АСИМПТОТИКА ИСЧЕЗАЮЩИХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

8. Bashirbeyli A. I. "PARAMETRIC CRITERIA OF THE UNIVERSE". XVIII INTERNATIONAL CORRESPONDENCE SCIENTIFIC SPECIALIZED CONFERENCE «INTERNATIONAL SCIENTIFIC REVIEW OF THE TECHNICAL SCIENCES, MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE» (Boston. USA. November 10-11, 2020) CONFERENCE SITE: HTTPS://SCIENTIFIC-CONFERENCE.COM

9. Баширбейли А.И. «АМПЛИТУДА_ГРАВИТАЦИОННЫХ_ВОЛН_И_ЗАКОН

ЕДИНСТВ О_ВО_В СЕЛЕННОЙ»_Сборник тезисов научных трудов. IV

Международная_научная_конференция_«Научные_исследования:_парадигма

инновационнош_развития>>_(Прага,_Чехия),_«27>>_ноября_2020_года,_стр.74-78

10. LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration. GW151226:_Observation_of Gravitational_Waves_from_a_22-Solar-Mass_Binary_Black_Hole_Coalescence // Phys. Rev. Lett. 2016. V. 116. P. 241103. 11. Черепащук А.М. Открытие гравитационных волн во Вселенной. В защиту науки Бюллетень №17, МОСКВА 2016, стр. 7-13.

АСИМПТОТИКА ИСЧЕЗАЮЩИХ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА Кыдыралиев Т.Р.

Кыдыралиев Торогелди Раимжанович - кандидат физико-математических наук, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский государственный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в этой статье найдены асимптотика исчезающего решения при больших значениях аргумента. Показано влияние поведения свободного члена /(г) на решение.

Ключевые слова: правило Лопиталя, асимптотика исчезающего решения, интегральное уравнение Вольтерра.

Пусть неоднородное интегральное уравнение Вольтерра

г _

= Л$ и^)^ + /(г), г е[/0, +ю) в классе С00, +ю) (1)

Найдем асимптотику малого решения (1) при больших значениях аргумента. Предположим /(г) выполнено одному из следующих условий:

для v = —1 и 0, ^ 0, ИЙ г ; (21)

для

V<—1 и 0, ИЙ < А, г+ю, (22)

где А - постоянная; для V <— 1 и V & > 0 1/(01 1/(01

ь^^+ю, ^^ ^ 0, г ; (2з)

V Га

дляК<-1 и Усг > 0, цтШ1 = в, (24) где В -комплексное число, причем при В=0

/ (г)

tv

В частности, функциями удовлетворяющие условиям (21)- (24) могут быть соответственно конкретные функции вида

t 1 —; 5t 2sin1; t 21пt; 4t"2 +1~2 — (в = 4); t2 — (в = 0) • 1п t t 1п t 1п г

Выясним, влияние поведения свободного члена /(г) удовлетворяющих условиям

(21) - (24) на стремление к нулю исчезающих решений (1) при больших значениях

аргумента.

При достаточно больших г из (22) вытекает следующее неравенство

/ (г )| < АГ. (3)

Рассмотрим выражение

J(г) = ЛгЛ1 /(т)т~Лс1т, (4)

г

где 8 = 0, если Re Л < V, и 8 > 0, если Re Л >v, а при Яе Л = V положим

¿г1

8 = 0, если предел

ит г /(т)т~(м)с1т существует, в противном случае 8 > 0 .

¿—»+00 ^ г

Пусть Яе Л <V . Тогда при г — +ю выражение

8"1

Л [ /(г)г-(Л+1}с1т

= —г- (5)

tv-1 гЛ ()

ю

имеет неопределенность типа — . Поскольку г вещественное, к выражению (5)

ю

применимо правило Лопиталя. Имеем

J{t) я /(/)

£т-^- =--(6)

уУ—1 п >1/ 4 7

1У СО 1У

Для любых У > 0 аналогично получим

«„41.—х—итйи (7)

у-Л+а'^ и для достаточно малых о

йи41 =--да

'-и«у-Л-а '-и« ^

Равенства (6)-(8) имеют место, конечно, при условии, что пределы в правых частях существуют. В случае (21) из (6) и (7) следует, что

\г (г)| — 0, ЙЙ —^ ю, г —^ +ю. (91) В случае (22) из (3) и (7) имеем ^(г)| < А/"1, —

ю, г — +ю, (92)

И A

где А1 —-. В случае (123) из (6) и (8) получим

у-Re И

1-у-Г ^ ^ 0 t (9з)

В случае (24) из (6) и (8) вытекает

J it) яв

'т—V1 ---

t

J (t )l

dm —---, а если В- О, то

,_>+оо f у-A (94)

ty-1+a

^ да при t ^ +да.

Пусть теперь Re А>У. Тогда используя правило Лопиталя, и в этом случае получим равенства (6) - (8).

