Асимптотика кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

' '—7-1- ' ( Я? \ Ч"'?') '—7-1- '

Рассмотрим в нем векторы вида ^ Сп 3 ( д - ) • Из нбз&висимости Сп кс1к мно™

3=0 v щ '

гочлеиов от п следует, что если у нас будет достаточно большое количество векторов, то через них можно выразить любой порождающий элемент.

Следовательно, так как для любого достаточно большого п обобщенная сепаранта лежит в /,

то каждое слагаемое в сумме ^ Сп 3 принадлежит /, т.е. для любого г ^ 0 нашему

идеалу I принадлежит = (б/)1-^, что невозможно по предположению индукции, так как

,дУ1)

deg Sf < deg /. Переход доказан.

Следствие 3. Пусть идеал 3 содержит некоторый дифференциальный идеал. Тогда условие ,] С I, где I — некоторый алгебраический конечно-порожденный идеал, может быть выполнено тогда и только тогда, когда I = (1).

Доказательство напрямую следует из предыдущей леммы, так как любой дифференциальный идеал содержит идеал вида [/].

С использованием обобщенных сепарант нам также удалось решить в [2] следующую задачу: дан дифференциальный многочлен / € К {у} с условием [/,5/] = (1), требуется алгоритмически проверить, верно ли равенство [/] + (5/) = (1). Условия такого вида впервые появляются в работе Е. Р. Колчина [5], который ввел понятие экспоненты дифференциального идеала и вычислил возможные значения экспоненты дифференциального идеала [/] — наименьшего значения т, такого,

что С I, где / — дифференциальный многочлен первого порядка. Однако при отсутствии

сингулярных решений ([/, ¿>/] = (1)) Колчин решил эту задачу лишь при дополнительном условии [/, 5/] ф (1), доказав, что в этом случае экспонента [/] равна 1, т.е. этот идеал радикален. В то же время Д. В. Трушин в работе [4] доказал, что при условии [/, 5/] = (1) равенство [/] + (5/) = (1) эквивалентно существованию в идеале [/] квазилинейного многочлена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kolchin E.R. Differential algebra and algebraic groups. N.Y.: Academic Press, 1973.

2. Zobnin A., Limonov M. Algorithm for checking triviality of "mixed" ideals in the ring of differential polynomials // Programming and Computer Software. 2015. 41, N 2. 84-89.

3. Zobnin A. Admissible orderings and finiteness criteria for differential standard bases / Proc. Inter. Symp. Symbolic and Algebraic Computation. N.Y.: ACM, 2005. 365-372.

4. Трушин Д. В. Идеал сепарант в кольце дифференциальных многочленов // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, вып. 1. 215-227.

5. Kolchin E.R. On the exponents of differential ideals // Ann. Math. Ser. 2. 1941. 42, N 3. 740-777.

Поступила в редакцию 23.06.2014

УДК 517.518.47

АСИМПТОТИКА КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

А. Ж. Ыдырыс1

Излагается общий метод нахождения асимптотики вблизи нуля кратных тригонометрических рядов, коэффициенты которых удовлетворяют определенным условиям монотонности.

Ключевые слова: кратные ряды, сумма кратных рядов с монотоннымикоэффициентами.

1 Ыдырыс Айжан Жумабайкыз — докторант каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aizhanydQgmail.com.

The paper describes a général method of détermination of the asymptotic behavior near zéro of multiple trigonométrie sériés whose coefficients possess certain monotonicity conditions. Key words: multiple sériés, sum of multiple sériés with monotone coefficients.

1. Введение. Одной из интересных задач в теории тригометрических рядов с монотонными коэффициентами является нахождение асимптотики сумм этих рядов в окрестности нуля. Этой проблемой занимались такие ученые, как У. Г. Юнг [1], Р. Салем [2], Ф. Хартман, А. Винтнер [3], Ш. Шогунбеков [4], С. А. Теляковский [5], А.Ю. Попов [6], Кс. 3. Красники [7].

К настоящему времени одномерный случай изучен достаточно хорошо, однако уже в двумерной ситуации возникают существенные технические проблемы при доказательстве соответствующих теорем. Целью данной работы является нахождение единого метода, который позволит получить результаты об асимптотике для пространств любой размерности. В связи с ограничением объема статьи мы докажем соответствующие теоремы для кратных синус-рядов и приведем результаты для косинус-рядов и смешанных рядов. Полученные оценки снизу и сверху совпадают по порядку.

