CC BY
29
^ Ьп(Яп(г,х); х) < 1 ш{///; 6)
Ьп((г - х)2; х) + -1 Ьп((г - х)4; х)
Нетрудно получить, что Ьп({Ь-х)4; х) = -{х)
взяв 6 =-, получаем
п
4 . -{х)-/2{х) + у2{х)у"{х)
п3
, поэтому,
^ / ^ / N N 1 I пи /^{хМ -Ы Ьп{Яп{г,х); х) < 1 ш /"^
-/2{х) -"{х) -{х)п п
Следовательно,
|М,,{/; х) - /{х)| < 2ш(/"м/^
пп
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-0100167).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Гудошникова Е.В. Конструкция линейных положительных операторов // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 20-22,
2, Гудошникова Е.В. Конструкции Л ПО и их аппроксимативные свойства // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10, С, 18-20,
УДК 517.927.25
А.П. Гуревич
АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
В спектральной теории линейных дифференциальных и интегральных операторов важную роль играет существование у рассматриваемых уравнений линейно независимой системы решений, которая имеет асимптотику по спектральному параметру, такую что ее главный член совпадает с решением некоторого канонического уравнения и при этом имеет простое представление. Использование асимптотических представлений решений позволяет получить информацию о расположении спектра оператора, изучить поведение его резольвенты, сделать вывод о свойствах ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям [1]. В случае, когда собственные значения оператора находятся в полосе, содержащей вещественную
ось, например, при рассмотрении дифференциального оператора с распадающимися краевыми условиями [2], полезно знать фундаментальную систему решений уравнения, которая имеет асимптотику не на отрезке прямой, а в некотором выпуклом многоугольнике. В данной статье для случая дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами доказано существование фундаментальной системы решений, которая является обобщением результатов из [1].
Пусть - замкнутый выпуклый т-угольннк, Р - полуполоса в комплексной плоскости {р\ Ие р > р0 > 0; 11т р\ < Н} где ро, Н - фиксированные положительные числа. Обозначим через Б множество функций /(г)7 непрерывных в ^^ ^ ^^^^^таческих в Qm, {Лк}т= 1 _ вершины многоугольника Р.
Теорема 1. Пусть дана система интегральных уравнений
у
т п р
•&„(г,р) = а„ + ^^ Qkj(г,£,р)$к(£,рШ, V = 1, 2 ... ,п, (1)
где а„ = сопэ! , Л(]) - верши ни Qm (не обязательно различные), функции Qkj (г, £, р) как функц ии г или £ принадлежат Б, а при фиксированных г и £ являются аналитическими в Р и непрерывными в Р, причем Qkj(г,£,р) = 0(р) равномерно по г, £ щи г Е Qm, £ Е [Л(у),г], где [Л(з), г] - отрезок прямой, соединять^ий точки Л(]) и г. Тогда, при, достаточно большом, Я0 и \р\ > Я0, р Е Р, система (1) имеет единственное решение (г, р)}П=1, причем (г, р) как функции г принадлежат Б и являются аналитическими функциями по р при \р\ > Я0 и р Е Р и непрерывными при р Е Р (\р\ > Я0), при, этом справедливы асимптотические представления
Мг,р) = а„ + О(р), V = 1, 2,... ,п. (2)
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение
и(п) + р2(г )и(п-2) + ... + рп(г )и + рпи = 0, (3)
гдерк(г) (к = 2,3,... ,п) заданные функции, принадлежащие множеству Б.
Теорема 2. Уравнение (3) имеет фундаментальную систему решений {ик(г,р)}п=1, которая удовлетворяет следующим условиям:
1) при фиксированном р Е Р и \р\ достаточно большом ик(г,р) Е Q
т)
2) при фиксированном г Е функции ик(г, р) аналитичны в Р и непрерывны, в Р при |р| достаточно большом;
3) справедливы асимптотические представления
иЦ\г,р) = (рик)(ехрршкг) (1 + о(р)), к = 1,п; $ = 0,п - 1. (4)
Доказательство. Применяя метод вариации произвольных постоянных, приходим к выводу, что уравнение (3) равносильно следующему интегральному уравнению:
2
U = £ Cz + £ ^ еР^3(z"e)m(u) d£, (5)
jer~j z + \ ^_Uj
npn—1 „ j = j= Aj
где в качестве нижних пределов интегрирования можно взять произвольные точки многоугольника (т, а интегрирование ведется по прямолиней-
п
ным отрезкам, соединяющим точки Ау и г т(и) = Рк(г)и(п-к).
к=2
Изучим решение уравнения (5) при Су = 0 $ = к Ск = 1, где к - фиксированное натуральное число, не превосходящее п. Обозначим решение этого уравнения через ик(г,р). Имеем
n
и
U = врШкz + £ щрПЬ J eP"j(z~°m(uk) d£. (6)
j=1 Aj (k)
Убедимся, что точки Aj(k) (j = 1, 2,... ,n) можно выбрать так, что при z Е QTO и £ изменяющейся на отрезке [Aj (k), z] выполняются неравенства: Re Uj (z — £) < Re uk (z — £), то есть
Re(uj — uk)(z — £) < 0. (7)
Пусть сектор, образуемый сторонами многоугольника QTO, исходящими из вершины As, определяется уеловием as < arg(z — As) < ßs, s = 1, 2,... ,n. Тогда если в качестве нижнего предела интегрирования взять As, то неравенство (7) будет выполняться для тех значений j, для которых имеет место | — aj < arg(uj — uk) < | — ßj.
Рассмотрим сектор Ds, определяемый условием | — as < arg z <
TO
< |П — ßs. Докажем, что У Ds совпадает со всей плоскостью. С этой
s=1
целью преобразуем последнее неравенство к виду ßs — п < | — arg z < as.
z
Остается заметить, что объединение получившихся секторов совпадает со всей плоскостью.
Будем в дальнейшем считать, что точки Лj (к) в уравнении (6) выбраны так, что на отрезках интегрирования выполняются неравенства (7). Но тогда при р Е Р справедливы оценки р(шj — Шк)(г — £) = 0(1)., ] = 1, 2,... ,п. Для получения асимптотических формул (4) остается свести уравнение (6) к системе интегральных уравнений (см. [1, с. 58]) и воспользоваться теоремой 1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М,: Наука, 1969. 528 е.
2, Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. сб. 1966. Т. 70(112), № 3. С. 310-329.
УДК 519.583.3
С.И. Дудов, Е.А. Мещерякова
ОБ АСФЕРИЧНОСТИ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА
1. Задачей об асферичности выпуклого компакта D из конечномерного пространства Rp с непустой внутренностью: int D = 0 называют
ш(х) = R(X —min, (1)
p(x) xeD
где функции
R(x) = maxn(x — y), p(x) = minn(x — y)
yeD yen
выражают соответственно расстояния от точки x до самой удаленной точ-
ки компакта О и самой близкой точки м ножества О = \ йв заданной норме п(). Фупкц ия Я(х) является выпукл ой па а р(х) — вогнутой на О, известны соответствующие формулы субдифференциала дЯ(х) и супердифференциала др(х) этих функций [1, 2]. Показатель асферичности ¡¿>* = шт{(р(х) : х Е О} используется (обычно для случая евклидовой нормы) при описании свойств выпуклого тела и построении методов его приближения, в частности, при полиэдральной аппроксимации (см., напр., [3]). Однако авторам не удалось обнаружить какие-либо результаты по исследованию задачи (1). В данной статье получен критерий решения задачи (1), а также приводится достаточное условие единственности решения.
