О связи между каузальным и некаузальным прогнозом при оценивании многомерных случайных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

_05.13.00 ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

05.13.18

УДК 519.246.2, 519.237.4

О СВЯЗИ МЕЖДУ КАУЗАЛЬНЫМ И НЕКАУЗАЛЬНЫМ ПРОГНОЗОМ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

© 2018

Виталий Евгеньевич Дементьев, к.т.н., доцент, докторант кафедры «Телекоммуникации» Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск (Россия)

Аннотация

Введение: в работе сформулирована проблема использования каузальных и некаузальных прогнозов при решении задачи оценивания сигналов. Обоснована необходимость обобщения указанных способов описания на случай многомерных случайных полей и поиска соотношений, связывающих каузальные и некаузальные представления этих полей.

Материалы и методы: рассмотрены основные методы оценивания пространственно однородного многомерного случайного поля. Выполнен вероятностный анализ каузальных и некаузальных оценок этого поля. На основе комбинации многомерной дискретной свертки и дискретного преобразования Фурье получены аналитические выражения, позволяющие получать многомерные вектора каузальных и некаузальных оценок по корреляционной функции случайного поля.

Результаты: предложен способ формирования некаузальных оценок многомерного случайного поля по характеристикам порождающих авторегрессионных моделей. Исследована возможность получения простых таких оценок для случая разделимых случайного поля. Для важных случаев авторегрессионной модели с кратными корнями характеристических уравнений и дважды стохастической авторегрессионной модели получены явные формулы перевода каузальных оценок в некаузальные.

Обсуждение: произведено исследование возможности получения казуальных и неказуальных оценок для многомерного пространственно однородного случайного поля. Получены выражения, позволяющие оценить выигрыш за счет использования некаузальных оценок. Показана возможность использования полученных выражений для дважды стохастической авторегрессионной модели, что потенциально дает возможность оценивания и обработки в том числе и пространственно неоднородных многомерных изображений. Заключение: в настоящей работе рассмотрены возможности построения казуальной и некаузальной оценок многомерного случайного поля. Получены аналитические выражения, связывающие такие оценки между собой. Ключевые слова: авторегрессионные модели, дважды стохастические модели, марковское случайное поле, многомерные случайные поля, некаузальные оценки.

Для цитирования: Дементьев В. Е. О связи между каузальным и некаузальным прогнозом при оценивании многомерных случайных полей // Вестник НГИЭИ. 2018. № 10 (89). С. 5-13.

THE RELATIONSHIP BETWEEN CAUSAL AND NON-CAUSAL ESTIMATES OF MULTIDIMENSIONAL RANDOM FIELDS

© 2018

Vitaly Evgenievich Dementiev, Ph. D. (Engineering), associate professor

Ulyanovsk state technical University, Ulyanovsk (Russia)

Abstract

Introduction: the problem of using causal and non-causal forecasts in solving the problem of signal estimation is formulated. The necessity of generalizing these methods of description to the case of multidimensional random fields and the search for relationships linking the causal and non-causal representations of these fields is substantiated. Materials and methods: the main methods for estimating a spatially homogeneous multidimensional random field are considered. A probabilistic analysis of the causal and non-causal estimates of this field is performed. On the basis of a combination of a multidimensional discrete convolution and a discrete Fourier transform, analytical expressions are obtained that make it possible to obtain multidimensional vectors of causal and non-causal estimates from the correlation function of a random field.

Results: a method is proposed for the formation of non-causal estimates of a multidimensional random field according to the characteristics of generating autoregressive models. The possibility of obtaining simple such estimates for the case of a separable random field is investigated. For the important cases of an autoregressive model with multiple roots of characteristic equations and a doubly stochastic autoregressive model, explicit formulas for translating causal estimates into non-causal models are obtained.

Discussion: a study was made of the possibility of obtaining casual and non-casual estimates for a multidimensional spatially homogeneous random field. Expressions are obtained that allow us to estimate the gain by using non-causal estimates. The possibility of using the obtained expressions for a doubly stochastic autoregressive model is shown, which potentially makes it possible to evaluate and process including spatially inhomogeneous multidimensional images. Conclusion: in this paper, we consider the possibilities of constructing a casual and non-causal estimate of a multidimensional random field. Analytic expressions connecting such estimates are obtained.

Keywords: multidimensional random fields, autoregressive models, doubly stochastic models, Markov random field, non-causal estimates.

For citation: Dementiev V. E. The relationship between causal and non-causal estimates of multidimensional random fields // Bulletin NGIEI. 2018. № 10 (89). P. 5-13.

