БИФУРКАЦИИ ПОЛИЦИКЛА, ОБРАЗОВАННОГО ДВУМЯ ПЕТЛЯМИ СЕПАРАТРИС НЕГРУБОГО СЕДЛА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

DOI: 10.14529/mmph210305

БИФУРКАЦИИ ПОЛИЦИКЛА, ОБРАЗОВАННОГО ДВУМЯ ПЕТЛЯМИ СЕПАРАТРИС НЕГРУБОГО СЕДЛА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ

В.Ш. Ройтенберг

Ярославский государственный технический университет, г. Ярославль, Российская Федерация E-mail: vroitenberg@mail.ru

Рассматривается семейство гладких динамических систем, заданных на плоскости и зависящих от двумерного параметра, меняющегося в окрестности нуля. Все системы семейства предполагаются инвариантными при преобразовании симметрии относительно начала координат. При нулевом значении параметра динамическая система имеет простейшее негрубое седло, обе выходящие сепаратрисы которого идут в то же седло, образуя две петли. Полицикл «восьмерка», состоящий из петель, является аттрактором этой системы. Он имеет окрестность U, в граничных точках которой все траектории систем семейства с параметрами, близкими к нулю, входят в U. При условии общего положения описываются бифуркации в окрестности U полицикла при изменении параметра. Значения параметра в малой окрестности нуля, при которых система является негрубой в U, образуют пять гладких кривых, входящих в начало координат, разбивающих эту окрестность на связные компоненты, для значений параметра из которых системы семейства являются грубыми. Для каждой компоненты описан топологический тип соответствующих динамических систем в U. В частности указаны области параметра, при которых система имеет в U единственный аттрактор - узел, два аттрактора - узел и цикл, гомотопный в U полициклу, или два симметричных цикла, гомотопных в U петлям из полицикла, а также три аттрактора - узел и два симметричных цикла.

Ключевые слова: семейство векторных полей на плоскости; центральная симметрия; инвариантность; негрубое седло; петля сепаратрисы седла; полицикл «восьмерка»; бифуркация; устойчивый предельный цикл

Введение

Динамические системы на плоскости, задаваемые гладкими векторными полями, инвариантными относительно центральной симметрии, используются при математическом моделировании ряда процессов. Представляет интерес изучение бифуркаций в типичных конечно-параметрических семействах таких систем. Описание нелокальных бифуркаций в однопарамет-рических семействах получается как следствие известного описания бифуркаций в типичных семействах динамических систем без симметрии с одним и двумя параметрами [1, 2]. В типичных двухпараметрических семействах систем с симметрией появляются системы с вырождениями, встречающимися для динамических систем без симметрии только в типичных семействах с числом параметров большим двух, описание бифуркаций в которых пока отсутствует. Примером такой динамической системы является система, имеющая в начале координат простейшее негрубое седло, сепаратрисы которого образуют две симметричных петли Г+ и Г . Мы опишем ее типичные двухпараметрические деформации в окрестности полицикла Г = Г+ ^ Г, гомеоморф-ного «восьмерке».

1. Постановка задачи. Формулировка результатов

Рассмотрим семейство векторных полей Xe (z) = P (z,s)d / cZj + P2 (z,s)d / dz2 на плоскости R2 переменных z = (z, ,z2). зависящее от двумерного параметра s = {sx,s2) . Будем предполагать, что векторные поля Хе инвариантны относительно преобразования S: z \—> — z, то есть XE(-z) = -XE(z), а РиР2еСг(г> 3).

Пусть O = (0,0) е R2 является особой точкой векторного поля X0, т. е. X0(O) = 0, и матрица (с>р (0,0)/ dz,) линейной части поля в этой точке имеет собственные значения Л0 < 0 и 0. Со-

гласно теореме 5.5 о редукции из [3] при значениях параметра е , достаточно близких к нулю, в некоторой окрестности П точки О существует замена координат (z1,z^)^—>g(x,y,e), |х| < 1. |у| < 1, g е Сг, ^(0,0,0) = 0, такая, что в координатах (х, у) векторное поле ХЕ имеет вид Р(х,е)д / дх + у6(х, у,е)д / су, где Р е Сг, д е С'1,

6(0,0,0) = Л. (1)

Из доказательства теоремы о редукции следует, что для рассматриваемого семейства g(—х, — у,е) = —g(x, у,е) . Поэтому если точка г еП имеет координаты (х, у), то симметричная ей точка £(г) имеет координаты (—х, —у) и