Всюду ниже через С мы будем обозначать положительные абсолютные постоянные, а через С(т) положительные постоянные, зависящие лишь от размерности пространства. Эти постоянные могут быть разными в различных ситуациях.

Пусть размерность m ^ 1, п = (п\,П2, ■ ■ ■ ,пт) € Nm, nm=i — последовательность

действительных чисел. Обозначим

АгО-Й — 0>т,...,Пг,...,Пт 0"П1,...,Пг-{-1,...,1ггп-

Определение. Будем говорить, что последовательность Пт=1 монотонна, если А(% =

Ai (Д2 ... (Атап)...) ^ 0 для любого п € Nm.

Определение. Будем говорить, что последовательность Пт=\ выпукла, если А 2аш =

Af (Ag ... (Атап) ■■■) для любого п € Nm.

В п. 2 будут установлены вспомогательные леммы, а основные теоремы — в п. 3.

2. Вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть а > 0; {hk(t)}^=1 — последовательность непрерывных функций, Hn(t) :=

п

hk(t) таковы, что найдется постоянная С > 0, для которой \Hn(t)\ ^ jt при всех t € (0,7г) и

k=i

п, а последовательность {firâ}^=ï°° Пт=1 монотонна, и a-ft —> 0 при п\ + + • • • + пт —> оо . Тогда если Ni,..., Nm — натуральные числа, натуральное j € [1, m] и

Nm-lj-l

Ylhni(xi)HNj(Xj)x

Пт = 1 г=1

х П Hni(Xi) Aj+l (Ai+2 . . . (Am^!..........n™) • • •) ,

i=j+1

m,о

,q /—\i < С (m)

П x? i= 1

Замечание 1. На концах отрезка j € [1, m] Sjj -(x) понимается следующим образом:

N2-1 Nm-1 m

П2 = 1 nm = 1 i=2

Nm-l m— 1

П hni{xi)HNm{xm)an

Пт-1=1 i=l

N1 Nj-1 Nj+1-1

:= SNlt...,Nm,j(x) = Y1 ■ ■ ■ Y1 Y1

Tll = l rij —1 = 1 Tlj^ 1 = 1

N1

E-

ril = l

Доказательство. Проведем индукцию по размерности т. Если т = 1, то, очевидно, ^ = 1 и

С

= |Нм(х) ам\ ^ \Нм(х)\ ам ^ — ам.

Пусть т > 1 и лемма установлена для размерности т — 1. Докажем ее для размерности т. Пусть вначале ] > Тогда, применяя преобразование Абеля по индексу 3 — 1, имеем

П1 = 1 п^—2 = 1 та ^ _1 = 1 = 1 гат = 1 г=1

X Л Н^Хг) А^-! ... (Атапъ...^_ъмз■>щ+ъ...,п7П) • • •) +

г=3+1

П1 = 1 = 1 «..,' +1 = 1 Г1т = 1 г=1

т

х Л Нп^Хг) А^! (А^+2 . . . (Атагаь...)^._2)^_ьл?:).)^+ь...)гат) . . .) = П + Т2. ¿=.7+1

Используя предположения индукции, получаем

^■-1-1

<

з-1)\ '

га,_ 1 = 1

^ N¡-2 ^+1-1 Мгп-и-2

I] I] ••• I] ]|//!;;(.г.)//л (.г,

П1 = 1 = 1 га^'+1 = 1 гат = 1 г=1

(1)

х Нп^Хг) (А^+2 ... (АтА:,_1агаь...)^_ь^)^.+ь...)гат)...)

1=3 +1

<

^■-1-1 < Е

С С(т) . С(т)

_ а--т-А^ -Й1,...,1,^,1,...,Ъ

п,-_1=1 п П

г=1,г^.7 — 1 г=1

. , С(т) С(т)

|т2| ^ Сж^—х;!---^ -«1,...,1,^,1,...д-

п п

г=1,г^' —1 г=1

(2)

(3)

Таким образом, при ] > 1 утверждение леммы вытекает из формул (1)-(3). Если же ] = 1, то

• • •) ^

Л^2-1 ЛГт-1 т

"-2 = 1 пт = 1 г=2

<

С(т)

^2-1 Л?т-1

^ ... ^ А2 (Аз ... (Атам-

П ж" "2 = 1 "т = 1

г=1

, СИ П х?

г=1

Лемма полностью доказана.

