неустойчивости. Указаны области параметров, требующие дополнительного нелинейного анализа. Обнаружен эффект стабилизации стационарного вращения системы вихревых зарядов границей области для N=6,7,8. Перечислены и исследованы численно все резонансы до четвертого порядка включительно, возникающие в этой задаче. Численно обнаружена неустойчивость в двух точках, соответствующих двукратному нулевому собственному значению матрицы линеаризации при N=3. Результаты теоретического анализа подтверждаются численным расчетом траекторий точечных вихрей.
Ключевые слова: точечный вихрь, стационарное вращение, гамильтоновы системы, устойчивость по Раусу, резонанс.
The stability problem of a system of point vortex charges is considered. The charges are located in the vertices of a regular N-gon (N=2,...,8) outside a circular area. The interaction potential between the charges is inversely proportional to the distance between them. The quadratic terms of the Hamiltonian and the eigenvalues of the linearization matrix are studied analytically. The conditions of Routh stability and exponential instability are obtained. The range of parameters that require additional non-linear analysis is indicated. The effects of stabilization of a stationary rotation of the vortex charges system by the boundary of the region is found for N=6,7,8. All the resonances arising in this problem up to fourth order has been listed and investigated numerically. Instability is found numerically in two points that correspond double zero eigenvalues of linearization matrix (diagonal case) for N=3. The results of the theoretical analysis are confirmed by numerical calculation of the trajectories of point vortices.
Keywords: point vortices, stationary rotation, Hamiltonian systems, Routh stability, resonance.
Уравнения движения
Рассматривается модель движения системы N точечных вихревых зарядов на плоскости вне круговой области радиусом Я
Ук^к = 2/, ук2к = -21 , к = 1,...,N, (1)
8z,
8z,
с гамильтонианом
H =
1
Z
У,Ук
1
4ж 1<j<k<N | zk - z ■ | 8ж jk=1
УУк У,
1 zk- z,1 1 zk1
. (2)
Здесь 2к = Хк + ¡Ук - комплексные переменные, к = 1,..., N; Хк, у к - декартовы координаты к -го
заряда; У к - его интенсивность; 2к = ■=— - отра-
2к
жение к -го заряда границей круга.
Сила взаимодействия между]-м и к-м вихревыми зарядами потенциальна с потенциалом 1/т^к , где
т^ — расстояние между этими зарядами. Влияние
границы учтено с помощью метода отражений. Предполагается бесциркулянтное обтекание границы. Потенциал 1/7 ранее встречался, например, в
работах [1-3], в которых рассматривались вихревые заряды в трехмерном пространстве. Дж.Дж. Томсон [1] вихревые заряды называл корпускулами. В работе [3] исследовалась устойчивость относительного равновесия трех вихревых зарядов с нулевой суммарной интенсивностью.
Задача об устойчивости стационарного вращения ^-угольника из вихревых зарядов внутри круговой области ранее была исследована в работах [4, 5].
Система (1), (2) имеет два интеграла: энергию Н и суммарный момент инерции
N о
м = ЕУк12к!2.
к=1
Эта система инвариантна относительно группы О, образующие которой суть зеркальное отражение 7 : 2 ^ 2 и вращение : 2 ^ гш 2, аеК.
Действие g ^ группы О на фазовом пространстве 2 определяется равенством LgZ = ^ь..„gZN) для 2 = (гь2N) е 2 и
g е О.
Согласно [6, 7], стационарным называется движение, которое осуществляется преобразованиями некоторой однопараметрической подгруппы группы симметрии данного уравнения.
Будем считать, что все вихри имеют одинаковую интенсивность у.
Рассмотрим решение задачи (1), (2)
uk,
_ Г> 02m(k-\)N
(3)
uk = Re
k = 1,...,N,
отвечающее подгруппе вращении g ; R2
®n = ®n(q); q = ^; 0 <R<Ro (рис. i).
