Асимптотика младших собственных значений усеченных теплицевых матриц с положительным символом, имеющим степенно-логарифмический ноль Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984.3

АСИМПТОТИКА МЛАДШИХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ УСЕЧЕННЫХ ТЁПЛИЦЕВЫХ МАТРИЦ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ СИМВОЛОМ, ИМЕЮЩИМ СТЕПЕННО-ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ НОЛЬ

© 2009 г. И.Б. Симоненко, До Нгок Тхань

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, Ростов н/Д, 344090, [email protected]

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, [email protected]. ru

Рассматривается асимптотическое поведение младших собственных значений усеченных тёплицевых матриц Тдг с положительным

ц

символом, который в одной точке имеет ноль порядка , где либо V >0, ¡ц<еК , либо у = 0, р<0- Доказано, что для

любого существуют константы С_> О и С+> 0 такие, что для каждого Л^еТЧ, имеют место оценки:

1 ), где ¡W..... iW-

q ^ ' j ^ д(А0 <q J' ^'■■■'— расположенные в порядке возрастания собственные числаMampwulbiTN. Ключевые слова: теплицевые матрицы, асимптотика собственных значений.

We rate asymptotic behavior of lowest eigenvalues of truncated Toeplitz matrices ^^L^i^^Y' with positive symbol, having a zero of or-

•«•"//<• ^ .v' In

2вл

at one point, where either v > 0, jug R, or v = 0, ju< 0 ■ We will prove that for each j e N there exist constants C_> 0

and C+ >0 such that for all jVeN,W> j we have: q ( 1 ^ < <(j ( 1 ^, where ,..., iii'-1— the full collection of eigenvalues (with

\N)~ j ~ +\N regard to multiplicities) of the matrices , written in ascending order.

Keywords: тoeplitz matrix, eigenvalue asymptotics. Основной результат

Будем использовать следующие обозначения: | = {х еХ: а < х <Ь} - целочисленный отрезок; 5" = ?{еС:|/|=1 - единичная окружность в комплексной плоскости; 5 - мера Лебега на 5".

Определение 1. Пусть а е L v , /0 е S. г]: - непрерывная функция, такая, что

77 <

х—>0

->0 . Будем писать, что а — // при t 0

если существуют такая окрестность С/ 5" точки /() и такие положительные числа С \ и С2, что для лю-Для краткости вместо , /^(З) и /2(7) бу- бого I & И выполняются неравенства <",//</ -1() | <

<| Я(/)|<С277^-/оС-

Пусть функция 77: ^¡,+со определена

дем писать и /2 соответственно.

Пусть Л - преобразование Лорана, действующее из ¿2 в 12 и сопоставляющее а последовательность

ее коэффициентов Лорана-Фурье, a,

an = -— \a(t)t~"ds . tcS

Известно, что оператор Л обратим и

\\а\\г=^\\Аа\\,.

п е Z: следующим образом: // xv In

2e

где V ,/UeR

такие, что либо V > 0, /л е К , либо V — 0, ¡1 < 0. Пусть вещественнозначная функция а е /, у такая, что ¡п Г а " • а ~ >1 • при ^ —1 и Для любой окрестности

x

X

и точки / = 1 ¡пГ Тогда существуют

числа С1,С2 такие, что для любого / е Л'

Для любого Л' е N определим усеченную тёпли-цеву матрицу 7 у с элементами ^ к = «7 :

/. /г е Ц. /V — 1 ^ . В силу того, что функция а веще-ственнозначная, матрица является самосопряженной, ее собственные значения веществены. Пусть /|Л ) < <... < /'у ' - все собственные значения матрицы ТN с учетом их кратности.

Сформулируем основный результат работы

Теорема 1. Для любого уеИ существуют положительные константы С_> О и С+ > 0 такие, что для каждого N е N, N > ] имеют место оценки

.ЛГ,

N ;

Оценка снизу

Лемма 1. Существует такая константа С_> 0, что при всех N е N для любого собственного значения Я матрицы Ту выполняется оценка с ^ '

Доказательство Пусть TVeN, pePN_i.

\\p\\L=4bi, S = X= \S,S_.

2 N

пользуя предложение 1, получим оценку

Ис-

3N-1 [0

N-\ÍN-\ ^ ^

п=0^ к=0

+со Í +со ^ _

= X Zan-ktPk =

п=-со \к=—<х>

J_

2ж С,

Mj¡p<S ds >

í&S

Пространство определенных на S полиномов с комплексными коэффициентами, степени которых не выше ие N, будем обозначать через Рт.

Определение 2. Для к, 1 е Z, к<1 определим

/ Y i i

оператор сужения 1'к : /2 —>("■' z ,Pka = a\^Q .

■IG

Как и в /2, в С 1'1 ^ для любых и

^ также определено скалярное произведение = обозначаемое (• 2- ^ '/ •

Определение 3. Для любого измеримого множества Хс5 введем полунорму для функции

|2

Справедливо вспомогательное предложение, доказанное в [1].

