Моделирование устойчивых фильтров для стохастических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Промышленное рыболовство. Акустика

УДК 519.22./25

Т.А. Рыжкина, З.П. Старовойтова

Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет,

690087, г. Владивосток, ул. Луговая, 52б

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

На примерах генерации определенным образом случайных последовательностей описываются достаточно простые устойчивые модели с возможностью воспроизводства данных в условиях одного испытания. Авторегрессия как линейный фильтр последовательности случайных чисел позволяет на выходе получать свойства устойчивости или стационарности. Указанное свойство ставится в зависимость от длины входящего потока.

Ключевые слова: последовательность случайных чисел, имитационная модель, стационарность, авторегрессия, автокорреляция, характеристический многочлен, теорема Руше.

T.A. Ryzhkina, Z.P. Starovoytova

MODELING SUSTAINABLE FILTERS FOR STOCHASTIC PROCESSES

In the examples generate a certain way random sequences described is quite simple sustainable model with the possibility of reproduction of data in terms of a single trial. The autoregressive linear filter sequence of random numbers allows you to get the output properties of stability or stationarity. This property is dependent on the length of the incoming stream.

Key words: the sequence of random numbers, simulation model, stationarity, autoregressive, the autocorrelation of the characteristic polynomial, theorem Ruse.

Введение

Объектами исследования служат стохастические процессы и их реализации в виде временных рядов.

Набор случайных переменных X(t), где t - время (в общем случае - подмножество или множество действительных чисел) называется стохастическим процессом.

В работе не делается различия между стохастическим процессом X(t) и порожденным с его помощью временным рядом, если процесс обладает свойством стационарности, хотя бы в слабом смысле.

Стационарным процессом в слабом смысле называют стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение. Автоковариация зависит только от длины лага г = t1 -12 между рассматриваемыми переменными t1, t2. С физической точки зрения такой процесс представляет колебания относительно некоторого постоянного значения, а стохастическая зависимость между двумя сечениями регулируется только расстоянием между ними.

Интерес в данной работе представляет получение моделей, лежащих в основе процедуры прогнозирования. Предполагается, прежде всего, получение информации о развитии процесса в настоящий момент, предсказание показателей процесса в течение кратковременного периода с учетом преемственности данных и степени их влияния на процесс. Применяется метод имитационного моделирования. Он позволяет строить модели, описывающие процессы так, как они проходили в действительности. При этом моделировании используются ана-

25

Научные труды Дальрыбвтуза. Том 34 ISSN 2222-4661

логии с сущностью физических явлений (например, случайные сигналы, «шумы»), описываемых моделируемыми законами распределения. Изучаемый реальный объект заменяется моделью с достаточной степенью точности его описания. Экспериментирование с моделью называют имитацией [1].

Работа является естественным продолжением и уточнением начатого исследования в [2]. Применяются методы композиции, генерации, регрессии, корреляции [1, 3, 4].

1. Цель исследования. Основные понятия и определения.

Целью является разработка достаточно устойчивой статистики. Под устойчивостью результатов имитации понимается степень их нечувствительности к изменению входных условий. Оценка устойчивости может быть выполнена разными способами. Чаще всего контролируют дисперсию результатов модели в зависимости от интервала моделирования. Если увеличения дисперсии не происходит, результаты применения модели считаются устойчивыми. На базе созданного случайного поля с помощью авторегрессионных моделей (преобразователей) ставится задача аппроксимации изучаемого явления с меньшим числом параметров и с более простыми свойствами.

Случайное поле X(t) генерируется методом композиции с помощью встроенных в 111111 Excel статистических функций и надстройки «Пакет анализа».

В данном исследовании аппроксимируем теоретические характеристики процесса X(t), т.е. математическое ожидание mx(t), дисперсию Dx(t), среднее квадратическое отклонение ax(t) = ^Dx (t) , состоятельными выборочными средними величинами x, d, а временного ряда xt как реализации X(t) соответственно. Состоятельность выборочной оценки - это гарантированная сходимость по вероятности к теоретической оценке с увеличением массива наблюдений.

Для упрощения записи формул практикуется переход к центрированным стандартизованным случайным функциям X(t) с характеристиками mx(t) = 0, ax(t) = 1. Реализации xt случайных функций стандартизуются и центрируются аналогично.