Р(—х, е) = —Р(х, е), д—х, —у, е) = 6(х, у, е). (2)

Ввиду (2) Р(0,0) = РД0,0) = Р^ (0,0) = 0 . Будем считать, что Р^ (0,0) > 0 . Тогда особая точка О поля Х0 является топологическим седлом. Назовем такую точку простейшим негрубым седлом. Пусть выходящая сепаратриса Ь+ этого седла совпадает с входящей сепаратрисой, образуя вместе с седлом петлю Г+ . Без ограничения общности можно считать, что ¿+пП состоит из дуг у = 0, 0 < х < 1 и х = 0, 0 < у < 1. Вследствие симметрии поля Х0 Г— = £Г+ - также петля сепаратрисы поля. Обозначим Г :=Г— ^Г+ .

Рис. 1. Траектории поля X0 в окрестности U поли- Рис- 2- Бифуркационная диафамма

цикла. Граница U изображена пунктиром Теорема 1. Пусть векторное поле X0 удовлетворяет сформулированным выше условиям. Тогда существуют окрестность U полицикла Г0 с границей 8U, состоящей из трех непересекающихся между собой гладких простых замкнутых кривых /П, = S/^ и /ext (/ext = S/ext), в точках которых поле X0 направлено внутрь U, а все траектории поля, начинающиеся в кольцевой области между /П и ГП, /— и Г, /ext и Г,

ф -предельны соответственно к Гп , Г0, Г и выходят из U при убывании времени соответственно в точках /П, , /ext • (рис. 1).

Ввиду (1), (2) и неравенства р^ (0,0) > 0 при достаточно малом d > 0 и значениях параметра s , достаточно близких к нулю,

Vx e[-d, d] Vy e (0, d] Q(x, y,s) < 0, | Px'(x,s)| < 1/2, P'^ (x,s) > 0. (3)

Так как р (0,0) n P2'z (0,0) = P'(0,0) n Q'y (0,0) = \, то можно также считать, что

р; (z,s) nP¡Z2 (z,s) <V2, (4)

если точка z имеет координаты (x, y) e[-d, d]2.

При s достаточно близких к нулю траектория Ps поля Xs, начинающаяся в точке центрального многообразия y = 0 с координатой x = d , пересекает дугу y = d в точке с координатой x = v(s) , где v(•) e Cr1, v(0) = 0 . Потребуем выполнение условия

4Q Bulletin of the South Ural State University

Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2021, vol. 13, no. 3, pp. 39-46

Ф 0. (5)

р; (0,0) p;:2 (0,0)

< (0) v; (0)

Заметим, что это условие не зависит от в выбора координат (х,у) и числа d . Из (5) следует, что, сделав замену параметров ё] = — Р'(0,£), ё-, = v{s) и вернувшись к их прежним обозначениям, мы можем считать, что при некотором S > 0

Px'(0, s) = -sx, v(s) = s2 для всех s = (s1 , s2) e [-S1, S1 ]2. (6)

Теорема 2. Пусть семейство векторных полей Хе удовлетворяет сформулированным выше условиям. Тогда окрестность U полицикла Г0, о которой идет речь в теореме 1, и число S> 0 можно выбрать следующим образом.

В точках dU векторные поля Хе, se (-S,S)2, направлены внутрь U.

Область параметров (-S,S)2 разбивается на множества В0, E,. , В,., i = 1,...,5, где (рис. 2) В = {s:si =ßS)} , ß:(-S,0) ^ (0,S), ßi e C1, ß(-0) = ß'(-0) = 0, В2 = {s:sj =ß2(s2)}, ßi: (0, S) ^ (0,S) , ß2 e C , ß (+0) = ß (+0) = 0 ,

B0 = {(0,0)}, B3 = {0}X(0,i),B4= (-8,0)X{0}, B5 = {0}x(-8,0),

E, - связная компонента (~8,8)2 \ U^B^., в границу которого входят В, и В1+1 (здесь В = В), такие, что

1) схемы векторных полей Хе в U для seE. и seB (i = 1,.,5) имеют вид, изображенный на рис. 3;

2) для любого i = 1,...,5 векторные поля Хе при seE. грубые в U, а потому принадлежат одному классу топологической эквивалентности в U;

3) для любого i = 1,...,5 векторные поля Хе при seB негрубые в U и принадлежат одному классу топологической эквивалентности в U .

