Авторегрессионная модель многомерных случайных полей с кратными корнями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391.2

О. В. ПОПОВ

АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ С КРАТНЫМИ КОРНЯМИ1

Описана модель многомерных случайных полей на основе авторегрессий с кратными корнями характеристических уравнений. Показан общий вид корреляционной функции предлагаемой модели. Приведены примеры сымитированных на ЭВМ двумерных изображений.

Разработка моделей реальных данных не только дает возможность лучше понять их природу, но и позволяет синтезировать оптимальные алгоритмы обработки наблюдений. Несмотря на большое число публикаций, посвященных проблемам представления и обработки случайных полей (СП), решение задач представления и статистического анализа многомерных СП далеко от своего завершения. Применение хорошо изученных методов теории случайных процессов при переходе к СП зачастую приводит к трудно реализуемым процедурам. Одним из перспективных классов СП ,с точки зрения вычислительных затрат, являются многомерные авторегрессионные (АР) модели [1,2].

Данная работа посвящена исследованию класса моделей N -мерных СП, основанного на авторегрессиях с кратными корнями характеристических уравнений. Рассмотрим линейные стохастические разностные уравнения следующего вида [1, 2, 3]:

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 99-01-00193

Вестник УлГТУ 3/2000

= ^а, (1)

где Xе £3} - сеточное СП; {а7,0, ]ео\ - параметры модели; Н = , / е О} - стандартное порождающее белое СП, заданное на

Л'-мерной прямоугольной сетке П; В - каузальная область локальных состояний.

Анализ вероятностных свойств СП (1) упрощается, если их спектральная плотность может быть факторизована. Поскольку у таких СП корреляционная функция (КФ) также факторизуется, то для решения задачи статистического анализа многомерного СП достаточно исследовать одномерные уравнения.

Предлагается синтезировать многомерную разделимую модель СП, выбирая одномерные фильтры, действующие вдоль осей координат, которые

ч

имели бы кратные корни характеристических уравнений ] =0,

где пк, к ~\, N - порядки одномерных авторегрессий [1]. Рассмотрим модель одномерной АР-последовательности:

и

Х1 = Xа]х1~) = " +1»И + 2,,..,М, (2)

;=1

где } - последовательность независимых стандартных гауссовских величин. В случае кратных корней, это уравнение можно записать в

операторной форме (1 - рг~х)" х1 - , где 1/ р - корень кратности п

характеристического уравнения; - оператор сдвига. Учитывая, что действие оператора сдвига на / -й элемент последовательности определяется

как г~кХ; = хк_1, перепишем (2) в явном виде:

у=1

Сравнение (2) и (3) дает возможность записать выражение для коэффициентов а . = а] (р, п) одномерной модели:

а

ч(р,п) = (-\У*С1р>, У = 1 ...Я. (4)

Для нахождения КФ воспользуемся методом, описанным в [2]:

,о2 к-1

С, {г-р)Я(г 1 -р)"

Поды ите1 рал ышя функция имеет п точке г = р полкх порядка п, потому И1 .сории нычегом следует

Ко

в' , ¿г'

*

О р*Г

I и

(| - р)

(Ь)

1-0

1С g(n,ítk)~

И*"'>,2п-<"2> у7(р,п)-

Полученные соотношения позволяют рассчитать КФ для одномерного ('Г1 С корнями ирои »ВОЛЬНОЙ 1фЦШОСТИ Дня того чтобы получить КФ пол* с

ГЦКПСрСИСЙ С ПСОЬХОДИМО 1ПЯП. Р и м Дня определения КФ

многомерной модели достаточно перемножить КФ одномерных систем:

*Уи и I

Рассмотрим теперь случай N измерений. Многомерное раЗДСлимШ» СО с кратными характеристическими корнями порождаемся следующими АР ураннениями, кликанными и операторной форме:

Ш-ля'Г'ч , г)

где рк и п - параметр и кратность корней модели вдоль к Й оси.

Определим коэффициенты автор«|рессни д:л многомерной модели с краГПыми корнями. Для этого раскроем в (7) скобки:

/I Jы'0

)

Шаблон коэффиниенгон модели у .....)к I ../'. |

определен

на

N-мерном

параллелепипеде

размеров

(и, * ♦ 1)х...х(пу V 1), И« (7) и (И) следует, что коэффициенты и

явлмюкм произведениями соответствующих коэффициентов а одномерных авторегрсьсии вдоль к -й оси:

я

а1 =1 О

1 I

I '

Нее гни к УлГТУ 3/2000

4) KpatMoctb (I. I), 6) i|mmwhiu2. •> «ратное ть(), H

параметры (0 0),001) шрамегрм (005,0'»*) napauripw (0YJ,0.0$)

Г) кратность О, I). л) кря1й»н1»» (1,1), •) кратность (3.3),

iiiipdMuipu (0 0.0 <») марампрм (0 О Ii ti параметры (0 О 00|

Рис I l'CiLtMldUMIl MU,1С.ich s крлшмми кормими

*) кратность (I, П, iLupauripu (0.0,0

в) ьрамкмьО 3>, нарампры (0 •>. О.0)

■»кратки.(2, 3), иарамиры (00, ß <|)

hic 2 Сечения КФ двумерного СП

что полностью определяет неизвестные коэффициенты многомерной АР-модели (1) в случае кратных корней характеристических уравнений;

Таким образом, предлагаемая модель многомерных СП, основанная на

2

авторегрессиях с кратными корнями, при заданной дисперсии поля <7Х, полностью определяется вектором параметров , р2 >. -., ) и вектором кратностей («¡,«2,...,>%) характеристических корней, а формула (9) дает вид ее коэффициентов. Данная модель порождает гауссовские случайные поля с разделимой по координатным осям КФ.

К недостаткам таких моделей следует отнести невозможность описания с их помощью " изотропных СП, например, с КФ

Я(г ) = = дД^2 + г2 +... ^ ). Однако, как показывает анализ, подбором

соответствующих одномерных моделей удается достичь вполне приемлемых аппроксимаций.

На рис. 1 приведены кадры изображений, имитированных с помощью моделей с кратными корнями при различных наборах параметров (первый параметр относится к оси у, второй - к оси х). Анализ показывает, что, варьируя параметры связи и соотношения кратностей. можно получить широкий спектр разнотипных текстур, причем, с ростом кратности корней, изотропность СП увеличивается. Это подтверждается также видом сечений равного уровня КФ, приведенных на ряс. 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прикладная теория случайных процессов и полей / К. К. Васильев, Я. П. Драган, В. А. Казаков и др.; Под ред. К. К. Васильева, В. А. Омельченко-Ульяновск: УлГТУ, 1995. 256 с.

2. Васильев К.К., Крашенинников В.Р. Методы фильтрации многомерных случайных нолей. Саратов: СГУ, 1990. 128 с.

3. Васильев К.К., Попов О.В. Авторегрессионные модели случайных полей с кратными корнями // Труды 4-й конференции «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии». Новосибирск, 1998. Ч. 1. С. 258-260.

Попов Олег Викторович, кандидат технических наук, ассистент кафедры «Телекоммуникации» Ульяновского государственного технического университета. Окончил механико-математический факультет Ульяновского государственного университета. Имеет публикации в области статистического анализа и синтеза многомерных случайных полей.