CC BY
18
12. Полетайкин В.Ф. Повышение технического уровня гусеничных лесопогрузчиков на основе анализа динамики их рабочего оборудования : автореф. дис. ... докт. техн. наук / В.Ф. Полетайкин. М., 1989. 42 с.
13. Полетайкин В.Ф. Проектирование лесных машин. Динамика элементов конструкции гусеничных
лесопогрузчиков. Красноярск : Изд-во КГТА, 1997. 248 с.
14. Свитачев А.И., С.Н. Орловский, А.Н. Чекаев Моделирование и оптимизация динамической нагружен-ности силовых передач машинно-тракторных агрегатов. Вестн. КрасГАУ, 2012. № 4._
УДК 517.977.1 Рогалев Алексей Николаевич,
к. ф.-м. н., старший научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования СО РАН, тел. (8391) 249-83-29, 8-962-074-5281, e-mail: [email protected]
БЕЗОПАСНОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ И ОЦЕНКИ ОБЛАСТЕЙ ДОПУСТИМЫХ ОТКЛОНЕНИЙ
A. N. Rogalyov
SECURITY OF COMPLEX SYSTEMS AND ESTIMATES OF THE REGION TOLERANCE
Аннотация. Для вычисления гарантированных границ зон опасных состояний и пороговых значений параметров сложных систем, которые соответствуют границам этих зон, применяется класс методов гарантированного оценивания решений систем дифференциальных уравнений и множеств значений функционалов, построенных на решениях этих систем. Методы, строящие гарантированные границы множеств решений систем дифференциальных уравнений, основаны на символьном представлении формул, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории. После нахождения символьных формул вычисляются области включения, содержащие каждое приближенное решение при варьировании параметров значений, затем оценки глобальных ошибок для всех приближенных решений, соответствующих этим символьным формулам. Завершает алгоритм операция объединения этих множеств включений, реализуемая, например, как сложение множеств. Такой подход позволяет определять границы множеств решений, точно отслеживающие поведение множества всех точных решений, а также устранить влияние эффекта структурной неустойчивости.
Учитывается, что многие системы, особенно технические, функционируют в течение конечного промежутка времени. При этом представляет интерес не только факт устойчивости или неустойчивости этих систем, но и количественные оценки решений, а также принадлежность значений этих решений областям безопасности функционирования. Многие параметры реальных объектов могут быть измерены только с ошибкой. Чтобы обеспечить гарантированность оценок, требуется оценивать результаты для всех значений этих параметров.
Методы гарантированного оценивания областей решений дифференциальных уравнений учитывают постоянно действующие возмущения на конечном интервале времени. Среди приложений этих методов мы выделим задачи проверки гарантированных условий безопасности и задачи построения множеств достижимости.
Ключевые слова: гарантированное оценивание решений дифференциальных уравнений, области допустимых отклонений, гарантированные условия безопасности, символьная формула решений, области возможных значений, оценки ошибки.
Abstract. To calculate the guaranteed zone boundaries of dangerous conditions and threshold parameters of complex systems, which correspond to the boundaries of these zones, there a class of methods for guaranteed estimation of solutions of differential equations systems and sets of values offunctions built on the solutions of these systems are used. Methods that build guaranteed estimations of regions of differential equations solutions take into account the constantly acting perturbations on a finite time interval. Among the applications of these methods we select the problem of testing conditions of guaranteed security and the problem of constructing reachable sets.
Keywords: guaranteed estimation of solutions of differential equations, the field of tolerance, guaranteed security conditions, symbolic formula of solutions, range of possible values, error estimation.
Введение
Надежность и безопасность сложных систем связаны с состоянием систем при анализе их функционирования. Под надежностью понимают свойство системы сохранять во времени и в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания. Безопасным принято полагать такое состояние сложной системы, при котором возмущение внешних и внутренних параметров не приводит к невозможности функционирования и развития системы.
