CC BY
18
УДК 517.984.3
АСИМПТОТИКА МЛАДШИХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ УСЕЧЕННЫХ ТЁПЛИЦЕВЫХ МАТРИЦ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ СИМВОЛОМ, ИМЕЮЩИМ СТЕПЕННО-ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ НОЛЬ
© 2009 г. И.Б. Симоненко, До Нгок Тхань
Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, Ростов н/Д, 344090, [email protected]
Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, [email protected]. ru
Рассматривается асимптотическое поведение младших собственных значений усеченных тёплицевых матриц Тдг с положительным
ц
символом, который в одной точке имеет ноль порядка , где либо V >0, ¡ц<еК , либо у = 0, р<0- Доказано, что для
любого существуют константы С_> О и С+> 0 такие, что для каждого Л^еТЧ, имеют место оценки:
1 ), где ¡W..... iW-
q ^ ' j ^ д(А0 <q J' ^'■■■'— расположенные в порядке возрастания собственные числаMampwulbiTN. Ключевые слова: теплицевые матрицы, асимптотика собственных значений.
We rate asymptotic behavior of lowest eigenvalues of truncated Toeplitz matrices ^^L^i^^Y' with positive symbol, having a zero of or-
•«•"//<• ^ .v' In
2вл
at one point, where either v > 0, jug R, or v = 0, ju< 0 ■ We will prove that for each j e N there exist constants C_> 0
and C+ >0 such that for all jVeN,W> j we have: q ( 1 ^ < <(j ( 1 ^, where ,..., iii'-1— the full collection of eigenvalues (with
\N)~ j ~ +\N regard to multiplicities) of the matrices , written in ascending order.
Keywords: тoeplitz matrix, eigenvalue asymptotics. Основной результат
Будем использовать следующие обозначения: | = {х еХ: а < х <Ь} - целочисленный отрезок; 5" = ?{еС:|/|=1 - единичная окружность в комплексной плоскости; 5 - мера Лебега на 5".
Определение 1. Пусть а е L v , /0 е S. г]: - непрерывная функция, такая, что
77 <
х—>0
->0 . Будем писать, что а — // при t 0
если существуют такая окрестность С/ 5" точки /() и такие положительные числа С \ и С2, что для лю-Для краткости вместо , /^(З) и /2(7) бу- бого I & И выполняются неравенства <",//</ -1() | <
<| Я(/)|<С277^-/оС-
Пусть функция 77: ^¡,+со определена
дем писать и /2 соответственно.
Пусть Л - преобразование Лорана, действующее из ¿2 в 12 и сопоставляющее а последовательность
ее коэффициентов Лорана-Фурье, a,
an = -— \a(t)t~"ds . tcS
Известно, что оператор Л обратим и
\\а\\г=^\\Аа\\,.
п е Z: следующим образом: // xv In
2e
где V ,/UeR
такие, что либо V > 0, /л е К , либо V — 0, ¡1 < 0. Пусть вещественнозначная функция а е /, у такая, что ¡п Г а " • а ~ >1 • при ^ —1 и Для любой окрестности
x
X
и точки / = 1 ¡пГ Тогда существуют
числа С1,С2 такие, что для любого / е Л'
Для любого Л' е N определим усеченную тёпли-цеву матрицу 7 у с элементами ^ к = «7 :
/. /г е Ц. /V — 1 ^ . В силу того, что функция а веще-ственнозначная, матрица является самосопряженной, ее собственные значения веществены. Пусть /|Л ) < <... < /'у ' - все собственные значения матрицы ТN с учетом их кратности.
Сформулируем основный результат работы
Теорема 1. Для любого уеИ существуют положительные константы С_> О и С+ > 0 такие, что для каждого N е N, N > ] имеют место оценки
.ЛГ,
N ;
Оценка снизу
Лемма 1. Существует такая константа С_> 0, что при всех N е N для любого собственного значения Я матрицы Ту выполняется оценка с ^ '
Доказательство Пусть TVeN, pePN_i.
\\p\\L=4bi, S = X= \S,S_.
2 N
пользуя предложение 1, получим оценку
Ис-
3N-1 [0
N-\ÍN-\ ^ ^
п=0^ к=0
+со Í +со ^ _
= X Zan-ktPk =
п=-со \к=—<х>
J_
2ж С,
Mj¡p<S ds >
í&S
Пространство определенных на S полиномов с комплексными коэффициентами, степени которых не выше ие N, будем обозначать через Рт.
Определение 2. Для к, 1 е Z, к<1 определим
/ Y i i
оператор сужения 1'к : /2 —>("■' z ,Pka = a\^Q .
■IG
Как и в /2, в С 1'1 ^ для любых и
^ также определено скалярное произведение = обозначаемое (• 2- ^ '/ •
Определение 3. Для любого измеримого множества Хс5 введем полунорму для функции
|2
Справедливо вспомогательное предложение, доказанное в [1].