Доказательство теорем 1 и 2 приведено в параграфах 2 и 3.

Рис. 3. Перестройки фазовых портретов в окрестности полицикла

2. Функции соответствия и функции последования

Пусть V - окрестность Г0 с компактным замыканием. При достаточно малых й е (0, d) и

82 е (0,8[] траектория поля ХЕ , £ е[—82,82]2, начинающаяся в точке с координатами х = d, у = и е[—и,й], не выходит из V и пересекает дугу у = d в точке с координатой х = ф(и,£) в

момент времени г = Т2(и,а) > 0, где (ре Сг, <р(0,е) = у(е) , фи (и, а) > 0, Т2 е Сг. Пусть Ттах -наибольшее значение Т2(и ,е) на [—и, и ] х[—32,32]2, а М - наибольшее значение Р (г,а) + Р222(г,а)| на Гх[—32Л]2 •

Из (2), (3) и (6) следует, что Ух е [—й, й] Уе е [—32,32 ]2

Р( х, е) = х [1 Р' (хг, е) йг = х(—е + а( х, е)) , (7)

» 0

где а(0, е) = а' (0, е) = 0, а(х, а) > 0 . Поэтому существует такое 3 е (0, 3 ], что уравнение Р(х,а) = 0 имеет на отрезке [—й, й] при ае (0,3) х (—3 ,3 ) ровно три решения: х = 0 , х = х+(е) е (0,й) и х = х_(е) = —х+ (е) , причем х+ (•) е С1, х+(+0,е2) = 0, (х+ )'(е) > 0, Рх'(0,а) <0, Р'(х± (е), е) > 0; при е е (—3, 0) х (—3, 3) - единственное решение х = 0 , причем Р'(0, е) > 0 , если е < 0 и р.'(0,е) = Р. (0,е) = 0 , РЩ, (0,е) > 0, если ех= 0 . Учитывая первое неравенство в (3), получаем, что векторное поле Хе, е е (—3,3)2, имеет в замкнутой области, заданной неравенствами —й < х < й, — й < у < й, при е > 0 ровно три особых точки - седла О* с координатами х = х+ (е) , у = 0 и узел О , при е1 < 0 единственную особую точку О , являющуюся грубым седлом, если е < 0 и простейшим негрубым седлом если е1 = 0 .

Пусть 1(е) = х+ (е) , если ае (0,3) х (—3,3), и 1(е) = 0, если ае (—3,0] х (—3,3). При 1(е) < х < й имеем Р(х,е) > 0. Отсюда и из первого неравенства в (3) получаем, что траектория поля Хе, ае (—3,33 )2, начинающаяся в точке с координатами 1(е) < х < й и у = й (соответственно, у = —й) через время Т (х,е) =1 йЛ / Р(Л,а) , пересекает дугу х = й, — й < у < й в точке

J х

с у = Ц+ (х,е) > 0 (соответственно, у = ц~ (х,е) > 0), где цт е С1, (ц+ ) '(х,е) > 0 , (Ц )'(х,е) < 0, Нт ц (х,е) = 0 . Выберем х е (0, й/2) так, чтобы —и <ц~ (х,0) < 0 <ц+ (х,0) < и и

х (е)

1п(й/2х) >МТтах/|Л| . (8)

При достаточно малом 34 е(0,3] для всех ае(—3,3)2 будет 1 (е)<х , —и <ц~ (х ,е) < 0 <ц+ (х ,е) < и . Тогда при всех ае (—3,3 )2 и х е (1 (е), х ] справедливы неравенства —и < (х, е) < 0 < ц+ (х, е) < и . Поэтому для любого е е (—3,3 )2 на промежутке (1 (е), х ] определены функция последования := ф(цу+ (• ,е),е) и функция соответствия /е := (• ,е),е) .

Используя формулу конечных приращений и второе неравенство в (3), получаем 0 < Р (Л,е) < (Л — 1(е))/2 при всех ае (—3,3 )2, (1 (е), й ]. Тогда

Т1(х,Е)Р(Л,Е) >21п^^ >21пй .

