Бесконечно малые ARG-деформации цилиндра в е4 Текст научной статьи по специальности «Математика»



п ук

кт

/ , ч \(т)

(20)

Полагая в этих равенствах г = ак и г = ак , получим систему из 2/7 ук однородных ли-

к=1

нейных уравнении относительно неизвестных:

Присоединим к этой системе еще 2п^\>к уравнений, полученных заменой всех членов на

"к

к=1

сопряженные. Обозначим определитель новоИ системы через D(д). Так как определитель этоИ системы Эрмитов, то корни уравнения D(д)=0 вещественны, а наибольший из них, что следует из

теоремы 1 из [1], совпадает с ||/ш| |.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рябых В.Г. Необходимое и достаточное условие существования линейного функционала над Н // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 6. С. 1351-1360.

2. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1963.

3. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

5. Рябых В.Г. Вид экстремальной функции линейного функционала над пространством Н1. Деп. в ВИНИТИ 10.08.01. № 1857-В2001. С. 2-15.

В.В. Сидорякина

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ЛЯС-ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРА В Е4

Работа посвящена исследованию бесконечно малых АЯв-деформаций поверхностей в Е4. В качестве примера рассматривается случай цилиндра.

Под деформацией поверхности I? понимаем семейство /{ поверхностей ¡'\, непрерывно зависящее от параметра I, / е |- /0, /0 ^ /0 > 0. причем при 1=0 имеем /',, = /'. Если поверхность ¥ задана уравнением

то аналитически деформация записывается в виде

: г, = А

Предполагаем, что функция К представима следующим образом

: г( —г 41,V

где г V - поле деформации, о К, - члены более высокого порядка малости относительно /

к=0 т=0

г

при ^ -» 0.

Говорят, что две деформации

являются эквивалентными, если

С

Указанная эквивалентность делит все деформации поверхности Е на классы. Каждый класс эквивалентных деформаций называют бесконечно малыми деформациями поверхности Е.

Пусть на поверхности Е задана некоторая величина А, которая при деформации поверхности Е переходит в величину А на поверхности ^. Считаем, что величина А разложима по параметру / при / —» О по формуле

Аг = А + ? • 8А + о <

где

ЗА - вариация величины А при бесконечно малой деформации поверхности Е. В дальнейшем бесконечно малые деформации поверхности Е определяем уравнением

^ : = ri^,v~~Уtzi^,v~2, (1)

где г У & Е4, 1'^е Л). / - малый числовой параметр.

Бесконечно малые деформации вида (1) являются ареально рекуррентными бесконечно малыми деформациями с сохранением грассманова образа поверхности Ев Е4 или АЯв-деформациями, если выполняются условия:

1. Вариация 8 (¡ст элемента площади (1(7 при деформации (1) подчиняется условию

» —>

5Ца=2Л\,Н4<г, (2)

где Н - вектор средней кривизны поверхности Е, X - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности деформации;

2. Нормальные плоскости поверхности Е в каждой точке поверхности при деформации (1)

смещаются в Е4 параллельно себе.

В работе [1] показано, что уравнения АЯв-деформаций поверхности Е в Е4 относительно искомого векторного поля г представляют систему линейных однородных уравнений вида:

У С,г,

<13, 0, (3)

П 4, = 0,

- дг -ч -

где 2, =--, щ,Па - ортоиормироваиный репер в нормальной плоскости поверхности /•'.

ди'

П 4

1 к

г2 м г 1 П з

Выведем систему уравнений, описывающую бесконечно малые АЯв-деформации поверхности цилиндра в Е 4. Пусть цилиндр задан уравнением:

где (р С ^ </7 ^~ некоторые дифференцируемые функции, (р^ л/ 4/^ С3,

Ф' С ^ + С ^ = ' • " ~ натуральный параметр, г/е Ь кривой / : X — (р 4/ ^ }' — '// С

— 00 < V < оо .

Найдем касательные векторы г и и rv :

Я = б1од,о .3

Репер ^т з в нормальной плоскости имеет вид:

й3= У0'0,о ] , 1 -

И4 = ^0,0,1 3

Поле деформации запишем в виде:

— 1_ 2_ 3— 4

г = а Гм +а Гу +с т +с па. Подставив в последнее равенство значения, полученные для векторов г

и, гV, Пз, П4, на-

ходим

z = а1 ^0,1,0 }с3 ->Ч>'0>0 >

с}[(р'41~Усъц/'it^c^y/'it У съ ср'4i~2.a2 .

