О некоторых мультипликативных неравенствах и условиях затухания функции на бесконечности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОСЛЕДНЯЯ СТАТЬЯ

Публикуемая ниже статья является последней работой Виктора Иосифовича Юдо-вича, направленной в журнал «Известия вузов. Северо-Кавказский регион», с которым он сотрудничал с момента его организации и членом редколлегии которого был много лет. Заметка «О некоторых мультипликативных неравенствах и условиях затухания функции на бесконечности» отпочковалась от большой статьи «О конвекции сильновязкой нетеплопроводной жидкости» для «Математического сборника».

Полученные при исследовании задачи конвекции мультипликативные неравенства имели самостоятельное значение и могли быть опубликованы без доработки, но Виктор Иосифович продолжил работу над заметкой и по ее окончании - за месяц до смерти - сказал: «Сейчас мне не стыдно направить эту статью в любой математический журнал, но не будем менять решение». Виктор Иосифович был очень требователен к себе, и каждую работу доводил до возможно высокого по его меркам уровня.

«Главное, чтобы работа нравилась автору», - говорил Виктор Иосифович, и это приводило к тому, что некоторые его работы ожидали публикации месяцы и даже годы. Требования к статьям у него были самые высокие: интересная задача, оригинальный и, желательно, простой метод решения, возможные приложения и обобщения. Кроме того, четкие ссылки на предшествующих авторов, иногда даже на устные сообщения. Таков был стиль Юдовича, и так было с каждой работой, а их у него более трехсот. Плюс две монографии: «Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости», изданная в РГУ в 1984 г., и «Математическая теория электрофореза», написанная совместно с В. Г. Бабским и М. Ю. Жуковым («Нау-кова думка», Киев, 1989 г.). Обе книги переведены на английский язык. Кроме того, вышли два тома учебника по уравнениям математической физики, «Руководство к реше-

нию задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям», написанное с А.А.Есиповым и Л.И.Сазоновым, курс лекций по математическим моделям естествознания.

Научная работа Виктора Иосифовича охватывала многие разделы механики сплошных сред, математической физики, спектральной теории, теории бифуркаций и др., в которых им получены классические результаты. Его главный научный интерес - математическая гидродинамика. Эта область механики в течение столетий привлекает исследователей неповторимой красотой и практической важностью. Виктор Иосифович говорил, что главные проблемы еще не решены и представляют вызов науке и ученым до сих пор, хотя здесь работали многие выдающиеся ученые. Не случайно в опубликованных списках фундаментальных проблем математики XXI в. присутствуют проблемы математической гидродинамики. За одну из них - существование решений основных начально-краевых задач для уравнений Эйлера и Навье-Стокса - американский институт Клея объявил премию в один миллион долларов.

Создав ростовскую научную школу по математической гидродинамике и руководя ею более сорока лет, Виктор Иосифович продолжил традиции учителя ростовских механиков - академика РАН Иосифа Израи-левича Воровича, а также его соратника -академика Никиты Николаевича Моисеева, трудившегося в Ростовском университете в первое послевоенное десятилетие. Виктор Иосифович гордился тем, что ростовская школа математической гидродинамики работает в лучших традициях русской механики, восходящих к П.Л. Чебышеву, А.М. Ляпунову, Н.Е. Жуковскому. В XIX и начале XX в. теоретическая гидродинамика была большей частью математической. Однако в настоящее время процессы специализации привели к тому, что за рубежом (даже в Англии - на

родине Кельвина, Стокса, Рейнольдса) эти традиции утеряны. Чистые математики доказывают теоремы существования, инженеры решают конкретные технические задачи при помощи численных методов, вычислители конструируют универсальные программы в уверенности, что компьютер выдаст правильный ответ. Виктор Иосифович подчеркивал, что российская механика -уникальное явление в мире современной науки, и делал все, чтобы в трудные годы российская механика не сдавала своих позиций. Его доклады за рубежом вызывали огромный интерес, они были не только содержательны, но и со вкусом поданы. Безукоризненно владея русским языком, он хорошо говорил по-английски, снабжая выступления уместными остротами и шутками. При этом даже чопорные англичане (не говоря уже о французах) не скрывали своего удовольствия и потом его цитировали.