Предложение 1. Пусть т е N, X с Б, X измерил

мо и — . Тогда для любого полинома р с 1'т_\

т

имеет место неравенство ~^=\\р\\т <||/>|их ; Б(х) -

л/2 2

мера множества X

Отметим следующий очевидный факт. Предложение 2. Существует положительное число А такое, что для любых 2 чисел х\, х2, удовлетворяющих условиям 0 < х1 < х2 < к. имеет место оценка ^^ ^ .

Предложение 2 вытекает из того, что функция монотонно возрастает на интервале С, 8 ^ для некоторого фиксированного 0 < Б < л: существуют положительные константы с1, с2 такие, что О < С} < г] ( ^ с2 для любого х из отрезка _.

Далее считаем, что А удовлетворяет условию предложения 2.

^т1 \T!lt-l\lp<¥ ds>

Lk t<ES\X

С, f„ . S >——ri\ 2sm — 2я-А \ 2

С

J|p<J ds>

tzS \ X

2Ä2V) CÁ.N

\WpW2t =

N

где С_=СХ/ <А2 . Так как || Р^Ар ||с ^ =Ц Ар\\к, то младшее собственное число матрицы не мень-1

ше, чем С_т]\ — , но тогда эта оценка верна и для

уи)

всех остальных собственных чисел. Доказательство окончено.

Оценка сверху

Определение 4. Для любых т , осе. N определим полином рт а е следующим образом:

а 2

(1)

где Ст С? 3" 0 _ такое число, что || рт а = >¡2~п .

Лемма 2. Для любого ше N существуют М^ > О и М2 > 0 такие, что для всех а е N имеют место оценки Мх < Ст ■

Доказательство [1].

Лемма 3. Существует константа С+ > 0 такая, что при всех N е N для младшего собственного числа Я^' - матрицы '/у имеет место оценка:

Л^<С+?7[-1]. С+ = С тах {¡г

у, mv/Cln m~l

Доказательство^ Пусть N е N, т =

2

■2.

(здесь для любого xei?,[x = inf у), тогда

2т — v—\ju\>X\ а =

N

m

. Пусть М2 - такое число,

(NP0N~lAp,Pf^pC |,N

1

2ж t<ES

Г Г2

2 яа tes

ta -X

1

2m

ds =

2 яа

2m-\

л f |ö|Asin2mM x J 77 2 sin —— |-:r-2- d6 =

2 sin2m S-

sin 2

2m-K^Sinl^l^m

^mc/2

-srn2m ав

dd<

яа

9 Л/

ac2M| /2

яа -л/ /2

Sin2m в

-gin 2т ав

м =

ac2mi af(m\*C±de=

т2 т \—2т 2 Я -ал,

а ) в

2т

/2

ЛС2М? af2 (2e\sm2me i V - 1

dd =

o2m-l 1—2m ■ \ rr I a2m

L Я О V " / и

я2тЛЫОгм1 аЖ/2( aeYsm2m0

J ln

22m-v-lav " 0 J q

2 m-v

dO.

To есть

P1

ro

tfP^Ap^P^Ap^o.

N- 1]z

^ я2т~1АС2М22 /2 22m-v-l J

Ниже докажем, что

Iii

In2ae

sin2m в n2m-v

dO .

я2т-ХАС2м1 /2

ал/ f , ae

1п1Г

у

2

2m—v—\

Xxvlae

sin2m в

r\1m—v

dd <C,

где С принимает значение

К^+пХпп^ J

sin2™ в

о в

2 m-v

de +

if „ \

+ K\ 0

1+

sin2m e

e

2 m-v

de,

если v > 0, /х> О или K

(-12еЛ A+<x> sia2m в +<x>sin2m6>

V2e f -sin-- de +2~" K\ Sm °

J -2 m-v+j.1

ln

2e

V л J

1 в

О в

2m— v

de,

если v>0, jU<0, где n=\

как в лемме 2. Положим р = рт^а , где полином рт а определяется равенством (1). Очевидно, что т , т. е. р е ■ Поэтому

K =

я2п-ХАС2М22

г, 2т—и—1

Рассмотрим два случая.

1. Пусть сначала у> 0, //>0. п= [/^ 1 ■ Имеем

ал 12

J

0

ал /2

= I

1/n

In у 2т

в

1п2ож

sin О

е

2m-v

( , ae У

ln

In 2 ae

$т2т

i2 m-fj

de =

-de +

J

V

+ J

0

в

1п2ок

sin 2m в

2 m-v

e

de.

Оценим первый интеграл этой суммы следующим образом:

ал/2

I

1/nn

( ^ae\f

ln

9

ln2oK

sin2m e

2m-v

■de<

e

aMJ 2( In ae + n ln n Y sm 2m ^ ln

< J I -:- I —:-d0<

In 2ae

i2 m-v

<C+«ln«j; J —;-de.

