10Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
BA'ZI BIR SONLI YIG'INDILARNI KETMA-KETLIKNING DISKRET HOSILASI YORDAMIDA HISOBLASH.
X. F. Sharipov
Samarqand Davlat Universiteti, Samarqand, O'zbekiston.
S. F. Sharipova
Mirzo Ulug'bek nomidagi O'zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali
L. Xoliqov
Samarqand Iqtisodiyot va Servis Instituti akademik litseyi,
E-mail: sh_xurshid@yahoo.com
Epigraph: The goal of generalization had become so fashionable that a generation of mathematicians had become unable to relish beauty in the particular, to enjoy the challenge of solving quantitative problems, or to appreciate the value of technique. Abstract mathematics was becoming inbred and losing touch with reality; mathematical education needed a concrete counterweight in order to restore a healthy balance. D. Knut.
Ushbu ishda ketma-ketliklar uchun diskret hosila, diskret boshlang'ich tushunchalari keltirilgan. Diskret hosila xossalari keltirilgan bo'lib, ularni odatiy hosila xossalari bilan solishtirilgan. Nyuton-Leybniz va bo'laklab integrallash formulalarining diskret analogi keltirib o'tilgan. Bulardan tashqari chekli yig'indilarni hisoblash uchun ketma-ketlikning diskret hosilasini tadbiq etish taklif etilgan.
Ta'rif. an ketma-ketlikning diskret hosilasi deb, Aan = an — an-1 ga aytiladi.
Misol.
1. an = 1, Aan = 1 — 1 = 0.
2. an = n, Aan = n — (n — 1) = 1.
3. an = n2, Aan = n2 — (n — 1)2 = 2n — 1.
Google Scholar
Academic Research, Uzbekistan
Scientific Library of Uzbekistan www.ares.uz
Zamonaviy ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va yutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
4. an = n3, Aan = n3 — (n — 1)3 = 3n2 — 3n + 1.
5. an = kn, Aan = kn — kn-1 = kn-1(k — 1).
Bu misollardan ko'rinib turibdiki, diskret hosilaning odatiy hosilaga o'xshash taraflari bor ekan. Quyida yig'indi, ayirma, ko'paytma va nisbatlarning diskret hosilalarini keltirib o'tamiz.
A(an ± bn) = Aan ± Abn. A(anbn) = anAbn + bn-iAan.
_ bnAan — anAbn \bn) bnbn-i .
Haqiqatdan ham o'xshash jixatlari ko'p ekan. Hosila tushunchasi kiritilgandan keyin boshlang'ich funksiya tushunchasi kiritiladi. Xo'sh diskret boshlang'ich tushunchasi qanday kiritilar ekan.
Ta'rif. an ketma-ketlikning diskret boshlang'ichi deb, an = AAn shartni qanoatlantiruvchi An ketma-ketlikka aytiladi.
Misol-1.
1. an = 1, AAn = 1 ^ An = n.
^ 2n-1 , 1 An2+An . n2+n
2. a„ = n =--+ - =-^ A-n =-.
n 2 2 2 n 2
Diskret boshlang'ichning ham odatiy boshlang'ich bilan o'xshashliklari bor ekan. Nyuton-Leybnits formulasining diskret analogini izlashga harakat qilaylik.
n
= a1 + a2 + a3+...an = A1 — A0 + A2 — A1+.. .An — An-1 = An — A0.
i=1
Demak, Nyuton-Leybnits formulasining diskret analogini quyidagicha yozishimiz mumkin ekan:
n n
^ = A,- b = A„ An. i=1 i=1
Ma'lumki, sonli qatorning yig'indisini topish uchun qismiy yig'indilar ketma-ketligining limitini topish kerak, biroq qismiy ketma-ketlikni topishda qiyinchiliklarga duch kelish mumkin. Quyida ba'zi bir yig'indilarni topish masalasini ko'rib chiqamiz.
Misol-2.