Работая в области гидродинамики, Виктор Иосифович в своих исследованиях использовал результаты многих разделов математики, а если их не было, то получал сам, таким образом совершенствуя математические теорию и методы. Так возникли работы по теории интегралов типа потенциала, многомерных сингулярных интегралов в предельных случаях. Классические результаты в теории осцилляционных и вполне положительных операторов Келлога-Крейна-Гантмахера позволили ему вместе со своим учеником Ю.С. Барковским решить задачу наивысшей трудности в теории гидродинамической устойчивости - установить существование вихрей Тейлора в случае разновращающихся цилиндров. Вместе с Л.С. Срубщиком в работе о капиллярной жидкости была получена первая теорема существования для неравномерного эллиптического квазилинейного уравнения.

В последние десятилетия научная деятельность Виктора Иосифовича стала еще более интенсивной. Открылись новые возможности — гранты, поездки за рубеж, российское и международное сотрудничество. Он подавал заявки на гранты по различным направлениям, говоря, что нужно написать 10 проектов, чтобы получить один, а сам добивался лучших результатов.

В 1990-1991 гг. он открыл и развил новую область математики - теорию косимметрии, которая позволяет обнаруживать существование непрерывных семейств стационарных режимов в различных моделях механики и математической физики. Появился обширный цикл работ по косимметрии, были изучены иные необычные бифуркации в подобных системах, найдены приложения в теории фазовых переходов в ферромагнетиках и антиферромагнетиках.

Особо следует отметить серию работ Виктора Иосифовича, написанных в связи с окончанием XX в.: «Глобальная разрешимость против коллапса в динамике несжимаемой жидкости» (Математические события XX века. М., 2003), «Eleven great problems of mathematical hydrodynamics» (Moscow Math. 2003. Vol. 3), «О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики» (Успехи механики. 2002. Т. 1. № 1). В них дан обзор современного состояния математической гидродинамики и перспектив ее развития. Одна из главных целей этих статей -сблизить точки зрения исследователей, занимающихся одним и тем же предметом, но с разных позиций. Его работы и личное участие способствовали налаживанию контактов между математиками, механиками, физиками, биологами, а в последнее время - и медиками.

Он любил теоремы существования и единственности, многое сделал в этой области математики. На одном симпозиуме кто-то заметил, что существование и неповторимость Юдовича - один из лучших результатов в математической гидродинамике. С его уходом мы потеряли выдающегося Ученого и Учителя. Он сделал главное, в чем видел смысл своего существования: создал школу (он говорил, команду), оставил книги, статьи и планы исследований.

Это последняя статья, отправленная в журнал при его жизни. Ряд совместных работ, подготовленных учениками, ожидает публикации.

В космосе есть малая планета «YUDO-VICH», названная в его честь. И хотя эта планета далеко, Виктор Иосифович всегда с нами.

М.Ю. Жуков, С.М. Зеньковская, В.Г. Цибулин

УДК 539.3

О НЕКОТОРЫХ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ И УСЛОВИЯХ ЗАТУХАНИЯ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

© 2006 г. В. И. Юдович

We present several estimates of a function through its Lp-norm (p>0) and its Lipschitz constant. We apply these inequalities to establish the conditions for the function to vanish at infinity.

We also point out the situation when the one-side (say, from above) estimate of the derivative is sufficient for vanishing of the function at infinity.

В этой заметке приводится несколько мультипликативных неравенств для функций, определенных в неограниченных областях. Основное назначение этих неравенств - прояснить те дополнительные условия к принадлежности непрерывной функции классу, которые обеспечивают ее исчезание на бесконечности. Например, далее доказано, что для функции и - непрерывной и принадлежащей Ьр (0,да) при р > 0, условие ограниченности производной, или условие Гельдера, влекут предельное соотношение и (г) ^ 0 при г ^ +со . На самом деле мультипликативные неравенства дают несколько больше, позволяя связать скорость исчезания на бесконечности со скоростью сходимости несобственного интеграла.

В тех нередких для математической физики ситуациях, когда производная может быть оценена лишь сверху, но известно дополнительно, что функция неотрицательна, ее исчезание на бесконечности все-таки возможно установить. Об этом говорит предложение 5.

В заключение, не претендуя ни на особую новизну, ни на максимальную общность, я привожу несколько примеров приложений полученных неравенств в теории устойчивости.

Предложение 1. Пусть функция и(г) равномерно непрерывна на [0,с), и

J u(t) | dt <ю.

