Свойства авторегрессий с кратными корнями характеристических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 004.942

Н. А. АНДРИЯНОВ, К. К. ВАСИЛЬЕВ

СВОЙСТВА АВТОРЕГРЕССИЙ С КРАТНЫМИ КОРНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Рассматриваются вероятностные свойства случайных последовательностей и полей, порождённых авторегрессиями с кратными действительными корнями характеристических уравнений. Особое внимание уделено анализу корреляционных характеристик таких моделей и исследованию эффективности фильтрации при различных порядках и кратностях моделей.

Ключевые слова: авторегрессия, характеристическое уравнение, кратные корни, случайные последовательности, случайные поля, корреляционная функция, оптимальная фильтрация, дисперсия ошибки.

Результаты получены при поддержке гранта РФФИ № 17-01-00179.

Авторегрессионные (АР) случайные последовательности и случайные поля (СП) широко применяются для описания изменения состояния реальных физических объектов, моделирования сигналов и помех в разнообразных инфокоммуникационных системах [1-3]. Однако увеличение порядка АР модели значительно усложняет возможности их анализа. Компромиссом между простотой описания и возможностью моделирования близких к реальным «гладких» СП могут служить АР процессы с кратными корнями характеристических уравнений [2-9]. Рассмотрим основные свойства таких СП и возможности оценки эффективности их оптимального оценивания на фоне белого шума. Для заданного характеристического уравнения

^ — р? —Рг2 —... — рт = 0 (1)

может быть записана АР модель порядка т :

X = РХ—1 +РХ—2 +...+РтХ—т , (2)

где - СП независимых случайных величин с нулевыми средними и дисперсией <т2 . Характеристическое уравнение (1) с корнем 2 = р кратности т имеет вид (г — р)т = 0 и АР (2) может быть представлена в операторной форме следующим образом:

(1 — р2—1)тХ1 =№ , (3)

—к

где г X. = X. ,.

I 1—к

Можно показать [3-5], что при заданной дисперсии сС = М {х.} коэффициент

т—1

Р2(т) = (1 — р2)2т—С/X (С—р )2.

1=0

Рассмотренные АР разных порядков т имеют следующие корреляционные функции (КФ) [3-5]:

т—1 р2(т—1—1)

Вт (к) = М {х1х1—к} = Р\т)рк X Я(т, 1, к) Р , (4)

1=0 (1 — р )

, ,,, (т + к — 1)!(2т — 1 — 2)!

где Я (т, 1, к) =---—---

д 1!(т — 1)!(т— 1 — 1)!(т + к — 1 — 1)!'

При одном и том же значении корня р КФ будут убывать тем медленнее, чем больше выбранный порядок т . Практический интерес представляет сравнительный анализ моделей различных кратно-стей т с одним и тем же интервалом корреляции к0 .

© Андриянов Н. А., Васильев К. К., 2019

Используя выражение (4), можно найти коэффициенты р, при которых интервал корреляции на уровне 1/ е равен к0 для заданного порядка модели т . На рис. 1 а представлены зависимости величины у = (1 — р)к0 от интервала корреляции к0 при различных порядках АР. Поскольку к0 = у /(1 — р), то параметр у показывает, во сколько раз интервал корреляции АР процесса порядка т больше, чем интервал корреляции АР первого порядка.

(а) (б)

Рис. 1. Зависимости параметра у от интервала корреляции (а) и от кратности модели (б)

Можно показать, что при малых значениях 1 — р параметр у = VМ — 1 /-^^М — 1 . На рис. 1б

показаны асимптотические зависимости у при разных М. Практически полное совпадение с

точными значениями (сплошная линия) наблюдается при М = 10.9.

Рассмотрим возможности обобщения АР модели на многомерный случай. Авторегрессионные СП в общем случае могут быть заданы уравнениями следующего вида [2-6]:

^ = /а~х~ - в<Е-, 1 е О, (5)

> ' ' ] 1 —] х' 0~1 ' 7

7 еВ

где х = {х-,7 е о} - моделируемое СП, определённое на "-мерной сетке

О = {Г = (11,12,... 1М):1к = 1...Мк, к = 1..."}; {Д, а ,7еВ} - коэффициенты модели; {£_, 7еО} - белое

гауссовское СП с нулевым средним и единичной дисперсией; а2х - дисперсия СП Ху; В еО -

каузальная область локальных состояний.

