О задаче Римана для полианалитических функций в пространстве непрерывных с весом функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223

О ЗАДАЧЕ РИМАНА ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ С ВЕСОМ ФУНКЦИЙ

© 2014 г. В.А. Бабаян

Бабаян Вазген Арменакович - аспирант, факультет матема- Babayan Vazgen Armenakovich - Post-Graduate Student, тики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Southern Federal University, Mil'chakov St., 8a, Rostov-one-mail: bvazgen@gmail.com. Don, 344090, Russia, e-mail: bvazgen@gmail.com.

Рассматривается задача Римана для полианалитических функций в пространстве непрерывных с весом функций. В явном виде определяется количество линейно независимых решений однородной задачи. В случае целого или нецелого порядка это количество различается на n-порядок уравнения. Получены также необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи. Решения записываются в явном виде.

Ключевые слова: задача Римана, весовое пространство, краевая задача, полианалитические функции, непрерывные с весом функции, интеграл типа Коши.

In the paper Riemann problem for polyanalytic functions in a weighted space of continuous functions is considered. The number of linearly independent solutions of homogeneous problem is obtained in explicit form. In the cases of integer and non-integer order that number differs by n - the equation order. Necessary and sufficient conditions for solvability of inhomogeneous problem are obtained. Solutions are written in explicit form.

Keywords: Riemann problem, weighted space, boundary value problem, polyanalytic functions, weighted continuous functions, Cauchy type integral.

Формулировка результатов

Пусть В+ = {г :\ z |<1} - единичный круг комплексной плоскости; Т = дВ+ = {г : \ г \ = 1} - его граница; В~ = С \ В+ . Весовая функция р на Т определяется по формуле р(/) = \1 -1 \ а, где а - действительное число. Пространство функций /, заданных на Т, таких что /р непрерывна на Т, обозначим С(а). Норма в С(а) определяется соотношением

и/1С(а)=тах \ / (?)\р(?)-

В круге В рассмотрим уравнение полианалитических функций

д X л 1 Г д . д У , ч п

-(х,у) =—I--ь/— I и(х,у) = 0,

у) 2" 1дх ду I , (1)

г = х + /у, (х, у) е В+.

Следует определить решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

lim

r ^1-0

Г к11

Ж—(rt) - fk (t)

dr

= 0, k = 0,1,...,n-1. (2)

C(a)

Здесь / принадлежит С(а) вместе с производ-/ , д

ными до порядка п - к -1; — - производная по ра-

дг

диус-вектору в точке /. Если /к = 0 при к = 0,..., п -1, то задача (1), (2) называется однородной.

Задача (1), (2) в классической постановке в пространстве непрерывных по Гельдеру функций исследована в [1]. В пространстве I1 она рассмотрена в [2], где предложена формулировка граничного условия, аналогичная (2). Граничные условия вида (2) в пространстве интегрируемых с весом функций Ьр (р), где р > 1, исследованы в работах [3, 4], в пространстве непрерывных функций граничная задача Дирихле для систем второго порядка в ограниченной области изучена в [5]. При этом граничные значения рассматриваются в классической постановке (поточечная сходимость). Задача Дирихле в пространстве непрерывных с весом функций исследована в [6]. В предлагаемой работе задача (1), (2) изучается в случае, когда а > 0. Доказывается, что при а = 0 (т.е. в пространстве непрерывных функций) задача (1), (2) имеет решение для произвольных граничных функций, при

(0Д)

имеет решение тогда и только тогда, когда

^„_1(1) = 0, ^,^(0 = /„_!(/) |1 -г\а .

При а > 1 задача имеет решение, если при а — п + к +1 > 0 выполняются условия

/к(0(1 _ Х)а~п+к е ]}(Г) (при к = 0,..., п — 1). Рассмотрена также соответствующая однородная задача.

Для точной формулировки полученных результатов введем следующие обозначения.

Через Тп обозначим множество полиномов

Р(z) = ао + а^ +... + ап2п с коэффициентами ак,

удовлетворяющими условиям ак = (—1)п+1ап—к .

Пусть Со (а) с С (а) пространство функций / е С(а), обладающих свойством Р(1) = 0 , где

Р(0 = /(0|1 _ (| а . Через С0(а) с С0(а) обозначим класс функций / е О, (а), обладающих свойством |/(/)||1 — /|а-1е]1(Т) .

