Об асимптотической устойчивости решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с неполными ядрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО

ПОРЯДКА С НЕПОЛНЫМИ ЯДРАМИ

С. Искандаров1, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. лабораторией теории интегро-дифференциальных уравнений Н.А. Абдирайимова , аспирант

1Институт математики НАН Кыргызской Республики 2Ошского государственного университета ^Кыргызстан, г. Бишкек) 2(Кыргызстан, г. Ош)

DOI: 10.24411/2500-1000-2020-10136

Аннотация. Устанавливаются достаточные условия асимптотической устойчивости решений линейного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра с неполными ядрами на полуоси. Для этого развиваются метод вспомогательных ядер, нестандартный метод сведения к системе, метод возведения уравнений в квадрат, метод преобразования уравнений В. Вольтерра, метод срезывающих функций, метод интегральных неравенств Ю.А. Ведь, З. Пахырова, лемма Люстерника-Соболева. Строится иллюстративный пример, показывающий естественность наложенных условий.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение третьего порядка, неполные ядра, асимптотическая устойчивость решений, интегральное неравенство, метод вспомогательных ядер, нестандартный метод сведения к системе, лемма Люстерника-Соболева, иллюстративный пример.

Все фигурирующие в настоящей работе третьего порядка понимается стремление к

функции и их производные являются нулю при г ^ ю всех его решений и их

непрерывными и соотношения имеют первых и вторых производных.

г > го, г >т> го; 1 = [го, ю) Задача. Установить достаточные

место при ИДУ-интегро-дифференциальное

условия асимптотической устойчивости

решений линейного ИДУ третьего порядка уравнение; под асимптотической

^ „ „ „ Т1тг типа Вольтерра вида:

устойчивостью решений линейного ИДУ

г

х ""(г) + а2(г)х "(г) + а(г)х"(г) + а(г)х(г) + \[й0(г,т)х(т) + й(г,т)х"{т)^т = /(г), г > г0

(1)

в случае, когда выполняются условия:

ю г

11Й (г, т)| йтйг = ю (к = 0,1).

г° *о (О)

Заметим, что в ИДУ (1) отсутствует Й(г,т) (к = 0,1,2).

ядро с ( '. Такое ИДУ будем называть идею метода вспомогательных ядер [1],

ИДУ с неполными ядрами. Поставленная мы в ИДУ (1) вводим некоторое ядро

нами задача, насколько нам известно, Н(г т) х"(т) « „

л у ' ' с ^ ' по правилу веса [2,

почти не изучена. Анализ опубликованных _ г ^

г с.1141, а именно будем развивать метод работ показывает, что имеются много

вспомогательных ядер и в сочетании с

работ для ИДУ вида (1) с полными ядрами,

т.е. с ядрами к Используя

другими методами будем находить класс что поставленная нами задача ранее никем ИДУ вида (1), для которого решаема не решена. сформулированная выше задача. Отметим,

Результаты иследования. В ИДУ (1) вводим ядро Н(гс х (т) следующим образом: (г, т)х(т) + (г, т)х'(г) = а (г, т)х(т) + (г, т)х'(г) + Н(г, т)х"(г) - Н(г, т)х"(г) (2)

и проведем следующее интегрирование по частям:

- jH(t ,t) x " {r)dr = -H(t, t ) x " (t ) +H(t, t0 ) x " (tQ ) + Jh ; (t,T) x " (r)dr. ч to (3)

В результате ИДУ (1) сводится к нагруженному ИДУ вида:

t

x " (t ) + a2 (t ) x " (t ) + a(t ) x " (t ) + a0 (t ) x(t ) + J [Q0 (t, t) x(t) + Q(t, t) x " (t) + H(t, t) x " (т)^т =

= / (г) -Н(г, г0) х" (г0), (4)

где а(г) = а,(г)-Н(г, г), 0(г,т) = 0,(г,т) + Н^т(г,т). Далее в ИДУ (4) сделаем следующую нестандартную замену [3]:

х " (г) + Л2 х(г) = Ж (г) у(г \ (5)

где ^ -некоторый вспомагательный параметр, причем ^ е 0 < Ж(г) -некоторая

весовая функция, у(г) -новая неизвестная функция.