о е2т-м

Для 2-го интеграла имеем

1/n"{ ln

в

ln 2ae

v У

sin2m e

n2m-v

de =

1/nn

= i

0

1/nn

In ae + ln -

_<

1п2ак

sin2™

-¡2m-v

-de<

< j ^ln-

1 r sin2™

в J e2m~v

-de<

1/n'

< J

0

1 +

$6

^п *ш2те

a2m-v

de<

0

1

^ sin2mö

nie.

e

2 m-v

d.

2. Пусть V > 0, /л < 0. Подчеркнем, что теперь -// > 0. Тогда

ал! 2

J

О

f ЫШ V

1п2гае

5т2т

п 2т-V

-de =

aiil О

ln2a e ln-

sin2m в

n2m-v

ал /2

■Ja

ln2ae

In'

яп2т

i2 m-v

de =

-de+

и

n

1 v

0

n

n

0

n

■Ja

0

( V-" ln2a e

л ы e

v у

sin2m в

n2m-v

dd.

1-й интеграл этой суммы оценивается следующим образом:

ал/ 2

J

Ja

(

In 2 ае

ln-

sm2m в

п2т-р

de<

ажП ■Лх

(

In 2ае

ln-^r-V ал/2 у

srn2me

-\2m-v

м<

^ ал/ 2 ^

Ja

4le

ln^

V Л J \-р

sin2m,

-de<

2e

ln

V Л J

«V2 sin2m 0 f —-dd<

2m

■Ja & ^

( I- V^ 9

4le sin 0

\ —-dß .

ln —

V л J

• д2т-у+ц

Для 2-го интеграла справедлива оценка

N

1п2ок

•Ja

0

ln ae

V в у

sin2m в

в

2m-v

М<

ln2öe

sin2m 0

ln eja

■\2m—v

■M<

Jä sin 2m ß

<2^ J —-Zd6)< 2-f f —--de.

1 -2 m-v J

+co sin2™ I

0 в

Итак, доказано, что ' Ар. ' А/?^,,.

о в

N-1

2 m-v

<12t'.\'

= да 77 — La при ¡л < О

<ln2ea'lnm^

<ln i

N

т' I 1

т

Cln т*

XN- l]z —

Таким образом, Р^ 1Ар,Р^ 1Ар^[0. <С+г[—1, где С+ = ,ту ¡^Хпт^^О

зависит от N.

Так как || Р^ ' А/? ||/2 = 1 • то младшее собственное

^Т ^ *

число /¡| - матрицы 7у не превышает ( \ //(/ Доказательство окончено.

Лемма 4. Для любого уеИ существует такая константа С+> О, что при всех Л' е N. А' > у, для собственного числа матрицы 7 у выполняется

оценка ^<С+-п\ —

Доказательство. Пусть т определяется, как в лемме 3. Для любых уе1Ч, V е N. V>/;//. положим

~ N.

т]

Для любого /е [. / 7j пусть р '=

ГРи

где полином рт а определяет

ся как в (1). Видно, что все р ' лежат в /V \. Заметим, что полиномы р ^ при разных / не имеют слагаемых одинаковой степени, а значит, они образуют ортогональный базис в некотором у -мерном подпространстве пространства .

} ^

Пусть ух, у2,..., у- еС, р=ЪГ/Р ,

/=\

II Р II¿2 = , тогда

2тт

teS

¿1//12

1 |2

2л" teS

2л-

/е5

JV-1]7 ^

—^ где С, согласно выбору т и п, в силу леммы 2 не зависит от а .

„ ГО <12 есТ*

С другой стороны, при /Л > 0 77 — I =-— <

Оценивая полученное выше равенство, аналогично тому, как это сделано в лемме 3, получим, что суще-

ствует такая не зависящая от N и коэффициентов У1, у2, • • • , У ] константа С > 0 , что

Tn

Р0М-1Ар,Р0^Ар£тг ^Ст]\ -j- I.

N1

N

Так как || Р^ 1 Ар = 1, то доказано, что для любого нормированного вектора V из некоторого у -мерного

имеет место

п 1^-1 т1

подпространства пространства С " ^ оценка < . Учитывая, что

Ж

ссj '= min max :

^-i^-i P^Pj-iMkj

Л

)JV-

не

х (кр0 1аР'Р0 ' получим

Выберем С+ > С так, чтобы требуемое неравенство выполнялось, и при всех Же ну - 1 ^. т. е. для у -го собственного числа выполняется доказываемая оценка. Доказательство окончено.

Теорема 1 вытекает из лемм 1 и 4.

о

m

m

Литература

1. Новосельцев А.Ю., Симоненко И.Б. Зависимость асимптотики крайних собствен-

ных значении усеченных теплицевых матриц от скорости достижения символом экстремума // С.-Петербург. мат. журн. 2005. Т. 16, вып. 4. С. 713-718.

Поступила в редакцию

18 апреля 2008 г.