Введение

В последние годы большое значение приобретают задачи обработки многомерных данных разного вида. Характерным примером этих задач являются приложения, связанные с обработкой изображений разного вида. В таких приложениях часто требуется выполнить оценку отдельного элемента (пикселя) или группы элементов по информации, содержащейся в некоторой окрестности. Наиболее часто для подобной оценки используют инструментарий математического моделирования, основанный на каузальных авторегрессионных конструкциях [1; 2; 6; 7; 13; 14] и некаузальных моделях, связанных с марковскими или гиббсовскими случайными полями [3; 8; 9]. Так в работах [4; 13] рассмотрены вопросы построения каузальных оценок для одномерных гауссовских случайных процессов. Статьи [1; 2; 6; 14] посвящены обобщению этих оценок для случая двумерных изображений. В указанных работах в том числе исследуется связь между каузальными оценками и корреляционной функцией оцениваемого изображения, а также показывается возможность построения быстродействующих рекуррентных алгоритмов обработки на базе расширенного калмановского подхода. В то же время некоторые исследователи [3; 8; 10] ставят под сомнение эффективность указанных алгоритмов особенно в случае обработки нестационарных процессов или неоднородных изображений. С другой стороны, авторы работ [3; 9] рассматривают возможности оценивания одномерных и двумерных случайных процессов на основе некаузальных марковских и гиб-бсовских моделей. Результаты работ свидетельствуют о высокой точности получающихся некаузальных оценок, близкой к потенциально достижимой. Однако анализ некаузальных моделей, особен-

но для негауссовских процессов и полей, существенно затруднен. Также характерными являются сложности, связанные с возможностью применения некаузальных моделей для описания временных последовательностей. Естественными в данной ситуации являются вопросы о взаимосвязи каузальных и некаузальных способов оценивания, а также возможности обобщения этих способов на случай многомерных сигналов. Решение этих вопросов потенциально позволит нивелировать недостатки обоих подходов в контексте описания и обработки многомерных изображений и их последовательностей. В настоящей работе вначале выполняется поиск аналитических выражений для каузальных и некаузальных оценок пространственно однородных гаус-совских многомерных случайных полей. Показывается взаимосвязь этих оценок в том числе на важном частном примере, а именно авторегрессионной модели с кратными корнями характеристических уравнений. В завершении работы показывается состоятельность найденных соотношений для многомерной дважды стохастической модели, позволяющей описывать в том числе пространственно неоднородные сигналы.

Материалы и методы Рассмотрим случайное поле (СП): X = {хТ, ¿6/}, заданное на мерной сетке } = 01У2,--,7«) ,]к = 1.. Мк, к = 1-. N . Тогда, определив на ] отношение порядка с помощью, например, линейной развертки, возможно для каждой точки Г определить множество точек С;, предшествующих Г. В случае прямоугольной сетки ] множество обычно определяется как Сг = {] = 01, ]2. - -, jN): (Л < ¿1, к < к,--, 7« < ^) и (]1 = ¿1,]2 < 12,--,7« < iN) и--и (]1 = ¿1,]2 = ¿2,--,jN-1 = ¿м^,7« < )}. На рисунке 1 представлен

двумерный вариант множества предшествующих точек Gi.

Рис. 1. Каузальное представление двумерного СП Fig. 1. Causal representation of a two-dimensional SP

Будем для определенности считать любой вектор, составленный из элементов СП Х, нормальным. Тогда, по аналогии с одномерным случаем, рассмотренным в работах [2; 3], можно воспользоваться байесовским критерием и квадратичной функцией потерь С(хп,хп) = (хп — хп)2 и записать следующее выражения для каузальной оценки хп :

Xj = M {xj | Xj, JtGj). (1)

Вспомним [3; 5], что для любых нормальных векторов V = [v1, v2,..., vn} , w = {w-^, w2,..., wm} справедливо следующее равенство M{ х] у} = Ay + Ь, где А - матрица размером пхт, b - вектор длиной п. Тогда выражение (1) можно переписать в виде:

% = £jBGi hïj—jXj-, (2)

где hi— является каузальным предсказывающим фильтром, обеспечивающим дисперсию каузальных предсказаний o"qi = M{£qi2}. Заметим, что ошибка каузального предсказания sCi = хТ — хТ в этом случае определяется формулой:

£ст = хт £jeGT hT,î—j'

(3)

и тоже является нормальной случайной величинои -линейной комбинацией предшествующих значений процесса.

В тензорном виде выражение (2) перепишется

как

X = НХ,

где X-N - мерный тензор, составленный из элементов оцениваемого случайного поля; X —N - мерный тензор оптимальных казуальных прогнозов; Н -- мерный тензор, составленный из весов предсказания. Тогда случайное поле [sCi, i 6 /}, составленное из ошибок предсказаний (3), будет определяться следующим тензорным соотношением:

гс = Х — НХ = (Е — H) X,

(4)

где Е - единичный тензор.

