Асимптотика решений задачи линейного сопряжения для аналитических функций в угловых точках кривой Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ j^jj Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 5

МАТЕМАТИКА

MSC 34М50

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В УГЛОВЫХ ТОЧКАХ КРИВОЙ

Г.Н. Аверьянов, А.И. Солдатов

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, Белгород, e-mail: [email protected]

Аннотация. Рассмотрена классическая задача линейного сопряжения для аналитических функций на кусочно-гладкой кривой во всей шкале весовых пространств Гелвдера. Получена явная степенно-логарифмическая асимптотика решения этой задачи в угловых точках кривой в предположении, что аналогичную асимптотику допускает правая частв задачи.

Ключевые слова: задача линейного сопряжения, аналитические функции, пространства Гелвдера, кусочно-гладкие кривые.

Рассмотрим классическую задачу линейного сопряжения для аналитических функций

ф+ - Сф~ = g (1)

на ориентированной кусочно-гладкой кривой Г в семействе весовых пространств Гель-дера. Под кусочно-гладкой кривой понимается объединение конечного числа гладких дуг, которые попарно могут пересекаться только по своим концам. Каждая из дуг Ц определённым образом ориентирована и предельные значения ф± в (1) понимаются по отношению к этой ориентации.

Задача (1) хорошо изучена [6] как в пространствах Гельдера, так и в весовых ге.зь-деровых пространствах функций, ограниченных в окрестности точек т £ F или допускающих в них особенности порядка меньше 1. Как известно, основным инструментом ее исследования служат интеграл типа Коши

(K)(z)

1 Г tp(t)dt 2ni Jr t — z ’

z £ Г,

и связанный с ним сингулярный интеграл Коши

(S^)(to)

1 Г tp(t)dt

■ni Jr t - t0 ’

to £ Г \ F.

(2)

(3)

В данной работе эти результаты распространим на весовые пространства любого порядка. Остановимся подробнее на определении этих пространств.

Работа выполнена при поддержке Международного проекта (0113РК01031) Министерства образования и науки Республики Казахстан.

6

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

Для компакта K на плоскости обозначим Cy(K), 0 < д < 1, обычное пространство Гельдера с показателем д, Для фиксированной точки т G K пусть Cq(K; т) означает пространство всех ограниченных функций p(z) на K\т, для которых ф(г) = \z — т\yp(z) G Cy(K), относительно нормы

М

sup \p(z)\ + sup

Z^K Zi^K

1УКм) -ФЫ\ \z\ - z2\v

5

это пространство банахово. Наконец, пусть пространство Cy(K; т), A G R, состоит из всех функций <p(z) = \z — т\^0(z), ц0 G CT(K; т), снабженное «перенесенной» нормой М = \<Po\og-

Введенное весовое пространство обладает следующими свойствами [7].

Лемма 1. (а) Операция умножения как билинейное отображение ограничено Су х ct к су

С Л" ^ С Л' + Л "■

(b) Семейство пространств (Су) монотонно убывает (в смысле вложения банаховых пространств) по каждому из параметров д и A.

(c) Для любых a G R е> 0 и n = 0,1,... функции

z — тр G Cy(K, т), \z — т\ia lnn \z — т\ G C-£(K, т).

Пространство СУ (K; т) ниже используем в случаях, когда K является либо радиальной гладкой дугой Гг с концом т, либо криволинейным сектором ST с вершиной т. Гладкая дуга называется радиальной по отношению к своему концу т, если окружности \z — т\ = г при 0 < r < 6, где 6 - расстояние между концами, пересекают эту дугу и притом некасательно ровно в одной точке. Для любой гладкой дуги с концом т всегда найдется такое 6 > 0, что пересечение Г П {\z — т\ < 6} является радиальной дугой. Под криволинейным сектором с вершиной т понимается односвязная область, граница которой составлена из двух радиальных дуг с общей вершиной т, и дуги окружности с центром т. Радиальные дуги играют роль боковых сторон этого сектора. Заметим, что для двух указанных типов компакта K утверждение (с) леммы 1 сохраняется и для функций (z — т)ia, (z — т)ia lnn(z — т), определяемых по некоторой ветви логарифма.