010,0,1

z =

12 3 4

Для отыскания поля деформации г найдем а , а , с , с . Посчитаем квадратичные формы указанной поверхности.

ёц = <„,г„ 5= ^'0 = 1,

S22

=1.

Тогда первая квадратичная форма имеет вид

= £Й/2 +й?у2.

Вычислим коэффициенты второй квадратичной формы.

¿30 =

-4tj - ¿J

h = I

Г UV -

V VV -

,0,03 1,0,0

¿311 = С»,из

Ьш = j= 0,

^322 = J=0,

¿411 = Jo,

¿412 = J=0,

bm = |„,И4 _=0.

Запишем вторую квадратичную форму

II^=b3lldu2 + 2 b3l2dudv + b322dv2, 11^4 = bAndu2 + 2 b4l2dudv + b422dv2,

¿О-р'О'О^О'С

к ii - кривизна кривой ^ ^ к (f 0,

//<4 JO.

Найдем вектор средней кривизны H .

Н =НаПа,

(4)

4

/з

2 =

,12^4

ё (ГТ

ё

1 °1 II 1Г1-Г1

1, я34 = я43=0, я44=1, ъа. =етЪ

V <~> г у ту '

ъ4 =Ъ4=Ъ4 =Ъ4 =0

"11 12 21 22

Г" = ,,

/г <-> /г ,л'

Г" =-гт,

/г /<т ?

Г." = 0,

/и '

Г,г.я = ^

Г3 =0 Г3 =0

14 24

Тогда имеем

Н'=к<п н4= о,

Система (3), описывающая бесконечно малые ареально рекуррентные деформации с сохранением грассманова образа для поверхности цилиндра примет вид:

Гу,.сст + акЪ1 + Г"сг =0, г = 1,2, сг = 3,4,

1 2 а + а

I и V

-2<+Л1< с3 =0.

(5)

Поскольку У;6,Г7 = Г^ = 0. то последняя система примет вид:

Решая эту систему, находим

5,с 3 + акЬ3 = 0, 5„с 3+ акЬ3„ = 0,

д,с 4 + акЬ4и = 0,

дгс4

■ а"Ь4= 0.

с 3 + а1к4 = 0, с 3=0,

V '

с 4 =0,

и

с 4 =0.

Тогда

с3 — / 4/ ^ / €1- произвольная функция параметра и ,

с — с0 — сопн^ с0 - произвольная постоянная,

4

кщ

2 13 4

Найдем а . С этой целью подставим значения а , с , с во второе уравнение системы

(5). Получаем

¿А

kit

а2 =

v

+ а2-2<+Я№О0,

' ж

а

= + О) il - произвольная функция параметра

а =<

+ 2 <+AjO<

V + бУ^

Найденные значения подставляем в уравнение (4). Имеем

кЩ. кщ.

^ ' Ж "Л

И

v + fl>Oo к

(6)

Определение. Поле деформации г назовем тривиальным, если оно имеет вид

г= 30,со^У0 .

Тем самым доказана теорема.

г4

Теорема 1. Пусть цилиндр в Е , задан уравнением:

где (р 4 2 '/х С ~ некоторые дифференцируемые функции, ср ^ ^ ^е С ". ф' ^ ^ + ' С ^ = 1. и - натуральный параметр кривой ( . и е ф, ¿> , — со < V < со, и допускает бесконечно малые

АЯС-дсформации для любого Л . Такие деформации описываются уравнением (6).

Следствие. Цилиндрическая поверхность, гомеоморфная кольцу, допускает для любого значения коэффициента рекуррентности Л бесконечно малые АЯС-дсформации. поле деформации которых задаются формулой (6), где функции X ^ - произвольные периодические

функции параметра и класса С2.

Определение. Бесконечно малая АЯв-деформация называется ограниченной, если сущест-

вует константа С такая, что для всех точек цилиндра имеет место неравенство

<с.