Любая система большой сложности характеризуется множеством состояний в некотором
межпороговом пространстве состояний, как бы исследуя крайние точки, границы существования системы, выполняя поиск безопасного состояния. Однако чем сложнее система, тем опаснее возможность приближения непосредственно к порогам вхождения в зону предкатастрофического состояния [1]. Возникает задача, состоящая в том, что приближение к пороговым состояниям приводит к нарушению безопасности функционирования и разрушению систем.
Современная стратегия обеспечения безопасности в сложных системах, переносит акцент с усилий, направленных на реагирование на последствия катастроф, на деятельность по их прогнозированию и предотвращению. Любой объект
можно рассмотреть как подсистему целого (к которому рассматриваемый объект относится), выделив в нём отдельные части и определив взаимодействия этих частей, служащих какой-либо функции. Процедуры вычисления показателей надежности и безопасности существенно зависят от стадии жизненного цикла объекта в связи с различным объемом необходимой информации, который имеется в распоряжении на соответствующей стадии. Сложность объектов (систем), задач, решаемых этими системами, требует эффективной автоматической диагностики функционального состояния систем. Многие технические объекты состоят из модулей и обладают конечным числом неисправностей.
Можно характеризовать два направления для анализа безопасности и надежности технических систем и объектов: первое - нахождение показателей аппаратурной надежности и безопасности элементов систем, второе - оценка надежности систем в целом по заданной структуре технической системы и показателям надежности элементов. Оценка показателей структурной надежности называется также оценкой надежности систем с использованием графов. Это означает, что происходит поиск путей между входом и выходом структурной схемы, состоящих из исправных элементов. Обобщение этого подхода можно построить в пространстве функциональных состояний системы. Движение таких объектов и элементов их управления, как исправных, так и неисправных, с высокой степенью точности априори можно описать, исходя из опыта и законов теоретической механики, обыкновенными дифференциальными уравнениями Диагностика функционального состояния управляемых систем получила название «дифференциальная диагностика» [2, 3]. В основе ее лежат дифференциальные уравнения, описывающие движение исправной и неисправных систем. Существенно обобщить класс анализируемых систем можно, выделив показатель, стремящийся удерживать все состояния как можно ближе к некоторому состоянию (предельному состоянию). Тогда функциональное состояние можно записать в виде системы с непрямым управлением [2] или управлением по производным. Пусть все компоненты вектора состояния £ возможно разделить на два множества: координаты системы (объекта)
у1,..., ур и координаты управления ..., 2ч, где
р + q = п.
Уравнения функционирования системы можно записать в следующем виде:
^ = I(У, г), у(0, 0) = 0; т
(к
— = 8(у, г), х(0, 0) = 0.
аХ
Объект управления описывается уравнением (у/ах = I(у, 0), а управляющее свойство уравнением = 8(0, г). Такие системы применительно к движению корабля рассматривались Н. Минорским в работе [2]
При проведении дифференциальной диагностики состояния технических систем можно выделить две самостоятельно решаемые задачи: контроль критерия неисправностей в системе и диагностирование появившихся неисправностей. Появление неисправности в системе вызывает выход траектории объекта на некоторую заранее выбранную поверхность. Неисправность может произойти в любой заранее неизвестный момент времени движения объекта в любой точке внутри заданной контролируемой поверхности Возникающие в процессе управления неисправности приводят к тому, что управляющий сигнал формируется неправильно и во многих случаях управление объектом уже не обеспечивает близости траектории $(Х) к некоторой программной траектории 5 (А
ргс^г V
1. Гарантированные границы решений сложных систем
В статье описывается реализация важной части этого подхода к анализу безопасности и надежности технических систем - построение гарантированных границ множеств решений систем дифференциальных уравнений [4-9].
Пусть имеется управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
^у = I(Х, У(Х), и(Х)): т
(1)
где векторная функция /(X, и) определена для любых значений X векторной переменной у(1) и любых значений управления и из области определения. Выбор возможных реализаций управляющих воздействий и стеснен ограничениями
и е Q, Х е [Х0, Т], отражающими особенности рассматриваемой задачи. Для многих задач ограничения на воздействия могут носить только геометрический характер. Это значит, что в каждый момент
времени Х е [Х0, Т] значение и(Х) может быть любым из некоторого выпуклого компактного множества Q. В общем случае это множество может быть описано опорной функцией
е=
и (г) | дТи(г) < 5(д, г), \\д\\ = 1,1
шшт
шений, оценки области ее возможных значений и оценки глобальной ошибки. Здесь приводятся некоторые шаги этого алгоритма.