Хорошо известно [6], что если область D ограничена гладким контуром, не пересекается с гладкой дугой Г, лежит вне некоторой окрестности ее концов и прилегает к Г в том смысле, что Г П dD не пусто и является дугой, то интегральный оператор типа Коши / ограничен (7м(Г) —>• C^(D). В частности, если две такие области D± не пересекаются, т.е. прилегают к Г с разных сторон (пусть D+ лежит слева от Г), то для интеграла типа Коши ф = 1ц с плотностью ц G СУ(Г) можно рассмотреть граничные значения ф± на общей части Г0 = (5D+) П dD- С Г. Для этих граничных значений справедлива формулы Сохоцкого-Племеля

2ф± = ±ц + Sp, (4)

связывающая интегралы (2) и (3).

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

7

Действие интегрального оператора I в весовых пространствах Гельдера (без конкретизации показателя ц) изучено в [6], В пространствах Сд этот результат был уточнен в [8], который сформулируем отдельно.

Теорема 1. Пусть гладкая дуга Г с концом т является продолжением боковой стороны сектора Бт. Тогда интегральный оператор типа Коши I ограничен СД(Г, т) ^ CZ(ST,r).

Из этой теоремы непосредственно следует, что если д G Сд(Г,т), где 0 < А < 1, то (Tp)(z) — (/д)(т) G С%(Бт,т). Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством

z — т 1 1

(t — r){t — z) t — z t — т ’

согласно которому

(1д)(г) - (1<р)(т) = {z-r) f

JГо * - z

с функцией д1 (t) = (t — т)-1д(*) G C%_:(Г, т).

Если д(*) обладает указанным свойством с точностью до константы, то функция ф = 1д в окрестности точки т ведет себя как ln(z — т),

Лемма 2. Пусть в условиях теоремы 1 функция д(*) — a G Сф(Г,т), 0 < А < 1. Тогда для ф = I д справедливо разложение

ф(г) = ±aln(z-T) + Ь + ф0(г), ф0 G C£(D,t) ,

где выбирается верхний знак, если т является правым концом ориентируемой дуги Г, и нижний знак в противном случае.

При А = ц условие на д в лемме можно записать в форме д G СМ(Г) и ее утверждение сводится к ф(г) щ д(а) ln(z — т) G C^(D). В этом случае данное утверждение хорошо известно [6]. В общем случае эта лемма перекрывается приводимой ниже леммой 4.

Обратимся к кусочно-гладкой кривой Г, составленной из (разомкнутых или сомкнутых) ориентируемых гладких дуг Г1,..., Гт, которые попарно могут пересекаться только по своим концам. Множество, образованное концами этих дуг, обозначим F. Выберем р > 0 столь малым, что круги Вт = {|z — т| < р} с центрами т G F попарно не пересекаются и для каждого т крива я Г П Вт состоит из некоторого числа ради альных дуг Гт^, 1 < j < пт, с общим концом т, которые служат боковыми сторонами криволинейных секторов SVj, 1 < j < ит, с вершин ой т. Эти дуги ориентируем одинаково, считая т их левым концом. В результате, получаем сигнатуру ориентации и(т^) = ±1, где выбирается знак плюс, если ориентация Гт^ противоположна с Г и знак минус в противном случае. Общее число всех дуг Гт^ равно 2m и их можно записать в виде семейства Г'1, 1 < k < m, s = 0,1, где для Гт^ С Гк полагается Гт^ = Г^, если а(т, j) = —1 и Гт^ = Гк в противном случае. Таким образом, дуга Гк ориентирована от Гк к Г^. Выберем еще строго внутри Гк дугу Г£, перекрывающуюся с каждой из дуг Гк, Гк и рассмотрим вне Г семейство попарно неперееекающихея областей 1 < k < m, которые также не пересекаются с некоторой окрестностью множества F и для которых

8

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

(dD+) П dD- = Г£, 1 < k < m,. Тогда, очевидно, обьединение всех 4m областей

D±, 1 < k < m, ST,j , т G F, 1 < j < nT , (5)

вместе с кривой Г образуют открытую окрестность этой кривой.