х — 1(е) 2 х

Отсюда и из (8) получаем окончательно

Т(х,Е) > 2МТтах |Л| при ае (—3,3)2,х е (1(е), х ]. (9)

Покажем, что если х„ - неподвижная точка функции последования /Е, Ее (—34,34)2, то (Е)'(х#) < 1. Через точку г» с координатами х = х#, у = й проходит периодическая траектория поля ХЕ . Пусть ее период равен Т , а уравнение г = ), г е [0, Т], причем ^(0) = г». Тогда Т = ^(х*,е) + Т2(ц+ (х„,е),е) . Согласно [4, с. 126]

гТ

(/:) '(х») = ехр|о (Р;(^(г),Е) + Р2;(аг),Е))йг • Из (4), (9) и определения чисел Т и М получаем

|о (^ (С(0, £) + Р^ (£($),£))Л < Д^ТКх,,£)/2 < —MTmx,

^ Р'21 (Ы),£) + Р;г2 (С(О, £)) | Л <MTmax ,

и потому (/+ )'(х„) < 1. Отсюда в частности следует, что /+ имеет не более одной неподвижной точки.

Покажем теперь, что

Ух е (0, X] /+ (х) < х. (10)

Предположим временно, что это не так. Тогда /+ (х0) > х0 при некотором х0 е (0, х ]. При достаточно малом £ е {0} х (—84,0) и /+ (х) > х0, а, кроме того, /+ (+0) = £< 0 . Поэтому /+ имеет на интервале (0, х) неподвижную точку х. Так как (/+)'(х) < 1, то /+ (х ) < х при некотором х е (х, х) . Но тогда /+ имеет на интервале (х, х) еще одну неподвижную точку, что невозможно. Поэтому сделанное предположение неверно и справедливо (10).

Введем функции последования / (х) := —/— (—/— (х)) . Ввиду симметрии поля Хе через точку с координатами х = х, у = —Л проходит замкнутая траектория поля тогда и только тогда, когда /— (х) = — х. Это равенство равносильно тому, что х - неподвижная точка функции последования: / (х) = х. Как и для /£ , получаем 0 < (/£ )'(х) < 1 и потому —1 < (/— )'(х) < 0, а / £ имеет не более одной неподвижной точки. Аналогично (10) имеем неравенства

Ух е (0,х] —х < /-(х) < 0 и 0 < /(х) < х. (11)

Ввиду (10) и (11) мы можем считать, что 84 выбрано столь малым, что для У £ е (—84,8 )2 значение / (х) определено и

/+ (х) < х , —х < /— (х) < 0 и 0 < / (х) < х . (12)

3. Бифуркационные кривые. Перестройки фазовых портретов

Из (12) согласно [5, п. 3.14] получаем, что через точку с координатами х = /+ (х) , у = Л (х = (х), у = —Л) можно провести гладкую замкнутую кривую у+ (уех1 = ^^), в точках которой поле Х трансверсально кривой и направлено внутрь ее положительной (отрицательной) полуокрестности. Обозначим и окрестность полицикла с границей ди, состоящей из у+, у^ := Ъ'у^ и уех4. Из конструкции и, (10) и (11) следуют все утверждения теоремы 1.

Считая 8 выбранным достаточно малым, получим, что поле Хе при всех £ е (—84,8 )2 в точках ди направлено внутрь и и не имеет в и особых точек, отличных от точек О и О* .

Так как <р(0, £) = £2, а х ( £) - решение уравнения £ = а(х, £), то при £ > 0 уравнение (р(0, £) = х (£) равносильно уравнению £ = а(£2, £) . Последнее уравнение определено при всех £ е (—82,8 )2. Согласно (7) а(0,0) = а' (0,0) = а' (0,0) = а' (0,0) = 0 . Поэтому по теореме о неявной функции существуют такие число 8 е (0,84 ] и С1 -функция Д: (—8,8) ^ [0,8) , что Д (0) = Д' (0) = 0 и при £ е (—8,8)2 £ = а£, £) ^ £=Д £) . Так как для £2е (0,8) а£, £) > 0, то и Д £ ) > 0 . Поэтому У £ е (0,8) х (0,8) р(0, £) = х ( £) ^ £= Д ( £ г) . Так как (х+ )' (£ ) > 0, то

У £ е (0,8) х (0,8) sgn(х+ ( £ ) — р(0, £ )) = sgn( £ — Д £ )). (13)

Аналогично (13) доказывается, что 8 можно выбрать так, что

У £ е (0,8) х (—8,0) sgn(р(0,£ ) — х— £)) = sgn(£l — Д £2)), (14)

где Д : (—8,0) ^ (0,8) - такая С1 -функция, что Д (+0) = Д (+0) = 0 .

