АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА Кыдыралиев Т.Р.1,Сагындыков М.К.2,Чамашев М.К.3

1Кыдыралиев Торогелди Раимжанович - кандидат физико-математических наук, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский государственный университет им. Ж. Баласагына; 2Сагындыков Мелис Калыкбердиевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационных систем в экономике, Кыргызский государственный технический университет им. И. Раззакова,

г. Бишкек;

3Чамашев Марат Какарович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра автоматизированных систем и цифровых технологий, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызская Республика

Аннотация: в этой статье изучается асимптотическое поведение решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра при t ^ +го. Метод преобразования решений применен к исследованию проблемы существования, асимптотической структуры решений в окрестности особой точки интегральных уравнений Вольтерра.

Ключевые слова: условия Липшиц, асимптотика исчезающего решения, интегральное уравнения Вольтерра.

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS TO NONLINEAR VOLTERRA INTEGRAL

EQUATIONS

Kydyraliev T.R.1, Sagyndykov M.K.2, Chamashev M.K.3

1Kydyraliev Torogeldi Raimzhanovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, DEPARTMENT OF INFORMATICS AND COMPUTER ENGINEERING, KYRGYZ STATE UNIVERSITY NAMED AFTER J. BALASAGYN; 2Sagyndykov Melis Kalykberdievich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS IN ECONOMICS, KYRGYZ STATE TECHNICAL UNIVERSITY NAMED AFTER I. RAZZAKOVA,

BISHKEK;

3Chamashev Marat Kakarovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF AUTOMATED SYSTEMS AND DIGITAL TECHNOLOGIES, OSH STATE UNIVERSITY, OSH, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in this article, we study the asymptotic behavior of solutions of nonlinear Volterra integral equations for . The solution transformation method is applied to the study of the existence problem, the asymptotic structure of solutions in the neighborhood of a singular point of the Volterra integral equations.

Keywords: Lipschitz conditions, asymptotics of the vanishing solution, Volterra integral equation.

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Вольтерра

* г

ы(г) = Л| и^^ +Л| К (г, +/ (г), г е[г0, +(»], (1)

и будем изучать асимптотику решений уравнения (1) при г ^ +сю . Наряду с уравнением (1) рассмотрим укороченное линейное уравнение

г

ги(г) = Л | и^^ + / (г). (2)

Предположим, что:

а) Пусть свободный член /(г) удовлетворяет одному из следующих условий: для V = 1 и Vо > 0

I/(' Ж„ I/(' )1

^ 0, J-- ^ю, t ; (3i)

7 .V-I-/T 7 7 \ 1/

tv+a

для

v< 1 и Va> 0

1/(01 |/(t)|

< A, ^ю, t (32)

tv ' tv+a

где А - фиксированная постоянная;

для

v< 1 и Va> 0

f (' f о )l

^ да.

^ 0, t ^+да :

(3з)

для

v< 1 и Va> 0

tm™=B,

ОЭ f

где: В - некоторое комплексное число, причем при В=0 f (t)

(34)

tv

^ да, t ^ +да .

b) Функция K(t, s, u) непрерывна по совокупности переменных в области G = {(t, s.u): t0 < s < t < +да, \u\ < h, h > 0},

K (t, s,0) = 0 и удовлетворяет условию Липшица K (t, s, щ ) - K (t, s, u2 )| < N (t ,s,f)ul -u2|,

где: f = max|щ |, |u21, N(t, s, f) - неотрицательная, монотонно убывающая по своим аргументам функция.

c) Пусть щ (t) решение соответствующего укороченного уравнения (2) и

1 t

— J v(s)N (t, s,v(s)0, t ^+да,

где:

если Re\ Ф v;

v(s) = |u0(s)| +

+1

/-Re\\

v(s) = \u0 (s)| + (2 \A\y ns\ +1) sv-1,

(4)

(5i)

(52)

если Re\ = v < 1.

При Re\ = V = 1 предполагаем, что

ы'

tv

J v(s)N((t, s, v(s))ds ^ 0, t ^ 0

(6)

где: У(э) определено в (51).

Отметим, что асимптотика исчезающих решений и = щ (t) укороченного уравнения изучено в работе [1]. Найдено, что если

с

J(t) = \\ J f (r)r-(\+1)dr,

щ (t )=^ - J (t)

то частное решение линейного уравнения (2) можем представить в виде t .

Доказано утверждение, что линейное уравнение (2) имеет общее решение

и ^) = &я-1 + щ (t).

Чтобы показать асимптотику решений нелинейного уравнения (1), сделаем преобразование и^) = щ ^) + х^ ),

где х) - новая неизвестная функция. Имеем

г t

tx(t) = Я | х^^э + | К (t, s, и0 + х^) ) ds. (7)

Введение новой неизвестной функции по формуле

+да

0

t ь

J x(s)ds = tA J

У if)dr

l-v+1

где s = 0, если ReA < v; s > 0, если ReA > v, уравнение (7) приведет к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра II рода

ГКО = j К f t, s, uo(s) + AsA-1 Sf + sv-1y(s) \

ds.