Исходя из векторного весового порядка Л = (Ат, т G F), введем пространство СД (Г, F) всех непрерывных на Г \ F функций p(t), соответствующие сужения которых принадлежат С^(Г*к), 1 < k < тд1 Сдт(ГT)j, т), т G F, 1 < j < nT. Аналогичным образом вводится и пространство Сд(Г; F) кусочно-гельдеровых функций, когда эти сужения принадлежат классу Сд на всех указанных дугах.

Точно также по определению пространство C^(D; F) состоит из аналитических в открытом множестве D = C \ Г функций ф(Д, соответствующие сужения которых на области (5) принадлежат C^(Dk ) и (STj, т), Очевидно, для функций ф этого класса определены односторонние предельные значения ф± G СД(Г; F). Единственное уточнение в этом определении требуется для точек т с nT = 1, когда роль сек тора ST)1 играет круг BT с разрезом вдоль Гп, В этом случае множество ST)1 радиальным отрезком разобьем на два обычных сектора и потребуем, чтобы классу СДт принадлежали сужения ф на эти сектора. В этом случае для сужения ф на весь сектор ST)1 пиеать ф G СДт (tS'T,1, т).

Нетрудно видеть, что определения этих пространств не зависят от выбора семейства (5). В самом деле, пусть ST)j- отвечают р и выбрано соответствующее семейетво D± прилегающих областей. Необходимо показать, сужения функции ф на эти области также принадлежат соответствующим пространствам. Рассматривая надлежащее третье аналогичное (5) семейство областей, без ограничения общности можно считать, что р < р и D ± D D± для вс ех 1 < k < m, Пуст ь Г содержится в к руге |z| < R большого радиуса и область D0 С D такова, что вместе со всеми областями (5) имеем открытое покрытие множества {|z| < R} \ Г Очевидно, достаточно убедиться, что функция ф принадлежит классу в замыкании D каждой области D = Df. Но вместе с D0 множества (5) образуют открытое покрытие D \ Гг, В частности, то предположению ф G CM(D П D±) и ф G C^(D П STj). Но для каждой точки t G К П Гг найдется такой круг В с центром в этой точке, что множество B П D целиком содержится в одном из областей (5). Отсюда включение ф G C^(D) получается непосредственно.

По отношению к этим пространствам теорему 1 можно переформулировать следующим образом: если <р G Сд(Г^), —1 < А < 0 то интеграл типа Коши ф = /р принадлежит Сд (D; F) и справедливы формулы Сохоцкого-Племеля (4). На этот факт в дальнейшем ссылаемся также как на теорему 1.

Для р G Сд(Г; F) имеем 2т предельных значений, которые можно записать следующими двумя способами:

р'(т;j) = lim p(t), 1 < j < m, т G F ,

t^T,tei T,j (6)

Sk = lim p(t), 1 < k < m, s = 0,1. ()

В принятых обозначениях лемму 2 также можем переформулировать следующим образом: если р G Сд(Г, F), то в секторах ST)j- интегр^ типа Коши ф = /р представим

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

9

в виде

Ф(%) = Щг - т) + фт>з(г), 4>Tj G ОДДД, (7)

где ln(z — т) - некоторая непрерывная в ST,j ветвь логарифма. Конечно, при nT = 1 условие на фт^ здесь следует записывать в форме фт^ G C^(ST,i), т.е. в смысле принадлежности классу Cм в каждом го двух секторов, на которые разбиваетея область ST,1 радиальным отрезком.

Обратимся к задаче (1), дополнительно предполагая, что функция G(t) отлична от нуля всюду на Г\ F, включая её предельные значения G(T,j) в точках т G F. Очевидно, в этом случае 1/G G СДГ; F) и аналогичным свойством обладает непрерывная на Г \ F ветвь логарифма ln G(t),

В обозначениях (6) введем приращения (ln G)|r = (ln G)k — (ln G)k на дуге Гк и сумму

шс = Е”11щ(ьс)1г,. (8)

которую назовем индексом Коши функции G, Очевидно, полученное комплексное число не зависит от выбора ветви логарифма. Заметим, что согласно (6) имеет место равенство

1 Пт

IndG = ^Cr, (т = ^—^2 v(r,j) (In G)(r,j). (9)

teF П j=i

Положим aT + i/3T = ln GT , 0 < aT < 1 2ni

где для краткости Пт

Gt = ПДю )i’(T'j),

j=i

(10)