Определим теперь множества В , Е, В- так, как это описано в формулировке теоремы 2.

При eeBj из (14) следует, что выходящая сепаратриса L+ седла O+ идет в седло OE , а выходящая сепаратриса L— = SL+e седла Os идет в седло O+ . Так как /+ (x) < x_ (s) = —x+ (s) , то функция последования / (x) определена при всех x е (x+ (s), x ]. Покажем, что все траектории, пересекающие дугу y = — d, x+ (s) < x < x , а потому все траектории, начинающиеся в точках кольца между yext и полициклом Гг = L+ ^ O+ ^ L— ^ O—, о -предельны к Ге и выходят из U в точках yext. Ввиду последнего из неравенств (12) достаточно показать, что / не имеет неподвижных точек. Это равносильно тому, что функция /— (x) + x не имеет нулей. Предположим, что это не так и f~(xt) + xs = 0 . Так как ( f!: )'(xt ) + 1 <0. то существует точка xu е (х (s),xt). для которой /~(х0) + х0 > 0. При всех ё . достаточно близких к s , будет х+(ё)<х0 и /~(х0) + х0> 0. Выберем а е Ej. Из (14) получаем lim | fi: (х) + х] = </)((), s) - х (ё) < 0 . Но тогда существует точка

.V >.v (¿г)

Xj е (х+ (ё), х0) , в которой f~ (xt) + xl = 0 . Поскольку двух неподвижных точек fe иметь не может, то получаем, что их нет вообще. Из первого из неравенств (12) и из неравенства /+ (x+ (s)) = x (s) < x+ (s), аналогично тому, как это было доказано выше для / , следует, что /+ (x) < x для любого x е (x+ (s), x ]. Поэтому все траектории, пересекающие дугу y = d, x (s) < x < x , а потому и все траектории, начинающиеся в точках кольца C+ между y+t и замкнутой кривой, составленной из сепаратрисы L+ и дуги y = 0, x (s) < x < x (s) , выходят из U при убывании времени в точках у+, и, за исключением входящей сепаратрисы седла O+ , со -предельны к узлу O . Соответственно, все траектории, начинающиеся в точках кольца SC+ , выходят из U при убывании времени в точках у—t, и, за исключением входящей сепаратрисы седла O— , со -предельны к узлу O . Выходящие сепаратрисы y = 0, 0 < x < x+ (s) седла O+ и y = 0, x (s) < x < 0 седла O— о -предельны к узлу O . Таким образом, мы описали поведение всех траекторий векторных полей Xs, s eBj. Это поведение схематично отображено на рис. 3.

Пусть . Из (14) получаем lim [/— (x) + x] = (р(0,s) — x (s) = s2 — x (s) <0 . Согласно (12)

x ^x+ (s)

/— (x) + x > 0 . Поэтому существует такое x„ е (^ (s), s2), что /— (x ) = — x. Следовательно через точки с координатами x = x„, y = — d и x = — x„, y = d проходит грубая устойчивая замкнутая траектория Г поля Xs, причем Г - единственная замкнутая траектория, пересекающая дугу y = — d, x+ (s) < x < x .

Любая траектория поля XE в U, не лежащая на дуге y = 0, x (s) < x < x (s), пересекает либо дугу Г: y = d, — x < x < x, либо дугу T" : y = — d, — x < x < x . Траектория, проходящая через точку T+ (T—) с координатой x е (—x, —x) (x е (x, x)), о-предельна к Г и выходит из U при убывании времени в точке, принадлежащей yext. Из первого из неравенств (12) и неравенства lim [/+ (x) — x] = p(0,s) — x+ (s) < 0 следует, что /+ (x) < x для всех x е (x (s) , x) . Поэтому тра-

x ^x+ (s)

ектории, проходящие через точки T+ (T—) с координатой x е[ x (s), x) (x е (—x, x (s)]) , выходят из U при убывании времени в точках у+ (у—t); все они о -предельны к узлу O , за исключением входящих сепаратрис седел O+ и O— , проходящих через точки с координатами x = x+ (s) и x = x (s) . Траектория, проходящая через точку T+ (T—) с координатой x е (—x„, x (s)) (x е (x+ (s), x)), о -предельна к Г, выходит из U при убывании времени в точке у+ (у—t) , если s2 < x < ^ (s) (^ (s) < x < — s2), в точке у—t (у+), если x„ < x < s2 (— s2 < x < x„) , и является выходящей сепаратрисой L+ (L—) седла O+ (O—), если x = s2 (x = — s2).