Рассмотрим подробно М{ест^С]} - ковариа-цию между ошибками каузального прогнозирования. При Т <> J

М{есхЕст) =_М{(хт - хг)(хг - Щ = = м{(хх - М[хх\х-к,к е ст})(хг - М{хг\хт, I е с/})} =

= М{М{(х> - М{Х1 \ х-к, к е Сг}) (Х] --М[Х] \ХХ, 1есг})}\х-к, кест}.

Воспользуемся теперь следствием фильтрующего свойства математического ожидания [5], которое для любых случайных векторов V и ш может быть выражено равенством:

М {М { V \ Щ } = М { V}.

Тогда

МУпЕс]) =

= М{(Х] - М{Х] \хт, 1е Сг})М{(х1 - М{х1 , к е Сг})\х]!, к е сг}} = = М{(Х] - М{Х]\хт, 1е С1})(М{(х1 \Х1, к ев;} - М{х1 \Х1, к е сг})} = = М{(Х] - М{Х] \хг, I е сг}) х 0} = 0

Некоррелированность ошибок предсказания случайных величин г^г, Т = 1,.., N позволяет определить диагональный ковариационный тензор У£С = М{£С1;£С]-Т}, элементы которого определяются

выражением:

У£С(Т, ]) = 81_]о21, (5)

где 5Т - дискретная дельта-функция [5], равная 1 при I = (0,.. ,0) и 0 в любом другом случае.

Отметим, что поскольку {гс} - случайное поле, составленное из независимых нормальных случайных величин, то его совместная плотность распределения ) может быть представлена с помощью следующей формулы:

1 _1 ( 1 , _) Ш ^ = (2тт)^/2 \ 2еХР {2есУ£С £с') Из выражения (4) следует, что X = (Е- Н)-1 гс = Аес, где А = (Е - Н)-1. То есть случайное поле X оказывается связанным с полем линейным биективным преобразованием. Тогда плотность распределения самого случайного поля X может быть записана как ш (X) = йег \ ш (АХ) =

1 йе1 \А\йег\УЕС \ехр {-1 (АХ)У£С-1 .

N

(2л) 2

Тогда ковариационный тензор Ях = М {XX1} определяется выражением

Ях = (ЛУ£С-1 Ат )-1. Рассмотрим важный случай, когда пространственный размер случайного поля X является достаточно большим, само поле X оказывается пространственно однородным, а каузальный прогноз осуществляется не по всем предшествующим элементам, а только по некоторой ближайшей окрестности. Тогда в качестве такой окрестности для каждой точки Г можно определить каузальное окно . Пусть для определенности каузальное окно имеет прямоугольную форму. То есть

Ог = {] = (]\,]2,..,): (М1 < ]1 < к, М2 < ]2 < 12,.., Мм < < ) и (]\ = к, М2 < ]2 < 12,.., Ми < }ц < ^) и..и 0'1 = ]2 = 1 = < < ^)}.

J

На рисунке 2 представлено изображение такого окна для двумерного варианта представления при М1 = М2 = 2.

Рис. 2. Каузальное окно для двумерного СП Fig. 2. Causal window of a two-dimensional SP

Подобная конструкция приводит к многомерной авторегрессионной модели и следующему каузальному прогнозу:

ХТ ^ ' хт • hi,

ho h-1 h-2 ; h1 -m h-m\

h1 ho h-1 ; h2-m h1 -m

h2 h1 ho ; h "•3 -m h "■2-m

m—1 hm-2 hm-3 ; ho h-1 1

h "■m hm-1 hm-2 h1 ho

где X; - вектор, составленный из элементов случайного поля X, входящих в множество К - вектор, составленный из весов оценивания для Г-й точки, * - операция многомерной дискретной свертки. В силу пространственной однородности X вектор К будет одинаков для любых элементов X, для которых одинаковы области Обратим внимание, что совокупность скалярных весов {К^} образует тёп-литцевский тензор, двумерный срез которого имеет

вид тёплитцевской матрицы: /

H =

\

Тогда ошибка предсказания гсг- может быть записана как

гсг = х1-хгК1 = хг (8Т — ЛГ), (6)

где - вектор, пространственно совпадающий с Кт, элементы которого равны нулю всюду за исключением последнего элемента, который равен 1.

Выражение (6) можно интерпретировать как преобразование входного сигнала X; дискретной линейной системой с импульсной переходной характеристикой — К. Тогда справедливым является следующее выражение [14]:

Се(ш) = Ш(]ш)Ш(—]ш)Сх (ш), где СЕ(ш) и Сх (ш) - энергетические спектры полей и X соответственно; №(]ш) - передаточная функция, полученная с помощью многомерного дискретного преобразования Фурье импульсной переходной характеристики — К. Выполняя обратное дискретное преобразование Фурье, получим связь между ковариационными функциями случайных полей г с и X, которую с учетом (5) можно записать в виде:

Ях (0 • (5Т — Кт) • (5Т — К—г) = Яс£ (Г) = 8то1 (7) где К— - развернутый в обратном порядке вектор К. Обозначим через У(КГ) = (Зт — Кт) • (Зт — К_т) . Тогда, выполняя дискретное преобразование Фурье выражения (7), получаем:

Сх(ет) Су ^ = ,

тогда

2

' (8)

Y (h^ = Ф-1 fefe ) ,

где Ф 1 ( ,с ) - обратное дискретное преобразова-

ьх(

ние Фурье.