и введем семейство дискретных множеств Дт = {ат + k, k G Z}, т G F. Для весового порядка запись 6 G Д означает, что 6T G Дт для всех т G F,

Очевидно, (т — (ат + Дт) G Z, поэтому с учетом (8) - (10) для любого 6 G Д число

ж = Ind G — ^(6т + Дт) G Z. (11)

Теорема 2. Для любого 6 G Д существует единственная авалитическая в D = С\Г функция X(z), которая всюду отлична от нуля и удовлетворяет условиям

X(z), 1/X(z) G C%Dj), 1 < k < m;

XTyj (z), l/XTtj(z) G СДДД, reF,l<j<nT, { }

где XT,j (z) = X (z) (z

т)-y-гД z G ST;j, и

X + = GX

(13)

10

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

lim X(z)zffi = 1. (14)

□ Если две функции X1,X2 удовлетворяют условиям (12)-(14), то их отношение Y = X1/X2 обладает свойством Y + = Y- и, следовательно, является функцией, аналитической в C \ F, Этот факт является очевидным следствием хорошо известного свойства об аналитическом продолжении, которое сформулируем отдельно и докажем позже. ■

Лемма 3. Пусть простая область Do разбита ориентируемой гладкой дугой Го на две подобласти I):. считая D+ лежащей слева от Го. Тогда любая функция фо G С (Do), аналитическая в подобластях D± аналитична во всей области D0.

Итак, функция Y(z) аналитична в C \ F и в силу (12) в окрестности точек т G F ограничена. Поэтому она аналитична на всей плоскости и на основании (14) стремится к 1 при z ^ то, В силу теоремы Лиувилля отсюда Y(z) = 1, что означает единственность функции X(z).

Исходя из непрерывной на Г \ F ветви логарифма ln G G CM(Г; F), рассмотрим функцию

X0(z) = exp[1 (ln G)](z) , z G D.

Применяя к д = lnG соотношение (7), убеждаемся, что функция X0(z) удовлетворяет условиям (12) по отношению к семейству (т в (9) и стремится к 1 при z ^ то. Кроме того, она удовлетворяет и краевому условию (13), Поэтому можем положить

X(z) = Д (z - т)йт+гвт-ZtXo(z). т eF

Остаётся заметить, что в силу (8), (11)

((т - 5Т - iftr) = ж

и, следовательно, выполнено и условие (14),

□ Доказательство леммы 3 легко получается из формулы Коши, Если дуги Г± = dD± \ Г0 ориентированы положительно по от ношению к D± то согласно этой формуле

1 f фо(Т)(И 1 Г ф0(Ь)(й _ ( фо(г), zeD±,

2лг Уг± t — z 2лг ]Го t — z \ 0, г G DT.

Складывая эти равенства, получим представление

00(z)

1 f фо(1)(й

2тгг JdDo t- z ’

z G D0 \ Г0,

которое доказывает аналитичность функции ф0 в облаети D0. ■

Следуя [6], функцию X(z) назовём канонической по отношению к задаче (1) и весовому порядку 5 G А, Процедура построения этой функции также впервые указана в [6],

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

11

Отметим, что асимптотика канонических матриц-функции в точках т Е F для задачи

(1) в общем векторном случае приведена в [9].

Рассмотрим задачу (1) в классе функций ф Е СД, поведение которых на бесконечности подчиняется оценке

\ф(г)\< C\z\k , \z\ > R, (16)

где R выбрано столь болыним, что Г С {\z\ < R} и к Е Z фиксировано. Эта оценка равносильна тому, что функция фк) в области \z\ > R раскладывается в ряд

ф(^0 = ^ ■ cjZ •

Наибольшее j < к, для которого Cj = 0 в этом разложении называется порядком deg ф на бесконечности. Таким образом, щенку (16) можем выразить условием deg ф < к. Условимся под degp понимать степень многочлена p, считая p = 0 при degp < 0, и обозначим Рк класс многочленов p степейи degр < к. Очевидно, его размерность равна max(0, к + 1).

Пользуясь канонической функцией, обычным образом [6] легко построить эффективное решение задачи (1).