Автокорреляционной функцией стандартизованного центрированного процесса X(t) называется выражение

рх (t1, t2) = M [ X (t1) • X (t 2)],

(1)

o o

где X(t1), X(t2) - сечения центрированного стандартизованного X(t). Эта функция характеризует тесноту линейной связи между разными сечениями стандартизованного центрированного процесса.

Предполагается, что X(t) является эргодическим. Оценивание его характеристик возможно по одной достаточно длинной реализации xt этого процесса. Достаточным условием для эргодичности стационарного X(t) по математическому ожиданию и автоковариации является сходимость автоковариации Kx (т) к нулю при т ^ да, [1-6].

Автоковариация и дисперсия связаны формулой

Kx (0) = Dx(t). (2)

Очевидно, что дисперсия эргодического стационарного процесса также стремится к нулю.

26

Промышленное рыболовство. Акустика

Под «гауссовским белым шумом» в данной работе будем понимать нормальный стохастический процесс как совместное нормальное распределение двух его разных сечений.

Можно доказать, что стационарный «белый шум», представляющий собой систему одинаково распределенных нормальных, независимых случайных величин, не является нормальным. Действительно, по закону совместного распределения двух разных сечений этого процесса следует, что сечения, имеющие вероятность, отличную от нуля, совпадают. Это противоречит определению нормального процесса. Вероятность равенства двух случайных величин по нормальному закону равна нулю. Однако стационарность в слабом смысле у этого процесса имеется [1-9].

2. Генерация одномерного (многомерного) случайного поля

В качестве одномерного случайного поля (одномерной случайной величины) рассматриваем последовательность случайных чисел (ПСЧ), для которых моделируется нормальное распределение N(a, а) методом композиции. Под многомерным случайным полем понимается система случайных величин (СВ), совместно характеризующих какое-либо случайное явление. Проще всего моделировать систему с независимыми компонентами. Дифференциальный закон распределения такой системы имеет вид

f(х2,...х„) = П f (xt ^

i=1

т.е. каждую из компонент системы можно моделировать независимо от других в соответствии с ее плотностью вероятностей (например, нормальной).

На основании предельных теорем теории вероятностей доказывается возможность представления одной СВ в виде комбинации достаточно большого числа СВ, имеющих более простые и легко реализуемые законы распределения. Известно, что распределение СВ z в виде преобразования

С k

z = ■

k

IRi -T

V i=1

(3)

где Ri - равномерно распределенные на интервале [0;1] ПСЧ, при неограниченном возрастании k приближается к нормальному распределению N(0;1).

Действительно, равномерное распределение R имеет параметры m = 1/2, d = 1/12. Введем

'2 2

СВ х = I Ri, mx = 11 = —, ax= = I — = Jk . СВ z, таким образом, является центри-

1IS12

k —1/, ___ k

ч , mx

i=1 i=1

рованной величиной, нормально распределенной по закону N(0;1), z = (х - mx) / ох. В практике вычислений достаточно взять k > 12.

Кроме равномерно распределенных ПСЧ, по центральной предельной теореме [8], для моделирования нормального распределения возможно использование сумм достаточно большого числа СВ с одинаковым (неизвестно каким) распределением и конечными числовыми характеристиками. Параметры моделируемого распределения приближаются к величинам a = кшх, a = ках при k ^ ю .

1

27

Научные труды Дальрыбвтуза. Том 34 ISSN 2222-4661

Технически генерация случайных (точнее, псевдослучайных) чисел может быть выполнена в «Пакете анализа» приложений Excel. Выбирается инструмент «Генерация случайных чисел», указывается одномерный (п-мерный с независимыми компонентами) случайный вектор заданной длины. В раскрывающемся списке выбирается тип распределения (например, нормальное распределение с заданными параметрами), на основе которого генерируются случайные числа. При таком построении ПСЧ имеет место псевдослучайность [1]. Это понимается в том смысле, что числа так или иначе являются детерминированными, дробная часть которых выражается конечной десятичной дробью. Следует также иметь в виду, что совокупность одинаково распределенных нормальных СВ как система распределена, вообще говоря, не по нормальному закону. В окне «Генерация случайных чисел» имеется поле «Случайное рассеивание». В этом поле указывается некоторое целое число для инициализации генератора случайных чисел. Следует это число фиксировать. Это позволяет генерировать каждый раз одну и ту же ПСЧ.