(1)

Тогда и(г) ^ 0 при г ^ с.

Доказательство. Для любого е > 0 , по условию, существует 5 > 0 такое, что из неравенства | г - г01< 5 следует неравенство | и(г) -и(г0) |<ее.

Выберем а > 0 столь большим, что выполняется

неравенство

1 ад

1 г &

-JI U (t) | dt < -.

5х" 2

а

Существование такого а следует из условия (1) сходимости интеграла. Для любого г0 > а имеем це-

почку неравенств

t0 +S

J| u (t) | dt > J | u (t) | dt > J

I u(to)

dt.

Отсюда выводим оценку

is s s i u(to) i<-ji u(t) | dt+&& <&&+&&=&.

5 2 2 2

а

Итак, для любого е > 0 мы указали такое а > 0 , что | и(г0) |< с для любого г0 > а . Это и означает, что

и (г) ^ 0 при г ^ с , что и требовалось доказать.

Заметим, что всякая непрерывная на [0,с) функция, исчезающая при г ^ с, равномерно непрерывна. В этом смысле условие равномерной непрерывности является не только достаточным, но и необходимым. Вместе с тем свойство равномерной непрерывности само собой не появляется в задачах математической физики, и его нужно выводить из условий типа Гель-дера, либо Липшица, либо из ограниченности производной функции и. Следующее мультипликативное неравенство зачастую бывает удобно для применения именно в задачах, связанных с дифференциальными уравнениями.

Предложение 2. Пусть функция и е С[0,с), и

для

нее конечен интеграл J| u (t) |p dt при некото-

ром р>0. Если еще функция и удовлетворяет условию Гельдера с показателем Л при 0 < Л < 1, то выполнено неравенство

sup I u(t) Ip+Ä < CJI u(t) Ipdt • L с константой C , определяемой равенством

(2)

C = (Äp +1)1

Äp

= (Äp +1) Ä+p (Äp)-

Лр +1,

причем Ь - постоянная Гельдера, так что для любых г, 5 е [0,с) выполняется неравенство

I u(t) - u(s) I< L 11 - s I

(3)

Доказательство. Для любого 50 > 0 имеем оценку

с .у0 + а

|| и (г) |pdt > | | и(?) |pds (4)

0 ^0 при любом а>0. Согласно (3), при всех 5 е[50,50 + а] выполняется неравенство

| и(5) 1>п- ЬаЛ, (5)

где введено обозначение | и(50) |= п . Пусть теперь 5 -произвольное число из интервала (0,1). Выберем а так, чтобы выполнялось равенство

Ь • аЛ = 5п. (6)

Из (5) и (6) следует неравенство | и (5) |> (1 - 5) • п-

Продолжим неравенство (4). Имеем

с

|| и (г) |pdt > а(1 -5)рпр -

0

Подставляя а из (6), выводим оценку

| u(t) |p dt >np +1 П1 S1 (1 -S)p.

(7)

Максимум правой части здесь достигается при 8 = (Яр +1)-1. Подстановка этого значения в (7) дает неравенство, очевидным образом эквивалентное (2).

Следствие 1. В условиях предложения 2, и (/) ^ 0 при ^ ^<х>.

Доказательство. Очевидно, для любого Т > 0 справедливо неравенство вида (2)

sup

| u(t) |p+* < CJ| u(t) |p dt ■ П.

(8)

Согласно условию, интеграл в правой части (8) стремится к нулю при т ^да, что и требовалось доказать.

В частности, в случае p = 2, Л = 1 неравенство (2) с константой С=27/4 было доказано в [1] тем же методом. Вместо константы Липшица L можно, конечно, написать sup | и (t) |. Близкие по духу мультипликативные неравенства были установлены в работах Х.Ш. Мухтарова [2, 3], который применял их в исследовании нелинейных сингулярных уравнений. Отличия состоят в том, что в [2, 3] область интегрирования считалась ограниченной, для констант же не было дано явных выражений, а главное в качестве множителей фигурировали не константы Гельдера, а нормы

функции в гельдеровском пространстве Cи'Л (т. е. L + max | и (t) |). Как и результаты работ [2,3], предложение 2 допускает n -мерное обобщение.

В следующем предложении речь пойдет о функции, заданной на всем Rn. Далее приводится его обобщение на довольно произвольную область D с Rn.