Существенным недостатком каузальной оценки многомерных случайных полей является то, что она принципиально не учитывает элементы поля, следующие за оцениваемым. Для преодоления этого недостатка исследуем возможности некаузального оценивания случайного поля. Для этого определим вначале понятие многомерной окрестности д¡, как множества соседних по отношению к Г элементов, определяющих поведение поля в точке Г. Пусть для определённости д^ является прямоугольной и определяется следующим выражением: = {] =

(Л, 72, ■ ■, 7«): (¿1 + Щ < ]1 < ¿1 + М1,.., ^ + Мм< /Ж</Ж+МЖ)П(/1=/1,,/Лг=/Лг)}. На рисунке 3 представлена двумерная иллюстрация такой окрестности при М1 = М2 = 2.

Рис. 3. Некаузальное представление двумерного СП Fig. 3. Non-causal representation of a two-dimensional SP

Тогда многомерное гауссовское случайное поле X будем считать марковским, если для любого ТМ { хт | Xj\ je J } = M { xT | Xj\ jE дт}. В этом случае некаузальная оценка может быть записана в виде:

Xî X/E3i 9ï—fXf ■ ошибка оценивания соответственно:

£NT = Xj T,jEdi ЗТ-fXf или в тензорном виде

£n = a - g)x■

Многомерная плотность распределения многомерного нормального случайного поля X может быть записана в виде: 1

(9) (10) (11)

ш (х) =

(л/2^ )2

det IК

11 ехр(-1 xTVx-1 х ) ■ (12)

Воспользуемся исследованием логарифма правдоподобия, представленным в работе [3] и найдем производную от логарифма (10):

а

Ъ Хо*( ш (х)) =

= щМШ(хх\хт,(] е»т* Г))Ш(хг,(] е»т* Г))} =

= ^ ш (х,\хр 0'е])П0'*Т)) + -^;1одш (хг, О'еПП С*т) ) =

' а

а

(1хт

а

йхт

= ^т1°ёы(хт\хр(1 е* Ь) =^:1оёыЫхР?Едт) =

а

= ^ ю§{

1 1

<Яхт ^ 2л&1

21 2^

ъ-!,*-*)2

хт / Вт-] хр

¡еВ1

1

= 2 (х1 ^¡Ед191-]х]}.

В то же время

а

ш да ) = % к,-1

' ]е]

г,ТХI.

Тогда, полагая д- = 0при/ € 01, можно записать следующее равенство

]е] " ]е]

Поскольку последнее равенство должно выполняться при любых размерах ], рассмотрим его

при У, состоящем из одного элемента. Тогда

1

%

Тогда коэффициенты некаузальной фильтрации можно получить с помощью выражения:

Зт-Т = 8т-а при Т = / получим, что

дх-г = 8т-т - % 1

21

Рассмотрим теперь выражение вида:

М{£тхт} = М ^ + ! Зт-г^| =

= м{£2ж} + ^¡ед1 дт-тЩ^т}.

В работе [3] показана некоррелированность ошибок некаузального оценивания £щ и оцениваемого элемента ху. Это означает, что для стационарного случайного поля можно записать следующее равенство:

М{£тХ]} = 8Х-Го$.

Перепишем последнее выражение, используя свойство стационарности:

= М&тЪ+к) = -М|%г|%г+г + ! =

= М^ещ+т^ + ! дт+ъ-гМ^шХу} =

!ед1+к

= Яме(к) + ! дт+к-гЗ-'ам = Ке(к) +

Теат+к

Тогда можно записать, что

КшЮ = (Ят-дд

(13)

Отметим, что прямой анализ формул (10) и (11) позволяет, как и в случае формулы (7), записать связь между ковариационной функцией оцениваемого процесса и ковариационной функцией ошибок некаузального оценивания

RNs (X) = *Х 00 • (8т - дт) • (бт - д-г). (14) Сравнивая (13) и (14), получим:

Ом№ - 9т) = Кх(~0 • ($т - 9т) • ($т - 9-т). (15) Выполним дискретное преобразование Фурье к левой и правой части равенства (13). Тогда

о^ (1 - Сд(ш)) = вх(ш) (1 - Сд(ш))

и

Сх(тл) = ■

Ян

^ -Са(™) ) '

Выполняя обратное преобразование Фурье, получаем

Кх 0-) • - 9т) = 8Х. (16)

Выполним теперь сравнение выражений (7) и (16), считая оцениваемый процесс одинаковым в обоих случаях. Тогда

5г =

и

Ях ©• (8Х - Кх) • (8Х - Й-Х) Ях (Г) ■ (8Х - дх)

^ (8т - Ь) • (Ь - П-Х) = а? (5Х - дх) (17)

или

Ф-

1 (—) = \СГ (ш) )

8г- дт

Тогда для некаузальной оценки дт получаем:

= Ф-1 (с^)) .

