CC BY
31
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
83
MSC 34М50
ЗАДАЧА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
А.И. Солдатов, Выонг К. Чан
Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, Белгород, e-mail: soldatov48@gmail.com
Аннотация. Рассмотрена классическая задача линейного сопряжения для бианалитических функций на гладком контуре. Получена явная формула решения задачи и описаны необходимые и достаточные условия ее разрешимости.
Ключевые слова: задача линейного сопряжения, бианалитические функции, ориентируемый контур, класс Гелвдера.
Пусть на комплексной плоскости задан ориентируемый гладкий контур Г, состоящий из простых контуров Г1,..., Гт, Тогда дополнение к нему D = C \ Г состоит из некоторого числа областей D0, D1,..., Dm, из которых облаеть D0 бесконечна и содержит окрестность бесконечно удаленной точки то, а остальные области конечны. Рассмотрим в этих областях бианалитичеекую функцию ф, т.е, функцию ф £ C2(D), удовлетворяющую уравнению
д2ф
dz2
0.
Хорошо известно [1,2], что она выражается через пару аналитических функций ф0,ф1 по формуле Гуреа
ф(г) = фо(г) + Zфl(z), z £ D, (1)
где ф1 = дф/dz.
Пусть бианалитичеекая в D функция ф вместе с частной производной ф1 = дф/dz непрерывна в замкнутых областях Dj, так что определены односторонние граничные значения ф± и ф± на Г. Тогда можно рассмотреть задачу линейного сопряжения
ф+ - Соф = fo ,
дф
dz
с \ дф
Gl[Wz
f1,
(2)
где коэффициенты Gk и правые части fk заданы, при чем Gk (t) = 0 для вс ex t £ Г.
В дальнейшем предполагается, что функции Gk, fk принадлежат классу Гельдера CМ(Г), а решение ищется в классе
ф, фг £ CII(Dj) , 1 < j < т; ф, ф\ £ C^(D0 П {\z\ < R}) , (3)
Работа выполнена при поддержке Международного проекта (0113РК01031) Министерства образования и науки Республики Казахстан.
84
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
где здесь и ниже фх = дф/dz и R > 0 выбрано по условию Г С {|z| < R}, Кроме того, для заданного целого к поведение ф на бесконечности подчинено оценке
|ф(z)| + |^фх(z)| < С|z|k—1 при |z| > R. (4)
Задачи подобного типа исследовались многими авторами (ем..например, [3,4]), как правило, в классе функций, ограниченных на бесконечности. Схема ее решения хорошо известна [5]. С помощью представления (1) она последовательно сводится к задачам аналогичного вида для аналитических функций. Однако в общем случае произвольных функций G0,GX явного решения получено не было (ем. например, [5], етр, 318-319). В настоящей статье приведем явное решение этой задачи для любого значения к в оценке
(4) и опишем точные условия ее разрешимости.
Пусть жк = Ind Gk, к = 0,1, есть индекс Коши функции Gk, т.е. если выбраны точки Tj £ Г и непрерывные на Г \ Tj ветви arg Gk, то
1 ^пт
Юк= 2^ 1 [(arg Gk) “ °) “ (arS Gfc) (T3 + °)] > (5)
где односторонние предельные значения в точках Tj понимаются по отношению к ориентациям на контурах Гj. Пусть Хк есть каноническая функция задачи линейного сопряжения для аналитических функций, отвечающая коэффициенту Gk, Напомним [6], что эта функция всюду отлична от нуля, включая предельные значения Х±, удовлетворяет краевому условию
Х+ = Gk X- (6)
и подчинена поведению
lim zffifcХк(z) = 1 (7)
на бесконечности. Хорошо известно [6], что функция Хк с этими свойствами определяется единственным образом, причем Х± £ СМ(Г).