Положим

K (n, f, z) = -

(1 - z)

f (x)(1 -x)n ^ n 2л/ t x - z

(3)

z£D+ uD -

где n - целое число и f (t)(1 - t)n £ i1 (T). Обозначим

(n + l)n

имеет -—+ mn линеино независимых решении

m(m +1) 2 при m > n -1 и —^—1 + n при m < n -1.

Теорема 2. Пусть а £ (0,1). Для того чтобы задача (1), (2) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнилось условие fn-1 £ Со (а).

Если а> 1 и fk £ Со (а- n + к +1) при а-n + к +1 >0, то задача (1), (2) имеет решение, и его можно представить в явном виде, используя оператор K .

Теорема 3. В пространстве непрерывных функций (при а = 0) задача (1), (2) всегда имеет решение.

Вспомогательные утверждения

Для доказательства основных утверждений нам понадобятся некоторые дополнительные предложения.

Лемма 1. Пусть функция / определена на Т и непрерывна при t ф 1. Тогда если производная функции / удовлетворяет условию /' е С(а), то: 1) если а >1, то / е С(а — 1) ; 2) если 0 < а < 1, то функция / удовлетворяет условию Гельдера на Т с показате-

также m = [а], если а - нецелое число и m = [а] -1, лем 1 -а (f £ С(1-а)(Т)); 3) если а = 1, то

f £ С(е)(Т) при каждом е >0 (справедлива оценка

если а - целое число.

Тогда основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

а) если 0 < а < 1, то общее решение однородной задачи (1), (2) представляется в виде

n-1

лк, n~2(-к+1,

И0(^г) = г Е ак(1— zz)k + 2 +1рк(z) — zk+1Рк к=0 к=0 п—1 -к ( -\

=' Е ак (1— zz) +у0 (z, zА

к=0

где ак - произвольные действительные числа; Рк -произвольный многочлен порядка к с комплексными коэффициентами, т.е. однородная задача (1), (2) имеет

п2 линейно независимых решений;

б) если а >1 , то общее решение однородной задачи (1), (2) можно представить в виде

п—1 , Р

Ы^) = Е (1 — zZ)k-к—— + У0 (Z, 2) + ¥к (z, 2). (4)

(1 — z)mk

к=0

|/ (0||1и|1 —С).

Доказательство. Для доказательства отметим, что так как /' непрерывна при t ф 1, имеет место пред-

t

ставление / (0 = / (—1) + | / '(х)а?х.

—1

Здесь интеграл берется по дуге, не содержащей единицы. Используя это представление, получаем требуемые оценки. Лемма 1 доказана.

Пусть Л(Б+ ^ ) - пространство функций, аналитических в Б+ ^ . Рассмотрим следующую граничную задачу в классе аналитических функций (задача о скачке).

Задача Б. Пусть / е С(а). Определить ограниченную на бесконечности функцию Ф^) е Л(Б+ ^ ), для которой выполняется граничное условие

Здесь Pr

mk

многочлен порядка

тк = шш(т — п + к +1,0) с комплексными коэффициентами из класса Ттк ; У0 - функция из (3); У к -функция, определенная по многочленам Ртк. Таким образом, в этом случае однородная задача (1), (2)

lim

r ^1-0

Ф+ (rt) -Ф- (r-1t) - f (t)

= 0,

С(а)

(5)

где Ф+ (z) - сужения функции Ф^) на Б+ соответственно.

В [6] было получено общее решение этой задачи (случай непрерывных функций рассмотрен в [7]).

1

Лемма 2. Пусть / е С(а) и Фе А(В+ ^ В ) удовлетворяет условию (5). Тогда Ф представима в

Р (г)

виде Ф(г) = К(т, /, г) + т ( ^ , где К(т, /, г) -

(1 - ¿Г

функция (3); Рт (г) - полином порядка т ; неотрицательное число т определяется соотношением т = [а] при а?2 и т = а -1 при ае 2 .