Очевидно, в случае (2i) справедливы (9i) (i — 1, 4 ), причем в (92) вместо А1 следует взять величину

A — J^L (е~ (у-ReA) + 1).

1 ReA-yv '

Наконец, пусть Re А — У.

а) Предположим, что в (4) е = 0. Тогда при любом из условий (2^ (i — 1, 4) .

J(t)

£im —V" = 0- (10) <->*» t

Так как и в этом случае имеет место соотношение (7), то при любом из условий (2j) (i — 1, 4 )будем иметь такие

J (t )|

' , ' ^ да, t ^ +да.

ty-i+. '

b) Теперь предположим, что в (4) s = 0. Тогда выражение при t ^ либо

стремится к бесконечности, либо колеблется, оставаясь ограниченным или нет. Покажем, что всегда имеет место

j(t)

&т—^- = 0. (11)

1-й«, t а

В случае (21), (23), это следует из (8). В случае (22), (24) имеет место оценка \f (t)| < B1ty, где B1=const. Тогда из

— (t)

ty-1-a

<

И t°

J B{c~xdr

следует (11).

t

Частное решение линейного уравнения (1) можем представить в виде

t

Заметим, что при Re А — У — 1 уравнения (1) не имеет исчезающих решений, если в (4) е>0. Из вышеприведенных оценок для и из (12) следует, что частное

^о (t) —— (t). (12)

решение и — и0 {) уравнения (1) имеет порядок малости V — 1 [1]. Покажем, что любое исчезающее решение уравнения (1) не имеет порядок малости выше, чем

V — 1. Предположим обратное. Пусть решение уравнения (1) имеет порядок малости

V — 1 + у , где у> 0, т.е. для любого а < у

\и{? )< МГ—1+у—а, (13) где N - фиксированная постоянная. Из уравнения (1) вытекает оценка

t

1|и{1)|> —Ц (14)

Ш Ш

Отсюда, в силу (13) N > -1 А 11

Г+у—а v — у + а

Последнее неравенство при I —> является противоречивым, что и

показывает справедливость нашего утверждения.

В случае (23) покажем, что любое решение и — и{) уравнения (1) обладает

и

{' )|

СВОЙСТВОМ Ит-— = со .

'-»СО Г1

Предположим обратное, т.е. для достаточно больших t имеем

|и(/)| < —г—1,

где М - фиксированная постоянная. Тогда из (14) следует оценка

> I/{) — -—I—^ , которая противоречит (23) при t — . V

Уравнение (1) линейное и общее решение имеет вид и^) — ^ ——1 + и0 ^).

Теперь сформулируем полученные результаты.

ТЕОРЕМА. I) Пусть выполнено одно из (2^ (i — 1, 4 ). Тогда: если Re— < — 1, то (1) имеет однопараметрическое семейство малых решений; если Яе—>—1, то (1) имеет единственное малое решение. При Яе — — —1 и условий (21) уравнение (1) не имеет малых решений, если в (4) 8 ф 0, и имеет единственное малое решение, если в (4) 8 — 0. При Яе — — 1 и выполнении (2^ (i — 1, 4) уравнение имеет единственное малое решение.

II) а) При Яе — Ф V уравнение (1) имеет частное решение и — ио {) такое, что: в случае (21) для любого а > 0

ио

в случае (23)

— 0, — », t — +=с; (.5,)

в случае (22)

ма < ыа—«, ^+», (152)

^ V—1 2' V V—1+а '

где А2 - некоторое постоянное;

_im ЫЙ — да, ЫЙ ^ 0, t ^+да; (15з)

г1 г1+а

в случае (24)

U0 (t )|

iim --—1 = B0,a если В = 0, то

^ Г1 2 (154)

\и0 (t)|

v_x+J ^ да при t ^ +да, где В2 — const. b) При Re А —У для решения и — U0 (t) уравнения (1) в случаях (2i) выполняются соответственно (15i) (i — 1, 4 ), если в (4) 8 — 0 ; если же в (4) 8 > 0, то уравнение (1) во всех случаях (2i) (i — 1, 4) имеет решение такое, что

U0 (t) U0 (t)

^ 0, ^да, t ^ 0.

ty-1 ty-1+G

Список литературы

1. Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск Высш. Школа, 1979. 136 с.

2. Байзаков А.Б. Особые точки дифференциальных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. Бишкек:Илим, 2007. 134 с.

3. Кыдыралиев Т.Р. Применение метода пробразования решений в асимптотичнской теории дифференциальных и интегральных уравнений. [Текст]: канд.физ.-матем. наук дис. автореф.: 01.01. 02 / Кыдыралиев Т.Р. Бишкек, 2019. 20 с.

4. Kydyraliev T.R. On the solvability of the Cauchy problem for a singularly perturbed integro- differential equations in partial derivatives of the first order with the turning point[Текст] // Проблемы современной науки и образования. Москва, 2016. № 3(45). С. 45-49.