Предложение 1. Пусть т е N, X с Б, X измерил
мо и — . Тогда для любого полинома р с 1'т_\
т
имеет место неравенство ~^=\\р\\т <||/>|их ; Б(х) -
л/2 2
мера множества X
Отметим следующий очевидный факт. Предложение 2. Существует положительное число А такое, что для любых 2 чисел х\, х2, удовлетворяющих условиям 0 < х1 < х2 < к. имеет место оценка ^^ ^ .
Предложение 2 вытекает из того, что функция монотонно возрастает на интервале С, 8 ^ для некоторого фиксированного 0 < Б < л: существуют положительные константы с1, с2 такие, что О < С} < г] ( ^ с2 для любого х из отрезка _.
Далее считаем, что А удовлетворяет условию предложения 2.
^т1 \T!lt-l\lp<¥ ds>
Lk t<ES\X
С, f„ . S >——ri\ 2sm — 2я-А \ 2
С
J|p<J ds>
tzS \ X
2Ä2V) CÁ.N
\WpW2t =
N
где С_=СХ/ <А2 . Так как || Р^Ар ||с ^ =Ц Ар\\к, то младшее собственное число матрицы не мень-1
ше, чем С_т]\ — , но тогда эта оценка верна и для
уи)
всех остальных собственных чисел. Доказательство окончено.
Оценка сверху
Определение 4. Для любых т , осе. N определим полином рт а е следующим образом:
а 2
(1)
где Ст С? 3" 0 _ такое число, что || рт а = >¡2~п .
Лемма 2. Для любого ше N существуют М^ > О и М2 > 0 такие, что для всех а е N имеют место оценки Мх < Ст ■
Доказательство [1].
Лемма 3. Существует константа С+ > 0 такая, что при всех N е N для младшего собственного числа Я^' - матрицы '/у имеет место оценка:
Л^<С+?7[-1]. С+ = С тах {¡г
у, mv/Cln m~l
Доказательство^ Пусть N е N, т =
2
■2.
(здесь для любого xei?,[x = inf у), тогда
2т — v—\ju\>X\ а =
N
m
. Пусть М2 - такое число,
(NP0N~lAp,Pf^pC |,N
1
2ж t<ES
Г Г2
2 яа tes
ta -X
1
2m
ds =
2 яа
2m-\
л f |ö|Asin2mM x J 77 2 sin —— |-:r-2- d6 =
2 sin2m S-
sin 2
2m-K^Sinl^l^m
^mc/2
-srn2m ав
dd<
яа
9 Л/
ac2M| /2
яа -л/ /2
Sin2m в
-gin 2т ав
м =
ac2mi af(m\*C±de=
т2 т \—2т 2 Я -ал,
а ) в
2т
/2
ЛС2М? af2 (2e\sm2me i V - 1
dd =
o2m-l 1—2m ■ \ rr I a2m
L Я О V " / и
я2тЛЫОгм1 аЖ/2( aeYsm2m0
J ln
22m-v-lav " 0 J q
2 m-v
dO.
To есть
P1
ro
tfP^Ap^P^Ap^o.
N- 1]z
^ я2т~1АС2М22 /2 22m-v-l J
Ниже докажем, что
Iii
In2ae
sin2m в n2m-v
dO .
я2т-ХАС2м1 /2
ал/ f , ae
1п1Г
у
2
2m—v—\
Xxvlae
sin2m в
r\1m—v
dd <C,
где С принимает значение
К^+пХпп^ J
sin2™ в
о в
2 m-v
de +
if „ \
+ K\ 0
1+
sin2m e
e
2 m-v
de,
если v > 0, /х> О или K
(-12еЛ A+<x> sia2m в +<x>sin2m6>
V2e f -sin-- de +2~" K\ Sm °
J -2 m-v+j.1
ln
2e
V л J
1 в
О в
2m— v
de,
если v>0, jU<0, где n=\
как в лемме 2. Положим р = рт^а , где полином рт а определяется равенством (1). Очевидно, что т , т. е. р е ■ Поэтому
K =
я2п-ХАС2М22
г, 2т—и—1
Рассмотрим два случая.
1. Пусть сначала у> 0, //>0. п= [/^ 1 ■ Имеем
ал 12
J
0
ал /2
= I
1/n
In у 2т
в
1п2ож
sin О
е
2m-v
( , ae У
ln
In 2 ae
$т2т
i2 m-fj
de =
-de +
J
V
+ J
0
в
1п2ок
sin 2m в
2 m-v
e
de.
Оценим первый интеграл этой суммы следующим образом:
ал/2
I
1/nn
( ^ae\f
ln
9
ln2oK
sin2m e
2m-v
■de<
e
aMJ 2( In ae + n ln n Y sm 2m ^ ln
< J I -:- I —:-d0<
In 2ae
i2 m-v
<C+«ln«j; J —;-de.