Лемма 3. При 0 < а < 1 функция К(т, /, г) является решением задачи В' тогда и только тогда, когда / е О, (а) . Пусть а > 1 и / е С (а) . Тогда функция

.(/ )(1 -t у

< C равномерно по r. Умножим обе

части

(10) на (1 -1)m . Получим

(1-t)m Ф+(*)-(1-t)m Ф-(г -1t)= gr (t)(l - t)m. (11) Обозначим Q+ (t) = (1 -1Y Ф+ (rt),

:(t )=(1 -1Г ф-(г "1t)

Функции О± аналитичны в В± и непрерывны вплоть до границы. Таким образом, (11) примет вид

О+(* )-Ог(/) = gг (г )(1 - г )т. Следовательно, получаем К (т, /, г) является решением задачи В', т.е. классическую задачу ° скачке для определения функ-

lim

r ^1-0

K (m, f, rt) - K (m, f, r -1t) - f (t)

C(a)

= 0.

Доказательство основных утверждений работы основано на следующем предложении.

Лемма 4. Пусть / е С(а). Тогда аналитическая в

круге В+ функция Ф, удовлетворяющая соотношению

||ReфН-f(t|c(a) ^0

(6)

(7)

, . т ,

- целое; многочлен Рт (г)= 2скг порядка

k=0

имеет коэффициенты, удовлетворяющие формуле

ck

= (- 1)m+1Cm-k - Ak , Ak = -1 J

_ 1 f (t )(1 -1)

ni T t

k+1

■dt. (8)

Ф* ) = ^ J f (t)

2ni

T

t + z dt t - z t

- + ic,

(9)

где с - действительная постоянная.

Доказательство. Из (6) имеем

||фГ )+ФТ) - 2f (t)

C(a)

^ 0.

Обозначим [8] Ф+ (z) = Ф^), Ф- (z) = -ф|11.

шение в виде

Ф+

C(a)

^ 0.

Обозначим

Ф+r)- Ф- (r_1t)= gr (t) .

Так как

(10)

ций О ±.

Решая эту задачу и учитывая, что О- растет на бесконечности не быстрее полинома порядка т , получим

_ 1 tgr (t )(1 -1 )m

"+(z ) = тЦ J

2ni t t - z _ 1 tgr (t )(1 -1 )m

■dt + Pmr(z), z e D

Х) г

определяется формулой

п/(1 - г)т т * - г (1 - г)т

где т = [а], если а - нецелое число; т = а -1, если

"-(z) = ^ J

2ni т t - z

dt + Pmr (z), z e D

или

(1 - z)m Ф+(rz) = — J

_ 1 tgr (t X1 -1 )m

2ni т t - z

dt + Pmr (z), z e D

(1 - z)m Ф-)'1 z]=-L J gr(t)(1 -1)m dt + Pmr (z), z e D- .

г ) 2ж/ т t - г Устремляя г ^ 1 и используя теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла [9], получим

(1 -г)тФ+(г) =11 /(*)(1 -*)т Л + Рт(г), г е В+ ,

ni T t - z

В частности, при 0 < а < 1 имеет место формула Шварца

-м-1 rÄ-o:

(1 - z )m Ф> ) = -L J

ni т t - z

■dt + Pm(z), z e D

или

(1 - z)m Ф^) = - J f (t)(1 -1)m dt + Pm (z), z e D+ , (12)

ni т t - z

-(1 - z )m Ф|1| = -L J

1V 1 f (t )(1 -1 )m

z ) ni T t - z

dt + Pm (z) z e D-. (13)

Функции Ф± аналитичны в В±, соответственно,

и функция Ф- ограничена на бесконечности. Используя эти обозначения, представим предельное соотно-

)-Ф-(г-1* )- 2/(* )

Заменяя в (13) переменную — на г и переходя к

2

комплексно-сопряженным величинам, получим

ф(^ = -

т+1

-J

ni(1 - zт

f (t )(1 -1 )mt-(m+1)

zmPm | 1

dt--

t-z

(z - 1)m

С учетом равенства

zm+1 1

t

m+1

— = -s-z

t - z t - z k=0 t

k+1

1кг(*)- 2/С(а)^ 0 , то имеем gг (* )(1 - г У" ^ 2 / (*)(1 - г)" во всех точках * ф 1, и

это представление примет вид

Ф^ ) =

j f(t )(1 -t T dt -

ni(1 - z)mT t - z

g

+

a

m

k

1 m 1 f (t )(1 -1 )m

Z zk — Jj v д ., 7 dt -

zmP„

(1 - z )mk=0 л/Т t

к+1

(z -1)m

(15)