Предложение 3. Пусть функция и : Rn ^ R непрерывна и принадлежит Lp (Rn) при некотором

p > 0 . Справедлива оценка

sup I u(x) |p+"< Kn J | u(x) |pdx ■ П,

(9)

где Ь - постоянная Гельдера функции и, отвечающая показателю Я (при 0 < Я < 1), а константа Кп дается равенством

Кп = — • пЯ" рр -р (п + Яр)"+р.

С"

(10)

Здесь C,

- объем единичного n -мерного шара.

п г ("+1)

Доказательство. Достаточно почти дословно повторить рассуждения, относящиеся к предложению 2. При любом х0 е Я" и а > 0 имеем

|| и(х) |рах > | | и(х) |рсх, (11)

Я" в (х0 ,а)

где В(х0, а) - шар с центром х0, радиуса а . Полагая | и( х0) |= г/, выбирая 8 : 0 <8 < 1 и определяя а равенством ЬаЯ = 8г), выводим оценку | и(х) |> (1 - 8)ц . Продолжая неравенство (11), выводим оценку интеграла снизу 11 и (х) |рс!х > (1 -8)рпрСпа".

Я"

Подставляя в это неравенство оптимальное значе-

ние S = n+jp, приходим к оценке (9), что и требовалось доказать.

Предложение 3 вместе с доказательством переносится и на случай произвольной области D с Rn с границей dD, удовлетворяющей условию конуса.

Конус Е = Е(а) определим как объединение лучей, выходящих из точки 0 е Rn (вершина конуса) и проходящих через всевозможные точки площадки а на единичной сфере S^-1 = {x е Rn || x |= 1}. Назовем коническим сектором длины а пересечение конуса Е и шара B(0,a) с центром в нуле, радиуса a>0; будем обозначать его через Еа. Скажем, что граница dD области D удовлетворяет условию конуса Е, если каждой ее точки можно коснуться вершиной конического сектора с фиксированной площадкой а положительной (n-1)-мерной меры и длиной а так, что этот конический сектор целиком расположен в области D. Здесь подразумевается, что стандартный конический сектор Еа возможно сдвигом вершины и поворотом (ортогональным преобразованием) поместить в указанное выше положение. Если область удовлетворяет условию конуса, то можно повторить доказательство предложения 3, используя вместо шара B(x0, а) конический сектор длины a. Получится неравенство вида (9), в котором лишь вместо Cn появится константа Dn (а) - объем единичного сектора Е1.

В итоге приходим к следующему утверждению.

Предложение 4. Пусть граница dD области D с Rn удовлетворяет условию конуса. Тогда для любой непрерывной функции и е Lp (D) при некотором

p > 0 справедлива оценка

sup | и(x) |p+n< ^ f | и(x) |pdx ■ L,

xeD Y D

где L - постоянная Гельдера функции и; постоянная K n определяется равенством (10), а делитель Y = Y(a) есть телесный угол, под которым площадка

а видна из центра единичного шара: у =

1ST1!

где

| • | означает (п-1)-мерную площадь на 57 1.

Для наших целей во многих случаях достаточно и предложения 3. Например, справедливо следующее утверждение.

Следствие 2. Пусть граница дО компактна в Я". Тогда в условиях предложения 3 и(х) ^ 0 при | х <х>.

Доказательство. Определим срезающую функцию Х(х), которая принимает значение 0 в шаре В(х0,Ь), значение 1 вне шара В(х0, 2Ь), а в остальном произвольна, но бесконечно дифференцируема, и |х(х) |< 1 всюду в Я". При этом позаботимся о том, чтобы граница дО целиком содержалась в шаре В(х0,Ь). Определим функцию и(х); заданную во всем Я", полагая и(х) = х(х)и(х) при х е О и й(х) = 0 при х е О.

r<t

R

сг

_ л

Функция и удовлетворяет, очевидно, всем условиям предложения 3 (заметим, что | U(x) |<| и(x) | при всех x), быть может, лишь с измененной константой Гельдера L1, вместо L. Точнее, Ц = L + MK , где M = max | и (у) |, а K - константа Гельдера функции

Ъ<\у\<2Ъ

X при том же показателе Л. Из предложения 3 следует поэтому, что и(x) ^ 0 при \ x да . Значит, и и(x) ^ 0 при | x да . Ч. т. д.

