CC BY
51
УДК 517.955.8
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДВУХФАЗОВОЙ ЗАДАЧИ МИКРОВОЛНОВОГО НАГРЕВА В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ*
Ф. Райтманн1, Н. Ю. Юмагузин2
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, vreitmann@aol.com
2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, disproper@gmail.com
Введение. В данной статье рассматривается вопрос об асимптотическом поведении решений в одномерном случае (т. е. в случае одной пространственной переменной) системы параболического и гиперболического уравнений, описывающей двухфазовый процесс нагревания среды под воздействием микроволнового излучения.
В [1] изучалась система микроволнового нагрева без учета фазового перехода, для которой были получены результаты относительно асимптотического поведения. Подобный случай без учета второй фазы мы также рассматривали в работах [2, 3]. В [4, 5] были получены результаты о существовании слабого решения в случае двухфазовой задачи нагрева, на которые мы в дальнейшем будем ссылаться. В некоторых других работах, в частности в [6-8], содержатся результаты о существовании и устойчивости решения для двухфазовой системы Стефана.
Мы будем рассматривать асимптотическое поведение параболико-гиперболиче-ской системы для двухфазовой задачи с учетом неоднородных свойств нагреваемого материала. В отличие от [3], здесь изучается проблема асимптотического поведения для более общего класса коэффициентов системы, включающего кусочно-постоянные.
Постановка задачи. Рассмотрим систему из параболического и гиперболического уравнений, описывающих в одномерном случае систему, состоящую из уравнений Максвелла и теплопроводности (см. [1]):
е(х^и - + а(в)гиг = 0, (ж,г)е<Эт, (1)
Ъ(0)г - ехх = а(0)т2, (х,г) е Qт, (2)
т(0,г) = 0, т(1,г) =0, г е [0,т), (3)
0(0,4) = 0(1,г) = 0, г е [0,т), (4)
т(х, 0) = 0, (х, 0) = г>0(х), х е (0,1), (5)
0(х, 0) = 0о(х), х е (0,1), (6)
где Qт = (0,1) х [0, Т), Т > 0 — число, т — интеграл по времени от ненулевой компоненты электрического поля, 0 — температура, е —диэлектрическая проницаемость, ц — магнитная проницаемость, а — электропроводность среды и Ъ — оператор энтальпии ([8]).
* Работа выполнена при поддержке Немецко-Российского Междисциплинарного Научного Центра (С-ЯШО).
© Ф. Райтманн, Н. Ю. Юмагузин, 2012
Для простоты уравнение (2) рассматривается с теплопроводностью k = 1. Более общий случай непостоянной теплопроводности k рассматривается аналогично, с помощью замены переменной.
Будем считать что функции b, а, е и ц имеют следующий вид:
s — 1, если s < m,
b(s) = ^ [m — 1, m], если s = m, если s > m,
a(s)
I Vsoi(s), если s < m, I aiiq(s), если s > m,
[еь если x G (0, xo),
e(x) = 1 л\ (7)
I е2, если x G (xo, 1),
J^i, если x G (0, xo),
M(x) = < ^ , ^ (8)
I ^2, если x G (xo, 1).
Здесь ,^2,ei,e2 G R+ —константы, asoi(s) и ацд(s) — C 1-гладкие вещественные функции на R+, m G R+ —константа (температура плавления материала) и xo G (0,1) —точка, обозначающая границу сред в нагреваемом материале.
Считается, что a(m) G [min{aSoi(m), aHq(m)}, max{aSoi(m), а^(m)}].
Вводим следующие условия: (A1) положительные параметры ei,e2,^i,^2, определяющие функции e(x) и ^(x), согласно (7), (8) удовлетворяют неравенству
minjei, е2, —, — ) < 1; I Mi M2 J
(Л2) «о —функция класса Ь2(0,1), 0о —неотрицательная функция класса Ьто(0,1); (Л3) существует число ах > 0 такое, что
0 < а(г) < ах для всех г С [0, то);
В работе [5] показано, что при предположениях (Л1)—(Л3) для любого Т > 0 у системы (1)—(6) существует слабое решение (в смысле интегральных тождеств, см. [4]) (ад(ж,4),0(ж,4)), причем Цж,4) С Сх([0,Т]; Нх(0,1)) и 0(ж,4) С Ь2(0,Т; Нх(0, 1)) П С([0, Т]; Ь2(0, 1)).
Асимптотика решений. Рассмотрим относительно п С N последовательность аппроксимационных для (1)—(6) систем
е(х)ти - +ап(6)и)( = 0, (ж, 4) € С}т, (9)
Ь„(0); - 0ХХ = а„(0)^?, (ж, 4) С , (10)
ад(0,4) =0, ад(1,4) =0, 4 С [0, Т), (11)
0(0,4)= 0(1,4) =0, 4 С [0,Т), (12)
ад(ж, 0)=0, ^(ж, 0) = «0(ж), ж С (0, 1), (13)
0(х, 0) = 0о(х), х е (0,1), (14)
где функции Ъ„(-) и ап(•) суть С1 -гладкие аппроксимации Ъ(-) и а(-) соответственно, удовлетворяющие условиям
Ьп(г) = Ъ(х), <7п(г) = сг(г), если Ь — ш| > —,
п
— 2 (Л,ЛЯ всех ^ ^ °°)> Ъп ^ Ъ, ап ^ а сильно в Ь2([0, то]) при п ^ то.