3. Общее описание авторегрессионной модели одномерного процесса

В этой модели, как известно, текущее значение временного ряда (случайного процесса или СВ) xt выражается через конечную линейную совокупность предыдущих значений xt-p (p > l) и остатки st, реализующие «белый шум». Для упрощения записи последующих операций центрируем xt , т.е. перейдем к отклонению xt от среднего значения. Обозначим это отклонение символом ~ = xt - x . Формула авторегрессии принимает следующий вид:

~ =a + Ybj xt-i + et, t = p +1,...,n, b: = const.

i=1

(4)

Иногда постоянный входящий поток а не включают в формулу для получения прямой зависимости текущего значения от предыдущих значений, т. е.

~t =^ bi~ti +et, t = p + 1,...,n , b: = const.

i=1

(5)

Коэффициенты формулы (5) могут быть получены методом наименьших квадратов (МНК) в простой форме при условии, что остатки st образуют «белый шум».

Матричное уравнение для вычисления коэффициентов имеет вид

WTWB = WTX,

(6)

где матрица W =

Х1 Х2

Х2 Х3

V1

У Хп-1 Хп-2 ... Хп-р J

, W1 - транспонированная матрица по отношению к

W, матрица B = (bi, Ъг, ..bp)T, X = (xp+1,..xn.p)T.

Другой вариант расчета коэффициентов регрессии с нулевым свободным членом возможен с помощью встроенной в 111111 Excel функцией «Линейн».

Х

p

28

Промышленное рыболовство. Акустика

Введем линейный оператор сдвига назад L (оператор лага) как в [1, 3], действующий так: Lbp~_р = bpLp , p > о. Авторегрессионный оператор порядкар как функция оператора

p

лага примет вид p(L) = 1 - Y btL . Формулы (4), (5) преобразуются соответственно:

г=1

( p Л ( p Л

1 -a-Y, btL II 1-Y b,L Xt =St

V г=1 J V г=1 )

(7)

Компактно формулы (4), (5), (7) записываются так:

ср( L)~f =st.

(8)

Инструментом построения устойчивой (стационарной в слабом смысле) формулы (7) служит автокорреляционная функция (1). Величины ~t-k для разных к являются разными центрированными сечениями xt. Для получения формулы (1) последовательно выполняем следующие действия. Умножаем (5) на ~t-k , k > 0 ; после умножения берем математическое ожидание; учитываем, что математическое ожидание совмещения ~t-k ■ st некоррелированных величин равно нулю; полученное разностное уравнение делим на ( (некоррелированными, для уточнения, являются величины st-k, st).

Таким образом, автокорреляционная функция выражается в виде линейной комбинации коэффициентов автокорреляции, с такими же коэффициентами, что и в формуле (8):

Pk =Z b Pk-г , k = П/4 • (9)

г=1

Ограничиваем число к величиной n / 4, чтобы не ослаблять поле корреляции [3, 6].

Используя автокорреляционный оператор, (9) можно записать так:

P(L) Pk = °. (10)

Равенство нулю в соотношении (10) возможно только при условии, что норма ||р| = 0 .

Норма - это конечная выпуклая неотрицательная числовая функция с некоторыми дополнительными свойствами, действующая в линейном, например, комплексном, пространстве. Для любого ограниченного оператора справедлива теорема [10]

И

р( z)| sup ■ ■

z ^0 Z

(11)

Это означает, что равенство нормы оператора нулю приводит к алгебраическому уравнению степени p вида

1 -£ btzi = 0. (12)

г=1

29

Научные труды Дальрыбвтуза. Том 34 ISSN 2222-4661

Это уравнение называют характеристическим [3, 6] по отношению к (8). Устойчивость формулы (8) зависит от корней характеристического уравнения (12). Обозначим его корни (действительные или комплексно-сопряженные) символами (ZO"1, i = 1, ,p с учетом их кратности. Оператор ф(Ь) через корни характеристического уравнения можно записать следующим образом:

pL) = П(1 - СИ, \Ц< 1. (13)

i=1

Если все корни характеристического уравнения различны, то значения автокорреляционной функции представляются через Z в виде следующей комбинации действительных или комплекснозначных экспонент

