Авторегрессионные модели замираний в многолучевом канале связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

М. Н. СЛУЖИВЫЙ, Я. В. КУК А МО В А

АВТОРЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ЗАМИРАНИЙ В МНОГОЛУЧЕВОМ КАНАЛЕ СВЯЗИ

Рассматриваются математические модели замираний в канале связи с подвижным объектом а условиях мегаполиса. Приводится методика имитационного моделирования случайных процессов посредством авторегрессиониых моделей высокого порядка.

Ключевые слова: многолучевой канал, замирание, OFDM.

Поддержано грантом РФФИ 08-07-99013

В современных беспроводных системах радиодоступа мобильный радиоканал подвергается действию сильных замираний за счёт многолучевого распространения, и это приводит к повышению вероятности ошибки при приёме [1-3]. В системах связи стандартов IEEE 802.11b и IEEE 802.16, использующих OFDM-модуляцию, элементы сигнала имеют большую длительность и, соответственно, сигналы имеют малую скорость потока, в связи с чем канал может рассматриваться как гладкий по частоте. Это имеет место, когда полоса когерентности канала больше скорости передачи символов. Но реальный канал селективен по частоте, и системы с OFDM проявляют эффект разнесения в канале, селективном по частоте. Это является основным преимуществом при использовании систем с OFDM в условиях многолучевых замираний. Кроме этого, за счёт перемещения абонента возникает доплеровское смещение несущих колебаний, нарушающее ортогональность несущих и, следовательно. снижающее эффективность системы связи. Максимальная доплеровская частота определяется как fc! max = fc v/c, где fv - несущая

частота (Гц), v- максимальная скорость передвижения приёмника и с - скорость света. Обычно предполагается изотропное рассеяние, т. е. мощность принятого сигнала равномерно распределяется между всеми углами прихода лучей, что имеет результатом U-образный доп-леровский спектр, который обычно называют спектром Джейкса [2].

В работах [2, 4] рассмотрены соответствующие математические модели замираний в многолучевом канале связи, в виде КФ, полученные

на основе экспериментальных данных. Во временной области - это так называемая модель Джейкса [2] в виде функции Бесселя первого

рода нулевого порядка JQ (...)

Bi{T) = ct2J0(27TFI)T), (I)

где Ff) - частота доплеровского сдвига (Гц).

В частотной области в качестве исходной была выбрана модель многолучевого канала связи, рекомендованная Международным союзом электросвязи ITU (International Telecommunication Union) [таблица 1, 4]. При этом КФ характеризует временное рассеяние в канале связи и имеет вид суммы экспонент, которые соответствуют лучам в канале

В/ (А/*) = 2 ат еХР ("У ~Я А/ Тт ) ' (2)

тМ

где L - количество лучей в канале; Af - ширина полосы частот передаваемого сигнала; Тп] -

запаздывание во времени m -го луча, ч Таким образом, дискретная КФ огибающей сигнала на выходе подобного канала может быть

представлена в виде

R(AnM) = л(2*/„Л"т) Хо-у , (3)

т-\

© М. Н. Служивый, Я. В. Куканова, 2008

где fj - частота доплеровского сдвига; 7\ -длительность символа OFDM; тт - задержка т -го луча; fs - ширина полосы одной частоты (поднесущей); J0 (х) - функция Бесселя 1-го

рода нулевого порядка; А/?, М - соответствующие интервалы дискретизации.

В силу того, что модель случайного поля с подобной КФ затруднительно использовать при реализации оптимальных алгоритмов обработки сигналов, предлагается использовать временные

44

Вестник У л Г ГУ 3/2008

ряды, позволяющие моделировать случайные процессы с заданными корреляционными свойствами. В связи с этим появляется возможность аппроксимировать выражения (I) и (2) посредством уравнений авторегрессии, а выражение (3) --двумерной авторегрессионной моделью с разделимой КФ, которая позволяет синтезировать квазиоптимальный алгоритм фильтрации принимаемых сигналов [5].

Методика пм ига цин замнраннй посредством авторегрессионных уравнений а?-го порядка включает в себя следующие шаги:

1) задаются коэффициенты корреляции рг ..рп, равные значениям реальной КФ,

например, (I) или (2) в соответствующих начальных точках и являющиеся начальными для уравнения авторегрессии;

2) решается система уравнений Юла-Уокера, из которой находятся соответствующие коэффициенты (р^ . . .,(рп уравнения авторегрессии

/7 -го порядка [5]

Р\ = <Р} + <Р2р\+'--+(РпРп-\ Р2=<Р\Р\+ <Р2+->-+(Р»Рп-2

3) осуществляется проверка стационарное I и соответствующего временного ряда с КФ

Рк = <Р\Рк-\ +(Р2Р^2 + • • - + М-»* к > ()

и общим решением

Рк - + + -..+ АПС*,

где С, 1 , С2', . . . , С~1 — корни характеристического уравнения

<р(В) = \ -<рхВ-<р2В2 . .-<рпВ" = 0 .

