CC BY
13УДК-512.1; 930.2
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В «МАДЖМА' АЛ-АРКАМ» МИРЗЫ БАДИ-ДИВАНА
ХОЛОВ М. Ш.,
Институт истории, археологии и этнографии им. Ахмада Дониша
ГУЛМАТОВ М. Д., Кулябский государственный университет им. А. Рудаки
В предыдущих номерах настоящего журнала мы рассказывали об алгебраических и геометрических задачах в рукописи Национальной библиотеки Таджикистан, № 649 «Маджма'ал-аркам» Мирзы Бади'-Дивана [1,137-145; 3,]. Сегодня этой статьей заканчиваем рассмотрение основных математических разделов рукописи. В рукописи большое внимание уделяется также астрономическим задачам и вычислениям, которые связаны с составлением разных гороскопов (личных, социальных, экономических, торговых и т.п.), календарей (священных мусульманских месяцев Рамазан, Шаабан, Раджаб и др.), определения счастливых дат (дней свадеб, путешествий, посещение правителей и т.п.) и различных праздников (Навруз, Курбан, Фитр).
Пятая глава «Маджма'ал-аркама» посвящена астрономии и называется «Об исчислении астрономов» («х,исоби мунаджжимон»). Так как предыдущие главы рукописи были посвящены математике (арифметика, алгебра, геометрия) и его применению в практических задачах (раздел наследства, вычисление засеваемых площадей, количество собранного урожая, уплата налогов и др.), здесь автор специально подчеркивает словом «исчисление астрономов» те математические действия, которые испокон веков средневековые таджикские астрономы пользовались ими для своих вычислений. Эти же математические действия и вычисления отличались от обычных вычислений, так как они основаны на шестидесятеричной позиционной системе счисления.
В начале главы автор приводит обозначения цифр от 0 до 60 арабскими буквами, т.е. по «абджаду». Это и есть шестидесятеричная позиционная система счисления, которым пользовались астрономы Востока в своих вычислениях. Таджикские астрономы унаследовали эту систему у древних вавилонян и греков [2, 241-304].
Так как астрономы и астрологи работают с вычислениями движения планет и пребывания их в знаках Зодиака, далее автор рассказывает о деление небесного круга на двенадцать созвездий, градусах, минутах, секундах и терциях: «Имеется двенадцать созвездий (бурудж). Каждые тридцать градусов (дараджа) составляют одно созвездие. Каждые шестьдесят минут
(дакика) составляют один градус. Каждые шестьдесят секунд (сония) составляют одну минуту. Каждые шестьдесят терций (солиса) составляют одну секунду. В такой последовательности [соотносятся величины] до десятого деления и дальше» [4,87; 5,146].
Далее в «Маджма' ал-аркам» приведены примеры, когда математические действия (удвоение, раздвоение, сложение, вычитание, умножение, деление) применяются к астрономическим задачам. Первым приводится задача на удвоении: «Мы хотим удвоить число 4 созвездия 26 градусов 32 минуты 0 секунд 50 терций. Начертим такую таблицу:
Созвездие Градусы Минуты Секунды Терции
4 26 32 0 50
8 22
9 23 4 1 40
Данное число занесли в таблицу. Затем начинаем действия справа со стороны градусов1; удвоенное число записываем под данным числом через черту. Если созвездий получится двенадцать или больше, то двенадцать отбрасываем. Если получится тридцать градусов или больше, прибавляем единицу, составляющую тридцать градусов, к созвездиям. Итак, прибавленное и увеличенное числа записали за чертой под созвездиями. Если получится шестьдесят минут или больше, то единицу прибавим к градусам и запишем под градусами и так будем поступать до конца, как было показано на примере» [4,88; 5,146].
