CC BY
43
УДК 517.955.8
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
ДЛЯ СИСТЕМЫ МИКРОВОЛНОВОГО НАГРЕВА*
И.В.Ермаков1, Ф.Райтманн2
1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, ilya403@mail.ru
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, vreitmann@aol.com
1. Введение. В данной статье рассматривается вопрос о существовании конечного числа определяющих функционалов для одномерной системы микроволнового нагрева. Данная система описывает процесс нагревания среды под действием микроволнового излучения и состоит из гиперболического и параболического уравнений.
Определяющие функционалы для динамических систем были введены в [1]. Теория обобщенных определяющих функционалов развита в [2]. Определяющие функционалы для процессов — частного случая коциклов — введены в [3]. В [4, 5] было введено понятие определяющих функционалов для коциклов и приведена теорема о существовании таких функционалов для коцикла. В данной работе мы применяем эту теорему к задаче микроволнового нагрева.
2. Определяющие функционалы для коциклов. Понятие коцикла (см., например, [6]) является обобщением понятия динамической системы.
Пусть ¿) —метрическое пространство, называемое базисным пространством. Динамическую систему ({т1 }4еК , )) будем называть базисным потоком. Пусть (М,р) —другое метрическое пространство, которое назовем фазовым пространством.
Определение 1. Пара ({уг(д, •)}4еК+ , (М,р)), где •) : М ^ М для любых Ь € К+, ц € Q, называется коциклом над базисным потоком ({т1 }4еК , (^, д)), если
• <р°(ц, •) = гдм для любых ц € Q,
• •) = 1рг(тв (д),ув(д, •)) для любых ц € Q и любых Ь, в € К+.
Для краткости такой коцикл будем обозначать (у,т).
Определение 2. Семейство 2 = {^(ч)}дед подмножеств М называется глобальным B-pullback аттрактором для коцикла (у, т), если для любого ц € Q выполняются свойства:
• множество 2(ц) компактно в М;
• 2(ц)) = 2(тг(ц)) для любого Ь € К+;
• ^^^(т(ц), В), 2(ц)) = 0 для всех ограниченных множеств В С М.
• Работа выполнена при поддержке немецко-российского Междисциплинарного научного центра (С-ЯШО).
© И. В. Ермаков, Ф. Райтманн, 2012
Перейдем к определяющим функционалам для коциклов.
Определение 3 ([4]). Множество {/^линейных непрерывных функционалов на банаховом пространстве (М, ||-||) называется множеством рпШаек — асимптотически определяющих функционалов для коцикла ({уЬ(д, •)}дец , (М, |Н|)) над базисным потоком ({тЬ }ЬеК , (ф,^)), если из условия
1пп (уЬ(т-Ь(д),^)) - (уЬ(т-Ь(д),и2))| = 0
Ь—1 1
для любых д € «1, «2 € М, ^ = 1, .. ., N следует
11ш ||уЬ(т-Ь(д),М1) - уЬ(т-((д),М2)У =0. ь —>11 11
Мы будем работать с частным случаем таких функционалов — определяющими модами, то есть функционалами вида (•) = (•, е^-), = 1,..., N, имеющими смысл для гильбертова фазового пространства Н. Здесь {е^ —некоторые элементы Н.
Пусть имеется коцикл ({уЬ(д, , (Е, 11 • |е)) над базисным потоком
({тЬ}ЬеК , (ф, ¿)), причем Е = Е х Е2, где Е1 гильбертово, а Е2 —подмножество некоторого банахова пространства X с индуцированой нормой. Отображение у имеет вид у = (у1; у2), то есть : М+ х ф х Е1 х Е2 ^ Е1, у2 : М+ х ф х Е1 х Е2 ^ Е2. Пусть пя —проектор из Н на некоторое конечномерное подпространство в Н, п^ — проектор на его ортогональное дополнение. (И1) Семейство множеств {^(д)}дец положительно инвариантно для (у, т), то есть для любых в > 0, д € ф справедливо включение уя(д, ^(д)) С ^(тя)(д). (И2*) Для любого д € ф существуют ^ = ¿(д) € (0,1) и ¿о > 0 такие, что для всех в > ¿0,и, V € £(т-я(д))
К(у1°(т-(д),и) - у1°(т-(дЫ)||В1 < ¿(д) - «Не .
(И3*) Для любого £ > 0 существует Ь = Ь(е) € N такое, что для всех д € ф и £ > 0
¿(д)2Ь |К-Ь(д,о,1(д)) - у^д^д))^ < £ и Ь(£) ^ то, если £ ^ 0. Здесь ¿(д) берется из предположения (Н2*).
Теорема 1 (см. [4]). Пусть выполнены предположения (Н1), (Н2*) и (Н3*) для коцикла (у, т). Пусть также выполняется оценка
||у2(т-Ь(д),мьИ2) - у2(т-Ь(д),«1 ,«2)|Е2 < е-сЬ уМ2 - «2^
с некоторой константой с > 0 для любых £ > 0, «1,^1 € Е1, «2,^2 € Е2. Далее, пусть существует в > 0 такое, что для любых д € и, V € Е
1пп ||пя(у1 (т-Ь(д),и) - у1 (т-Ь(дЫ)|| < в.