В ряде случаев мы можем установить исчезание функции на бесконечности, располагая лишь односторонней оценкой ее производной. Следующее предложение оказывается весьма полезным в теории свободной конвекции, особенно в случае исчезающей теплопроводности.

Предложение 5. Пусть функция f (t) определена для t е [0,+да) и удовлетворяет следующим условиям:

f (t) > 0, (12)

J f (t) dt < да,

(13)

П<

2a

(15)

J f (t) dt < n

(16)

Теперь выберем п столь большим, чтобы выполнялось неравенство г > Т +—. Далее, используя ус-

п а

ловие (14), получаем неравенство

I(п) - I(г) = } /(т) dт < а(гп - г), которое справед-

г

ливо для любых г: 0 < г < гп. Из него вытекает оценка снизу для функции &

/(О >е0 - а (гп - г) = а(г - г„0% (17)

+ + 1 (гп) , е0 / / _ е0

где гп 0 = гп--— = гп - — , так что гп - гп 0 = — .

Заметим, что гп0 > Т .

Применяя (17) для оценки интеграла (16), выводим

J f (t) dt > a J (t - t„o) dt =

"o 2a

(18)

Но так как, согласно (15), // < е^ ¡2а, выходит,

что неравенства (16) и (18) противоречивы. Это доказывает предложение 5.

Предыдущее доказательство имеет простой кинематический смысл (рисунок).

/(г) < а, (14)

причем (12) и (14) выполняются для всех г > 0; а -известная положительная постоянная.

Тогда при г — +со /(г) — 0.

Доказательство. Рассуждая от противного, допустим, что существует такое е0 > 0, что /(Гп) >е0 для всех членов последовательности г1,г2,..., причем гп — +со при п — да. Поскольку существует ввиду

(13) также и последовательность (их даже очень много, но нам достаточно сейчас лишь одной) значений г, стремящаяся к с , на которой / стремится к 0, можно утверждать, что существует последовательность гп —^ +со такая, что при п = 1,2,. /(гп) = е0.

Выберем теперь положительное число //, удовлетворяющее условию

е„

Ввиду сходимости интеграла (13) найдется такое T = T (п) > 0, что

Действительно, представим себе точку, двигающуюся вдоль оси х со скоростью х = /(г), так что х(0 есть пройденный ею за время от 0 до г путь. Интеграл (13) есть х(+с) - путь, пройденный точкой за время от 0 до +с . Раз он конечен, существует много (нам достаточно одной) последовательностей значений г, уходящих на +с и таких, что /(г) на них стремится к нулю. Далее ясно, что путь, пройденный точкой за время от Т до +с, мал, когда Т велико. Наконец, суть доказательства: поскольку ускорение /(г) ограничено сверху (константой а), согласно (14), выходит, что за время набора скорости е0 должен быть

пройден немалый путь - не меньший, чем е^ /2а .

Заметим, что случай, когда (14) выполняется с некоторым а < 0 , вполне тривиален. Поэтому здесь и принято, что а >0.

Далее на нескольких примерах иллюстрируются приложения изложенных выше результатов.

Механические системы с полной диссипацией. «Известно», что в замкнутой термодинамической системе, в результате возрастания энтропии, все движения затухают, и система стремится к равновесию. Как и многие другие «физические утверждения», это утверждение играет большую эвристическую роль, но в каждом конкретном случае условия его применимости должны быть уточнены. Оно может оказаться неправильным при тех или иных вырождениях энтропии, например, когда при некоторых значениях энтропии определенный класс движений оказывается возможным. Особые и далеко не преодоленные трудности возникают в бесконечномерных системах, каковыми являются, например, нелинейные волновые уравнения.

2

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в конечномерном евклидовом пространстве Н х + Вх = - graCV (х). (19)

Здесь гладкая функция V - потенциальная энергия; В: Н ^ Н - линейный оператор (рэлеевского) трения, который предполагается положительно определенным, так что

(В£,£) > 0 (20)

для любого ненулевого % е Н .

Умножая уравнение (19) скалярно на х, приходим к уравнению изменения энергии

С .