Теорема 3. Пусть весовой порядок А удовлетворяет условию Ат Е Ат, т Е F, так что найдется 6 Е А со свойств ом —1 < Ат — 6т < 0. Пусть X - каноническая функция задачи (1), отвечающая 6. Тогда в классе

{ф Е СД, degф < к — 1} (17)

при ж + к > 0 все решения однородной задачи ф+ = Оф— состоят из функций Xp, р Е Рв+к—1, а неоднородная задача всегда разрешима и одним из её решений служит функция

ф = Хфо, фо = I [(X+) —1g]. (18)

Если ж + к < 0, то однородная задача в классе (17) имеет только нулевое решение, а неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности

J [X +(t)]—1g(t)p(t)dt = 0, p Е Р—к—к—1 • (19)

При выполнении этих условий решение задачи даётся формулой (18).

□ В силу леммы 1 и теоремы 1 преобразование ф ^ ф0 = X—1ф осуществляет изоморфизм класса (17) на класс

{фо Е СД, deg ф < к + ж — 1} (20)

с весовым порядком vT = Ат — 6т, удовлетворяющим условию —1 < v < 0, При этом преобразовании с учетом (13) задача (1) переходит в ф+ — ф— = g0 с правой частью g0 = (X+)—1g Е СД(Г, F). Если g = 0 то тогда функция ф0 аналитически продолжается в C \ F и в точках т Е F допускает слабые особенности. Поэтому в действительности эта

12

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

функция аналитична на всей плоскости, поэтому на основании (20) и теоремы Лиувилля эта функция является многочленом p степей и deg p < k + ж, В частное ти, ф = 0 при k + ж < 0.

При k + ж > 0 интеграл типа Коши ф0 = /go принадлежит классу (20) и в силу формул Сохоцкого-Племеля (4) удовлетворяет краевому условию ф+ — ф- = д0, поэтому формула (18) доставляет решение задачи (1) в классе (17). При k + ж < 0 функцию д0 нужно подчинить дополнительным условиям, обеспечивающим ее принадлежность классу (20). В силу разложения

(igo)(z) = ^2 cjz j 1 , cj j> o

1

2ni

' go(t)tjdt,

интеграла типа Коши в окрестности то эти условия сводятся к Cj = 0 0 < j < — (k + ж) — 1, что равносильно условиям ортогональноети (19). ■

Теорема 3 позволяет описать степенно-логарифмическую асимптотику в точках т £ F решений задачи (1) при условии, что аналогичное поведение имеет правая часть g задачи (1). Начнем со следующего вспомогательного результата, дополняющего лемму 2.

Лемма 4. Пусть гладкая дуга Г0 с концами т = т1 ориентирована от т к тзадана простая область D0 С С \ Г0, для которой ДПГ0 = {г}, и выбрана ветвь логарифма ln(z—т) с разрезом вдоль Г0 и граничными значениями ln+ (t—т) = ln(t—т) и\п~ (t—т) = ln(t — т) + 2ni на Г0. Пусть функция

P(t) = (t — т)Сq[ln(t — т)] + ^0(t), Д0 £ СГ(Г0,т), (21)

где —1 < Re Z<A< q(u) - многочлен некоторой степени k > — 1 (при k = — 1

полагается q = 0). Тогда интеграл типа Коши с плотностью р в области D0 представим в виде

If <p(t)dt = ^ _ r)Cp[In(z _ г)] + ф0^ф ф0 е C^(D0,t) , (22)

2ni J г0 t — z

где многочлен p имеет ту же степень k и однозначно определяется из уравнения

p(u) — e2mZp(u + 2ni) = q(u). (23)

Аналогичное утверждение справедливо и при Re ( = 0 0 <А< 1с той разницей, что в представлении (22) функция фо — со £ C^(Dq, т) с некоторой постоянной со £ С, а степень многочлена p не превосходит k при ( = k + 1 при ( = 0.