Следствие 1. Если пос, условиям леммы 1, то при х € (0, тт)т имеем

Следствие 1. Если последовательность Ппг=1 и функции 1 удовлетворяют

оо оо т

оо оо

"1 = 1 гат = 1 г=1 "1 = 1 гат = 1 г=1

Доказательство. Рассмотрим прямоугольную частичную сумму

Ni Nm т

= Е ■■■ Е anllhni(xi).

ril = l Пт = 1 1=1

Последовательно применяя преобразование Абеля, получим

N-i Nm-i Nm-1 т— 1 Ni Wm_i

«■1 = 1 ram_i = l ram = l i= 1 ril = l ram_i = l

m—1 iVi —1 Nm — 1 "i "i

X П hni{xi)HNra{xm) = ... = ■■■ AanY\Hni(xi) +

i= 1 ril = l rim = l 1=1 i=l

Учитывая оценку леммы 1 и стремление к нулю коэффициентов ащ по каждому индексу, убеждаемся в справедливости следствия 1.

Лемма 2. Пусть а > 0, последовательности непрерывных функций {hk(t)}^=1 такова, чт,о

найдется постоянная С > 0, для которой \Hn(t)\ = | hk(t)\ ^ при всех t € (0,7г) и п, а

к=1

последоват,ельност,ь {ara}^=i°° Пт=1 выпукла и (Ьц —> 0 при п\ + п2 + • • • + пт —> оо . Тогда если N\,..., Nm— натуральные числа, натуральное j € [1, m] м

Wi Wj-i iVj+i-l Wm-lj-l

TWtj{x):=TNlt...tNmtj{x)=Y/... Y. E ••• E ЦКЫНМз(х3)х

ni = l rij —1 = 1 rij^l = l rim = l i=l

m

X Hni(xi) Aj+i (Ai+2 ... (AmAailb...)ilj_bjvj)rij+1,...,rim) • • •) , j=i+i

mo

< m—V,iJ^l+l.W П zf L 2 J

i=l

Замечание 2. Из выпуклости последовательности nm=i и стремления к нулю по

каждому индексу отдельно следует монотонность — это видно из равенства

оо оо

A arai)...)ilm = Е ••• Е A2flfci .-.fcm!

fcl—Til Tim.

которое выполняется для всех n € Nm.

Доказательство. Проведем индукцию по размерности т. Если т = 1, то j = 1 и

С ■ (N + 1) 2 С N 2 С

\TNA(x)\ = \HN(x)AaN\ < |Ялг(ж)| Aaw <-^-^ AaN < — ^ Даг < — а[Я]+1.

Ж Ж , , Ж 2

Mf]+i

Пусть т > 1 и лемма установлена для размерности m — 1. Докажем ее для размерности т. Пусть вначале j > 1. Тогда, делая преобразование Абеля по индексу j — 1, имеем

Wi Nj-2 Nj-i — l Nj+i — l Nm-lj-2

E ••• E E E ••• E i)//\ i.r?)x

ril = l rij_2 = l та J — 1 = 1 1 = 1 ilm = l i=l

m

x П Sni(aJi) Aj-1 (Aj+1 (AJ+2 • • • (AmAarab...)ilj._bWj)nj+b...)nm) •••)) +

i=j+1

9 ВМУ, математика, механика, №6

ЛГх N¿-2 +1-1 Мт-и-2

+ Е'" Е Е ••• Е П^^)^'-!^-1)^^

"1 = 1 = 1 Г1^'+1 = 1 "т = 1 г=1

х Л Нп^Хг) (А-/+2 . . . (АтАйп!..........п„

¿=.7+1

Используя предположения индукции, получаем ^■-1-1

= П + т2.

",-1=1

N¡-2 Л^+1-1 N„-13-2

£••• £ I] ••• I] ]|//!;;(.г.)//\ (.г,

"1 = 1 П^_2 = 1 ", + 1 = 1 "т = 1 ¿=1

(4)

т

г=3+1 ^■-1-1

<

<

Е

С • (71,-1 + 1) С(т)

",-1=1

«,-,-1 п I?

г=1

т

п ^

г=1,г^'-1

№ ^-ь —

С(т) ^ -а- - гаг,-

П*?

г=1

<

i i i „ / м С(т) .

|т2| < Щм^х^-г)]---А,_1 а

п ^

г=1,г^'-1

№ —

<

С(т)/пТ лд Ст

< 1 7 (ДГ,- 1+1)Д,- 1 а глг-п < ——

™ 1 3 ! 3 +1,1,...д ^ ™

^ Т^-Я- гА^,-_1 1 Г^-,'! ^

(5)

г=1 г=1

С{гп)

^ -а1,...,1, [^1+1,1,...,Г

Пх?