1. Tl=1 at = Tl=1 i2 = 12 + 22 + 32+... +n2.
IL IL
^ai=^AAi=Ail!: = An —
n
i2 =
2i3 + 3i2 + i
3
i=1
n
2n3 + 3n2 + n
3 .
1
Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologivalarning dolzarb muammolari va vutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
2. Щ=1 at = Щ=1 i3 = 13 + 23 + 33+... +n3.
П 4 , ;2|n ■ 2
_ i4 + 2 i3 + V i3 =
X 4
=1
n(n + 1) ~2
Bu misollarda to'g'ridan- to'g'ri diskret boshlang'ichni topish orqali yig'indi hisoblandi. Biroq har doim ham diskret boshlang'ichni topib bo'lmaydi. Masalan, Tl7i=1 ipl yig'indini hisoblashda, ipl ketma-ketlikning diskret boshlang'ichini hisoblashga to'g'ri keladi. Buning uchun bo'laklab integrallashning diskret analogini keltiramiz:
у у
/ aiA(bi) = ауЬу - ax-ibx-i - / bl-iA(a{). l=x l=x
Endi yuqoridagi misolga qaytamiz.
Misol-3. Quyidagi yig'indini hisoblang Sn = 'Zi=1 ipl.
, i+1 i+1 i+1
pl=AV—Sn=Yn=iiAP-—,ai = i,bi=p
-i - - --1 1 1 --1 n n n
ZP1^1 pn+1 \ 1 pl pn+1 \ 1 pl
p-1 np-1 Xp-1A(^ np-1 Xp-1
=1 =1 =1 n n
p 1 p 1 p p p - p
= n-7--7/ P =n-----X A-- = n-----
p-1 p-1L-i p-1 p — 1^i p-1 p-1 (p-1)2
=1 =1
npn+2 - (n + 1)pn+1 + p
n
(p -1)2
=/ipi =
n
npn+2 - (n + 1)pn+1 + p
Sy
(p-1)2
=1
REFERENCES
1. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ.- М.: Мир, 1998.- 703с., ил.
2. Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne. The Mathematics of Financial Derivatives: A student Introduction. Cambridge University Press.1995. p. 137. ISBN 978-0-521-49789-3.
3. А.Ж. Сейтов, Ф.Х. Абдумавлонова. Решение геометрических задач с помощью математического пакета MAPLE. Academic research in educational sciences, 2021. T.2 №6 Pp.933-941.
4. S.Kh.Khasanova A.J.Seytov, A.J. Khurramov, S.N.Azimkulov, M.R.Sherbaev, A.A.Kudaybergenovю. Optimal control of pumping station operation modes by
1
Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va vutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
cascades of the Karshi main canal. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology, 2021. Tom 8. №4. Pp. 17177-17185.
5. А. Ж. Сейтов А. Р. Кутлимурадов Р. Н. Тураев Э. М. Махкамов Б. Р. Хонимкулов. Оптимальные управления водных ресурсов крупных магистральных каналов с каскадом насосных станций ирригационных систем. academic research in educational sciences volume 2 | ISSUE 2 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 DOI: 10.24411/2181-1385-2021- 00193. Стр. 265- 273.
6. А.В. Кабулов, А.Ж. Сейтов, А.А. Кудайбергенов. Критерий управления задач оперативного управления водными ресурсами объектов водохозяйственных систем. ILIM ham jAmIYET. Стр. 6-8
7. АЖ Сейтов, БР Ханимкулов, М Гаипов, О Хамидуллаева, НК Мурадов. Численные алгоритмы решения задач оптимального academic research in educational sciences volume 2 | ISSUE 8 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89 DOI: 10.24412/2181-1385-2021-8153-160 Academic Research, Uzbekistan 159 www.ares.uz Управления объектами каршинского магистрального канала. Academic research in educational sciences. T. 2 № 3 pp. 1145- 1145.
8. А.Ж. Сейтов, Б.Р. Ханимкулов, М.А. Гаипов, М.Р. Юсупов. Зарафшон дарёси окимининг хрсил булишига атмосфера ёгинлари ва хдво хдроратининг таъсири. Academic research in educational sciences. T.2 №5. Стр. 156-162.