Стационарность требует, чтобы О < 1 . Если

это условие не выполняется, то необходима либо коррекция соответствующих начальных значений .. .,рп, либо введение ограничений на

количество отсчётов имитируемого процесса для обеспечения его устойчивости, что является недостатком данной методики при имитации случайных процессов с КФ сложной формы посредством авторегрессионных моделей высокого порядка. Однако при этом появляется возможность с высокой точностью аппроксимировать КФ сложной формы.

-I

-I

Рп = ^Ри-1 + ФгРп-2 + Л(Рп

Я, (к)

к

Рис. 1

Я,{к)

Рис. 2

Вестник УлГТУ 3/2008

45

Мри имитации длительных временных отрез-кон с замираниями { Т.» 1 мс) необходимо учитывать дополнительные «лепестки» КФ. заданной функцией Бесселя «/0(Л') (Рис- ')• При этом

для получения адекватной модели необходимо выбрать интервал дискретизации случайного п ро це сс а. и м ит и ру ю ще го з а м и ран и е, n р и б л и -

женно равным А/-----(при /г/> = 100 Гц*

2 TCFU

А/= 1.59 10"' с). На рис. I показаны соответствующие кривые: 1 - функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка J0 (к); 2 - нормированная

КФ процесса авторегрессии 14-го порядка, сформированная по вышеупомянутой методике.

При моделировании кратковременных интервалов с замираниями (Та « 1 мс) достаточно

хорошей аппроксимацией служит процесс авто-регрессии с КФ, совпадающей лишь с первым

лепестком КФ Бесселя J0 (х) . При этом интервал

дискретизации во времени вычисляется исходя из теоремы отсчётов по формуле Д/ = 1/2 fs (при ширине полосы одной несущей OFDM-сигнала /; = 104 Гц, Д/= 5-10 "5 с).

Поскольку в системах с OFDM интервал между соседними несущими приближенно равен А/ = 20 кГц, исходя из (2) можно получить соответствующие начальные коэффициенты корреляции для уравнения авторегрессии второго порядка: рп =0.9695 (при Д/= 20 000 Гц) и

рп =0.9418 (при Л/= 40 000 Гц).

Таким образом, при имитации замираний в частотной области КФ замираний может быть достаточно хорошо аппроксимирована моделью авторегрессии второго порядка:

где (р, = 0.9402, (р2 = 0.0303, - отсчёт нормированного белого гаусс о вс ко го шума.

При аппроксимации суммы экспонент (2) моделью временного ряда в виде уравнения авторегрессии второго порядка параметры модели (2) имели следующие значения: L = 6,

Д/' = 10 000 Гц. Другие параметры приведены в

таблице. При этом мощность одного лу-

ча а; = 10 lg />„,.

Ha рис. 2 показаны соответствующие кривые: 1 - функция в виде суммы экспонент (2), 2 -нормированная КФ процесса авторегрессии второго порядка (2).

Габлица

Номер Относительная Средняя мощ-

луча, т задержка. ность. Рм (дБ)

Г„Д'1С) •

1 0 0

> 310 -1

3 710 -9

4 1090 -10

5 1730 -15 I

6 2510 -20

Следует отметить, что при реализации алгоритмов интерполяции по малому количеств) наблюдений (по ближайшим отсчётам), нет необходимости задавать полностью КФ - достаточно знать лишь коэффициенты корреляции между отсчётам и, используемы м и при форм ирован и и интерполяционной оценки. В связи с этим достаточно хорошей аппроксимацией будет являться т. н. «усечённая» КФ, используемая в данной работе при имитации кратковременных интервалов с замираниями и соответствующая авторегрессионным моделям малого (не выше 4-го или 5-го) порядка.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шахнович, И. В. Современные технологии беспроводной связи / И. В. Шахнович. - М: Техносфера, 2006. - 320 с.

2. Microwave Mobile Communications. Edited by William S. Jakes. - Wiley - IEEE Press, 1994. -656 p.

3. Маковеева, M. M. Системы связи с подвижными объектами : учебное пособие / М. М. Маковеева, Ю. С. Шинаков. - М. : Радио и связь, 2002. - 440 с.

4. Recommendation ITU-R М.1225.

5. Васильев, К. К. Математическое моделирование систем связи : учебное пособие / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. - Ульяновск : УлГТУ, 2008.- 168 с.

ОООО©0О®Ов©О©О@ООООО

Служивый Максим II иколаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Телекоммуникации» УлГТУ. Имеет научные работы в области статистической теории связи. Куканова Яна Валерьевна, магистрантка радиотехнического факультета УлГТУ.

46

Вестник УлГТУ 3/2008