р 1

Pk = ZAt , k = ^..^n/4• (14)

i=1

С другой стороны, для различных корней характеристического уравнения текущие значения процесса представляются в виде

~ = p l(L)st =z

Kt

1(1 -CL)

(15)

Исходя из автокорреляционной функции вида (14) и принимая во внимание формулу (15), получаем сходящуюся последовательность значений рк и самого процесса с ростом к при корнях уравнения (12) вне единичного круга, т. е.

|1/C| > 1,i = 1,...,р , |C| < 1. (16)

Например, для формул (14) первого и второго порядков соответственно имеем

2 2

р1 = b1 d1 = AC , р2 = b1p1 + b2 d2 = A1 C1 + A2 C2 .

В частности, текущие значения процесса в случае p-кратного корня 1 / Z, |Z| < 1 приобретают вид

= Z(-1У+1 CPC+Ps ,t = p +1,...,n. p = ^~

i=1

(1 -C2)2 p-1

p-1

Z (Cp -C )2

i = 0

(17)

Формула (17) содержит некоторый коэффициент усиления устойчивости модели [11]. В общем случае автокорреляционная функция стационарного процесса состоит из смеси затухающих экспонент и затухающих синусоидальных волн [3].

30

Промышленное рыболовство. Акустика

4. Нули аналитической функции в замкнутой области

Однозначная дифференцируемая комплекснозначная функция f(z) в любой точке некоторой области называется аналитической функцией в этой области.

Известно, что число р нулей аналитической функции в замкнутой области, ограниченной контуром C, определяется по принципу аргумента [12], а именно:

1 / 2п Ac Arg fz) = g,

где Arg fz) - аргумент функции; fz) = | fz) | eiArgfz); Ac - приращение Arg f(z) при обходе контура c.

Это утверждение может быть применено, в частности, к нахождению нулей характеристического многочлена fz) = 1 - £ Ьг z, i = 1,..., p, в круговой области. В другой формулировке стоит задача найти корни характеристического уравнения fz) = 0 в круге D = {| z | <}.

Известно также, что максимум и минимум аналитической функции в замкнутой области достигается на границе области. Аналитическую функцию достаточно задать на границе замкнутой области. Значения функции в любой точке внутри области могут быть представлены через граничные значения функции по теории Коши.

p

Решение вопроса о количестве корней уравнения 1 bt zг = 0 может быть достигнуто

i=1

на основании теоремы Руше [12].

Теорема Руше. Пусть функцииf(z) и f(z), аналитические в замкнутой области D , ограниченной контуром C, во всех точках этого контура удовлетворяют неравенству | fz) | > | ф(£) |. Тогда их сумма F(z) = f(z) + f(z) и функцияf(z) имеют в области D одинаковое число нулей (с учетом их кратности).

Пример. Определить число корней уравнения z4 -5z + 9 = 0 внутри круга D={|z| < 1}.

Решение. Пусть f(z ) =9, ty(z)= z4 - 5z . На окружности C ={|z|=1} для введенных функций получаем следующие ограничения: | f(z) | = 9; | y(z) | < | z4 | + 5 | z | = 6. Имеем на C неравенство | f(z) I > | f(z) |. Функцияf(z) не имеет корней внутри D={|z| < 1}. Таким образом, по теореме Руше не имеет нулей в D = {|z| < 1} функция F(z)= z4 - 5z + 9. Итак, корней данного уравнения внутри круга D = {|z| < 1} нет.

5. Примеры генерирования ПСЧ и построения авторегрессионных моделей

В основу моделирования положена формула интегрального закона нормального распределения N(a, о) [13]

P(X < х) = 0,5 + Ф(х - a / о),

(18)

где P

вероятность; Ф(x) =

I e

-t2/2

dt - функция Лапласа.

о

С помощью этой формулы по заданной вероятности P попадания нормально распределенной СВ X в интервал (- да, x) возвращается точка х. Для этого используется встроенная в 111111 Excel функция «Норм. обр». ПСЧ для вероятностей генерируется с помощью инструмента «Генерация случайных чисел» в «Пакете анализа». Поле «Случайное рассеивание» в первом примере построения ПСЧ не было активировано.