Ro
Таким образом, конфигурация одинаковых точечных вихревых зарядов, расположенных вне круговой области радиусом R на окружности радиусом Ro в вершинах правильного ^-угольника, вращается с постоянной угловой скоростью 0 = (N (q) . Далее, не нарушая общности, будем
считать Ro = 1.
При прохождении параметра q через точку q0N
угловая скорость On меняет знак (табл. 1, рис. 2).
Таблица 1
Значения qoN параметра q, при которых
mN (Ф = 0 > N=2,.. .,8 / Parameter qoN value under which (q) = 0, N=2,...,8
qoN
qo2=0,2143223673
qo3=0,3476396784
qo4=
=0,4279904202
qo5=0,48116016866
q06=0,5198385317
qo7=
=0,5483566188
qo8=0,5703123852
A
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 4-1
R2
Рис. 1. Зависимость угловой скорости ам от параметра д = при N=2,.,8. Кривые аы расположены снизу вверх в
R 2
порядке возрастания N / Fig. 1. Dependence of angular velocity am on the parameter q = . Curves am located from bottom to
top in order of increasing N
R2
а / a
б / b
Рис. 2. Изменение направления вращения правильного семиугольника: а - q = 0,54 < q07; б - q = 0,56 > q07. Жирными точками обозначено начальное расположение вихревых зарядов / Fig. 2. Change the direction of rotation of the regular heptagon: a - q = 0,54 < q07; b - q = 0,56 > q07 . Bold points indicate the initial location of the vortex charges
0
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 4-1
Устойчивость правильного N -угольника
Замена переменных = е ^^ Ук ) приво-
дит уравнения (1), (2) к системе с гамильтонианом
N
ад=н (V)+^м (V)
M = /Z | vk |2, где
к=1
V = 0>1,..., VN) е С
На каждой плоскости переменных Vk введем новые координаты и запишем ^ в виде
__ ^(к-1)+вк) ^ = лМ + 2гке N .
В переменных г = (г1;...,гм) , в = (вх,...,вм) получаем уравнения
дЕ..... • дЕ
гк =-
дв,
-(v(r ,в)), вк = — (v(r,e)). (4)
дгк
(
E2=(Sp, р), S =
F1
-1G 0
2 0
1
2
Матрица линеаризации системы (4) на нулевом т (- 2Е, ^
равновесии имеет вид Ь =
0
- 2F1
- G
0 У
Матрица S симметрична, и поэтому все ее собственные значения вещественны. Она имеет нулевое собственное значение, отвечающее семейству Г. Достаточным условием устойчивости по Раусу решения (3) является то, что все остальные соб-
ственные значения матрицы S имеют одинаковый знак. Экспоненциальная неустойчивость имеет место, когда у матрицы линеаризации L есть собственные значения с положительной действительной частью. Если все собственные значения матрицы линеаризации L лежат на мнимой оси, а матрица S знакопеременна, для исследования устойчивости требуется нелинейный анализ с помощью методов КАМ-теории.
Матрицы Fl, F2 и Go являются циркулянтами:
N-1 N-1
= £ /щ С1 , С0 = £ goС1, где C - цикличе-
1=0 1=0
ская матрица. Матрицы F1 и F2 - симметричные, а Go - кососимметрическая. Величины /щк , g0к не выписаны здесь ввиду их громоздкости.
Собственные значения
I
2к
iL
0к'
к
Стационарному движению (3) отвечает непрерывное семейство равновесий системы (4), расположенное на прямой Г = {(г,в): г = 0, в1 =... = вь,}.
Режим стационарного вращения (3) неустойчив по Ляпунову при любых N [7]. Далее будет использоваться наиболее сильное из возможных в данной задаче определений устойчивости - устойчивость по Раусу [7].
Под устойчивостью по Раусу решения (3) будем понимать устойчивость по Ляпунову семейства равновесий Г. Заметим, что для доказательства такого рода устойчивости достаточно найти знакоположительный интеграл, являющийся положительно-определенным по части переменных в подпространстве, ортогональном семейству равновесий Г.