П Убедимся прежде всего, что при e2niZ = 1 уравнение (23) в классе многочленов степени не выше n однозначно разрешимо. Поскольку оператор N этого уравнения можно записать в форме

Np=(l -е>грр-У2Щг-Р<к> ■

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

13

достаточно убедиться, что уравнение Np = 0 имеет только нулевой решение. Но этот факт является следствием того, что многочлен Np имеет ту же степень, что и р. Что касается случая Z = 0, то в этом случае

Np

^ к\ 1

к> 1

>

и предыдущие рассуждения достаточно применить к р. Таким образом, решение р уравнения p(u) — p(u + 2ni) = q(u) определено с точностью до константы и имеет степень, на единицу большую степени q.

Выберем положительные числа р1 < р2 столь малыми, что пересечение круга {|z — т | < рк} с Г0 является некоторой дугой Гк, k = 1, 2 и, пусть Sk есть дополнен ие к Г0 в этом круге. Очевидно, утверждение леммы достаточно установить по отношению к сектору Si, записывая уровне на функцию ф0 в (22) в форме ф0 G C%(S1, т), Применим в секторе S2 к функции Q(z) = (z — T)zp[ln(z — т)], где многочлен p(u) есть решение уравнения (23), формулу Коши:

j_ г тл + j_ г щм - пчт = г е

2ni J|t-r|=р2 t — z 2ni Jp2 t — z

В результате приходим к равенству

1 Г (t — rpq\in(t — r)]dt 2т Jy2 t- z

где функция h0(z) аналитична в к руге |z — т с функцией

— Q(z) + h0(z), z G Si,

| < р2, Отсюда приходим к равенству (22)

Mz)

1 Г (t - rpq[ln(t - r)]dt 1 [ <p0(t)dt

° ^ 2va Jr0\r2 t - z 2тгi Jro t - z

z G Si .

Если —1 < ReZ < A < 0 то на основании теоремы 1 функция ф0 G C^(S1pr). Если Re Z = 0 и 0 < A < 1, то согласно очевидному соотношению

z — T 1 1

(■t — r)(t — z) t — z t — r

можем записать

f Pojt)dt _ _ f Pi jt)dt

Го t-Z Z T)Jrot-Z

Го

p1(t)dt

с функцией ^1(t) = (t — т) V0(t) G Сд_ 1(Г0,т), Поскольку —1 < A

воспользоваться теоремой 1. ■

1 < 0, остается

Отметим, что уравнение (23) можно решить в явной форме. С этой целью рассмотрим аналитическую функцию g(u) = 1 — е2пги, Исходя из тейлоровского разложения

14

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

g(Z + и) по стелен ям и и операции дифференцирования Dp = р в классе многочленов р, введем в этом классе линейную операцию

g(fc)(z)

g{( + D)p = YJ-^llDkP-

В терминах этой операции уравнение (23) можно записать в виде д(( + D)p = q. Пусть Z = 0 и к(и) = (1 — в2пги)-1. Тогда записывая тождество к(( + и)д(( + и) = д(( + и)к(( + и) = 1 для тейлоровских разложений по степеням и, убеждаемся, что операции д(( + D) и h(Z + D) взаимно обратны, так что решением уравнения (23) служит р = к(( + D)q. При Z = 0 рассмотрим разложение функции к(и) в ряд Лорана

1

к(и) =-----и 1 + V

у } 2т ^

ски

к> 0

е коэффициентами

_ 1 _ 2т

Сп — — , Сл —------, Со — U

0 2 1 12 2

и соответственно этому разложению положим

1

k(D)p =-----^ ckDp, р( 1')(и)= p(v)dv .

2т I

к> 0

Тогда аналогично предыдущему проверяется, что g(D)k(D)p = р для любого многочлена р, однако порядок операций здесь существенен. Поэтому многочлен р = k(D)q является решением уравнения (23) и в этом случае.

Согласно лемме 1 функции вида (21), (22) принадлежат классу Пе>0Сд_£, который обозначим С^_0. Аналогичным образом положим Сф+0 = U£>0Сф+е. Очевидно, по отношению к классу С^_0(D, F) условие на А в теореме 3 можно опустить, выбирая 5 £ Д по условию

5Т — 1 < Ат < 5Т , т £ F. (24)

Теорема 4. Пусть функция д принадлежит классу С^_0(Г, F) и 5 £ Д выбрано по условию (24). Пусть для фиксированного т £ F сужение функции д на дуги ГТ)3-, 1 < j < пт, представимо в виде

дСО = (t — т)Zqj[ln(t — т)] + дз(t) дз £ С1Т+0(гт,з,т), (25)

где Re ( = Ат и qj £ Pk.