31

Научные труды Дальрыбвтуза. Том 34 ISSN 2222-4661

Произвольно сформированная ПСЧ равномерного распределения R(0,1) была упорядочена, табл. 1, для придания процессу xt некоторого прикладного смысла. Каждое число из ПСЧ понимается как вероятность Rt = P(X< xt), t - текущий момент времени.

Случайное равномерное распределение Casual even distribution

Таблица 1 Table 1

t Rt t Rt t Rt

1 0,988525 11 0,607685 21 0,450789

2 0,895962 12 0,607166 22 0,445692

3 0,858943 13 0,601764 23 0,37788

4 0,82284 14 0,585009 24 0,364452

5 0,808741 15 0,571184 25 0,352123

6 0,802606 16 0,563585 26 0,350291

7 0,783319 17 0,531663 27 0,303995

8 0,746605 18 0,519883 28 0,30195

9 0,710501 19 0,513535 29 0,193304

10 0,663045 20 0,479873 30 0,174108

Полученная последовательность показывает, что реализации случайного процесса xt с ростом t становятся менее возможными. Попытаемся текущие значения xt, табл. 2, представить в виде взвешенной суммы предыдущих значений. Оператор сдвига назад Lp применим для p = 4; 3; 2; 1. Выбор числа наблюдений n=30 сделан с учетом возможных значений лага p и свойств автокорреляционной функции.

На основании табл. 1 функция «Норм. обр» формирует ПСЧ нормального распределения с заданными параметрами a = 1,a = 0,1, табл. 2.

Относительно элементов табл. 2 вычислим их отклонения от среднего значения

~t = xt - a = xt -1.

Случайное нормальное распределение Casual normal distribution

Таблица 2 Table 2

t Xt t Xt t Xt

1 1,2274 11 1,0273 21 0,9876

2 1,1259 12 1,0272 22 0,9863

3 1,1076 13 1,0258 23 0,9689

4 1,0926 14 1,0215 24 0,9653

5 1,0873 15 1,0179 25 0,9620

6 1,0851 16 1,0160 26 0,9615

7 1,0783 17 1,0079 27 0,9487

8 1,0664 18 1,0050 28 0,9481

9 1,0555 19 1,0034 29 0,9134

10 1,0421 20 0,9950 30 0,9062

32

Промышленное рыболовство. Акустика

Отклонения от среднего значения Deviations from a mean value

Таблица 3 Table 3

t xt t xt t xt

1 0,2274 11 0,0273 21 -0,0124

2 0,1259 12 0,0272 22 -0,0137

3 0,1076 13 0,0258 23 -0,0311

4 0,0926 14 0,0215 24 -0,0347

5 0,0873 15 0,0179 25 -0,0380

6 0,0851 16 0,0160 26 -0,0384

7 0,0783 17 0,0079 27 -0,0513

8 0,0664 18 0,0050 28 -0,0519

9 0,0555 19 0,0034 29 -0,0866

10 0,0421 20 -0,0050 30 -0,0938

Составим формулу (4) с лагом p = 4 для отклонений в табл. 3, пользуясь инструментом «Регрессия» в надстройке «Пакет анализа». Значения ~, t = 5,... выражаются через ~, t = 1, 2, 3, 4:

~ = - 0,00690 + 0,91045 х,_, + 0,38030 xt_2 - 0,31180 xt_3 + 0,04339 xt_4 + st-

(19)

Стандартная ошибка этой формулы (с учетом случайности) оост = 0,00786. В поле корреляции формула (19) описывает явление по дисперсии результата на величину 0,9782.

Для исходного xt имеем:

xt = 0,01545 + 0,91045 xt _

+ 0,38030x2 - 0,31180 x3 + 0,04339 x4 + et.