о е2т-м
Для 2-го интеграла имеем
1/n"{ ln
в
ln 2ae
v У
sin2m e
n2m-v
de =
1/nn
= i
0
1/nn
In ae + ln -
_<
1п2ак
sin2™
-¡2m-v
-de<
< j ^ln-
1 r sin2™
в J e2m~v
-de<
1/n'
< J
0
1 +
$6
^п *ш2те
a2m-v
de<
0
1
^ sin2mö
nie.
e
2 m-v
d.
2. Пусть V > 0, /л < 0. Подчеркнем, что теперь -// > 0. Тогда
ал! 2
J
О
f ЫШ V
1п2гае
5т2т
п 2т-V
-de =
aiil О
ln2a e ln-
sin2m в
n2m-v
ал /2
■Ja
ln2ae
In'
яп2т
i2 m-v
de =
-de+
и
n
1 v
0
n
n
0
n
■Ja
0
( V-" ln2a e
л ы e
v у
sin2m в
n2m-v
dd.
1-й интеграл этой суммы оценивается следующим образом:
ал/ 2
J
Ja
(
In 2 ае
ln-
sm2m в
п2т-р
de<
ажП ■Лх
(
In 2ае
ln-^r-V ал/2 у
srn2me
-\2m-v
м<
^ ал/ 2 ^
Ja
4le
ln^
V Л J \-р
sin2m,
-de<
2e
ln
V Л J
«V2 sin2m 0 f —-dd<
2m
■Ja & ^
( I- V^ 9
4le sin 0
\ —-dß .
ln —
V л J
• д2т-у+ц
Для 2-го интеграла справедлива оценка
N
1п2ок
•Ja
0
ln ae
V в у
sin2m в
в
2m-v
М<
ln2öe
sin2m 0
ln eja
■\2m—v
■M<
Jä sin 2m ß
<2^ J —-Zd6)< 2-f f —--de.
1 -2 m-v J
+co sin2™ I
0 в
Итак, доказано, что ' Ар. ' А/?^,,.
о в
N-1
2 m-v
<12t'.\'
= да 77 — La при ¡л < О
<ln2ea'lnm^
<ln i
N
т' I 1
т
Cln т*
XN- l]z —
Таким образом, Р^ 1Ар,Р^ 1Ар^[0. <С+г[—1, где С+ = ,ту ¡^Хпт^^О
зависит от N.
Так как || Р^ ' А/? ||/2 = 1 • то младшее собственное
^Т ^ *
число /¡| - матрицы 7у не превышает ( \ //(/ Доказательство окончено.
Лемма 4. Для любого уеИ существует такая константа С+> О, что при всех Л' е N. А' > у, для собственного числа матрицы 7 у выполняется
оценка ^<С+-п\ —
Доказательство. Пусть т определяется, как в лемме 3. Для любых уе1Ч, V е N. V>/;//. положим
~ N.
т]
Для любого /е [. / 7j пусть р '=
ГРи
где полином рт а определяет
ся как в (1). Видно, что все р ' лежат в /V \. Заметим, что полиномы р ^ при разных / не имеют слагаемых одинаковой степени, а значит, они образуют ортогональный базис в некотором у -мерном подпространстве пространства .
} ^
Пусть ух, у2,..., у- еС, р=ЪГ/Р ,
/=\
II Р II¿2 = , тогда
2тт
teS
¿1//12
1 |2
2л" teS
2л-
/е5
JV-1]7 ^
—^ где С, согласно выбору т и п, в силу леммы 2 не зависит от а .
„ ГО <12 есТ*
С другой стороны, при /Л > 0 77 — I =-— <
Оценивая полученное выше равенство, аналогично тому, как это сделано в лемме 3, получим, что суще-
ствует такая не зависящая от N и коэффициентов У1, у2, • • • , У ] константа С > 0 , что
Tn
Р0М-1Ар,Р0^Ар£тг ^Ст]\ -j- I.
N1
N
Так как || Р^ 1 Ар = 1, то доказано, что для любого нормированного вектора V из некоторого у -мерного
имеет место
п 1^-1 т1
подпространства пространства С " ^ оценка < . Учитывая, что
Ж
ссj '= min max :
^-i^-i P^Pj-iMkj
Л
)JV-
не
х (кр0 1аР'Р0 ' получим
Выберем С+ > С так, чтобы требуемое неравенство выполнялось, и при всех Же ну - 1 ^. т. е. для у -го собственного числа выполняется доказываемая оценка. Доказательство окончено.
Теорема 1 вытекает из лемм 1 и 4.
о
m
m
Литература
1. Новосельцев А.Ю., Симоненко И.Б. Зависимость асимптотики крайних собствен-
ных значении усеченных теплицевых матриц от скорости достижения символом экстремума // С.-Петербург. мат. журн. 2005. Т. 16, вып. 4. С. 713-718.
Поступила в редакцию
18 апреля 2008 г.