Используя обозначения (8), представим равенство (15) в виде

Ф^) = —^//(t)(1 — t)т * +

л/(1 - z )m Т

(-1)m+1 zmPm \ 1 I- Z ZkAk

t - z

m

z ) к=0

Pm (z ) (1 - z)

л = ЦэтфГ )- f (t) с(,

У

1

jf (x)(1 -x)m dx+ Pm (rt)

2л/(1 - rt)mT x- rt 2(1 - rt)"

1 f (x)(1 -x)m dx+ PM

2 л/(1 - rt)mT x-rt 2(1 - rt)m

- f (t

С (а)

_ _ —2

или (с учетом равенств и = 1, тт = 1, ^г = —т а?т )

Л =

K (m, f, rt )--

"J

f (x)(1 -x)

m \ r "1t ^

m+1

„-U

2 л/(1 - r _1t ]"t x- r 1t

Pm (rt) (-fr^mt)

dx +

'-f (t)

С(а)

(1 — z )т

при z е Б+. Учитывая, что для функции Ф имеет место также представление (12), получим, что много/ \ ™ £

член Рт ^)= Е ckZ удовлетворяет соотношению

к=0

2(1 — * )т 2^ (1 — г)т

Функция К(т, /, определена в (3). Используя равенство (14) и обозначения (9), Л можно представить в виде

Л = К(т,/,И)— К(т,/,г^ /(t)+ Р^ -

2(1 — гt)

(— 1)т+1 (г-^Р^ — ЕЛк (г-1t)k" к=0

4

211 - r ~lt

Рт (z )=(— 1)т+1 Zmр( 1 I— ЕЛkZk , ^ z ) к=0

т.е. коэффициенты многочлена Рт (г) удовлетворяют соотношениям (8). Формула (9) получается из (12) при т = 0 (при этом С0 = —С0 — Л0). Доказательство завершено.

Следствие. Решение однородной задачи (1) (при / = 0) определяется формулой Ф0 (х) =

Так

как

силу

равенств

(- 1)m+1(r-^mt) - ZAk (r= Pm (r-1t)

(8) то

к=0

окончательно получаем

Л =

K (m, f, rt)-K (m, f, r _1t)- f (t)+ Pm (rt ^

Pm (r )

где

>(1 - r "1t )T

Рт - многочлен из класса Тт . Число т определяется так же, как в лемме 3.

Лемма 5. Пусть 0 < а < 1. Тогда для того чтобы функция Ф , определенная формулой (7), удовлетворяла предельному соотношению (6), необходимо и достаточно, чтобы функция / е С0 (а). При а> 1 в

случае, когда / е С0 (а), функция Ф , определенная формулой (7), удовлетворяет предельному соотношению (6). В случае непрерывных функций (а = 0) (9) удовлетворяет предельному соотношению (6) для произвольной функции / .

Доказательство. При а> 0 условие / е С0 (а) необходимо для разрешимости задачи (6). Действительно, если Р(1)ф 0, где Р^) = /^)1 — ^а, то — /({|с(а)> |р(1)|ф 0, так как Ф(^) непрерывна по t. Предположим, что / е С0 (а), и рассмотрим функцию Ф , заданную соотношением (7). Подставляя ее в (6), получим

2(1 - r _1t) где

2(1 - rt)"

С(а)

< I1 + -12, 1 2 2

I1 =

12 =

K (m, f, rt)- K (m, f, r -1t)- f (t) Pm (rt) Pm (r )

С(а)'

(1 - rt)m 1 - r-1t m

С (а)

По лемме 3 /1 ^ 0 при г ^ 1. Второе слагаемое 12 также стремится к нулю, так как по доказанному в

[6]

1

1

(1 - rt )m 1 - r-1t m

^ 0 при r ^ 1. Ис-

С (а)

пользуя эти соотношения, доказываем лемму при а > 0 . В случае непрерывных функций ( а = 0 ) подставим (9) в (6) и учтем свойство интеграла Пуассона от непрерывной функции. Получим

IM")- f (' 1 =

1 л f Н

1 - r 2

1 - r2 + 2r cos(ф-e)

f (

dф - f le/e 0f

je

t = е

Лемма доказана.

Доказательство основных утверждений

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим уравнение (1). Следует определить его решение, удовлетворяющее однородным граничным условиям (2), т.е.

1

1

x

в

л

lim

r

Re

5 ku drk

r)

= 0 , k = 0,...,n-1.