Тогда при Ат < 5Т любое реше ние ф £ С^_ 0(D, F) задали (1) в сек торах STj представимо в виде

ф(г) = (z — т)Ср- [ln(z — т)] + фз(z), с некоторыми многочленами рз- £ Pk. Если Ат = 5Т,

фз

е CiySrj-т)

ТО

(26)

Ф(~) = Г - Др,{ 1п(- - т)] + Cj(z - тр + ФД), ф, € С(‘г+о(Щ.т)

(27)

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

15

с некоторыми Cj £ С и многочленами pj, степень которых не превосходит к прн Im ( = fiT н k + 1 при Im Z = вт-

□ Согласно теореме 3 решение ф £ Сд_0(D, F) задачи (1) представимо в виде

ф = X(фо + ро), фо = I[(X+)-1g] , (28)

с некоторым многочленом р0. Тогда на основании (25) и теоремы 2 можем записать [X+(t)]-19(t) = (t — т)С-ЙТ-гвтqj[ln(t - т)] + g0(t) , g0j £ сф+o(rT,j, т) ,

где Re ( — 5т = vT и — 1 < vT < 0.

Предположим сначала, что vT < 0. Тогда в силу леммы 4 отсюда

ФоФ) = {z- T)c-^-^Pj[\n(z - т)} + ф]ф) , ф° £ C'^+0(S'T)j, г),

что для функции ф в (28) приводит к соотношению (26).

Если vT = 0, то на основании леммы 4

0o(z) = (z - r)t(ImC“x)Pj[ln(z - т)] + cj + ф](г) , 0° £ CflQ(STtj,T) ,

с многочленами pj соответствующей степени. Совместно с (28) отсюда следует второе утверждение теоремы.

Проиллюстрируем теорему в ситуации, когда AT = ( = 0 и qj являются многочленами нулевой степени, т.е. когда условие (25) переходит в

g(t) — <tj £ CJo(rT,j,т), 1 < j < n-T.

(29)

Напомним, что в обозначениях (10) множество AT состоит из чисел aT + j, j £ Z, где 0 < aT < 1. Поэтому на основании теоремы 4 при 0 < aT < 1 любое решение ф

задачи (1), принадлежащее C%(STj,r) в окрестности т, в действительности обладает свойством ф(г) — Cj £ C^0(STj, т) е некоторой постоянной Cj. Если ат = 0, но фт ф 0, то согласно (27) имеем разложение

фф) = bj + cj (z - т)фт + фу (z), фу £ С£т+0(ST,у, т).

Наконец при aT этом случае

= eT = 0 многочлены pj в (27) имеют степень 1 и, следовательно, в фф) = by + сР ln(z - т) + <f>j(z), фj £ Сфт+0(ST,у, т). (30)

Таким образом, решение ф будет ограниченным в окрестности т для любой функции g вида (29) тогда и только тогда, когда aT + i^T = 0. По терминологии Н.И. Муехели-швили [6] точки т £ F, для которых ZT,0 = 0, называются неособенными.

Из доказательства теоремы 4 и леммы 2 видно, что при aT = 0 коэффициенты Cj в разложении (30) обращаются в нуль тогда и только тогда, когда постоянные aj в (29) подчинены условию

X!a(T,j)

j=1

д(т,Л

X+(r,j)

0.

(31)

16

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

Здесь учтено, что в соответствии е принятым предположением и теоремой 2 каноническая функция X(z) £ C^-(STj) и, следовательно, Х+ £ C^(Ttj).

Рассмотрим частный случай, когда пт = 2 и знак и a(r,j), j = 1,2, противоположны, например, а(т, 1) = — а(т, 2) = 1. Тогда в окрестности т кривая Г ориентирована единым образом, причем дуга Гт1 лежит слева от т и те можно обозначить Гт>-0, и аналогично Гт,2 = Гт,+0- Соответственно предельные значения (6) на этих дугах можно обозначить <^(т ± 0). В этом случае (10) принимает вид

ат + 1вт

1 п G(t — 0) --- п —----------

2тгг G{t + 0) ’

0 < ат < 1.