(8)

К уравнению (8) применим принцип сжатых отображений. Пусть

Q = {У(1): У(1) е Ср.*], |у(0| * q < 1},

где величины T, q будут определены ниже. Обозначим

s-i

U(t) -Uo(t) + 1 J + Г1 y(t).

t z

Полагая s = T при Re Л, Ф v aey y е Q имеем

\U(t)| < Uo(t)| + q

í

2 A

- Re ^

+1

v

tv-1 < v(t) ,

а при ReA = v aey y е Q

U(t)| < Uo (t)| + q(2|ЦfM + 1)tv-1 < v(t).

(9)

(10)

Определим функцию

1 Г

— J K(t, s,U(s)), если T tv J

< t <

Ly (t ) = <

0, если t = где y(t) е Q .

Проверим непрерывность Ly(t) при t = . Имеем

1 t

\Ly(t)| <-J v(s)N(t,s,v(s))ds.

где: У(^) определено в (5!) (/ = 1, 2). Отсюда в силу (4) или (6) Ьу (г) ^ 0 при г .

Величины Т, q выберем так:

i т

— J v(s)N (T,s, v(s) )ds < q, 1 T

Q(T) = [v(s) - Uo (s)|]N (T, s, v(s)) ds

(11)

< 1,

2 Л

+ 1\Sv-1 <h при ReA^v

llUo(t 1+q ü ,

^ v - Re A j

lUo (t) + q(2|Alín8\ + 1)sv-1 < h при ReA = v > 1,

где: v(s) определено в (5i) (/ = 1, 2) ;

H - || - норма в пространстве Cjr +00^.

А при ReA = v = 1 требуем, чтобы величины T, q удовлетворяли условию

(12)

(13)

1 Г

— J v(s)N(T, s,v(s))ds = q, (15)

где: у( э) определено в (52), а также соотношениям (10)-(12).

Очевидно, что неравенство (14) можно удовлетворить в силу (15) и (6).

Тогда для любой у е Q имеем, что Ьу Е Q, т.е. оператор Ьу шар Q отображает в себя:

Ь : Q ^ Q.

Далее получим оценку

\\ЬУг — ЬУ2|| ^(Т^У1 - У2||.

Теперь, в силу (12), по принципу сжатых отображений заключаем, что уравнение (8) имеет исчезающее решение

У = У 0*) е Q.

Итак, решение уравнения (1) в окрестности t = представимо в виде

и«) = ) + Я*я— 1| Щ^+Г1 у(),

т.е. можем написать соотношение

и(г) = щ ^) + о(^-1), t (16)

Теперь можно сформулировать результат.

Теорема 3.2.1. Если выполнены условия а), Ь) и с), то уравнение (1) имеет исчезающее решение, удовлетворяющее соотношению (16).

Замечание. Утверждение теоремы остается справедливым, если условие с) заменить условием с') (см. ниже). Если имеет место случай

(а): ЯеЯ^У или ЯеЯ = У, в (8) £ = о и в обоих случаях выполнено (3^) (1 = 1, 4 ), то

t

1

с') — f sv^1N(t, s, qsv-1 )ds ^ 0, t ^+да,

fv J

tv

+да

где с1 - произвольная постоянная > ух. Если имеет место случай

(Р): ЯеЯ^У или ЯеЯ = У, в (8) £ = о и в обоих случаях выполнено (33); ЯеЯ = У, в (8) £ > 0 выполнено одно из условий (3^) (1 = 1, 4), однако У < 1, то 1 г

— ] эхМ(t, э, е2эх )Ж ^ 0, t ,

tv

+да

где: с2 - произвольная постоянная > у2, число % определено в работе [1], как X = У — 1 — ° .

и

Список литературы /References

1. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск. Высш. Школа, 1979. 136 с.

2. Байзаков А.Б. Особые точки дифференциальных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра.Бишкек: Илим, 2007. 134 с.

3. Кыдыралиев Т.Р. Применение метода пробразования решений в асимптотичнской теории дифференциальных и интегральных уравнений. [Текст]: канд.физ.-матем. наук дис. автореф.: 01.01. 02 / Кыдыралиев Т.Р. Бишкек, 2019. 20 с.

4. Kydyraliev T.R. On the solvability of the Cauchy problem for a singularly perturbed integro- differential equations in partial derivatives of the first order with the turning point[Текст] // Проблемы современной науки и образования. Москва, 2016. № 3(45). С. 45-49.

5. Кыдыралиев Т.Р. Асимптотика исчезающих решений линейных интегральных уравнений Вольтерра [текст] // Научный журнал. Москва, 2021. № 3 (58). С. 9-13.