(20)

В формуле (20) сохраняется постоянный входящий поток. Получим далее формулу вида (5), без постоянной величины, с лагом p = 4 для отклонений в табл. 3. Коэффициенты этой формулы вычислим с помощью матричного уравнения (6) или функции «Линейн»:

'0,060403 0,06099 0,065327

0.06099 0,064476 0,070039

0.065327 0,070039 0,077632 v0,077722 0,085348 0,096008

0,077722> f h ^ '0,059149Л

0,085348 b2 0,058534

0,096008 bs 0,061468

0,126723 у , b4 у v0,072258y

Имеем: bi =1,20494; b2 =0,54774; b3 =-0,81424; b4 =0,07916;

xt = 1,20494 xt_j +0,54774 xt _2 - 0,81424 xt _3 +0,07916 xt_4 +st.

(21)

Стандартная ошибка формулы (21) равна о„ст =0,00858082.

По аналогичной схеме составим формулы вида (5) без свободного члена, с лагом p = 3;2;1:

33

Научные труды Дальрыбвтуза. Том 34 ISSN 2222-4661

1,30664 xt1- 0,12935 xt _2 - 0,01727 xt_3 + et,

xt = 1,20446 xt_1- 0,22414xt_2 + st, во

воет =0,009199. 0,00968.

(22)

(23)

xt = 0,797481 xt_ + st , воет = 0,0167685. (24)

Второй пример организуем следующим образом. Инициализируем генератор случайных чисел в поле «Случайное рассеивание» «Пакета анализа» цифрой 2. Формируем ПСЧ равномерного распределения R(0,1) и возвращаем по этой последовательности нормальное распределение xt встроенной в 111111 Excel функцией «Норм. обр.» с заданными параметрами a = 1, в = 0,1, табл. 4, 5, 6. Решение задачи моделирования составим из двух частей.

Первая часть решения второго примера выполняется при условии сортировки вероятностей от большего к меньшему значению в табл. 4. В соответствии с упорядочиванием значений вероятностей происходит перестановка СВ xt в табл. 5, 6.

Случайное равномерное распределение (генератор 2) Casual even distribution (generator 2)

Таблица 4 Table 4

t Rt t Rt t Rt

1 0,001373 11 0,169591 21 0,336894

2 0,891629 12 0,860286 22 0,918149

3 0,738487 13 0,38612 23 0,577319

4 0,543077 14 0,018494 24 0,218726

5 0,899808 15 0,981262 25 0,454573

6 0,599689 16 0,544115 26 0,715354

7 0,445265 17 0,909848 27 0,181951

8 0,806635 18 0,926756 28 0,073977

9 0,326701 19 0,203192 29 0,906735

10 0,558977 20 0,883847 30 0,229255

Случайное нормальное распределение (генератор 2) Casual normal distribution (generator 2)

Таблица 5 Table 5

t Xt t Xt t Xt

1 0,700525 11 0,904422 21 0,957904

2 1,123524 12 1,108161 22 1,139273

3 1,063869 13 0,971055 23 1,019504

4 1,010819 14 0,791411 24 0,92235

5 1,128046 15 1,208053 25 0,988588

6 1,025254 16 1,01108 26 1,056909

7 0,986237 17 1,133982 27 0,909205

8 1,086556 18 1,145205 28 0,85532

9 0,955096 19 0,916973 29 1,132092

10 1,014838 20 1,119444 30 0,92587

34

Промышленное рыболовство. Акустика

Отклонения от среднего значения (генератор 2) Deviations from a mean value (generator 2)

Таблица 6 Table 6

t ~t t ~t t ~t

1 -0,29948 11 -0,09558 21 -0,0421

2 0,123524 12 0,108161 22 0,139273

3 0,063869 13 -0,02894 23 0,019504

4 0,010819 14 -0,20859 24 -0,07765

5 0,128046 15 0,208053 25 -0,01141

6 0,025254 16 0,01108 26 0,056909

7 -0,01376 17 0,133982 27 -0,0908

8 0,086556 18 0,145205 28 -0,14468

9 -0,0449 19 -0,08303 29 0,132092

10 0,014838 20 0,119444 30 -0,07413

Вторая часть решения задачи моделирования в примере 2 упорядочивание вероятно-

стей не предполагает.