Тогда ИДУ (4) сводится к следующей эквивалентной системе:

х " (г) + Л2 х(г) = Ж (г) у(г), у" (г) + Ъ2 (г) у " (г) + Ъ (г) у(г) + Ъ{) (г) х(г) +

<

t

J T (t, т) х(т) + T (tt, т) у(т) + K (t, т) y ' (фт = F (t ) - (W (t ))- H(t, t0 ) x ' (t0 ), t0 (6)

где

b (t) = a (t) -Я2 + 2W"(t)(W(t))-\ b (t) = a(t) + Я4 + a (t) [w"(t)(W(t)y1 - A2 J+ w:(t)(W(t))-\ w (t) = W"(t) - AW(t), b (t) = [a (t) - Aa(t) + Aa2 (t) - Я6 J(W(t))'1, T0(t, t) = (W (t ))- [Q0(t, t) - A2Q(t, t) + AH(t, t)J Ti(t, t) = (W (t ))'[Q(t, t)W (t) + H(t, t)W*(t)J, K (t,T) - (W (t))- H(t ,t)W (t), F (t ) . f (t )(W (t))-1.

Исследование системы (6) проведем аналогично, как в [4].

Сначала к первому уравнению системы (6) применим метод возведения уравнений в квадрат[2, с.28], т.е. возводим в квадрат обе части этого уравнения, интегрируем в

пределах от 10 до t, в том числе по частям, и получаем следующее тождество:

0

| (х" (я))2 ds +12 (х(г ))2 + Л41 (х( я))2 ds = I2 (х(г0 ))2 +1 (Ж (я))2 (у(я))2

г0 г0 г0 (7)

Теперь преобразуем второе уравнение системы (6), т.е. ИДУ второго порядка для ). Для этого сделаем следующие предположения и обозначения [2]:

п

К (г,т) = Х К, (г, т),

•=0 (ф

F (t) = 2 F (t),

i=0

Wi(t) (( \..n) - некоторые срезывающие функции,

(F)

К,(г,т) - К,(г,т){¥г(г)¥,(т))1, Е,(г) - ^{г){¥г(г(, = 1..п),

я, (г, *о) = 4 (г) + в, (г) (, = 1..п), (R)

с (г) ( П) - некоторые функции. Для произвольно фиксированного решения (х(г ^у(г)) системы (6) ее второе уравнение

у' (г) К Г 104-9171 IППРГП11 П\'Р ЛI та ТТПРТТРТТЯУ [VI 1

умножаем на у ( ) [5, а 194-217], интегрируем в пределах от 0 до г, в том числе по частям, аналогично [2] вводим условия (£), функции

ш. (г), я (г, т), Е{ (г), (г) П = 1..п), /15Ч л л л ,

т 1 гч > >■> 1\ >■> 1\ > \ >■> условие при этом применим леммы 1.4, 1.5 [6] и

имеем следующее тождество:

г п

{у'(г))2 + 2¡Ь2(я)(у'(я))2ds + Ь1(г)(у(г))2 +£{А,(г)(г,(г,г0))2 + в,(г)(г,(г,г0))2 -2Ег(г)г,(г,г0) +

i=1

+ с,(t)-J[б;(s)(Z,(s,t0)f -2E'i(s)Zt(s,t0) + c(s)]ds +\R'1T(t,r)(Z,(t,r)f dr].

0 / / iV J i\">o)

to to

= c° + 2J/(s)[Fo(s) - (W(s))-H(s, to) x'(to)]ds + JЦ(s)(y(s))ds +

'o

.. t С—1

SI

i=1 t

t0

s

A (s)(Z, (s, to))2 +1 Kr (s, r)(Zi (s, r))2 dr

ds -

2Jy'(s)j bo(s)x(s) + |T0(s, r)x(r) + Tx(s, r)y(r) + K0(s, r)y'(r)}ir j

to j (8)

t

г, (г, т) = | ¥г (п) у Шп (, = 1..п), СО = (у' (г,)) + К (г,)(у (г,))2 + ^ с, (г,). где т

Сложим тождества (7), (8) и для любого решения (х(г^у(г)) системы (6) будем получать следующее окончательное тождество:

0

t t t

u(t) = J (x'(s))2 ds + l2(x(t))2 + Л4 J (x(s))2 ds + (y'(t))2 + 2 J b2 (s) (y' (s))2 ds + b (t)(y(t))2 +

t0 ^0 n

+ X {A, (t) (Z, (t, 10 )) + B, (t) Z (t, 10))2 - 2E, (t)Z, (t, 1Q) + c, (t) -

,=1

I -| I I

J|b;(s) (Zt(s,to))2 -2E't(s)zt(s,t0)+c;(s)ds+ JK(t,r) Z(tr))2 dr] = cO* + J(w(s))2(y(s))2ds+

to t0

t t

+ 2Jy(s)[Fo(s) - (W(s))-H(s, to) x(t0)Vs + Jb;(s)(y(s))ds +

to

n t

zJ

+

,=1 tn

a;(s) Z(s,t0))2 + JR;sT(s,r) Z(s,T))2dr

2Jy' (s)<j bo(s) x(s) + J T0(s,r) x(r) + T;(s,r) y(r) + K 0(s,r) y' (r)}lr\ds,

ds -

(9)

с0 =A2(x(tO ))2 + c0. где ** *

Переходя к интегральному неравенству, применяя лемму 1 [7], аналогично теореме 2.1 [2] доказывается.

Теорема. Пусть 1) ^^ Ж(г) > 0' выполняются условия (К), (Б), (Я);

2) Ъ2(г) - 0; 3)Ъ"(^ - Ъю > 0, существует функция Ъ"(г') е Ь(1,Я) такая, что Ъ"(г) < Ъ*(г)Ъ(г);

л л А (г) - о, в (г) - о, В"(г) < о, Я1Т (г,т) - о, ,

4) 1Ч/ ' 1Ч/ ' 1Ч/ ' 1т\? 1 ' существуют функции

А*(г) е И(1,Я+ ), с1 (г), Я*(г) е И(1,Я+ ) такие, что

А"(г) < А* (г) А (г), {Е(к)(г)У < В^(г)^(г), Я"т(г,т) < я*(г)я"т(г,т) (1 = 1..п; к = 0,1);

5)

г

(Ж(г))2 + Ъ (г)| +1^0 (г)| + (Ж(г))- \Н(г, г0 )| + \[|Т0 (г, т)\ + Т (г, т)| +(г, трт е Ь (I,Я+ \ {0}).

Тогда для любого решения (х(г у(г)) системы (6) верны следующие утверждения:

(10)

x(к)(t) е L2(I, R) (k = 0,1),

x(t) = 0(1), y(k )(t) = 0(1),

(11)

Ъ2(г)(у'(г))2 е ¿(I,Я+), А,(г)(21 (г,^)2 = 0(1) (1 = 1..п). (12)

В результате применения леммы 1 [7], получается, что и(г) = 0(), из которой следует, что

t t t

J (x'(s)f ds +X-(x(t)f +Я' J (x(s))' ds + (y'(t))2 + 2J b, (s)(y'(s))2 ds + b (t)(y(t)f +

+ Z

A,(t) Z(t,to))2 +JK(t,r) Z(t,r))dr

< u(t) = 0(1).

Отсюда вытекают все

утверждения (10)-(12) теоремы.

0

o

0

0

0

Следствие. Если выполняются все условия теоремы и

W(к}(t) ^ 0 (к = 0,1)

при

t ^ да,

Лк)

то для любого решения x (t) ИДУ (1) справедливы соотношения:

x(к)(t) ^ 0 (к = 0,1,2)

при

t ^да

т.е. любое решение ИДУ (1) асимптотически

устойчиво.