Обратим внимание, что равенство (15) должны выполняться для любых размеров ]. В частности, если множество ] является пустым, то

2

-"С

1+ Т. тевЩ'

'..Гео

Тогда коэффициенты некаузального прогноза определяются следующим равенством:

Зт = 8Т-

1+ТТеО

Ф-

\схт)

(18)

Результаты

Рассмотрим теперь несколько важных частных случаев. Вначале исследуем группу АР моделей с кратными корнями характеристических уравнений, позволяющую имитировать СП близкие к изотропным [13; 19]. Такой группой являются АР модели с кратными корнями характеристических уравнений. Для многомерной сетки } в операторной форме такие модели будут иметь следующий вид:

пN=1 (1 -РьЧ1)п\= Р^г , 1 е },

где Рк, в - коэффициенты модели; пк - коэффициенты, определяющие кратность модели по к-му из-

2

2

а

а

с

N

2

а

N

х

2

N

'2

и

С

мерению; z_1 - оператор сдвига z-1(xil,i2.....¡к.....=

, _1, . КФ для рассматриваемой модели является разделимой, т. е., В ... Лк) = о2Пк=1Вк0к), где ВкОк) - КФ соответствующих одномерных

АР; Bk (ik) = Sn=ko—ig(nk,1,ik^TTPk

2(nk —1—l) pk

(1—PÉ)

2-,2k —1—1 '

g (nk,1,ik) =

(nk+ik —1) ! (2nk —1—2)

, , , ,, -—-. Например, для важного слу-

1! (Пк —1) !( Пк —1—1) ! (%+1к —1—1) ! ^ •Г

чая двумерной АРКК модели с кратными корнями кратностью 2 получим:

В 01Л) = 02(1+^1 il I )(1 + ^1 i2 I )p1illp2i2l.

Соответственно энергетический спектр в (ш ) для таких моделей тоже является разделимым и может быть записан в следующей форме: в ( Ш1, Ш2,.., ШМ) = _ А

= (ш2 + (1ПР1)2)П1(«2 + (1ПР2)2)П2 . К + (1прк)2)Пк , где А - коэффициент, не зависящий от ш . В частности, для случая одномерного случайного процесса при П1 = 1 получаем известную формулу:

G ( wi) =

21npi а! W + (1npi)2,

а для случая плоского двумерного случайного поля при П1 = П2 = 2 имеем

G ( Wi, Ш2) =■

(4а2)2(—1npi)3

(ш?+(1Пр1)2)2(ш2 + (1ПР2)2)2, Тогда выражение для некаузальных прогнозов может быть записано как

gi = 6г — Т*

Ljed "f

> Ф—1((W + (1npi)2) ni) .. Ф—1 ((wN + (1npN)2)nN) .

Важно, что в последней формуле все обратные дискретные преобразования Фурье являются одномерными.

Рассчитаем и запишем некаузальные прогнозы для нескольких важных частных случаев. Для удобства записи будем, как и в работе [3], использовать обозначения, основанные на б функции. В таблице 1 приведены выражения, соответствующие каузальным и некаузальным вариантам оценивания.

Таблица 1. Каузальные Table l. Causal and non-

и некаузальные оценки важных частных случаев causal assessments of important special cases

№ Название / Name

Предсказывающий каузальный фильтр / Predicting causal filter

Соответствующий некаузальный прогноз/ Suitable non-causal forecast

Одномерный АР процесс с кратностью 1 / One-dimensional AR process with multiplicity 1 Одномерный АР процесс с кратностью 2 / One-dimensional AR process with multiplicity 2 Двумерный АР процесс с кратностью 1 / Two-dimensional AR process with multiplicity 1 Двумерный АР процесс с кратностью 2 / Two-dimensional AR process with multiplicity 2

hn = P6n—1

hn = 2p6n—i — p26n —2

hn,n = Pl6n,n—1 + p2 6n—1,n p1p26n—1,n—1

hn ,n = 2pi6n,n—1 +2р2б n—1,n —4р1р2б n — 1,n — 1 — Pi 6n—2,n — P2 6n,n—2

+ PlP26n—2,n—1

+ P1P2 6n—1,n—2 PlP2 6n—2,n—2

=

i + p:

■(6n—1 + 6n+1)

=

4p

i + 4p2 + p4

-(6n—i + 6n+1) +

2p2

i + 4p2 + p4

■(6n—i + 6n+1)

+

Pi

■( 6n,n—1 + 6n,n+1)

i + Pl2+ P22+ PlW

2,-2., - 2„ 2 ( 6n—1,n + 6n—1,n)

i + Pl2 + P22 + P12P22

;( 6n—1,n—1 + 6n —1,n+1 + 6n+1,n—1

i + Pl2+ P22 + PlW

+ 6n+1,n+1)

gn,n = ^ ( 6n,n—1 + 6n,n+1) + ^ ( 6n,n—1 + 6n,n+1) + ^ ( 6n —1,n +

6n+i,n+p22A6n,n—1+6n,n+i—8pip2A6n—1,n—1+6n—1,n+1+6n

+1,n—1+бn+i,n+i+2pi-p-Aбn—2,n—1+бn+-,n+i+pip--Aбn— 1,n—2+6n+i,n+2,

где A = i + -pl2+-p22+8plp2+ + а+т^

а

с

P

1

2

З

lO

Обсуждение

Отметим, что анализ выражений (16) и (18) в части особенностей многомерной дискретной свертки позволяет сделать вывод о невозможности построения в общем виде обратных соотношений, определяющих каузальные оценки по их некаузальным аналогам. Такие соотношения могут быть получены только для одномерного случая. Это может также свидетельствовать о том, что неказуальные модели являются более общим способом описания многомерных сигналов, чем казуальные. Также обратим внимание, что описанные закономерности могут быть обобщены на случай более сложных математических моделей многомерных случайных полей. Таковыми, например, являются авторегрессионные дважды стохастические модели [16; 17; 18; 19], которые также могут быть заданы на сетке | и определяться следующими выражениями:

% = «г + !/еог Рг,/%—/ + г, 1е А, (19) где X = {хг, Г е А} - моделируемое СП, определенное на А, {р^-, «¡, ^: Г е А, ] е } - коэффициенты модели; 2 = Г е А} - порождающее белое СП; - каузальная область локальных состояний [13] для точки Г; коэффициенты р^- и «¡-, ^ являются случайными величинами, определяемыми следующими соотношениями

Рц = Е геяру гГ,/Рг—Г,/ + Уг,/Сг,/;

% = ЕГеОаГгаГ,/а1—/ + ;

& = Егео^ г ^Г,/&—/ + Г/? г, </? Р £ 7 е А (20)

где rг,/, ^г^ 7/?г,: I е А, ^ е ОД - посто-

янные коэффициенты; ^/Зг - области ло-

кальных состояний случайных полей {р^-}, {а} и } ; I = Ку, г,/е А} , = {<аГ, ге А} , ^ = {^¡, Г е А} - вспомогательные белые СП. Случайный характер коэффициентов модели (1) позволяет использовать эту модель в том числе для описания неоднородных в пространстве и нестационарных по времени многомерных сигналов, то есть сигналов, вероятностные и корреляционные характеристики которых отличаются в разные моменты времени и для разных пространственных координат. В то же время формула (19) определяет многомерный мартингал [4; 5] с ограниченными приращениями для которого

м<! хг

■2

/евг

Рг/*Г—/

хй, ^ = 0, Хо = 0.

Тогда по центральной предельной теореме для мартингалов х^ будет близок к нормальному при достаточно больших Г. В случае, если скорость изменения параметров (20) будет достаточно малой

по сравнению с областью некаузального прогноза, то в пределах этой области имитируемое случайное поле можно считать пространственно однородным. Тогда (19) удобно переписать в следующем матричном виде

Хг = А г + Е/евг Ру*г—т + ВгСг, Г,/ е А, (21) где % = (%, рГд,.., рГд)т - вектор, составленный из нормальных случайных величин, А;, Р^, - матричные коэффициенты, а соответствующий каузальный прогноз перепишется в виде:

К^ — +

Г.

/ев г

В качестве примера рассмотрим простейшую одномерную дважды стохастическую модель:

Х( = рг—1 Х(—1 + &, А = гр;—1 + ^ ,1 = 1.. М1, (22) где ^, ^ - отсчеты белого шума. В векторном виде выражение (20) может быть записано как:

© = ('

'«Рг—1 0

(1

" 1■) С:—1)+С;;),

где а - произвольная константа. Тогда соответствующий казуальный прогноз выражается формулой:

( М = («Рг—1 (1 — «) 1) С5«—Л = Р С5"—Л

( Кр) = ( 0 г )и„—1) = 1 и„—1),

(22)

0 г

а его некаузальный аналог запишется как:

©=р,—1(1+Р,—12)-1 (¿1+£;).