Нам понадобятся следующие предположения относительно коэффициентов ап-проксимационной системы: (Л4) существует число ао > 0 такое, что
0 < ао < ап(г) для всех г е [0, то) и п е М;
(Л5) существуют числа а1 > 0, а2 > 0, аз > 0 такие, что
< Ъп(г) < а2^ + аз для всех г е [0, то) и п е N.
Основные результаты работы изложены в следующих двух теоремах.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (Л1)-(Л5). Тогда при произвольном фиксированном п е N любое решение (т, 0) аппроксимационной системы (9)-(14) и производная сходятся к нулю в норме Ь2(0,1) при г ^ то.
Доказательство. Приводим только набросок. Возьмем произвольное число г > 0.
Введем класс функций —(г) = |м(х) е Ь2(0,1)|и(х) < г для п.в. х е (0,1)}. Согласно [4, 9] система (9)-(14) имеет решение (т, 0), причем т е С 1([0, Т]; Н0(0,1)), 0 е С([0, Т]; Нд(0,1)). Используя принцип максимума для обобщенных решений параболических уравнений [10], можно показать, что 0(-,г) е —(г) для п.в.
г е [0,т).
Для краткости положим «(х, г) = (х, г). Рассмотрим функционал Ляпунова следующего вида:
1
о
где А > 0, а > 0 — некоторые постоянные, зависящие от коэффициентов уравнений системы (кроме того А зависит от г), а Ш, V и и некоторые функции из Нд(0,1).
Рассмотрим в качестве аргументов функционала Ф компоненты решения системы (9)-(14) (для некоторого п е М) т(-,г), «(-,£) и 0(-,г) и введем обозначение Ф(г) := Ф(т(-,г)Х-,г),0(-,г)).
Основным моментом доказательства является вывод следующих неравенств:
С1(|К(^)||22 + ||«Ы)||22 + ||0С-,г)М^=) < ф(*), V* > 0,
и
t
< -02 J Ф(т)dr + Ф(0, v0, 0O), Vt > 0,
0
где ci > 0, 02 > 0 — некоторые постоянные, зависящие только от коэффициентов уравнений системы (кроме того, 02 зависит от r). □
Теорема 2. Пусть выполнены условия (A1)-(A5). Тогда любое решение (w, 0) исходной системы (1)-(6) и производная wt сходятся к нулю в норме L2(0,1) при t ^ ж.
Доказательство. Приводим только набросок. Расширяя стандартное доказательство существования решения [4] для (1)—(6), получаем, что для любого T > 0, n £ N решение аппроксимационной задачи (9)—(14) существует, единственно и при n ^ ж каждая компонента решения сходится в L2(Qt) по мере к решению задачи (1)-(6).
Из этого следует, после применения результата теоремы 1, сходимость к нулю при t ^ ж решения исходной задачи. □
Литература
1. Morgan J., Yin H.-M. On Maxwell's system with a thermal effect // Discrete and Cont. Dyn. Sys. - Series B. 2001. Vol. 1. P. 485-494.
2. Kalinin Y. N., Reitmann V., Yumaguzin N. Y. Asymptotic behavior of Maxwell's equation in one-space dimension with termal effect // Discrete and Cont. Dyn. Sys. — Supplement 2011. 2011. Vol. 2. P. 754-762.
3. Reitmann V., Yumaguzin N. Y. Stability analysis for Maxwell's equation with a thermal effect in one space dimension // Proceedings of The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow // Contemporary Mathematics. Fundamental Directions (to appear) 2012.
4. Manoranjan V. S., Showalter R., Yin H.-M. On two-phase Stefan problem arising from a microwave heating process // Discrete and Cont. Dyn. Sys. — Series A. 2006. Vol. 4. N 15. P. 11551168.
5. Серкова Н.Д. Двухфазовая задача нагрева неоднородного материала / Дипломная работа. Санкт-Петербургский государственный университет, 2011.
6. Каменномостская С. Л. О задаче Стефана // Математический сборник. 1963. Т. 53. №4. С. 89-108.
7. Ishii H. Asymptotic stability and existence of almost-periodic solutions for the one-dimensional, two-phase Stefan problem // Math. Japonica. 1980. Vol.25. P. 379-393.
8. Niezgodka M., Pawlow I. A generalized Stefan problem in several space variables // Appl. Math. Optim. 1983. Vol. 9. P. 193-224.
9. Yin H.-M. On Maxwell's equations in an electromagnetic field with the temperature effect // SIAM J. of Mathematical Analysis. 1998. Vol. 29. P. 637-651.
10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1967. 736 с.
Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.