Приводится также задача по раздвоению, которая аналогична задаче удвоения, но решается в обратном порядке и начинается с левой стороны таблицы: «Разделив 40, получили 20, представляющее собой терции. Разделив 1 минуту, получили 30. Поскольку единиц нет, чтобы можно было записать, то под чертой написали нуль. А 30 прибавили к 20; получилось число 50, которое написали под чертой. Разделив 4, записали под чертой 2. Разделив 23, записали под чертой 11. Разделив 9, написали 4. Половина единицы представляет пятнадцать градусов и обозначается знаком «а*». Прибавив ее к 11, записали под 11 число 26. Таков порядок действия» [4,88; 5,147].
Созвездие Градусы Минуты Секунды Терции
9 23 4 1 40
11 2 20
4 26 32 0 50
1 Так как арабское письмо пишется справа налево, а в нашей таблице наоборот, слева на право.
При сложении составляют такую же таблицу, наверху соответственно степени каждой клетки записывают прибавляемое число; под ним пишут число, к которому прибавляют. Затем, складывая и записывая под чертой числа, поступают так же, как и при удвоении. «...Прибавив 7 созвездий 19 градусов 20 минут 34 терции к числу 55 минут 50 секунд [квартов], получили записанное [в таблице] число» [4,89; 5,147]:
Созвездие Градусы Минуты Секунды Терции Кварты
7 19 20 34
55 50 40
7 20 15 50 34 40
При вычитании составляют также таблицу по числу необходимых клеток, записывают вычитаемое знаками таблицы, начиная с созвездий, и над ними напишут уменьшаемое. Пример: «Дано 2 созвездия 13 градусов 20 минут 37 секунд. Требуется вычитать 7 созвездий 18 градусов 20 минут 0 секунд 45 терций» [4, 89; 5,147].
Созвездие Градусы Минуты Секунды Терции
2 13 20 37
7 18 20 0 45
6 25 0 36 15
Далее приводится решение задачи:«Вычесть семь созвездий из двух невозможно. Прибавили один цикл, а он равен десяти. После этого вычли семь; осталось пять. Данное число прибавили к двум созвездиям; получилось сем, что написали под семеркой через черту в разделе созвездий. Вычесть восемнадцать градусов из тринадцати также невозможно.Поэтому мы взяли одну единицу из созвездий; их осталось шесть, которые напишем через черту под цифрой 7 в разделе созвездий. Эта заимствованная единица составляет тридцать градусов. Так как восемнадцать [градусов] из нее вычли, осталось двенадцать, которые вместе с тринадцатью составят 25 [градусов], что запишем в разделе градусов. В клетке минут после вычитания ничего не осталось; поэтому в том разделе через черту мы написали нуль. Из 37 секунд взяли единицу для терций, так как в разделе терций ничего нет. Затем под нулем на линии секунд после черты написали 36. Из заимствованной единицы вычли упомянутые 45 терций; осталось 15, что и записали под терциями через черту» [4, 89; 5,148].
Перед астрономическим действием умножения, автор трактата приводит правила работы с градусами: «.Надо обратить внимание на стороны понижения и повышения градусов и других делений; чтобы высшее деление было его числом. Умножение градусов на градусы дает в произведении градусы. Произведение градусов на минуты есть минуты.Градусы на тер-
ции в произведении дают терции, так же как минуты, умноженные на се-кунды.Секунды, умноженные на кварты, дают в произведении сексты» [4,89-90; 5,148]. Далее автор приводит одну задачу на астрономическое умножение и ее решение: «Начертим таблицу. Над таблицей и справа от нее запишем множимое и множитель таким образом:
Согласно умножению по геометрической стеке, от умножения десяти на пять получилось 50; записали. От умножения на нуль ничего не получилось, поэтому клетки остались пустые. Произведение десяти на двадцать равняется двумстам, что обозначили знаками «^», «^», «От умножения сорока пяти на пять получили число двести двадцать пять, которые выразили знаками «<<>», «»», и записали в соответствующих клетках. Три на двадцать дают в произведении шестьдесят, что составляет единицу, также записали. Таково краткое изложение» [4,90; 5,149].