г=1

Таким образом, при ] > 1 утверждение леммы вытекает из формул (4)-(6). Если же ] = 1, то

N2-1 Мт-1 т

(6)

1*1

<

<

Е--- Е \НМ1(Х1)\1\\Нт(хг)\-А2(А3...(АтАа

"-2 = 1 Пт = 1

N2- 1 Ит- 1

г=2

£ • • • £ + + 1)Д2(Дз • • • {АтАаМиП2,...,Пп

П х" "2 = 1 Пт = 1

г=2

г=1

ГГтгЛ

П X" "2 = 1 "т = 1 г=1

С(т)

С(т)

П*? Пя? и

г=1

г=1

Лемма полностью доказана.

Следствие 2. .Если пос, условиям леммы 2, то при х € (0, тт)т имеем

Следствие 2. Если последовательность {ага}^=1°° Пт=1 м функции удовлетворяют

оо оо

оо оо

Е ••• £ АопП^^) = Е ••• Е

"1 = 1 "т = 1 ¿=1 "1 = 1 "т = 1 ¿=1

Доказательство. Рассмотрим прямоугольную частичную сумму

Ит т

= Е ••• Е АашИ^Ы-

пх = 1 Пт = 1 г=1

Последовательно применяя преобразование Абеля, получаем

ЛГт_х ЛГт-1 т-1 ЛГт_х

Е Е Д™(Аа") П ЬпАХг)НптЫ + Е ••• Е Аа»1,...,пт-1,М™Х

"-1 = 1 гат-1 = 1 гат = 1 г=1 П1 = 1 гат-1=1

т,—1 —1 Мгп — 1 т, т,

X П К,(хг)НМгп(хт) ... ^ ... ^ Д2а*Д#„.(04) +

г=1 П1 = 1 гат = 1 г=1 ] = \

Учитывая оценку леммы 2 и стремление к нулю коэффициентов а-п по каждому индексу, убеждаемся в справедливости следствия 2.

Лемма 3. Пусть последовательности {агг}^=1°° Пт=1 выпукла и а-п —> 0 при П1+П2+. • •+пт —> оо. Тогда при всех х € (0, тт)т имеем

оо оо т

Е ••• Е П(ni + l)Kni(xi)A2an,

ni = l пт = 1 г= 1

ТХ тх /с

где Кп(х) = Dk(x) = ¿j Е Е sin га: = (п+^Ц)Цп+1+)1)Х

к=1 fc=lr=l ^

Доказательство. Пусть вначале = sinfct. Тогда iira(t) = ^ hk(t) = Dn(t). Поскольку

к= 1

при любом t € (0,7г) имеем |iira(i)| ^ Я, можно применить следствие 1 (здесь а = 1). Тогда

оо оо

g(x) = Е ••• Е АОпП-0^^)-

ril = l ilm = l i= 1

Теперь рассмотрим /ifc(i) = -Dfc(i). Тогда iira(t) = (п + l)-fira(i) и |iira(t)| ^ С''(-^+1-> при t € (0,тт), так как \Kn(t)\ ^ ^ при t € (0,7г). Далее, применяя следствие 2, убеждаемся в справедливости леммы 3.

Лемма 4. Пусть последоват,ельност,ь {ara}^=i°° Ппг=\ монотонна и а-п —> 0 при п\ + п2 + • • • + пт —> оо . Пусть 1 ^ I ^ т, тогда при любом х € (0, тт)т имеем

оо оо т

Е ••• Е anY\smnjXj =

00 00 m

= Е ••• Е А1(А1+1...(Атап)...)\[фщ]+П](х])-Ъщ](х])).

Доказательство. При фиксированных п\,... ,П1_\ и х1,...,хт € (0,7г) рассмотрим последовательность \br\T-7°°-11 где Ьг = а г_п г _ п при всех г € Тогда эта

последовательность монотонна и стремится к нулю по каждому индексу. Пусть к^) = + к)Ь

п ~ ~

С

при к = 1,2,.... Отметим, что Яга(£) = ^ = — ж], откуда |Яга(£)| ^ — при

к=1 4 4 * £ € (0,7г). Применяя лемму 1 и следствие 1, получаем утверждение леммы.