~ =-(Вх, х).

dt

t+г с х)

(21)

Отсюда следует, что полная механическая энергия E = E (х, х) = \ + V (х) монотонно убывает. Предположим теперь, что потенциальная энергия V ограничена снизу (можно считать ее положительной) и растет на бесконечности:

V (х) > 0, х е H. (22)

V(х) при | х (23)

Из (22) следует, что полная энергия E ограничена снизу и, будучи монотонно убывающей функцей времени для каждого решения х(/), имеет конечный предел при t ^ +со . Интегрируя уравнение (21) по времени, получаем

t

E (х^), х^)) = E (х(0), х(0)) - f (Вф), х(я)) ds. (24)

0

Переходя к пределу при t ^ +со , приходим к равенству

lim E(x(t), X(t)) = E(x(0), х(0)) - f (BX(s), X(s)) ds. (25)

0

Сходимость интеграла в правой части следует из существования предела слева.

Далее из (24) и (22) следует, что для любого решения х(/) потенциальная энергия Vx(t) ограничена на [0,да). Теперь из (23) выводим, что всякое решение

2

х(/) ограничено. Кинетическая энергия х /2 также ограничена. Наличие таких априорных оценок позволяет утверждать, что все решения уравнения (19) глобально продолжимы для всех t > 0.

Из уравнения (19) следует, что ограниченной функцией является и вторая производная - ускорение х. Тогда и подынтегральная функция в (25) имеет

ограниченную производную по t: — (вх,х) = 2(Вх,х).

dt

Из предложения 2 (при p = 1) следует, что (Вх(t), х^)) ^ 0 при t ^ +да . Согласно (20), также и х^) ^ 0

Итак, доказано, что при условиях (22) и (23) все решения уравнения (19) ограничены, причем х^) ^ 0 при t ^ +да .

Как известно (см., например, [4]), если положительная полутраектория компактна, то движение притягивается к ее с -предельному множеству Q, которое инвариантно. В нашем случае для всякой точки

(х, V) е О имеем, очевидно, V = 0 . Но множество

точек вида (х,0) фазового пространства Н2 уравнения (19) может быть инвариантным лишь в том случае, когда оно состоит из одной точки (х0,0), и при этом gradV (х0) = 0, так что х0 - положение равновесия.

Предыдущие рассмотрения доказывают следующее утверждение.

Предложение 6. Пусть выполнены условия (22) и (23). Тогда все движения системы (19) стремятся при t ^ +оо к равновесиям: х(/) ^ х0, х(/) ^ 0, причем gradV (х0) = 0.

Замечание. Предполагая выполненным лишь условие (22), можно по-прежнему установить, что х^) ^ 0 при t ^ +со . Однако х(0 может оказаться неограниченным уже в простейшем случае, когда Н=Я, а V(x) затухает на бесконечности.

С О

Например, уравнение х + Нх +---I—з = 0 при

х х

Н > 0, С < 0, О > 0 имеет решение х^) = Ы2, коэффициенты к и О определяются равенствами

2 С к4

к2 =-—; О = —.

Н 4

Что же в такой ситуации дает эвристический принцип, с которого мы начали? Он дает нам уверенность, что в реальной системе, которую мы стремимся описать посредством уравнения (19), действуют неучтенные нами дополнительные факторы, приводящие к затуханию движений и приведению системы в равновесное состояние.

Приложение к теории устойчивости. Приведенные выше результаты позволяют иногда доказывать асимптотическую устойчивость равновесия или иного решения дифференциального уравнения, используя знакопеременные функции Ляпунова. Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение

х = Г (х) (26)

в Я" с гладким векторным полем Г. Предположим, что известна глобальная функция Ляпунова V(х), так

что ее производная V(х) = gradV(х)• Г(х) знакопостоянна. Для определенности будем считать, что она неотрицательна:

Се/

и (х) = gradV (х) • Г (х) > 0, х е Я". (27)

Предположим еще, что уравнение (26) диссипа-тивно, так что для всякого решения х(^, начиная с некоторого момента времени справедливо неравенство | х^) |< Я с фиксированным Я > 0. В этом случае все решения неограниченно продолжимы для положительных времен. Предположим, наконец, что функция и(х) для всех х допускает оценку снизу

и (х) > с | х |р при некоторых положительных с и р .

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 7. Пусть для уравнения (26) с гладким полем Г выполнены следующие предположения:

a) уравнение (26) диссипативно;

b) существует глобальная (гладкая) функция Ляпунова, причем ее производная и(х) в силу уравне-

ния (26) удовлетворяет условию (27).

Тогда х0 = 0 есть единственное и притом притягивающее равновесие уравнения (26).