Таким образом, поведение траекторий векторных полей Xe в U при s еЕ5 такое, как изображено на рис. 3. Случаи s еЕ . и s е В .+1 (j = 1,2,3,4) рассматриваются аналогично.

Грубость векторных полей Xs в U при s еЕ - (j = 1,...,5) следует из грубости особых точек,

замкнутых траекторий и отсутствия траекторий, идущих из седла в седло [4]. На этом доказательство теоремы 2 закончено.

Литература

1. Теория бифуркаций / В.И. Арнольд, В.С. Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. - Т. 5. - М.: ВИНИТИ, 1986.- C. 5-218.

2. Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. - 548 с.

3. Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. - Москва-Ижевск: ИКИ, 2004. - 416 с.

4. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1967. - 487 с.

5. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, ИИ. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1966. - 568 с.

Поступила в редакцию 26 мая 2021 г.

Сведения об авторе

Ройтенберг Владимир Шлеймович - доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет, г. Ярославль, Российская Федерация, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-1293-7998, e-mail: vroitenberg@mail.ru

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2021, vol. 13, no. 3, pp. 39-46

DOI: 10.14529/mmph210305

BIFURCATIONS OF A POLYCYCLE FORMED BY TWO SEPARATRIX LOOPS OF A NON-ROUGH SADDLE OF A DYNAMICAL SYSTEM WITH CENTRAL SYMMETRY

V.Sh. Roitenberg

Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, Russian Federation E-mail: vroitenberg@mail.ru

A family of smooth dynamical systems defined on the plane and depending on a two-dimensional parameter varying in a neighborhood of zero is considered. All systems of the family are assumed to be invariant under a symmetry transformation about the origin. At zero value of the parameter, the dynamical system has the simplest non-rough saddle, both outgoing separatrixes of which go to the same saddle, forming two loops. The polycycle "eight", consisting of the loops, is an attractor of this system. It has a neighborhood U, at the boundary points of which all trajectories of systems of the family with parameters close to zero enter U. Under the condition of general position, bifurcations in the neighborhood U of the polycycle are described when the parameter changes. The values of the parameter in a small neighborhood of zero, for which the system is non-rough in U, form five smooth curves entering the origin, dividing this neighborhood into connected components, for values of the parameter from which the systems of the family are rough. For each component, the topological type of the corresponding dynamical systems in U is described. In particular, the regions of the parameter are indicated for which the system has a single attractor in U - a node, two attractors - a node and a cycle

homotopic in U to a polycycle, or two symmetric cycles homotopic in U to loops from a polycycle, as well as three attractors - a node and two symmetric cycles.

Keywords: family of vector fields on the plane; central symmetry; invariance; non-rough saddle; separatrix loop; polycycle "eight"; bifurcation; stable limit cycle.

References

1. Arnold V.I., Afrajmovich V.S., Ilyashenko Y.S., Shilnikov L.P. Dynamical Systems V. Bifurcation theory and catastrophe theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 5, Springer-Verlag, Berlin, 1994, 274 p. DOI: 10.1007/978-3-642-57884-7

2. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev, D., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics: Part 2, World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. A Monogr. Treatises, Vol. 5, River Edge, N.J.: World Sci., 2001. DOI: 10.1142/4221

3. Shilnikov L.P., Shilnikov A. L., Turaev D., Chua L.O., Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics: Part 1, World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. A Monogr. Treatises, Vol. 4, River Edge, N.J.: World Sci., 1998.

4. Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Maier A.G. Theory of bifurcations of dynamic systems on a plane. Halsted Press [A division of John Wiley & Sons] and Israel Program for Scientific Translations, New York-Toronto, Ont. and Jerusalem-London, 1973.

5. Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Maier A.G. Qualitative theory of second-order dynamic systems. Halsted Press [A division of John Wiley & Sons] and Israel Program for Scientific Translations, New York-Toronto, Ont. and Jerusalem-London, 1973. DOI: 10.1063/1.3128815

Received May 26, 2021

Information about the author

Roitenberg Vladimir Shleymovich, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, Russian Federation, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-1293-7998, e-mail: vroitenberg@mail.ru