В первой части получены модели:

xt = -0,00547 + 1,666065 xt_ - 0,21468 xt_2 -

- 0,48356 xt_3 + 0,09019 xt_4 + st, аост = 0,016156, xt = 1,74641 xt _1 - 0,17214 xt _2 - 0,513 xt_3 - 0,01605 xt _4 + s, аост = 0,01607, xt = 1,83844 xt_1 - 0,44985 xt_2 - 0,334383 xt_3 + et, аост = 0,015837, xt = 1,829673 xt_1 - 0,75444808 xt_2 + st, аост = 0,017918, xt = 1,039321 xt_1 + st, аост = 0,0283364.

(25)

(26)

(27)

(28) (29)

(30)

Во второй части имеем:

xt = 0,018001 - 0,30482 xt_1 + 0,004034 xt_2 +

0,237016 xt_3 - 0,1443 xt_4 + st, аост = 0,010194, xt = -0,27168 xt_1 + 0,055031 xt_2 + 0,308748 xt_3 - 0,2054 xt_4 + et , аост = 0,10013, (31)

xt = -0,26784 xt_1 + 0,087262 xt_2 + 0,246727 xt_3 + st, оост = 0,099023, (32)

xt = -0,27872 xt_1 - 0,07241 xt_2 + st, аост = 0,1005, (33)

xt = -0,29088 xt_1 + st, аост = 0,09745. (34)

35

Научные труды Дальрыбвтуза. Том 34 ISSN 2222-4661

6. Проверка полученных моделей на устойчивость

Для формулы (19) учтем, что M(-0,0069 xt_k )=0. Характеристическое уравнение этой модели принимает вид

z4 - 7,18603z3 + 0,87650z2 + 20,98345z -23,04742 = 0. (35)

Применим теорему Руше к этому уравнению. Левую его часть представим суммой F(z) = f(z) + ф), гдеf(z) = - 7,18603 z3 + 20,98345 z - 23,04742 , ф) = z4 - 0,87650 z2. Модули функцийf(z), f(z) удовлетворяют следующим неравенствам:

9,25<| f(z) | < 51,2169,0,1235 < | ф) | < 1,8765 на окружности C = {|z| = 1}. Число корней уравнения (35) в D = {|z| < 1} определяется числом нулей функции f(z) в круге D. Из трех нулей f(z) один, действительный, попадает внутрь D, два других, комплексно-сопряженных, оказываются вне окружности Ci = {|z| = 2}. Таким образом, функция F(z) также имеет один нуль в D = {|z| < 1}. Другими словами, среди корней уравнения (35) один корень попадает внутрь круга D = {|z| < 1}. Формула (19) характеризует нестационарный процесс, не годится для прогноза значений случайного процесса вне поля корреляции. Последовательность коэффициентов автокорреляции расходится.

Характеристическое уравнение формулы (21) имеет вид

z4 -10,2860z3 + 6,9194z2 +15,2216z-12,6326 = 0. (36)

По теореме Руше левую часть (36) рассматриваем как сумму функций: f(z)= z4 + 6,9194z2 +15,2216z , ф) = -10,2860 z3 - 12,6326.

Модули этих функций удовлетворяют неравенствам на окружности C ={ |z|=1}:

7,3022 < | f(z )| < 23,141, 2,3466 < ф) | <22,9186, |f(z)| > | ф)[

Это означает, что число корней уравнения (36) в D = {|z| < 1} совпадает с числом нулей f(z) в этой области. Функцияf(z) имеет, по крайней мере, один нуль z = 0 в D = {|z| < 1}. Процесс (21) неустойчивый.

Для модели (22) с лагом 3 характеристическое уравнение принимает форму

z3 + 7,4899z2 - 75,6600z + 57,9039 = 0. (37)

Левую часть (37) представим в виде суммы функций: f(z)= - 75,66z , ф) = z3 + 7,4899z2 + 57,9039.

Модули этих функций на окружности C = {|z| = 1}: f(z) I = 75, | ф) | < 66,3938, ^(z) I > | ф)1

Очевидно, что уравнение (37) имеет в D = {|z| < 1} хотя бы один корень, так как хотя бы один корень в D имеет функция f(z). Формула (22) не обладает свойством устойчивости. Модель (23) с лагом 2 имеет характеристическое уравнение вида

z2 - 5,3737z + 4,4615 = 0. (38)

Корни этого уравнения z1 = 4,347, z2 = 1,0262. Таким образом, на основании (16) модель (23) устойчивая, на грани единичного корня [3, 6].