Далее автор переходит к другому действию с астрономическими числами - делению. В начале, он дает обширное разъяснение принципа деления и правил: «...При делении нужно учесть два положения. Одно из них -число частного при делении числа одного разряда на число другого разряда. Другое - разряд частного. Первое в целых, второе в нем» [4,90; 5,149]. Далее в тексте приводится правила астрономического деления: «.Деление обратно умножению, так как результатом умножения бывает удвоение, составление тысячи и прочее. Если разряд делимого и разряд делителя будут на одной стороне градусов и не будет, следовательно, промежутка, то в частном будут градусы. Если между разрядами есть промежуток, то отбросим меньшее из большого и остаток запомним. А если оба разряда, и делимого и делителя - на другой стороне, то сложим обе и сумму запомним. Если разряд делимого выше разряда делителя, то запомним остаток, и сумма будет на стороне повышения. Если разряд делимого ниже разряда делителя, то результат находится на стороне понижения. Итак, частное от деления квинтов на секунды есть терции, так как оба [разряда] - на стороне повышения и имеется три промежутка. При разряде делимого выше разряда делителя, [например при делении] секунд на квинты, в частном будут терции. Но частное от [деления] секунд на минуты есть терции, так как оба
0 15
8
50 45 0 8 15 1
они на другой стороне и сумма их три. Если разряд делимого выше разряда делителя или наоборот, в частном будут терции» [4,90-91; 5,150].
Затем приводит один пример на астрономическое деление: «Мы вознамерились разделить 2-1-3-8-40-42-49-10 квартов на 10-0-44-25 терций. Хотя деление правильно и без таблицы, однако с помощью таблицы лучше соблюдается порядок. Поэтому начертили таблицу. Простые числа делимого мы поместили вверху таблицы под широкой чертой. Затем начертили другую широкую линию после двух третей линий таблицы, чтобы под ней записать делитель таким образом, чтобы первая цифра делителя была против второй цифры делимого, поскольку второе число больше первого. Затем напишем вторую цифру делителя и следующие, пока число не исчерпается. После этого над таблицей написали частное против частного, согласно мнению тех, кто поступает таким образом, хотя геометры частное писали против окончания делителя. Итак, чертеж получился в такой форме [4, 91; 5,150]:
12 5 25 10
1 3 4 0 4 2 9 0
2 2 4 5 4 5 1 5 2
2 2 2
5 5 2 0 3 8 3 7 4
5 5 1 5 4 0 1 7
4 1 2 7
1 1
1
4 5 4 5 1 5 1 5
0 1 0 4 4 2 5
8 4 4 2 5
1 0 0 4 4 5
1 0 0 4 5
1
401
Мы делим 3-25-40 минут на 1-20 квартов. Смешанное число делимого суть 6940 минут; смешанное число делителя - 80 квартов.
В частном получилось восемьдесят шесть и три четверти, таким образом: 6940:80=86%. Так как разряд делимого выше разряда делителя, то промежуток между разрядами равен трем и находится на стороне повышения. Итак, разряд частного - терции, а три четвертых единиц представляют сорок пять секунд. В результате повышения в частном получится 1 -26-45 секунд, что было целью и искомым» [4,92; 5,151].
Таким образом, в Бухарском эмирате конца XVIII - начала XIX веков таджикские астрономы при решении астрономических задач использовали шестидесятеричную позиционную систему счисления, которая называлась «хисоби мунаджжимон» («исчисление астрономов»), а также математические действия и таблицы. Эти задачи были связаны с составлением разных гороскопов (личных, социальных, экономических, торговых и т.п.), календарей (мусульманский лунный - хиджри и ее месяцев: Рамазан, Шаабан, Раджаб и др.), определения счастливых дат (дней свадеб, путешествий, посещение правителей и т.п.) и различных праздников (Навруз, Курбан, Фитр).
ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебраические задачи в «Маджма' ал-аркаме» Мирзы Бади'-Дивана. Муаррих (Историк). №3 (19), 2019. - С. 137-145.
2. Веселовский И.Н. Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. - М.: Академия наук СССР, 1955. - Вып. 5.- С. 241-304.
3. Геометрические задачи в «Маджма' ал-аркаме» Мирзы Бади'-Дивана. Муаррих (Историк). №1 (21), 2020.