Обозначение у = фi(X, у0, у0,....,у0) в алгоритме используется, чтобы показать, что это вычисленное числовое значение в узлах сетки. На г-м интервале по времени вычисляются векторы решения (всего п различных векторов при к = 1,2,....., п)
ду,_ бФ^,уп,у2,....,уп0)
5у =
ду0
ду0
8у =дУп = дфп (Хк, У1, УП,....,У0 ) Уп = ду0 ~ ду0
для различных систем уравнений в вариациях первого порядка
&§И. = £ Ф1' Ф2,....,Фп ) §>.
&
дУ,
г е Т \
Опорная функция в каждой конкретной задаче назначается на основе априорной информации о свойствах возмущений, которые могут встречаться в задаче. При независимых ограничениях на модуль каждой составляющей
|иу. (X)| < V ^ (X) множество 0 представляет собой
параллелепипед с ребрами длины 2у}- , ориентированными вдоль соответствующих координатных осей в пространстве возмущений. В этом случае опорная функция 5(д, X) задается своими значениями в п точках: 5(^, X) = у.,у = 1,2,...,п.
Задача гарантированного оценивания состоит в определении множества (или его границ)
У (0 = и у(', *0, у0). (2)
уп еУп
Среди математических описаний подобных задач, основанных на оценке множеств достижимости, мы выделим задачи проверки гарантированных условий безопасности [9] и задачи построения «выживающих» траекторий [10].
Для этого требуется проверить выполнение
условий «выживаемости» у(г) е N при 1п < X < л постоянными коэффициентами и У (л) е М для любого движения у(-), исходящего из точек области допустимых начальных позиций О0 и заданных множествах N,М при переборе всех управляющих воздействий, удовлетворяющих ограничению и е 0. Таким образом предполагается, что неопределенные факторы в математической модели управляемой системы не имеют вероятностного описания, а известны лишь с точностью до множеств, их содержащих. Одним из основных вопросов оценивания в условиях неопределенности является проблема нахождения информационных множеств неопределенных динамических систем (1), а также подмножеств указанного семейства, состоящих из всех траекторий, удовлетворяющих дополнительному условию «выживаемости». Таким образом, задача гарантированного оценивания состоит в описании множества решений системы (1) (траекторного пучка) и соответствующих сечений в момент времени г (сечений этого множества)
2. Вычисление гарантированных границ решений дифференциальных уравнений
Алгоритм вычисления гарантированных границ решений состоит из нескольких шагов, реализующих построение символьной формулы ре-
У=1
I = 1,2,..., п. (3)
Всего систем (3) будет п экземпляров согласно значениям I = 1, 2,..., п .
Система (3) - это линейная система ОДУ с
д/1 (х, ф^ ф^...^ фп)
I = 1, 2,...,п. Постоянные коэффициенты получаются при подстановке в формулы производных вычисленных значений ф, ф2,....,фп.
На основе полученных значений производных записывается символьная формула решений как функций от начальных данных
/ 0 0 0\ (У1, У0,--; Уп):
/ о о \ / о о \ ,
(У1 ,...^.Уп ) = Ф| (У1 ,пит ,.... У .пит ) +
+ (У0 " у^ )5у1 + (У0 - УПпиш )5уП +
+ ... + (уп - у° )§у0 +
п у п, пит у у п
+—[(у,0 - у,0 )2 5г, + (У0 - У0 )2 +
^|1Л^1 Л,пит' 1 2 У2,пит; 2
...+(уп -у° )25г +
п п,пит п
+ 2(у,0 - у0 )(у0 - у0 )
Уу1 у 1, пит ;\у 2 у 2,пит у
д 2Фг
+....+
+ 2(у° - у\ )(уп - у0 )
\у п-1 у п-1, пит / \у п у п, пит /
д 2Фг
дуп0-1дуп0
+
+.