36

Промышленное рыболовство. Акустика

Для формулы (24) на основании ее характеристического уравнения

1 - 0,797481z = 0 (39)

и корня z = 1,2539484 справедливо суждение об устойчивости (24).

Таким образом, прогноз будущих значений результата xt в примере 1 на несколько шагов вперед при условии, что ПСЧ равномерного распределения была упорядочена, возможен только с лагом p = 1,2.

По теореме Руше, примененной к моделям (25)-(29), устанавливается их неустойчивость. Стохастичность в этих формулах ограничена упорядочиванием реализаций случайного процесса по вероятностям. Аппроксимация изучаемого явления с помощью формул (25)-(29) возможна только на один шаг вперед.

Проверка по той же методике моделей (30)-(34), полученных без ограничений на реализации случайного процесса (пример 2), показывает их устойчивость. Однако случайные ошибки аппроксимации на несколько шагов вперед в этом случае имеют больший порядок, чем в формулах (25)-(29)

Формальный устойчивый линейный фильтр на основе ПСЧ примера 2 дает формула (17). Характеристическое уравнение для нее имеет кратный корень z = 1 / Z, |z| > 1. Пусть z = 5. Тогда (17) с лагомp = 4, о х — 0,0112, о ост — 0,0161 имеет вид

х, = 0,8 xt_!

0,24 xt_2 + 0,032xt _3

0,0016xt_4 + fst ,

f- 0,379.

(40)

Формула (40), фильтруя входящий поток, табл. 6, не показывает тенденции в изменении уровней xt и представляет колебательный процесс относительно нуля.

При необходимости в полученных стационарных формулах можно вернуться к исходному среднему значению.

Заключение

Итоги проведенных исследований на основании приведенных примеров могут быть представлены следующим образом:

• используются известные механизмы построения случайных полей с точки зрения, определенной авторами;

• достаточно строго математически описан инструмент проверки модели авторегрессии на стационарность в виде характеристического уравнения;

• предложен способ проверки стационарности модели с помощью теоремы Руше;

• установлено, что чем больше элемент случайности, тем проще сформировать стационарную модель лаговой длины p > 4 с постоянным входным потоком или без него;

• для физических случайных процессов подтверждается оптимальная длина стационарной модели авторегрессии p < 2.

Список литературы

1. Эконометрика: учебник / под ред. В.Б. Уткина. - М.: Изд-во «Дашков и К°», 2009. - 564 с.

2. Рыжкина, Т.А. Преобразования плоского «белого шума» с определенными свойствами выходных характеристик / Т.А. Рыжкина, З.П. Старовойтова // Науч. тр. Дальрыбвтуза. -Владивосток: Дальрыбвтуз, 2012. - Вып.27. - С.71-82.

37

Научные труды Дальрыбвтуза. Том 34 ISSN 2222-4661

3. Лукашин, Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: учеб. пособие / Ю.П. Лукашин. - М.: Финансы и статистика,2003. - 416 с.

4. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: учеб. пособие / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Высш. шк., 2000. - 383 с.

5. Хрущева, И.В. Основы математической статистики и теории случайных процессов: учеб. пособие / И.В. Хрущева, В.И. Щербаков, Д.С. Леванова. - СПб.: Изд-во «Лань», 2009. -336 с.

6. Эконометрика: учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 576 с.

7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций: учеб. пособие / под общ. ред. А. А. Свешникова. - СПб.: Изд-во «Лань», 2008. -448 с.

8. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей: учебник для вузов / Е.С. Вентцель. - М.: Высш. шк., 1999. - 575 с.

9. Гурский, Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики: учеб. пособие / Е.И. Гурский. - М.: Высш. шк., 1971. - 328 с.

10. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа: учебник /

А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука,1972. - 496 с.

11. Кловский, Д.Д. Обработка пространственно-временных сигналов (в каналах передачи информации) / Д.Д. Кловский, В. А. Сойфер. - М.: Связь, 1976. - 208 с.

12. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1965. - 716 с.

13. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. -М.: Высш. шк., 1972. - 368 с.

Сведения об авторах: Рыжкина Тамара Александровна,

кандидат физико-математических наук, доцент;

Старовойтова Зоя Павловна, доцент.

38