Действительно, из (10) в силу леммы Люстерника-Соболева [8, с. 393-394; 4]

имеем:

. x(t) ^ 0

г ^ю. После чего с учетом утверждений (11) и в силу условий Ж (г) ^0 (к = °1) при г ^ю из замены (5) и из соотношения х "(г) = -Лх "(г) + Ж(г)у'(г) + Ж'(г)у(г) получаем, что х"(г) ^ 0, х"(г) ^ 0, г ^ю соответственно. Значит, х(к)(г') ^ 0 (к = 0, 1,2) при г ^ ю, и любое решение х(г) ИДУ (1) асимптотически устойчиво.

t0 = 0, a (t) — 3 + e4t, a (t) — 2(3 + e<l) + e

, „2t2

Пример. ИДУ (1) с

2t +1 2t+)

+1

sin21,

a(t) — 4 + e- e-2t, Q(t,r) — H(t,r) -

e t+r sin2r

-2t

- + -

(t1 + r + 3y t + r + 7'

Q(,r) — 2H(t,r)-Hr(t,r)-

e-+r sin2r (t2 +r2 + 3)4

f(t) — -

t2-t ■ . e sin t

t + 4 ,

t+T t2 +r2

H(t,r) — e e

удовлетворяет всем условиям теоремы и следствия при t+r+1 1

--1--

t+r+2 t-r+1

sin t sinr, X = 1, W(t) — e t,

здесь

U = 0

H(t, o) — o, b2 (t) — e^, b (t) — 3,

b0(t) — -e-, T0(t,r) — , Tx(t,r) — - ,

t + r + 7 (t2 + r + 3j

K (t ,r) — e(

t+r+1 1

■ + ■

t+r+2 t-r+1

sint sinr,

F(t) — -

e sin t

t + 4

, n = 1, W\(t) — e sint, R (t,r) —

t+r+1 1

--1--

t + r + 2 t-r +1

, K0(t,r) — 0,

1

1 t +1

Fx(t) — F(t), F0(t) — 0, Ex(t) —--- R*(t) — 0, Ax(t) — A*(t) — 7

t + 4 t + 2 (t + 1)(t + 2)

Bx(t) — —, cx(t) —— 1 t +1 1 t +1

Заключение. Таким образом, нами третьего порядка типа Вольтерра с развит метод вспомогательных ядер в неполными ядрами, для которого решаема сочетании с другими хорошо известными рассматриваемая выше задача. методами и найден класс линейных ИДУ

Библиографический список 1. Искандаров С. О влиянии вольтерровых интегральных возмущений на ограниченность решений линейных дифференциальных уравнений // Вестник КГНУ. Сер. естест-венно-техн. науки. - Бишкек, 1998. - Вып. 1. - С. 83-87.

e

2 , _2

2. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений интегро-дифференциальных и интегральных уравнений типа Вольтерра. - Бишкек: Илим, 2002. - 216 с.

3. Искандаров С. О методе сведения к системе для линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2006. - Вып. 35. - С. 31-35.

4. Искандаров С. Об одном нестандартном методе исследования асимптотической устойчивости решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2012. -Вып. 44. - С. 44-51.

5. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование: Пер. с фр / Под ред. Ю.М. Свирежева. - М: Наука, 1976. - 288 с.

6. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений уравнений типа Вольтерра: Автореф. дисс.... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. -Бишкек, 2003. - 34 с.

7. Ведь Ю.А. Пахыров З. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегро-дифференциальных уравнений // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. - Фрунзе: Илим, 1973. - Вып. 9. - С. 68-103.

8. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

ABOUT ASYMPTOTIC STABILITY OF SOLUTIONS OF THE LINEAR VOLTERRA INTEGRO - DIFFERENTIAL EQUATION OF THE THIRD ORDER WITH INCOMPLETE KERNELS

S. Iskandarov1, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Laboratory of the Theory of Integro-Differential Equations N.A. Abdirayimova , Postgraduate

1 Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic

Osh State University 1 (Kyrgyzstan, Bishkek) (Kyrgyzstan, Osh)

Abstract. Sufficient conditions of asymptotic stability of solutions of linear integro-differential equation of Volterra type with incomplete kernels on the semi axles are established. For this, the method of auxiliary kernels, the non-standard method of reduction to the system, the method of squaring equations, V. Volterra method of transformation of the equations, method of cutting functions, YU.A. Ved's, Z. Pakhirov's method of integral inequalities, Lusternik-Sobolev lemma. An illustrative example is constructed showing the naturalness of the imposed conditions.

Keywords: the third-order integro-differential equation, incomplete kernels, asymptotic stability of solutions, integral inequality, method auxiliary kernels, the non-standard method of reduction to the system, Lusternik-Sobolev lemma, illustrative example.