Разложение функции Е^(р)) в ряд Тейлора по переменной р = (г, в) - одно и то же в окрестности любого равновесия семейства Г: E(v(р)) = Е0 + Е2 ^(р)) +... Многоточием здесь обозначены слагаемые выше 2-й степени. Квадратичная форма Е 2 представима в виде
к = 1,..., N, матриц Fl, F2 и Go заданы формулам
N-1
Lmk Z \ fmi e
j=0
2як' . N-1 2nki
„„-to a =Vrr ^N1
mz
=1,2, ¡¿0к = £go 1е
1 =0
Собственные значения матрицы S являются корнями полинома [8]
Р(Л,к) = Л2 -(Лк + Л)Л + ЛЛк -14, к=1,...д
Собственные значения матрицы линеаризации L имеют вид [9] ак = -¡Л0к ±2^-Л1кЛ2к, к=1 ,.. .Д
Используемые в следующей теореме критические значения параметра q приведены в табл. 2.
Теорема 1. Стационарное вращение (3) правильного вихревого Ы-угольника:
- устойчиво по Раусу в случаях:
1) N=2,3,4,5 при д е[0, д°ш)Uд°2N,1);
2) N=6,8 при д е (д°ш,1);
3) N=7 при д е (д^,1);
- экспоненциально неустойчиво в случаях:
4) N=2,4 при д е (д°ш, д°2N );
5) #=3,5 при д е (д**у,д^);
6) N=6,8 при д е [0, д°ш);
7) N=7 при д е [0, д*7);
- при выполнении условий:
8) д е[д^, д*т ] U[д11N, д2N ] для N=3,5;
9) д е [д*7, д^] для N=7;
10) д = д°ш или д = д2N для N=2,4;
11) д = д°ш для N = 6,8 требуется нелинейный анализ.
и
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1
нейный анализ методами КАМ-теории [10], которые требуют приведения гамильтониана к нормальной форме до 4-го порядка, отыскания и исследования всех резонансных соотношений до 4-го порядка включительно. Такая работа для системы логарифмических точечных вихрей вне круга была проделана в [11-13].
Для нашей задачи найдены резонансы до 4-го порядка включительно в случаях N=2,.. .,8 (табл. 2).
Таблица 2
Критические значения q°N , qN теоремы 1 и список резонансных значений параметра q : q00 - двукратный ноль; q - жорданова клетка; qfc-m - резонанс к : m / The critical values q °N , qN of the theorem 1 and resonance parameter q values : qqq - the double zero; q - the Jordan cell; q^m - resonance к : m
Замечание. В случае N=6,7,8 в отсутствие границы при q=0 имеет место экспоненциальная неустойчивость, а при q > q - устойчивость (рис. 3). Таким образом, наблюдается стабилизирующее влияние границы области. В классическом случае логарифмического потенциала этот эффект отсутствует [9].
В случае выполнения условий 8-11 теоремы 1 для заключения об устойчивости необходим нели-
N II 2 q00 = q°2 = 0,048316, q00 = q°22 = 0,236068
II #оо = q°u = 0,125402, q00 = q°23 = 0,47058, q1:1 = q* = 0,12607, qqn = q*3 = 0,469994, q°:2 = 0,125994, q°:2 = 0,47006, q°:3 = 0,1259, q°:3 = 0,470142
N II 4 q00 = q°4 = 0,152886, q00 = q°2A = 0,662933
N II 5 о о Л * q00 = q15 = 0,157847, q00 = q^ = 0,760326, q1:1 = q*5 = 0,158059, q1:1 = q*25 = 0,760306, q°:2 = 0,158036, q°:2 = 0,76031, q°:3 = 0,158006, q°:3 = 0,760311
II qoo = q°6 = 0,829035
I'll о * q00 = q17 = 0,869194, q1:1 = q*7 = 0,869189
N = 8 qoo = q°8 =0,899048
а / a б / b
Рис. 3. Пример стабилизации вихревого шестиугольника границей области: а - q=0 - граница отсутствует; б - q=0,85 > q° / Fig. 3. Example of stabilization of a vortex hexagon by the boundary of domain: а - q=0 - border is absent; b - q=0.85 > q°
Численный эксперимент в резонансных случаях
В данном разделе прямым численным счетом исследуется устойчивость режима стационарного вращения (3) для N = 2,...,8 при всех резонансных значениях параметра q из табл. 2.