Разность точного и приближенного (численного) решений (векторная величина) называется глобальной ошибкой приближенного решения
е(Х) = у(0 - уь (Х), величина ((Х) = I(Х, уь (Х)) -— у\(Х) - погрешность приближенного решения (дефект). Тогда е(Х) является решением системы ОДУ
(е(Х)
(Х
■ = I (Ун (Х) + е(Х)) — I (Х, ун (Х)) + ( (Х) (4)
с начальными данными
е(Х 0) = у(Х0) — у (Х0) .
Эта система уравнений преобразуется в интегральную форму. Затем проверка принципа неподвижной точки позволяет найти включение глобальной ошибки.
3. Приложения
1. Определение границ множеств решений управляемой системы ОДУ.
Рассмотрим управляемую систему [11]
йух
ёХ
= 2 у 2 + у4 ,
ёу2 _
ёХ
= —2 у1 + уз + щ,
(5)
Гарантированные верхняя и нижняя граница множества точных решений системы ОДУ, проекция на плоскость
верхняя граница у!
Рис. 1. Границы множеств решений - проекция на плоскость Х — у1
^ = у2 + 10 у4, аХ
^ = 2 у1 — 2 уз + и2, аХ
на возмущающие силы которой и ,и наложено
ограничение + и\ < 1. Система (5) - это га-мильтонова система с гамильтонианом
н = У22 + У2 У4 + 5 У42 + У12 — У1У3 + Уз2 —
—и1(Х) У1 — и2(Х ) Уз,
у, у3 - ее обобщенные координаты, а у2, у4 - ее
обобщенные импульс. Гамильтонова система -частный случай динамической системы, описывающей физические процессы без диссипации. В ней силы не зависят от скорости. На возмущающие силы и , и в (5) наложено ограничение и2 + и^ < 1. Рассматриваются моменты времени Х е [0,4]. Границы областей точных решений отмечены на рис. 1, 2.
Рис. 2. Границы множеств решений - проекция
на плоскость Х — у4
2. Исследование практической (технической) устойчивости
Известно несколько различных определений понятия технической устойчивости [12-14], однако при всем их разнообразии указанные определения имеют одни и те же общие характеристики. В каждой задаче о технической устойчивости: а) рассматривается автономное дифференциальное уравнение
ёу
ёХ
= I (у)
(6)
или неавтономное дифференциальное уравнение ёу
ёХ
= I (Х, у);
(7)
множество Р0 (Х)
б) определяется некоторое начальных возмущений у(Х0),/ = 1,..,п, и траектории, исходящие из точек у е Р ( ) ;
б) устанавливается интервал Т времени Х;
в) задается множество Р ( Х) допустимых возмущений у(Х) на Т.
Выбрав множества Р ( Х) , Р ( Х) на Т, представим конкретное содержание понятия технической устойчивости. Выбранные множества существенно определяют техническую устойчивость в отличие от устойчивости по Ляпунову. Будем
говорить, что фазовое множество Р (Х) практически устойчиво на временном конечном промежутке Т относительно множества Р ( ) , если все полутраектории, начинающиеся в момент времени
X = ^ в множестве р (¿0) при всех значениях X из заданного промежутка Т, содержатся в множестве р (^ ) . Если же хотя бы одна полутраектория, начинающаяся при X = в множестве Р0 (/0), выходит в какой-то момент X * из множества р (X), то фазовое множество Р0 (/0) технически неустойчиво на Т относительно фазового множества р (X).
С другой стороны, рассматривая соотношение (6) или (7) как некоторую управляемую систему, можно определить понятие множества достижимости. Множество У(^, р, X) назовем множеством достижимости системы (5) в момент времени X, порожденным множеством р в момент времени ^, если для каждой точки у еУ(?0, р ,г) существует решение у(/, у0) системы (6) или (7)
такое, что у(^ ) е У0, у(^, у0) = у. Тогда система (8) (или (7)) практически устойчива относительно (р} на Т, если при всех X еТ У(?0,У0,X) ^р(X).
Таким образом, достаточные условия технической устойчивости непосредственно связаны с достаточными условиями включения множества достижимости управляемой системы в заданное множество.