Модели (5) соответствует пространственный линейный фильтр с передаточной функцией

н (1 ) =

1 — I

а 1 1

1

1 еВ

где 1— 1 = 111"12 ... 1''".

12 "

При этом энергетический спектр СП х записывается следующим образом:

(1 ) = н (1) н (1—1).

Простое и весьма полезное для приложений многомерное разделимое СП х- можно представить с помощью пространственной АР

ы

П(1-Рк1—1 )) = 1 еО , (6)

к=1

с корнями рк характеристических уравнений кратности тк, к = 1,2,...,". В этом случае

н (1 )=°л/ П ((Рк1—1 г,

к=1

" тк —1

где Д = П Д ; Д(тк) = (1 — Рр)2т—1 / I (с;Р)2 [2-4].

к = 1 1=0

Следует отметить, что СП, порождённое АР моделями (6), имеет КФ в виде произведения одномерных КФ вида (4). Для АР первого порядка это приводит к значительной анизотропии

формируемого СП. Вместе с тем, уже при кратности корней характеристических уравнений, равной двум, наблюдается существенное изменение корреляционных свойств СП и приближение его реализаций к реальным квазиизотропным изображениям [2-6]. Для иллюстрации на рис. 2 представлены графики КФ для СП на двумерной сетке при кратностях по каждой размерности т = 1 (а) и т = 2 (б) соответственно. Хорошо заметно значительное изменение вида вершины КФ для модели с кратным корнем характеристического уравнения. Можно показать [2], что сечения высоких уровней таких КФ представляют собой гиперэллипсоиды.

Пусть на основе наблюдений г- = х- + п~, у = (у у2...)г е О, смеси информационного СП и белого СП с дисперсией С = М {пУ} необходимо дать наилучшую (в смысле минимума дисперсии ошибки) линейную оценку Хо = X элемента х- информационного СП. Условие минимума

уеО

С = м {X —Х)2 }=М<11 X Ьг —Х I ^ запишется как система линейных уравнений

-М{ — Х0)2 }= М<(Е— Х0]

к_ сг +Х Ь В (Г — У) = В (~), Г е О.

которую можно рассматривать как пространственный аналог уравнений Винера-Хопфа. С помощью многомерного г — преобразования может быть найдено решение системы и выражение для относительной дисперсии ошибки

—.2 л л л пг

с = ^ Ы р-

С2 М *

к=1

где д = с /С .

(2л) —. —лП(1 + рк2_2рк ^Ак )к +

На рис. 3 представлены зависимости относительной ошибки дисперсии фильтрации от радиуса корреляции к при различных отношениях сигнал/шум д = 0.1 (а) и д = 1.0 (б).

У еО

(а) (б)

Рис. 2. Корреляционные функции случайных полей для АР моделей

10 50 100 500 к 10 50 100 500 к

(а) (6)

Рис. 3. Относительные дисперсии ошибок двумерного СП

Анализ полученных зависимостей показывает, что при достаточно малых интервалах корреляции (k0 < 10) дисперсии ошибок фильтрации АР случайных полей 1-го и 2-го порядков близки. Однако при увеличении k0 происходит существенное снижение погрешностей для СП с кратными корнями характеристических уравнений. Увеличение размерности и дальнейшее увеличение интервала корреляции приводит к значительному уменьшению погрешностей фильтрации разделимых СП с кратными корнями характеристических уравнений.

Рассмотренные свойства АР процессов с кратными корнями характеристических уравнений позволяют сделать вывод о целесообразности использования таких моделей для описания случайных процессов с гладким характером реализаций. Расширение таких моделей для представления каузальных случайных полей даёт возможность имитировать близкие к изотропным многомерные изображения и их последовательности. Важными свойствами таких моделей является возможность простого анализа эффективности фильтрации и построения оптимальных рекуррентных оценок при наличии аддитивного шума наблюдений на основе стандартных уравнений калмановской фильтрации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление/ Пер. с англ.; под ред. В.Ф. Писаренко. - Москва : Мир, 1974. - Вып.1. - 406 с.