9. A.A. Kudaybergenov A.J. Seytov, A.R. Kutlimuradov, R.N. Turaev, N.K. Muradov. Mathematical model of optimal control of the supply canal to the first pumping station of the cascade of the Karshi main canal. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology. T. 8 № 3 pp. 16790- 16797.
10. A.J.Seytov, A.J. Khurramov, S.N.Azimkulov, M.R.Sherbaev, A.A.Kudaybergenov. S.Kh.Khasanova. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology. T. 8 №2 ISSN: 2350-0328. Pp. 17177- 17185.
11. Рахимов Ш.Х., Сейтов А.Ж. Теоретико-множественная модель насосной станции, оснащенная осевыми поворотно-лопастными насосными агрегатами. Материалы республиканской научной онлайн конференции молодых ученых «современные проблемы математики и прикладной математики» посвященной 100 летию академика С.Х.Сираждинова (21 мая 2020 г.) Стр. 78-82.
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 532 www.ares.uz
Zamonaviv ta'limda matematika, fizika va raqamli texnologiyalarning dolzarb muammolari va vutuqlari
Toshkent viloyati Chirchiq davlat pedagogika instituti
12. Сейтов А. Ж., Кудайбергенов А. А., Хонимкулов Б. Р. Моделирования двумерного неустановившегося движения воды на открытых руслах на основе проекционного метода. сборник докладов Республиканской научнотехнической конференции «Инновационные идеи в разработке информационно-коммуникационных технологий и программных обеспечений» 15-16 мая 2020 года. САМАРКАНД. Стр. 60-63.
13. Рахимов Ш. Х., Сейтов А. Ж., Кудайбергенов А. А. Критерии управления задач оперативного управления водными ресурсами объектов водохозяйственных систем. Abstracts of IX International Scientific and Practical Conference Kharkiv, Ukraine 2-4 August 2020. Стр. 125-131.
14. Mekhriban Salaeva, Kakhramon Eshkaraev, Aybek Seytov. Solving mathematical problems in unusual ways with excellent limits. European Scientific Conference. Пенза, 17 мая 2020 года рр. 254-257.
15. А.Сейтов. Оптимальные методы управления водных ресурсов в крупных магистральных каналах ирригационных систем. AGRO ILM -O„ZBEKISTON QISHLOQ VA SUV XOJALIGI. Махсус сон. 2020. Ташкент. Стр. 84-86.
16. Ш.Х. Рахимов, А.Ж. Сейтов, А.А. Кудайбергенов. Оптимальное управление распределением воды в магистральных каналах ирригационных систем. ILIM ham JAMIYET. SCIENCE and SOCIETY Scientific-methodical journal Series: Natural-technical sciences. Social and economic sciences. Philological scienes. pp. 8- 10.
17. А.В.Кабулов, А.Ж.Сейтов, А.А.Кудайбергенов, Критерий управления задач оперативного управления водными ресурсами объектов водохозяйственных систем. ILIM ham JAMIYET. science and society Scientific-methodical journal Series: Natural-technical sciences. Social and economic sciences. Philological scienes №2 2020. Pp.6-7.
18. Ш. Х. Рахимов, А. Ж. Сейтов, М. Р. Шербаев, Д. Жумамурадов, Ф. Ж. Дусиеров. Структура базы данных и программные модули для моделирования управления водными ресурсами каскада насосных станций каршинского магистрального канала. Мелиорация 2019 3(89) стр. 85-91. (№5, web of science IF=0.144)
19. А. Ж. Сейтов А. Р. Кутлимурадов Р. Н. Тураев Э. М. Махкамов Б. Р. Хонимкулов. Оптимальные управления водных ресурсов крупных магистральных каналов с каскадом насосных станций ирригационных систем. academic research in educational sciences volume 2 | ISSUE 2 | 2021 ISSN: 2181- 1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: (№5, web of science IF=5.723)
Google Scholar Scientific Library of Uzbekistan
Academic Research, Uzbekistan 533 www.ares.uz