Положим
A(t)
t[G\{t) + Go(t)] _ t[G\{t) — Go(t)]
2Gi(i) ’ [ ) ~ 2Gi(i)
C (t)
x,Ut)
и введем сингулярный оператор
№)(to) = A(t0)/l(t0) +
B(t0)
ni
f xi(to) fi(t)dt г X+{t) t-to
to £ Г ,
(8)
(9)
Для целого n обозначим P (n) класс многочленов p(t) степе ни deg p < n — 1, полагая P(n) = 0 для n < 0. Таким образом, dim P(n) = max(0, n). Удобно еще для целого m ввести подпространство P(n,m) всех многочленов p £ P(n), для которых
(q, C'p) = 0 , q £ P(m) ,
(10)
где здесь и ниже для краткости
(р,ф) = p(t)^(t)dt.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
85
Это подпространство возникает в следующей ситуации.
Лемма 1. Пусть функция f G C(Г) удовлетворяет условию
if,P) = {q,CP) , p G P(n), (11)
для некоторого многочлена q G P (m). Тогда это условие равносильно
(f,p) = 0 , p G p (n,m).
□ He ограничивая общности можно считать, что числа m, n положительны. Разложим многочлены p и q по базисным функциям d(t) = ti-1, i = 1, 2,..., в явном виде
p = X. iXiei, q = X. ЛУзej,
*—^*1=1 j=i
с некоторыми xi,yj G C, Тогда (11) можем записать в виде тождества
У,. Лх(f,ei) = ^. .xiyj(ej,Cei)
no x G Cn, что равносильно разрешимости системы линейных уравнений
> . (ej, Cei)yj = (f,ei) , 1 < i < n.
z—j=i
Очевидно, эта система разрешима тогда и только тогда, когда ее правая часть удовлетворяет условию ортогональности
E",(f'e iG = 0 (12)
всем решениям £ = (£,,...,£n) союзной однородной системы
ж -^П
V. ,(ej,Cei)£i = 0, 1 <j <m. (13)
Полагая p = П Cieu равенство (12) можем записать в форме (f,p) = 0 для всех мно-
гочленов p G P(n), удовлетворяющих условию (ej, Cp) = 0 1 < j < m, или, что равносильно, условию (10). ■
Из доказательства леммы видно, что размерность пространства P(n, m) совпадает с числом линейно независимых решений однородной системы (13). Таким образом,
dim P(n,m) = n — rang C(n,m) , (14)
где матрица C(n,m) G Cmxn определяется элементами Cj = (ej ,Cei). Очевидно, эта
матрица имеет следующую структуру
( С1 C2 ■ ■ ■ cn \
C (n, m) = С2 сз ■ ■ ■ cn+1 , ck = J C(t)tk 1dt
У cm cm+1 * * * cm+n-1 )
86
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
Сформулируем основной результат о характере разрешимости рассматриваемой задачи (2)-(4).
Теорема 1. В классе (3), (4) задала (2) разрешима тогда и только тогда, когда ее правые части f0, f1 удовлетворяют условиям ортогональности
(Л> (Xi+)-V) = 0, qi е P(-«i- k + 1):
(15)
(fo - Nfi, (X+)-1qo), qo е P(-«o - k, «i + k - 1).
При выполнении этих условий все решения задачи описываются формулой
ф(г)
г ix0(z) щ-(мт) 2лг JT Х+(t) t — z
zXj(z) fi(t) Xf{t) t — z
l_ r rx0(z) B(t)X+(t)Pl(t)
л i Jv[x^{t) t-z
dt + Xo(z)po(z) + zXi(z)pi(z)
(16)
с произвольными po е P(«o + k) и p1 е P(«1 + k - 1).
□ Согласно (1) задачу (2) можно свести к эквивалентной системе из пары задач для двух аналитических функций:
ф+ - ^1ф1 = fi, ф+ - Go^ = f2 , (17)
где положено f2(t) = fo(t) - С[ф+ (t) - G0(t)ф1(t)]. Эти задачи рассматриваются в классе функций (3) с соответствующими оценками
^i(z)|< C|z|k-2 , (18i)
|фo(z)| < C|z|k-i, (18o)
в окрестности бесконечности, вытекающими из (4).