Рассмотрим двойной маятник с общей управляемой точкой подвеса:
ЖУх
Ж
¿У2 Ж
ЖУз Ж
Жу4
Ж
= У2,
= - Ух + У 2 + и,
= У4'
= Ух - У 2 -
Управляющее воздействие и е Я прикладывается к левому телу с целью компенсировать влияние внешних возмущений w е Я, воздействующих на правое тело. Возмущения предполагаются произвольными, но ограниченными в любой момент времени: < 1. Обозначим через У, у2 соответственно координату и скорость левого тела, а через у3, у4 — правого тела. Тогда
у =
у 2
уз
V у 4 У
Я 4 есть вектор фазового состояния дан-
ной динамической системы, полностью описывающей движение двойного маятника. В качестве
выхода возьмем вектор
уз
характеризующийся
^ 3 у
величиной управления и координатой второго тела, на которой действуют внешние возмущения. На рисунках внизу приведены включения множеств точных решений компонент у , у соответ-
ствеНН° уз(*), у4^).
Рис. 3. Границы множеств решений - проекция
на плоскость у —
у 2 — уз
Рис. 4. Границы множеств решений - проекция
на плоскость у — у4
3. Построение оценок в задаче о накоплении возмущений динамических систем.
Эта задача и ее применение для оценки безопасности сложных систем была предложена в 1939 году механиком Б. В. Булгаковым при изучении влияния северных координат скорости корабля на девиацию компаса [15, 16]. При этом полагалось, что скорость - это кусочно-непрерывная функция, ограниченная по модулю. Интерес к решению класса этих задач не исчезает и в наше время [17].
Рассмотрим управляемую систему
dy dt
u G U = {~ G L
14) G KCn
= f (y) + Fi( y)u + F2( y)v, | ~(t) G ^ }
v(-) G V
Vi(t)| < v;
dv dt
< л,i = \,...,m
dt u
pr
- f (ypr (t), upr (t)),
(•) gW, t G[t0, t,)
dt
= ^z + év,
где г = у — ург - это и -мерный фазовый вектор (вектор-столбец), А = (а.) - постоянная матрица размерности п х п, Ь = (Ьг) - и -мерный вектор (вектор-строка); V = ) — возмущение, скалярная кусочно-непрерывная ограниченная функция |v(t)| < к
Первоначально подход Булгакова рассматривался для «одномерных» управляемых систем, в которых выходной величиной был скалярная функция. Если изучалась «многомерная» система, то предлагалось выделить единый комплексный показатель качества управляемых систем, учитывающий поведение нескольких интересующих разработчиков выходных величин. До момента появления метода Булгакова при анализе динами-
где у — и -мерный вектор; и — £ -мерный управляемый вектор, являющийся измеримой векторной функцией, в любой момент времени принимающей значение из области управления Я"; v(•) — да-мерный возмущающий вектор, являющийся кусочно-гладкой векторной функцией, ограниченной по модулю вместе с первой производной.
Полагаем, что задана задача программного управления, когда движение
ург (X), X е^0,0, ^ < ^
является искомым, а управление ирг реализует это движение
^ург (X) _
здесь Ж — функциональное пространство, описывающее области управляемости.
Пусть отклонение г = у — ург в простейшей
стабилизирующей форме и = ирг + и, где и — стабилизирующее управление.
В методе Булгакова рассматривается задача максимального отклонения только по одной координате
ческих свойств основное внимание уделялось либо типовым возмущениям системы: ступенчатым, линейно возрастающим, синусоидальным и другим, - либо возмущениям, имеющим характер случайного процесса (обычно стационарного). Эти подходы не исчерпывали многообразия реально существующих ситуаций. Определение характеристик случайного процесса для данной системы часто сопряжено с большими трудностями. Вместе c этим случаи, когда информация о поведении возмущений заключается лишь в знании их верхних и нижних границ, встречается довольно часто в реальных задачах. Максимальное отклонение, которое необходимо определить в этих случаях, складывается из двух частей: отклонение, вызванное возмущением начальных условий или начальное возмущение, и отклонение, вызванное накоплением возмущений.