Теорема 2. Существует точно счетное множество значений Я = Я , п = 1,2,...; Яп = 2и2 -1,

для которых круглый цилиндр с направляющей окружностью единичного радиуса допускает ограниченные нетривиальные АЯв-деформации, задаваемые формулой:

u

и

z

где z4l=( \ cos (¡2 ( + + (\ sin ijli+Yji coif - произвольная функция, с0, С,. С2 -произвольные постоянные.

Если Я Ф А , п = 1,2,..., то круговой цилиндр является жестким относительно ограниченных ARG-деформаций.

Доказательство. Рассматриваемое уравнение

Х'ш и +2 1 + 1 х и = 0

есть уравнение вида

у" + ау = 0, а = const. Решение этого уравнения будем искать в виде:

тогда

= у" =

/¿V" + 2<+Я]> =0, //2+2<+Я>0.

Рассмотрим три случая:

1)при 1 + А = -(Т2 <0, Я<-1,

/и2 - 1а2 = 0,

Ц2 = 2сг2,

М,

= ±<7л/2,

Я = ^и, ^ ^^и, у и ^^^^и.

где ^, С2 - произвольные постоянные.

В этом случае уравнение не имеет периодических решений. Следовательно, для значений Я<-1 имеем = 0 • Тогда

г = 0,0,£У и с0 , где со и - произвольная функция, с0 - произвольная постоянная; 2) при 1 + Л = сг2 = 0, А = -1,

М = 0,

у1 =1, = и, у и = + С2м.

Уравнение не имеет периодических решений и потому, для круглого цилиндра при А = — 1 ^ г/ =0иг= 0,0,а> и с0 ;

3) при 1 + Я = <т2 > 0, Я > -1;

2

¡л = ±io42,

yl = cos<[2аи^у2 = sin (¡2ои^ yil=Cx cos и + С, sin ([2а и.

Уравнение имеет периодические решения с периодом 27Г, если 42ст — 2п, п = 1,2,....

2

Тогда существует точно счетное множество значений Лп — 2/7 — 1, п — 1,2,...; для которых круглый цилиндр допускает ограниченные нетривиальные ARG-деформации с полем z вида:

z = ~х'и и и rv + x и пз+с0П4 =

n n

= \ ~х'и и qj и - X U у/' и и у/' и + х и ф и ;а> и ;сЛ,

I И И и И I

гДе х u =Ccos -у/2 1 + 4, u + C2 sin .^2 1 + Яи u , <a u - проиагелмад функция,

n

c0, C, C - произвольные постоянные.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК малые A

венные науки. 2007. № 1. С. 21-33.

1. Фоменко В.Т. Бесконечно малые ARG-деформации тора Клиффорда в E4 // Вестник ТТПИ. Естест-

Е. В. Тюриков

ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ И. Н. ВЕКУА - А. Л. ГОЛЬДЕНВЕЙЗЕРА - В. Т. ФОМЕНКО

1. Постановка задачи. Пусть $ - строго внутренняя часть замкнутой выпуклой поверхности Л',, класса регулярности Ж3'р , р > 2 , с кусочно гладким краем Ь , состоящим из конечного

числа дуг класса регулярности С1е, 0<£"<1. Рассмотрим на Ь множество точек сг,...,с , содержащее все угловые точки, а также произвольно отмеченные точки гладкости, полагая при этом, что точки с ■ 4/ — /I следуют друг за другом при обходе границы Ь в заданном на-

cj

правлении. Тогда Ь = Ь., где началом и концом дуги Л , 4/ = 1,.. .,/2 — 1 являются точки

у=1

и с .+1, а началом и концом дуги Ьп являются точки сп и С] соответственно. Пару дуг Л , ,

и ,, сходящихся в точке С , 4] — 2,..., п , а также пару дуг Ьх, Ьп, сходящихся в точке С], назовем соответствующими дугами в данной точке. Рассматривается следующая задача А: существуют ли бесконечно малые (б. м.) изгибания поверхности $, для которых на каждой из дуг Ь. выполняется одно из следующих условий

¿кп = (7<:41™ 1Г (1)

5т8 =о-г<:<]на Ь} < = 1,...,тГ, (2)

где <7^4 4( — 1,2 - наперед заданные гёльдеровы функции, £ - натуральный параметр, дкп