Простой анализ выражения (23) показывает, что при а = 1 оно соответствует двум последовательным процедурам. Первая предполагает расчет некаузальной оценки вспомогательного случайного процесса {р;}, вторая использует найденные на первом этапе оценки для вычисления некаузальной оценки основного процесса {р;}. Нетрудно показать, что приведенная выше логика определять некаузальные прогнозы для произвольных вариантов авторегрессионных дважды стохастических моделей, в том числе для случаев, указанных в таблице 1.

Заключение Таким образом, в настоящей работе рассмотрены возможности построения казуальной и некаузальной оценок многомерного случайного поля. Получены аналитические выражения, связывающие такие оценки между собой. Показана состоятельность предлагаемого подхода для авторегрессионных моделей с кратными корнями характеристических уравнений и дважды стохастических авторегрессионных выражений. Представленные результаты могут быть использованы при решении задач теории оценивания, обработки многомерных сигналов и изображений.

Работы выполнены при поддержке грантов РФФИ № 16-41-732027 и № 18-47-730009.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Woods J. W. Two-dimensional Kalman filtering // Topics in Applied Physics. Berlin. 1981. V. 42. P. 155-208.

2. Woods J. W., Dravida S., Mediavilla R. Image Estimation Using Doubly Stochastic Gaussian Random Field Models // Pattern Analysis and Machine Intelligence. Issue № 2. V. 9. February, 1987. P. 245-253.

3. Charles A. Bouman Model Based Imaging Processing. PurdueUniversity. 2013. 414 p.

4. RouaudMathieu. Probability, Statistics and Estimation. 2013. 10 p.

5. ЛоэвМ. Теория вероятности. М., ИЛ, 1962. 720 с.

6. Хабиби А. Двумерная байесовская оценка изображений // ТИИЭР, 1972. Т. 60. № 7. С. 153-159.

7. Dikshit S. S. A Recursive Kalman Window Approach to Image Restoration // IEEE Trans., 1984, V. 32, Jan., P.125-139.

8. Franke B., Plante J.-F., Roscher R., Lee E.-S. A., Smyth C., Hatefi A., Chen F., Gil E., Schwing A., Selvitel-la A., Hoffman M., Grosse R., Hendricks D., ReidN. Statistical Inference, Learning and Models in Big Data // International Statistical Review. 2016. V. 84, № 3, P. 371-389.

9. Сойфер В. А., Сергеев В. В. и др. Методы компьютерной обработки изображений. М. : Физматлит. 2003. 784 с.

10. Клячин А. А. Математическая модель восстановления поврежденного растрового изображения // Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. № 1 (32). C. 48-56.

11. Сергеев В. В., Юзькив В. В. Параметрическая модель автокорреляционной функции космических гиперспектральных изображений // Компьютерная оптика. 2016. Т. 40. № 3. С. 416-421.

12. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов и произведений / Под. ред. А. Джеффри, Д. Цвиллингера. 7 изд СПб. : БХВ-Петербург, 2011. 1232 с.

13. Bagutdinov R. A., Zaharova A. A. The task adaptation method for determining the optical flow problem of interactive objects recognition in real time // Journal of Physics: Conference Series (см. в книгах). 2017. Т. 803. № 1. С. 012014.

14. Васильев К. К. Оптимальная обработка сигналов в дискретном времени. М. : Радиотехника, 2016. 288 с.

15. Dementev V. E., Vasiljev K. K., Andriyanov N. A. Doubly stochastic models of images // Pattern Recognition and Image Analysis, January 2015, № 25 (1), P. 105-110.

16. Dementev V. E., Vasiljev K. K., Andriyanov N. A. Application of mixed models for solving the problems on restoring and estimating image parametrs // Pattern Recognition and Image Analysis (Advances in Mathematical Theory and Applications). 2016. V. 26. № 1. P. 240.

17. Vasiliev K. K., Dementiev V. E., Andriyanov N. A. Filtration and restoration of satellite images using doubly stochastic random fields // CEUR Workshop Proceedings. 2017. Volume 1814, P. 10-20.

18. Васильев К. К. Дементьев В. Е. Представление и обработка спутниковых многозональных изображений. Ульяновск, 2017. 247 с.

Дата поступления статьи в редакцию 30.07.2018, принята к публикации 24.08.2018.

Информация об авторе: Дементьев Виталий Евгеньевич, к.т.н., доцент, докторант кафедры «Телекоммуникации» Адрес: Ульяновский государственный технический университет, 432027, Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32 E-mail: [email protected] Spin-код: 2149-0984

Автор прочитал и одобрил окончательный вариант рукописи.