Одной из последних задач, которые рассматривал Б. В. Булгаков с применением своего метода, была задача о минимизации накопленных возмущений угловых параметров корабля на прямом курсе при ограниченных по модулю ветровых возмущениях (нагрузках). При этом допускались следующие предположения: движение корабля происходит в горизонтальной плоскости; вертикальные движения при рассмотрении устойчивости и управляемости мало влияют на его движение в горизонтальной плоскости; корабль движется в идеальной безграничной жидкости; система, состоящая из корабля и жидкости, имеет столько же степеней свободы, сколько и сам корабль. Движение судна может быть задано проекциями скорости центра тяжести на подвижные оси и угловой скоростью.
Все эти величины являются размерными кинематическими характеристиками, пригодными для описания любого вида маневра судна.
Воздействие ветровой нагрузки на корабль характеризуется дополнительными силами и моментом, приложенными к кораблю.
Аэродинамические момент и поперечная сила соответственно равны:
M(y3, у) = gW2 sin y(1 - cosy(1 + nsin2 y)),
P(Уз, y) = g2W'sin y.
Соотношения между переменными, характеризующими ветровое воздействие W на судно, следующие:
W2 = W2 - 2W cos(y - У2) +1,
Wl sin(Уз + у) - sin(У2 + у) = 0.
йу,
—1 = ау + Ъу2 + + М (уз, у), а'
= су1 + &у2 + % + ^ +
т
+Уз, У) &Уз
аг
= Уl,
(8)
= соэ(уз - У2),
аг
&у5 = 81п(уз - у2). аг
бирались в соответствии со значениями, приведенными в [18], хотя частично носили экспериментальный характер (требовалось проверить эффективность метода при самых сложных вариантах). В некоторых случаях максимальное накопленное отклонение по углу курса за безразмерное время гг при ограничении на модуль ветрового возмущения в [18] предлагается оценивать формулой
тах у3 =[( 6,25г12 + 31' + 68) в'0,41'1 - 68, п]^0.
Задача о накоплении ветрового возмущения:
1 - верхняя граница проекции множества достижимости,
2 - нижняя граница проекции множеств достижимости.
Описанный в статье гарантированный метод применялся для оценки накопленных возмущений параметров отклонения корабля от курса при ветровом возмущении, заключенном в некоторую область [18]. Вычисленные гарантированные границы отклонений (рис. 6) показали эффективность метода.
Рис. 5. Изображения двух систем кинематических параметров при движении судна
Неизвестные аэродинамические коэффициенты g1, g2 косвенным путем определяются по результатам натурных испытаний.
В (8) г совпадает с безразмерным временем
га = Ь - длина корабля, У0 - постоянная поступательная скорость корабля на прямом курсе, у - возмущение скорости корабля, у2 - возмущение угла дрейфа корабля, У3 - ошибка угла курса, и - параметр управления, равный углу отклонения пера руля. Координаты центра тяжести судна у4, у5 в начальный момент будем полагать совпадающими с началом отсчета. Система координат центра тяжести введена таким образом, чтобы ось абсцисс совпадала с направлением истинного ветра (Ж = 0,Ж = Ж > 0). Величины ^ к гу г гх 7
Р11, Ч2\, г21, Ч31, г31- коэффициенты инерционных и демпфирующих сил и моментов, действующих на корабль [18]. Числовые значения параметров под-
Рис. 6. Гарантированные границы множества достижимости задачи (8) - проекция на оси г - у
Заключение
В статье описано оценивание безопасности сложных систем и областей допустимых отклонений решений дифференциальных уравнений с помощью методов оценки решений дифференциальных уравнений, использующих символьные формулы приближенных решений, что позволяет строить области множеств решений и находить оценки глобальных ошибок. Нахождение символьных формул приближенных решений требует специальной организации, преобразования, хранения больших наборов символьных данных. Описанный класс методов является одним из эффективных инструментов для решения задач безопасности сложных систем и задач построения включений множеств решений дифференциальных уравнений.
5.
6.
7.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб. : Изд-во С.-Петерб. унта, 2007.