Для следующей леммы нам нужна оценка снизу: Кп(х) ^ Схпп при п > 1, Кп(х) ^ — при

Лемма 5. Пусть последовательность Пт=1 выпукла и а-п —> 0 при П1+П2+...+пт —>

оо. Тогда существует постоянная С > 0, такая, что для любого числа I € [1 ,т] и Х\ € (0, ^р) выполняется неравенство

оо

Е(«г + 1)Кщ(х1)А2ап > Си(хг),

щ=1

где и(Х1) := хг' £ ' пгД2ай, Д2а^ := А? (д2 ... Д2_! (Д2+1Д2+2 ... (Д^)...)...).

гаг = 1

Доказательство. Используя оценки для Кщ(х{), получаем неравенство

Е(иг + 1 )Kni(xi)A2an ^ с(жг Ё nfA2a,n + - Е ■

xl г 1

гаг = 1

гаг = 1

(7)

Далее, пусть к = к

Щ = 1

7Г ж; , тогда

к

2a« = Е

Щ=1

£ nfA2a,n = £ К " (Ш " !)3) (Аг(Аг2а^) - At(A2

^ Е rfMAfan) - Л3Дг(Д2агаь...)Г1г_ьд;+1

гаг = 1

к

nl+1,...,nj = Е K-(«i-i)2)x

гаг = 1

3,

Дг а-п — At ani>...>ni_1>k+i,ni+1,...,nm ) arab...)il;_bfc+i)il;+b...)ilm) ^

^ Е ~ к2A2ani>„.>ni_1>k+i,nl+1,...,nm — к3Ai(A2anit,,,tni_ltk+i,nl+1,...,nm)-

щ = 1

Кроме того,

оо

щ=к+1 оо оо оо

ri;=fc+l Щ = к+1Г=Щ

Следовательно, если выполняются неравенства 2

А? а

XI

7Г

жг

1

пь...)пг_ь|^|+1)пг+1)...)пт ^ 4^), жг

(8)

(9) (10)

1

Ai(Afa г ^ 1 , ) ^ -v(xi),

то утверждение доказывается с помощью оценок (7), (8). Если неверно хотя бы одно из них, то используем (7), (9), (10). Лемма доказана.

оо оо т

3. Основные теоремы. Вспомним, что д(х) = Е ... Е я« П sinnia;i. Верны следующие

rii = l ram = l г=1

теоремы.

Теорема 1. Пусть последовательность Ппг=\ монотонна, и а-п —> 0 при п\ + +

... + nm —>■ 00 . Тогда существует постоянная С(т) > 0, такая, что при всех х € (0,7г)т имеем

\g(x)\ ^ С(т)а(х),

т lxi] \_хт ] т

где а(х) = П Е • • • Е П nian■

г=1 ni = l Пт = 1 г= 1

Доказательство. Пусть М = {1,2,... , т} и В С М. Тогда обозначим В = М \ В. Имеем

< Е 1^)1,

всм

(11)

где если В = {h,i2, . . .,ц), а В = {ji, ...,jk} (I + к = т), то

Е-Е Е

Е "»П

ащ sin nrxr.

пч = 1 пч = 1пп = {^-] + 1 п3к = [^-]+1 г=1 ■/1 •'к

Поскольку все б'в(ж) оцениваются одинаково, рассмотрим случай, когда В = {1,... ,1}, а В = {1 + 1,..., т} (случаи В = 0 т В = М ш исключаются из рассмотрения). Тогда, используя лемму 4, получаем

<

Е ЕП

TljX

Е

Y 1 (дг+2 • • • (Ama^) • • •)

"1 = 1 "¡ = 1.7 = 1 гаг+1 = [_ж_]+1 ram = [_i_] + i

t m, ^

х П - < с(т) Е • • • Е Пад- П —

J=Z+1 "1 = 1 «.¡ = lj=l J=Z+1

Учитывая, что

^i+iJ

Xm I m,

П ^ E ••• E П nП

j=l+l "¡+1 = 1 ram = lj=Z+l

3=1+1

xjani n 1 :

xl+1'

x-rn J m

"■¡+1 = 1 "m = lj=Z+l

C(m)

m

П •''/

i=z+i

®ni.....«¡J—1—] + l,...,[ 1 + 1)

' ^¡+1 J Lzm J

^ C(m)a(x). Отсюда и из (11) вытекает утверждение

где С(т) > 0, приходим к оценке |¿>б( теоремы.