Пусть G(t — 0) = G(t + 0) и выполнено условие (29), т.е. g(t) — a± £ С+0(Гт±0,т), Тогда для аналитической функции 0 в двух секторах $тд и Бт,2 будем иметь разложение (30). Пусть каноническая функция X(z) в теореме 2 построена для случая, когда все ат + 1фт = 0. Тогда ее сужение Xj на сектор STyj вместе со своим обратным принадлежит классу C^(STj). Считая для определенности сектор .s'. , расположенным слева от Г, приходим к заключению, что значения X + (т ± 0) совпадают с Х1(т) и, следовательно, соотношение (31) сводится к равенству д(т + 0) = д(т — 0). Выполнение этого условия необходимо и достаточно для обращения в нуль логарифмического слагаемого в разложении (30).

В заключение остановимся на случае, когда Г является кусочно-гладким контуром, т.е. каждая связная компонента этой кривой гомеоморфна окружности, и функция G £ СЦГ), Пусть эти компоненты, которые обозначим Г(1),..., Г(п), ориентированы определенным образом (по или против часовой стрелки). Поскольку в рассматриваемом случае ат + 1фт = 0 для всех т £ F, каноническая функция X (z), построенная по теореме 2 для 8 = 0, в прилегающих облаетях D± вместе со своей обратной 1/X(z) принадлежит C^'(D±). Соответственно для д £ С^(Г) теорема 3 описывает разрешимость задачи (1) а классе функций ф £ C^(D) с порядком не выше к — 1 на то.

Целое число ж в рассматриваемом случае совпадает с индексом Коши ж = IndG, которое определяется суммой приращений ветви ln G на простых контурах Г (j) в соответствии с их ориентацией, т.е.

ж

1 х—"\ n I

-V In G\

l t-^j=1 1

2ni

(j)

(32)

Здесь ветвь логарифма предполагается непрерывной на Г (j) вне фиксированной точки т(зУ

Следуя [5,6], каноническую функцию можно строить по той же схеме, что и в теореме 3, но только исходя из компонент Г(д, Если все слагаемые в правой части (32) равны нулю, то ln G £ СЦГ) и можно положить

X (z) = exp [I(ln G)](z), z £ D .

В общем случае пусть ж^^ ^^тачает j—ое слагаемое в правой части (32). Каждый простой контур Г(^ разбивает плоскость на конечную D0 и бесконечную Dj области.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

17

Выберем точку aj G Djj и положим

Gi(t) = l[(t - aj, t G Г , j=i

где aj = 1, если контур Г(д ориентирован против часовой стрелки, и aj = —1 в противном случае. Очевидно,

= !<)<«,

и, следовательно, функция G0 = G-1G обладает свойством ln G0 G СМ(Г). Легко видеть, что аналитическая вне Г функция

М(;) = П Y (z), Yj (z)

j= 1

1, z G D°, (z — aj, z G D1,

будет канонической для коэффициента G1(t). Соответственно каноническую функцию для коэффициента G можем определить равенством

X(z) = X0(z)Xi(z), X0(z)=exp[I(lnG0)](z), z G D.

Литература

1. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / М.: Наука, 1968.

2. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций / М.: Высшая школа, 1991. - 266 с.

3. Солдатов А.П. Обобщенный интеграл типа Коши / Дифференц. vp-ния. - 1991. - 27, №.2. - С.3-8.

4. Солдатов А.П. Краевая задача линейного сопряжения теории функций / Изв. АН СССР (сер.матем.). - 1979. - 43, №.1. - С.184-202.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / М.: Физматгиз, 1963.

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF THE LINEAR CONJUGATION PROBLEM AT ANGULAR POINTS

OF THE CURVE

G.N. Averianov, A.P. Soldatov Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The classical problem of linear conjugation problem with piecewise smooth curve is under consideration for analytic functions in the frame of weight Holder’s spaces scale. It is obtained the explicit power-logarithmic asymptotic of solution of this problem at angle points of the conjugation curve at the supposition that the right-hand side of the problem has the analogous asymptotic.

Key words: linear conjugation problem, analytic functions, Holder’s spaces, piecewise-smooth

curves..