REFERENCES

1. Woods J. W. Two-dimensional Kalman filtering, Topics in Applied Physics, Berlin, 1981, Vol. 42, pp.155-208.

2. Woods J. W., Dravida S., Mediavilla R. Image Estimation Using Doubly Stochastic Gaussian Random Field Models, Pattern Analysis and Machine Intelligence, issue No. 2, Vol. 9, February, 1987, pp. 245-253.

3. Charles A. Bouman Model Based Imaging Processing. Purdue University, 2013, 414 p.

4. Rouaud Mathieu. Probability, Statistics and Estimation. 2013. 10 p.

5. Loehv M. Teoriya veroyatnosti [Theory of probability], Moscow. IL, 1962, 720 p.

6. Habibi A. Dvumernaya bajesovskaya ocenka izobrazhenij [A two-dimensional Bayesian estimation of images], TIIEHR [TIIEHR], 1972. Vol. 60, No. 7, pp. 153-159.

7. Dikshit S. S. A Recursive Kalman Window Approach to Image Restoration, IEEE Trans., 1984, Vol. 32, Jan., pp. 125-139.

8. Franke B., Plante J.-F., Roscher R., Lee E.-S. A., Smyth C., Hatefi A., Chen F., Gil E., Schwing A., Selvitel-la A., Hoffman M., Grosse R., Hendricks D., Reid N. Statistical Inference, Learning and Models in Big Data, International Statistical Review, 2016, Vol. 84, No. 3, pp. 371-389.

9. Sojfer V. A., Sergeevi V. V. dr. Metody komp'yuternoj obrabotki izobrazhenij [Methods of computer image processing], Moscow: Publ. Fizmatlit. 2003. 784 p.

10. Klyachin A. A. Matematicheskaya model' vosstanovleniya povrezhdennogo rastrovogo izobrazheniya [Mathematical model of damaged raster image restoration], Vestnik Volgogr. gos. un-ta [Bulletin of Volgograd state University], Ser. 1, Mat. Fiz. 2016. No. 1 (32), pp. 48-56.

11. Sergeev V. V., Yuz'kiv V. V. Parametricheskaya model' avtokorrelyacionnoj funkcii kosmicheskih gipers-pektral'nyh izobrazhenij [Parametric model of autocorrelation function of space hyperspectral images], Komp'yuter-nayaoptika [Computer optics], 2016. Vol. 40, No. 3. pp. 416-421.

12. Gradshtejn I. S., Ryzhik I. M. Tablicy integralov, ryadov i proizvedenij [Tables of integrals, series and products], In A. Dzheffri, D. Cvillingera (eds.). 7 izd. Saint-Petersburg: BHV-Peterburg, 2011. 1232 p.

13. Bagutdinov R. A., Zaharova A. A. The task adaptation method for determining the optical flow problem of interactive objects recognition in real time, Journal of Physics: Conference Series. 2017. Vol. 803. No. 1. pp. 012014.

14. Vasil'ev K. K. Optimal'naya obrabotka signalov v diskretnom vremeni [Optimal signal processing in discrete time], Moscow: Radiotekhnika, 2016. 288 p.

15. Dementev V. E., Vasiljev K. K., Andriyanov N. A. Doubly stochastic models of images, Pattern Recognition and Image Analysis, January 2015, No. 25 (1), pp. 105-110.

16. Dementev V. E., Vasiljev K. K., Andriyanov N. A. Application of mixed models for solving the problems on restoring and estimating image parameters, Pattern Recognition and Image Analysis (Advances in Mathematical Theory and Applications). 2016. Vol. 26. No. 1. pp. 240.

17. Vasiliev K. K., Dementiev V. E., Andriyanov N. A. Filtration and restoration of satellite images using doubly stochastic random fields, CEUR Workshop Proceedings, 2017, Vol. 1814, pp. 10-20.

18. Vasil'ev K. K. Dement'ev V. E. Predstavlenie I obrabotka sputnikovyh mnogozonal'nyh izobrazhenij [Presentation and processing of satellite multispectral images], Ul'yanovsk, 2017, 247 p.

Submitted 30.07.2018, revised 24.08.2018.

About the authors: Vitaly E. Dementiev, Ph. D. (Engineering), associate professor

Address: Ulyanovsk State Technical University 432027 Russia, Ulyanovsk, Severny Venetz Str. 32 E-mail: [email protected] Spin-код: 2149-0984

Author have read and approved the final manuscript. 05.13.00

УДК 004.93:612.12

РАЗРАБОТКА МОДУЛЯ МЕДИЦИНСКОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ ЛЕГОЧНЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ

© 2018

Людмила Анатольевна Коробова, кандидат технических наук, доцент кафедры «Высшая математика и информационные технологии» Воронежский государственный университет инженерных технологий, Воронеж (Россия) Ирина Александровна Матыцина, ассистент кафедры «Высшая математика и информационные технологии» Воронежский государственный университет инженерных технологий, Воронеж (Россия)