2. Прикладная теория случайных процессов и полей / К. К. Васильев, Я. П.Драган, В. А.Казаков, В. Р.Крашенинников, Ю. П. Кунченко, В. А. Омельченко, А. П. Трифонов, А. А. Спектор; под ред. Васильева К. К. и Омельченко В. А. - Ульяновск : УлГТУ, 1995. - 256 с.

3. Vasilyev K. K., Popov O. V. Autoregression models of random fields with Multiple Roots// Pattern recognition and Image analysis,1999, v. 9, №2, рр. 327-328.

4. Васильев К. К. Оптимальная обработка сигналов в дискретном времени: учебное пособие. -Москва : Радиотехника, 2016. - 288 с.

5. Васильев К. К. Авторегрессии с кратными корнями характеристических уравнений// Радиотехника. - 2014. - №11. - С. 74-76.

6. Васильев К. К., Андриянов Н. А. Анализ авторегрессий с кратными корнями характеристических уравнений // Радиотехника. - 2017. - №6. - С. 13-17.

7. Васильев К. К., Андриянов Н. А., Абдулкадим Х. А. Эффективность фильтрации случайных полей с кратными корнями характеристических уравнений // Радиотехника. - 2018. - №6. - С. 20-23.

8. Андриянов Н. А. Моделирование авторегрессий с кратными корнями разных порядков // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники. Материалы 20-й Всероссийской молодёжной научной школы-семинара. 2017. - Ульяновск : УлГТУ, 2017. - С. 96-97.

9. Andriyanov N. A., Vasiliev K. K. Use autoregressions with multiple roots of the characteristic equations to image representation and filtering // CEUR Workshop Proceedings, Volume 2210, 2018, Р. 273-281.

REFERENCES

1. Box G., Jenkins G. Analiz vremennykh riadov. Prognoz i upravlenie. [Time series analysis. Forecast and management], tr., edited by V. Pisarenko, Moscow, Mir Publ., 1974. 406 p.

2. Prikladnaia teoriia sluchainykh processov i polei [Applied theory of random processes and fields] edited by K.K. Vasilyev and V.A. Omelchenko, Ulyanovsk, UlSTU, 1995. 256 p.

3. Vasilyev K. K., Popov O. V. Autoregression models of random fields with Multiple Roots// Pattern recognition and Image analysis,1999, v.9, №2, pp. 327-328.

4. Vasilyev K. K. Optimalnaia obrabotka signalov v diskretnom vremeni [Optimum processing of signals in discrete time], Moscow, Radiotekhnika, 2016. 288 p.

5. Vasilyev K. K. Avtoregressii s kratnymi korniami kharakteresticheskikh uravnenii [Autoregression with multiple roots of characteristic equations], Moscow, Radiotekhnika, vol. 1, 2014, pp.74-76.

6. Vasilyev K. K., Andriyanov N.A. Analiz avtoregressii s kratnymi korniami kharakteresticheskikh uravnenii [Analysis of autoregression with multiple roots of characteristic equations], Moscow, Radiotekhnika, vol. 6, 2017, pp. 13-17.

7. Vasilyev K. K., Andriyanov N. A. and Abdulkadim H. A. Effectivnost filtracii sluchainykh polei s kratnymi korniami kharakteresticheskikh uravnenii [Filtration efficiency of random fields with multiple roots of characteristic equations], Moscow, Radiotekhnika, vol. 6, 2018, pp.20-23.

8. Andriyanov N. A. Modelirovanie avtoregressii s kratnymi korniami raznykh poriadkov [Modeling autoregression with multiple roots of different orders], Proceedings of Workshop on Actual problems of physical and functional electronics, Ulyanovsk, UlSTU, 2017, pp. 96-97.

9. Andriyanov N. A., Vasiliev K. K. Use autoregressions with multiple roots of the characteristic equations to image representation and filtering // CEUR Workshop Proceedings, Volume 2210, 2018, pp. 273-281.

Андриянов Никита Андреевич, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Телекоммуникации» УлГТУ, старший преподаватель кафедры авиационной техники (Ульяновский институт гражданской авиации им. Главного маршала авиации Г. П. Бугаева).

Васильев Константин Константинович, доктор технических наук, профессор кафедры «Телекоммуникации» УлГТУ.

Поступила 01.03.2019 г.