Minorcsky N . Directional Stability of Automatical Steering Bodies // J. Amer. Soc. Navel. Enginers. 1922. V. 34. № 3. Р. 113.
Борисенок И.Т., Шамолин М.В. Решение задач дифференциальной диагностики // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. Вып. 3. С. 775790.
Рогалев А.Н. Исследование практической устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Вычислительные технологии. 2003. Т. 7., Ч. 5. С. 148-150.
Рогалев А.Н. Гарантированные оценки безопасного функционирования технических и электроэнергетических систем // Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф : тр. Всерос. конф. с междунар. участием. Красноярск : ИВМ СО РАН. 2003. Т. 3. С. 42-48. Рогалев А.Н. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестн. СибГАУ. 2010. 5(31). С. 148154.
Рогалев А.Н. Вычисление гарантированных границ множеств достижимости управляемых систем // Автометрия. 2011. Т. 47. № 3. С. 100-112. Рогалев А.Н. Вопросы реализации гарантированных методов включения выживающих траекторий
управляемых систем // Вестник СибГАУ. 2011. № 2 (35). С. 54-58.
9. Rogalev A.N. Calculation of Guaranteed Boundaries of Reachable Sets of Controlled Systems // ISSN 87566990, Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, Allerton Press. 2011. V. 47. № 3. P. 287-296.
10. Aubin, J.-P. Viability Kernels and Capture Basins of Sets under Differential Inclusions // SIAM J. Control. 2001. V. 40. P. 853-881.
11. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М. : Наука, 1978.
12. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М. : Физма-тгиз, 1962.
13. Гермаидзе В., Красовский Н.Н. Об устойчивом движении при постоянно действующих возмущениях // Прикладная математика и механика. 1957. № 21. Вып. 6. С. 769-774.
14. Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикл. математика и механика. 1953. 17. № 5. C. 529-540.
15. Булгаков Б.В. Прикладная теория гироскопов. М. : МГУ, 1976.
16. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // ДАН СССР. 1946. Т. 51, № 5. С. 339-342.
17. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация параметрически возбуждаемых вибрационных систем // Вестник МГУ. Сер. Математика и механика. 1998. Вып. 6. С. 40-43.
18. Басин А.М. Теория устойчивости на курсе и поворотливости судна. М. : Гостехиздат, 1949.
УДК 621.752 Каргапольцев Сергей Константинович,
д. т. н., профессор, проректор по научной работе, Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. (395-2) 638-304, e-mail: [email protected] Ахмадеева Алла Абдулваровна, соискатель, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. (395-2) 638-357, e-mail: [email protected] Гозбенко Валерий Ерофеевич, д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. (395-2) 638-357, e-mail: [email protected] МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ВАГОНА C НЕСИММЕТРИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
S. K. Kargapolcev, A. A. Akhmadeeva, V. E. Gozbenko
MATHEMATICAL SIMULATION OF THE VIBRATION OF THE CARRIAGE ASYMMETRIC PARAMETERS
Аннотация. В статье рассматривается задача моделирования колебаний грузового вагона с грузом. При составлении модели выбрана расчетная схема грузового вагона для исследования колебаний подпрыгивания, галопирования и боковой качки. В качестве обобщенных координат выбраны для кузова и груза вертикальные перемещения и по два угловых - галопирование и боковая качка. Для упрощения расчетов пружинные комплекты подвески вагона заменены приведенной жесткостью. Используя уравнения Лагранжа второго рода составлены уравнения движения. Отмечено, что полученная система шести дифференциальных уравнений связана, поэтому получить аналитическое решение затруднительно. Решение поставленной задачи находили с использованием математического пакета MATHCAD. В качестве исходных данных приняты массо-инерционные характеристики четырехосного металлического вагона модели 12-132-02. Приведены некоторые характерные графики зависимостей для колебаний кузова и груза при определенных начальных данных. Анализ численных решений показывает, что периоды колебаний кузова и груза малочувствительны к изменению начальной скорости, а амплитуды изменяются пропорционально изменению скоростей. Показано, что изменяя определенным образом начальные данные возможно определить критические для безопасности движения скорости и максимальные отклонения.