Теорема 2. Пусть последовательность Ппг=\ выпукла и ал —> 0 при п\ + п2 + • • • +

пт —>■ оо. Тогда существует постоянная С(т) > 0, такая, что при всех х € (0, имеем

g(x) ^ С(т)а(х).

Доказательство. Для любого х € (0, тт)т верно равенство (см. лемму 3)

оо оо т

д(х)= Е ••• Е П(ni + l)Kni(xi)A2an.

rii = l ram = li=l

Тогда, используя лемму 5, получаем

оо оо т— 1

^ Е ••• Е П (ni + 1 )КпЛхг) Е {пт + 1)КПгп(хт)А2ап >

"1 = 1 "m — 1 = 1 г=1 "т = 1

оо rri— 1

rri— 1

~^Схт Е ••• Е П + Е Пт^т

ап ... Схт J^ | Cxi

"1 = 1 "m_l = l г= 1 "т = 1 г=1

х Е Е П ^ °т ПXi £ • • • £ П ^ с(т)а(х)-

ni = l пт = 1 г=1 г=1 ni = l пт = 1 ¿=1

Теорема доказана.

Приведем результаты для кратных косинус-рядов /(ж). Напомним, что /(ж) имеет вид

оо оо т

f(x) a™ JJ cos гад.

ni=0 пт=0 г=1

Теорема 3. Пусть последовательность {ага}^=о°° пт=о выпУкла и ап —> 0 при п\ + п2 + • • • + nm —> оо . Тогда существует постоянная С(т) > 0, такая, что при всех ж € (0, тт)т имеем

0 < /(ж) < С(т)/3(ж),

И

L 1 J L жт J т

где/3(х)= Е ••• Е П (пг +

ni=0 гат=0г=1

Теорема 4. Пусть последовательность {anjraeN™ стремится к пулю по каждом,у индексу отдельно и, АЗа,п ^ 0 для любого п € N™. Тогда существует постоянная С(т) > 0, такая, что при всех х € (0,7г)т имеем, /(ж) ^ С(т)/3(ж).

Приведем результаты для кратных смешанных рядов:

оо оо оо оо s т

h{x) = Е ••• £ £ ••• £ а™ Ц sin гад cos rijXj,

ni = l ns = l ns^i=0 nm=0 ¿=1 j=s+1

где 0 ^ s ^ m.

Теорема 5. Пусть последовательность {anjraen™ стремится к нулю по каждом,у индексу и Ai ^ ... AS(A2+1... (Атап) •••)••• j 0 для, любого п € N™. Тогда существует постоянная, С(т) > 0, такая, что при всех ж € (0, имеем

\h(x)\ ^ С(т)7(ж),

xll L^sJ L^s+l

где 7(ж) = П х% Е • • • Е Е - I! Пи> П ("] + А«+1 (д«+2 • • • (А тОп) ...).

г=1 пх = 1 п3 = 1п3+1=0 гат=0г=1 ,7=«+1

Теорема 6. Пусть последовательность {а«;}га€М™ стремится к нулю по каждом,у индексу

отдельно и, А2 ^ ... А2 • • • {А^а-п)...)... ^ ^ 0 для, любого п € М™. Тогда существует, посто-

янная С(т) > 0, такая, что при всех ж € (0, ^)т имеем /г (ж) ^ С(т)7(ж).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Young W.H. On the mode of oscillation of a Fourier series and of its allied series // Proc. London Math. Soc. 1913. 12. 433-452.

2. Salem R. Determination de l'ordre de grandeur a l'origine de certains series trigonometriques // C. r. Acad. sci. Paris. 1928. 186. 1804-1806.

3. Hartman Ph., Wintrier A. On sine series with monotone coefficients //J. London Math. Soc. 1963. 28. 102-104.

4. Шогунбеков Ш.Ш. Некоторые оценки для синус-ряда с выпуклыми коэффициентами // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1993. 67-72.

5. Telyakovskii S.A. On the behavior near the origin of the sine series with convex coefficients // Publ. Inst. Math. Nouvelle Ser. 1995. 58. 43-50.

6. Попов А.Ю. Оценки сумм рядов по синусам с монотонными коэффициентами некоторых классов // Матем. заметки. 2003. 74, № 6. 877-888.

7. Krasniqi X.Z. On the behavior near the origin of double sine series with monotone coefficients // Mathematica Bohemica. 2009. 134, N 3. 255-273.

Поступила в редакцию 15.10.2014