Неустойчивость была обнаружена только в случае N = 3 при q = q10з и q = q23 . Траектории движения вихревых зарядов, соответствующие этим резонансам, приведены на рис. 4, 5.
На рис. 4a - в демонстрируется неустойчивость стационарного вращения правильного треугольника
при q = q03 . В начальный момент времени он возмущается на величину порядка 10-4. На рис. 4б наблюдается неустойчивость. Время счета - порядка 200 оборотов режима стационарного вращения (3). При малых отклонениях параметра q от критиче-
1
ского значения q0з в обе стороны наблюдается устойчивость (рис. 4а, в). Здесь вихревой треугольник совершает около 37000 оборотов.
На рис. 5a - в показана неустойчивость стационарного вращения правильного треугольника при
q = q2з . В начальный момент времени вносится возмущение на величину порядка 10-5. На рис. 5б при q = q0з имеет место неустойчивость. Время счета - 50 оборотов. В малой окрестности точки q = q2з наблюдается устойчивость (рис. 5 а, в). Здесь время счета - 4600 оборотов.
В остальных резонансных точках параметра q, приведенных в табл. 2, неустойчивость численно не обнаружена.
Численно проверены также все утверждения теоремы 1 об устойчивости и неустойчивости.
а /a
б / b
в / c
Рис. 4. Случай N=3. Неустойчивость при изолированном значении параметра q = q^ : а - q=0,1252; б - q = qi°3 ~0,125402; в - q=0,1256 / Fig. 4. The case of N=3. Instability at an isolated parameter value q = q^ :
а - q=0.1252; b - q = q°3 «0.125402; c - q=0.1256
а /a
б / b
в / c
Рис. 5. Случай N=3. Неустойчивость при изолированном значении параметра q = q23: а - q=0,4702; б -q = q°3 «0,470579; в - q=0,4708 / Fig. 5. The case of N=3. Instability at an isolated parameter value q = q°3: а - q=0.4702; b - q = q°23 « 0.470579; c - q=0.4708
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 4-1
Литература
1. Томсон Дж.Дж. Электричество и материя. М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 264 с.
2. Гряник В.М. Динамика сингулярных геострофических вихрей в двухуровневой модели атмосферы (океана) // Изв. АН СССР. ФАО. 1983. Т. 19, № 3. С. 227-240.
3. Гудименко А.И., Захаренко А.Д. Устойчивость относительного равновесия трех вихревых зарядов с нулевой суммарной интенсивностью // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 4. С. 43-54.
4. Островская И.В. Об устойчивости системы частиц в вершинах квадрата внутри круговой области // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. Актуальные проблемы математической гидродинамики. С. 178-180.
5. Куракин Л.Г., Мелехов А.П., Островская И.В. Об устойчивости стационарного вращения системы точечных вихрей внутри круговой области // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 4 (188). С. 68-73.
6. Куракин Л.Г., Юдович В.И. О нелинейной устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника // Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 4. С. 476-482.
7. Kurakin L.G., Yudovich V.I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon // Chaos. 2002. Vol. 12. P. 574-595.
8. Куракин Л.Г. Устойчивость, резонансы и неустойчивость правильных вихревых многоугольников внутри круговой области // Докл. РАН. 2004. Т. 399, № 1. С. 52-55.
9. Havelock T.H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation // Phil. Mag. 1931. Vol. 11, № 70. Р. 617-633.
10. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М. : Наука, 1978. 312 с.
11. Куракин Л.Г. Об устойчивости стационарного вращения системы трех равноудаленных вихрей вне круга // ПММ. 2011. Т. 75, № 2. С. 327-337.