(16)

C(a)

Таким образом, следующую функцию ф1 можем определить из второго условия (16). Имеем

Общее решение уравнения (1) допускает представление [1]:

u(z, z) = Z1 (1 - zz ) Фк (z)+ ^ zk+lPk (z). (17) k=0 k=0

Здесь фк - функции, аналитические в D+; Pk -многочлены порядка к .

Подставим функцию (17) в первое граничное условие (16). Получим

n-1 .

Reí ф0(rt) + Z (1 -r ) фЛп)+ Z r t P (rt) ^ 0

Re(- 2гф1 (rt ) + |rQi(r/)\

ф^ ) = +1 ^N

^ 0, т.е.

C (a)

(1 - z)

2 dr

r=1

(rt) + "¿t - r 2 f фk (rt)+ Z2 rk+1tk+1 PM\

k=1 k=0 J

Здесь Ят1 - некоторый многочлен из Тт;

Ql(z ) = ф0 ^)+ "ЕЁ1 zk+1 Рк®.

к=0

Вообще, если функции ф0,ф1,...,фк—1 определены, то фк получается из к -го граничного условия (16):

C(a)

k+1'k+1 C-0 +qrt- +...+ ckrktk )=

k+1'k+1 (c0 rk+1tk+1 + c1r 2 (rt)k +...+ ckr 2k (rt)).

при г ^ 0 . Имеем

п—1

Е гк+4

к=0

= г1/+1tк+1 С к=0 Обозначим

дп (г, z)= пЕ1(с0 Zk+1 + С1г 2 zk +...+ Скг 2kz).

к=0

Эта функция - аналитическая по z , следовательно, из условия |^е(ф0 (гt) + д (г, z^ 0 следует

ф0 (z) = |т°# — ^0 (?),

(1 - z)

- Q0 (z), где Rm0 - многочлен из Tm

Q0 (z)-Qn (1, z ) =

"У1- k+1 . - k = Z (c0z + c1

k=0

"-1

z--- + c1zk +... + ckz )= Y zk+1 P | 1

k=0

Pk

(18)

(1 - r)

(1 - rt)

m+k

^ 0 при r ^ 0 .

C(a)

Jd

(1 - r )

k

1 -1

1 - rt\

m+k

< C (1 - r )

k

er

m+k

= C (1 - r )a

m+k 2

V(1 - r )2 +e21 2

< C (1 - r )a

ф (z)= Rmk (z) (- 1)k 5k% (rz)

^mk

(1 - z)

r=1

где О-к определяется соотношением

% И=? (1—г2 У ф, ^)+пЕ2 zk+1 рkСZ).

] =0 к=0

Итак, полученные рекуррентные формулы определяют вид общего решения однородной задачи, однако для того, чтобы функция Ы удовлетворяла однородным условиям (16), необходимо, чтобы порядок знаменателя дроби в представлении фк не превосходил т — п + к +1, т.е. функция ы определяется по формуле (4). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим неоднородную задачу (1), (2) при а>п — 1, т = [а]фа. В других случаях рассуждения аналогичны. Подставим общее решение этой задачи (17) в первое условие (2). Имеем

Для определения следующих функций докажем предложение.

Лемма 6. Пусть а > 0, т = [а], если а - нецелое число, и т = а — 1, если а - целое. Тогда для произвольного натурального числа к имеем

1

Re^ + "z zk+1 Pk(z)f0

^ 0.

C(a)

Доказательство. Пусть t = e - произвольная точка окружности T (|8| < л). Имеем

Так как по лемме 1 /0 е С(а — п +1), то решение представляется в виде

ф0 (, )+О0 (,) = —1- ,

га(1 — z)т0 Т г — z (1 — z)т0

где т0 = т — п +1, О0 - функция (18), т.е.

ф0 (z1 = (т — О0 (z1 + К(т0, /0, Z),

(1 - z)

lm0

где К(т, /, z) - функция (3). Далее подставим предельную функцию во второе условие (2) и определим ф1 (z) из соотношения

Re(- 2гф1 (rt )+|^(rt )\- f1(t)

^ 0 .

C(a)

n-2

где х = . Так как a - m > 0, получаем требуемое 1 - r

соотношение.

Здесь Q1(z) = ф0 (z)+ Z zk+1 pjz).