Замечание. Предположение о диссипативности уравнения (26) понадобилось лишь для того, чтобы обеспечить ограниченность функции ) = и(х(г)) для любого решения х(г). Есть и другой вариант: достаточно предположить, что функция У(х) ограничена при х е Яп. В этом случае утверждение предложения 7 сохраняется.

Системы типа осциллятор-регулятор. Этот тип систем был введен в работе [1]. К нему относится система Лоренца в форме, данной в [1], а также и классическая система, описывающая действие регулятора Уатта. В таких системах можно ожидать возникновения, в некоторых областях изменения параметров, хаотических аттракторов. С другой стороны, когда речь идет о рукотворных устройствах, обычно бывает важно установить условия устойчивости некоторого равновесия.

Сейчас рассмотрим один класс таких систем, который содержит и систему Лоренца в форме [1].

Пусть х(0 - вектор-функция со значениями в Яп, а д(г) - вектор-функция со значениями в Ят, которые определяются системой уравнений

х + ¥х + Ух = 0, (28)

д = -Бд + 0Уд. (29)

Здесь ^ - положительно определенный линейный оператор, так что слагаемое Ех определяет рэлеев-ское трение. Потенциальная энергия У(х,д) зависит не только от х, но и от параметра регулирования д.

Замечу, что здесь рассматривается специальный случай обратной связи, когда регулируется форма потенциальной ямы. Если У от д не зависит, то, как показано выше, х(0 при г — +сс стремится к некоторому равновесию уравнения (28). Оператор Б - линейный, положительно определенный. Через Ух и Уд обозначены частные градиенты функции У по х и д соответственно. Наконец, в - вещественный параметр.

Из (28) и (29) для любого решения х, д выводим равенство

| (Fx, x) dt <да, | q2 dt

< да.

(31)

^ + К(x, q) - Bq, q)

1 2

= -(Fx,x)+e<i •

(30)

Через x2 и

. 2

I x |2

обозначены скалярные квадраты и | д |2. Пусть теперь функция У ограничена снизу, скажем У(х, д) > 0 для всех х и д. Предположим, что в < 0. Тогда в квадратной скобке в (30) стоит неотрицательная и монотонно убывающая функция. Поэтому она имеет при г — +оо предел, откуда следует сходимость интегралов

Если снова предположить, что V(x, q) ^+да при | x да при любом фиксированном q, то из (30), как и ранее, получаются априорные оценки для x(t), x(t) и q(t), гарантирующие продолжимость решений системы (28), (29) для всех t > 0.

Далее из дифференциальных уравнений (28) и (29) непосредственно следует ограниченность вектор-функций x и q . Вместе со сходимостью интегралов (31) это показывает, согласно следствию 1, что x(t) ^ 0, q(t) ^ 0 при t ^+да . Таким путем приходим к следующему утверждению.

Предложение 8. Пусть F: R" ^ R" и B: Rm ^ Rm - линейные положительно определенные операторы; V (x, q) - гладкая, неотрицательная и возрастающая (V(x, q) ^ +да при | x да) функция. Тогда при ß< 0 все решения системы (28), (29) стремятся к равновесиям.

Замечу, что результат сохраняется и при ß = 0. В этом случае q(t) затухает экспоненциально при t ^ +да, и дело сводится к уравнению (28), где V = V(x, 0). При ß> 0 происходят, как правило, бифуркации, приводящие в конце концов к возникновению хаотических режимов.

Очень близкими методами доказывается глобальная устойчивость механического равновесия жидкости (в рамках системы Обербека-Буссинеска) в случае нагрева жидкости сверху, когда температура в на границе dD контейнера D, заполненного жидкостью, удовлетворяет условию e|dD = ßxi, причем ß > 0 . Ось направлена вертикально вверх.

Данная статья представляет собой часть работы, выполняемой при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00567) и INTAS (грант Ref. no. 04-80-7297).

Литература

1. Юдович В.И. Асимптотика предельных циклов системы Лоренца при больших числах Рэлея / Рост. гос. ун-т, 1978. Деп. в ВИНИТИ 31.07.78, 2611-78 Деп.

2. МухтаровХ.Ш. // Докл. АН. (1968) Т. 182. № 4. С. 764767.

3. Мухтаров Х.Ш. // Мат. зам. (1970) Т. 8. № 2. С. 159-167.

4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967.

Ростовский государственный университет

17 марта 2006 г.