4. Мирза Бади'-диван. Маджма 'ал-аркам («Предписания фиска»). Приемы документации в Бухаре XVIII в. Факсимиле рукописи. Введение, перевод, примечания и приложения А. Б. Вильдановой, М.: Наука. 1981. - 128 с.
5. Мирзо Бадеи Девон. Мачмаъ ул-арком. Душанбе: Дониш, 2015. - 416 с.
МАСЪАЛА^ОИ АСТРОНОМЙ ДАР «МАЧМАЪ УЛ-АРЦОМ»-И МИРЗО БАДЕИ ДЕВОН
Дар ма^ола масъала^ои астрономии дастхати «Мачмаъ ул-арком»-и Мирзо Бадеи Девон оварда шудаанд, ки хдлли онх,о барои тартиб додани толеънома^ои гуногун (фардй, ичтимой, иктисодй, тичоратй ва хоказо), таквимх,о (мохдои мукаддаси исломии Рамазон, Шаъбон, Рачаб ва гайрахо), муайян кардани рузх,ои нек, аз чумла туй, саёхдт, ба кабули х,оким рафтан ва гайрахову инчунин чашнх,ои гуногун (Навруз, бурбон, Фитр) лозим буданд.
Калидвожах,о: Аморати Бухоро, Мирзо Бадеи Девон, дастхат, «Мацмаъ ул-арцом», таърихи илм, астрономия, математика, уисоби позитсионии шастй, «уисоби мунаццимон».
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В «МАДЖМА' АЛ-АРКАМ» МИРЗЫ
БАДИ ' -ДИВАНА
В статье рассматриваются астрономические задачи, приведенные в рукописи «Маджма' ал-аркам», решение которых связаны с составлением разных гороскопов (личных, социальных, экономических, торговых и т.п.), календарей (священных мусульманских месяцев Рамазан, Шаабан, Раджаб и др.), определения счастливых дат (дней свадеб, путешествий, посещение правителей и т.п.) и различных праздников (Навруз, Курбан, Фитр).
Ключевые слова: Бухарский эмират, Мирза Бади '-Диван, рукопись, «Маджма' ал-аркам», история науки, астрономия, математика, шестидесятеричная позиционная система, ««исчисление астрономов».
ASTRONOMIC OBJECTIVES IN THE "MAJMA AL-ARKAM" OF MIRZA BADI-DIWAN
The article discusses the astronomical tasks given in the manuscript "Majma al-arkam", the solution of which is associated with the compilation of various horoscopes (personal, social, economic, commercial, etc.), calendars (holy Muslim months Ramadan, Shaaban, Rajab and etc.), definitions of happy dates (wedding days, travels, visits to rulers, etc.) and various holidays (Navruz, Kurban, Fitr).
Key words: Bukhara emirate, Mirza Badi-Diwan, manuscript, "Majma al-arkam", history of science, astronomy, mathematics, six-decimal positional system, "calculus of astronomers".
Сведения об авторах: Холов Махмуджон Шарипович - кандидат физико-математических наук, главный научный сотрудник Института истории, археологии и этнографии имени А. Дониша Национальной академии наук Таджикистана. Телефон: (+992) 903-05-00-28; Email: kholov-mahmud@rambler.ru.
Гулматов Махмадали Давлаталиевич - ассистент кафедры методики преподавания математики Кулябского государственного университета им. А. Рудаки. Тел.: (+992)918701227; E-mail: ddk_Gulmatov_M@mail.ru.
Information about the authors: Kholov Mahmudjon Sharipovich - candidate of physical and mathematical sciences, chief researcher at the A. Donish Institute of History, Archeology and Ethnography of the National Academy of Sciences of Tajikistan. Phone: (+992) 903-05-00-28; E-mail: kholov-mahmud@rambler.ru.
Gulmatov Makhmadali Davlatalievich - Assistant of the Department of Methods of Teaching Mathematics, Kulyab State University named after A. Rudaki. Tel .: (+992) 918701227; E-mail: ddk_Gulmatov_M@mail.ru.