к=0

Таким образом,

Pm (z) 1 5

Фl(z ) =

(1 - z )m1 2 5r

Q1(rz)

K (mb fb z).

r=1

и

a

X

Аналогично, если ф0,фь...,фк_ найдены, то <p¿ из предельного соотношения

определяется

( ak Л

Re (_i)kk!2krk (k (rt)+^j Пк (rt) _ fk (t)

drk

^ 0,

C (a)

где

tok H = ¥ (l - r 2 ) ф j (rz) + zk+1PP).

j=0 k=0

Следовательно,

Фк (z ).-P*!d.-Í-1£ 4 tok (Z

Фк (1 - z)mk иik л,к kW

k!2k drk

-K (mk, fk,z).

r=1

Для завершения доказательства докажем предложение.

Лемма 7. Пусть функция / вместе с производными до порядка к принадлежит пространству С(а). Тогда имеет место соотношение

1т(1 - г)к (К(т, /, гг))(у| = 0, у = 0,...,к.

г 11С(а)

Доказательство. Из леммы 1 следует, что если

/«е C(a), то |/(0(1 - t)m\ = -t|

>г—а+k ^

при

A = (l - r)

< C (l - r)j

1

л/(1 - rt)m |1 -1a

+l

J /(-)(1 --)m dx

m+l

1 - rt|

Если l < j, то

T (x - rt )

J -1+1

/ (xX1 -x)m f

j -1)

11 - tla <

x- rt

A < C (1 - r )

j-к

V(1 - r )2 +0 (1 - r )a

m+1

,2 , q2 I 2

= C(1 - r)

j-1 -

n+l

VT+x212

(1 - r )

+l

< C(1 - r )a+j

-1 - m -l

^ 0.

r

В случае l = j

A = (1 - r)

_/ (x)(1 -x)m

i(1 - rt)m+jT x- rt

■dx 1

-1

и, следовательно,

A = C (1 - r )j ■

11 -t

11 - rt\

m+j

/(x)(1 -x)m -/(t)(1 -1)mdx + f(t)(1 -1)„

2л/ -

x- rt

(1 - r)j 1 - tla

< C--; 1 1 ^ 0

11 - rt\

m+j

по лемме 4. Таким образом, лемма доказана.

Из леммы следует, что решение задачи (1), (2) приводится к решению п граничных задач вида (6). Используя леммы 4 и 5, завершаем доказательство теоремы.

Доказательство теоремы 3. Предположим, что в

(2) /Пк-1) е С(Т) и решим задачу (1), (2) (а = 0). В

этом случае доказательство аналогично доказательству теоремы 2. При этом используется соотношение

lim(1 - r)

r

/(x)dx T (x - r )k+1

= 0, k = 1,...,n-1,

которое для произвольной непрерывной функции доказывается аналогично лемме 7. Теорема 3 доказана.

г ^ 1, т.е. к -я производная функции /(г)(1 - г)т принадлежит пространству I. Таким образом, при 0 < I < у имеем

Литература

1. Tovmasyan N.E. Non-Regular Differential Equations and

Calculations of Electromagnetic Fields. Singapore; New Jersey, 1998. 235 p.

2. Айрапетян Г.М. Граничная задача типа Римана-

Гильберта для n -голоморфных функций в классе L // Докл. РАН. 1993. Т. 328, № 5. С. 533-535.

3. Айрапетян Г.М. Задача Дирихле в пространствах с ве-

сом // Изв. НАН Армении. Математика. 2001. Т. 36, № 3. С. 22-44.

4. Kazarian K.S. Weighted norm inequalities for some classes

of singular integrals // Studia Math. 1987. Vol. 86. P. 97130.

Soldatov A.P. Generalized potentials of double layer for second order elliptic systems // Научные ведомости БелГУ. 2009. № 13(68), вып. 17/1. С. 103- 109. Айрапетян Г.М., Бабаян В.А. О задаче Дирихле в пространстве непрерывных с весом функций // Научные ведомости БелГУ. 2011. № 17(112), вып. 24. С. 5-16. Айрапетян Г.М., Бабаян В.А. О граничной задаче Рима-на-Гильберта в пространстве непрерывных функций // Научные ведомости БелГУ. 2013. № 19(162), вып. 32. С. 22-33.

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968. 512 с.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1989. 624 с.

5.

6.

7

9.

Поступила в редакцию

15 апреля 2014 г.

х

<

х

a

0

a

x

х