12. Куракин Л.Г., Островская И.В. Об устойчивости томсоновского вихревого многоугольника с четным числом вихрей вне круговой области // СМЖ. 2010. Т. 51, № 3. C. 584-598.
13. Куракин Л.Г., Островская И.В. Критерий устойчивости правильного вихревого пятиугольника вне круга // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 2. С. 355-368.
References
1. Tomson Dzh.Dzh. Elektrichestvo i materiya [Electricity and matter]. M.; Izhevsk : NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2004, 264 p.
2. Gryanik V.M. Dinamika singulyarnykh geostro-ficheskikh vikhrei v dvukhurovnevoi modeli atmosfery
(okeana) [Dynamics of singular geostrophic vortices in a two-level model of the atmosphere (ocean)]. Izv. AN SSSR. FAO. 1983, vol. 19, No. 3, pp. 227-240.
3. Gudimenko A.I., Zakharenko A.D. Ustoichivost' otnositel'nogo ravnovesiya trekh vikhrevykh zaryadov s nulevoi summarnoi intensivnost'yu [Stability of the relative equilibrium of three vortex charges with zero total intensity]. Izv. RAN. MZhG. 2012, No. 4, pp. 43-54.
4. Ostrovskaya I.V. Ob ustoichivosti sistemy chastits v vershinakh kvadrata vnutri krugovoi oblasti [On the stability of a system of particles at the vertices of a square inside a circular domain]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2009. Aktual'nye problemy matematich-eskoi gidrodinamiki, pp. 178-180.
5. Kurakin L.G., Melekhov A.P., Ostrovskaya I.V. Ob ustoichivosti statsionarnogo vrashcheniya sistemy tochechnykh vikhrei vnutri krugovoi oblasti [On the stability of the stationary rotation of a system of point vortices inside a circular domain]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2015, No. 4 (188), pp. 68-73.
6. Kurakin L.G., Yudovich V.I. O nelineinoi ustoichivosti statsionarnogo vrashcheniya pravil'nogo vikhre-vogo mnogougol'nika [On the nonlinear stability of the stationary rotation of a regular vortex polygon]. Dokl. RAN. 2002, vol. 384, No. 4, pp. 476-482.
7. Kurakin L.G., Yudovich V.I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon. Chaos. 2002, vol. 12, pp. 574-595.
8. Kurakin L.G. Ustoichivost', rezonansy i neustoi-chivost' pravil'nykh vikhrevykh mnogougol'nikov vnutri krugovoi oblasti [Stability, resonances, and instability of regular vortex polygons inside a circular domain]. Dokl. RAN. 2004, vol. 399, No. 1, pp. 52-55.
9. Havelock T.H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation. Phil. Mag. 1931, vol. 11, No. 70, pp. 617-633.
10. Markeev A.P. Tochki libratsii v nebesnoi mekhanike i kosmodinamike [The points of libration in celestial mechanics and cosmodynamics]. Moscow: Nauka, 1978, 312 p.
11. Kurakin L.G. Ob ustoichivosti statsionarnogo vrashcheniya sistemy trekh ravnoudalennykh vikhrei vne kruga [On the stability of the stationary rotation of a system of three equidistant vortices outside the circle]. PMM. 2011, vol. 75, No. 2, pp. 327-337.
12. Kurakin L.G., Ostrovskaya I.V. Ob ustoichivosti tomsonovskogo vikhrevogo mnogougol'nika s chetnym chislom vikhrei vne krugovoi oblasti [On the stability of a Thompson vortex polygon with an even number of vortices outside the circular domain]. SMZh. 2010, vol. 51, No. 3, pp. 584-598.
13. Kurakin L.G., Ostrovskaya I.V. Kriterii ustoi-chivosti pravil'nogo vikhrevogo pyatiugol'nika vne kruga [Criterion for the stability of a regular vortex pentagon outside the circle]. Nelineinaya dinamika. 2012, vol. 8, No. 2, pp. 355-368.
Поступила в редакцию /Received
4 сентября 2017 г. /September 4, 2017