В силу (6), (7) из общих результатов [6,10] о задаче линейного сопряжения следует, что первая задача для ф1 разрешима в классе (3), (181) тогда и только тогда, когда
(fl, (X+) 1qi) = 0) qi е P(-«1 - k + 1) > (19)
и при выполнении этих условий вес решения задачи даются формулой
ФЛг) = Pi ^ P(&i + к - 1). (20)
Пользуясь этой формулой, вычислим функцию f2, которую можно записать в виде
f2(t) = fo(t) - f1(t) - £[G 1(t) - Go(t)]^ (t) . (21)
Согласно (6) и формуле Сохоцкого-Племеля, примененной к интегралу типа Коши в (20), имеем:
2С1(^)ф1 (to)
fi(to)
1
ni
f xi(to) h(t)dt г X+{t) t-t0
+ 2X+(to)pi(to).
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
87
Подставляя это выражение в (21), в обозначениях (8), (9) получим
/2СО = № — (N/1)(t) — 2B(t)X+t)p1(t). (22)
Как и выше вторая задача в (17) разрешима в классе (3), (18o) тогда и только тогда, когда
(/2, (Xo+)-1qo) = 0, qo е Р(—ж - к) , (23)
и при выполнении этих условий все ее решения даются формулой
Mz) = J x°+(t) + > Р° е Р^° + • (24)
Рассмотрим подробнее условие (23), которое согласно (8), (18) можно переписать в форме тождества
(/о - N/1, (X+) 1qo) = 2(pi,Cqo), qo е P(—ж - k) , (25)
для некоторого многочлена p1 е P(ж1 + k — 1). На основании леммы 1, где роль / играет функция (2X+)-1(/o — N/1) и буквы p,q следует переменить местами, условие (25) равносильно второму условию ортогональности в (15) и, следовательно, условия
(19), (25) можно заменить на (15). Поскольку подстановка (20) и (22), (24) в (1) приводит к формуле (16), тем самым доказательство теоремы завершено. ■
Из теоремы 1 следует, что число линейно независимых решений однородной задачи равно dim Р(жо + к) + dim Р(ж1 + к — 1), а число линейно независимых условий ее разрешимости равно dim Р(—ffio — к, ж1 + к — 1) + dim Р(—ж1 — к +1). Поэтому индекс ж задачи дается формулой
ж = dim Р(ж + к) + dim Р(ж1 + к — 1) — dim Р(—ffio — к, ае1 + к — 1) — dim Р(—ж1 — к + 1). С учетом (14) отсюда
ж = eo + ж1 + 2к — 1 + s, s = rangC(—eo — к, ж1 + к — 1).
Конечно, в этом равенстве следует положить s = 0, если одно из чисел — жо — к, ж1 + к — 1 отрицательно.
Литература
1. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / М.-Л.: Гостехиздат, 1948.
2. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 1991. - 85. - С.187-246.
3. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для бианалитических функций в случае произвольного контура // Изв АН БССР, сер. физ.мат. наук. - 1969. - 6. - С.29-38.
4. Расулов К.М. О решении некоторых краевых задач типа Римана для полианалитических функций // Доклады АН СССР. - 1980. - 252. - 5. - С.1059-1063.
5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / М.: Физматгиз, 1977.
88 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / М.: Наука, 1968.
7. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций / М.: Высшая школа, 1991. - 266 с.
8. Солдатов А.П. Обобщенный интеграл типа Коши / Дифференц. vp-ния. - 1991. - 27, №.2. - С.3-8.
9. Солдатов А.П. Краевая задача линейного сопряжения теории функций / Изв. АН СССР (сер.матем.). - 1979. - 43, №.1. - С.184-202.
10. Аверьянов Г.Н., Солдатов А.П. Задача линейного сопряжения для аналитических функций в семействе весовых пространств Гельдера // Изв. вузов (матем.)(в печати)
THE CLASSICAL PROBLEM OF LINEAR CONJUGATION FOR BIANALYTIC FUNCTIONS
A.P. Soldatov, Wang K. Chan Belgorod State University,
Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: soldatov48@gmail.com
Abstract. The classical problem of linear conjugation problem with smooth contour is under consideration for bianalvtic functions. It is obtained the explicit solution formula of this problem and it is given necessary and sufficient conditions of its solvability.
Key words: linear conjugation problem, bianalvtic functions, Holder’s class, oriented contour.