Ь—11 11 е1
Тогда 11ш4—||уЬ(т-Ь(д),и) - уЬ(т-Ь(д),«)|в < в.
3. Задача микроволнового нагрева. Процесс микроволнового нагрева материала включает в себя механизм нагрева материала джоулевым теплом под действием микроволн. Он описывается с помощью парной системы из уравнений Максвелла
и уравнения теплопроводности. Мы рассматриваем задачу для одномерного случая, которая интенсивно изучалась в работах Н-М.Уш [7] и других. Для краткости мы сразу приводим преобразованную задачу с однородными краевыми условиями [4, 7]:
*« - Фхх + а(О)Фг = ¡и - /га(в), 0 <х< 1, 0 <Ь < Т,
Ог - вхх = а(О)(ф + ¡г)2, 0 <х< 1, 0 <1 < Т,
(1)
Ф(0,Ь) = Ф(1,Ь) = 0, О (0,Ь) = О (м)=0, 0 <Ь < Т, (2)
Ф(х, 0)=Ф0(х), Фг(х, 0) = ф1(х), О (х, 0) = О0 (х), 0 <х< 1. (3)
Физический смысл величин такой: О — температура, Ф —интеграл по времени от ненулевой компоненты электрического поля, а — электропроводность, ](х,Ь) = ¡1(Ь) х (1 — х) + ¡2(Ь)х, где ¡1, ¡2 —заданные внешние возмущения электромагнитного поля.
Далее будут использоваться стандартные соболевские пространства Н^(0,1), W2(0,1), W¡2'1((0,1) х (0,Т)) и Нв(0,1) при 0 < в < 1.
Предполагаем, что (Л1.1) а локально липшицева на (0,
(Л1.2) Существуют константы 0 < ао < а1 такие, что ао < а(г) < а1 для любого г > 0;
(Л1.3) а монотонно убывает; (Л2) Ф0 € Н1(0,1), Ф1 € Ь2(0,1),О0 € W2(0,1),О0 > 0 п. в. на (0,1); (Л3) ¡1, ¡2 принадлежат классу С2(М) и существует константа С такая, что функции |/11, |/21, |/1'|, |/2'| ограничены на К константой С. Мы будем использовать слабые решения, то есть решения, удовлетворяющие уравнению (1) в смысле интегрального тождества. Задача (1)—(3) имеет единственное глобальное слабое решение (ф(х,Ь), О(х,Ь)), причем ф € Ьж(0,Т; Н 1(0,1)), О € W¡2'1((0,1) х (0,Т)) для любого Т > 0 (результат [7], модифицированный для одномерного случая).
Введем коцикл, соответствующий задаче (1)—(3). Определим пространство М = Н1(0,1) х Ь2(0,1) х ^2(0,1) П {О : О > 0 а.в.}) с нормой
\\(ф,,",О)\\М = \\фх 11^2(0,1) + 1М1ь2(0,1) + \\О\\ь2( 0,1).
В нашей ситуации Q = М, тг(в) = Ь + в, уг(в,и0) = и(Ь + в,в,и0), где и(Ь,в,и0) = О(^Ь)) — решение (1)-(3) такое, что и(в, в,и0) = и0 = (Ф0, Фь О0). Легко показать, что решение задачи (1)-(3) непрерывно зависит от начальных данных в норме пространства М. Таким образом, система (1)-(3) порождает непрерывный коцикл ({уг(в, •)}геК+ яеК , (М, \Н\м)) над базисным потоком ({тг}геК , М).
Мы будем использовать существование глобального В-ри11Ьаск аттрактора А коцикла (у,т), полученное в работе [4].
Рассмотрим задачу для волнового уравнения, которая играет вспомогательную роль при изучении системы (1)-(3):
Фгг - Фхх + ¿(Фг)Фг = дг(х,Ь) - д(х,Ь)а(Фг), 0 <х< 1, Ь> 0, (4)
ф(0,г) = Ф(1,г) = 0, г> 0, (5)
Ф(х, 0) = Ф0, Фг(х, 0) = Ф1, 0 <х < 1. (6)
Предположим, что функция СТ глобально липшицева и сто < СТ(г) < Ст1 при г € К, где сто и Ст1 удовлетворяют предположению (А1.2). Далее, пусть д(ж, г) = /Ь(ж, г), и мы остаемся в предположениях (А2)-(А3).
Сделаем дополнительное техническое предположение: (Л4) Для любых двух решений (Ф1 (ж, г), Ф^ж^)), (Ф2(ж,г), Ф2(ж, г)), чьи траектории принадлежат аттрактору А, выполняется неравенство для некоторых в, 0 < в < 1/2 и с3 > 0:
||Ь(г, ф1) - Ь(г, Ф2)|яэ(о ,1) < сз ЦФ,1 - Ф2|Ь2(о ,1),
где й(г, «)(•) = (СТ(«) - сто)« - + д4(,г).
Пусть —ортонормированное семейство собственных функций оператора
Ао = -Д с граничными условиями типа Дирихле, Л^ —его собственные числа. При этом 0 < Л1 < Л2 < ..., Л^ ^ Пространство Хо = Нд(0,1) х Ь2(0,1) разложим в ортогональную сумму двух пространств: Хо = Xя © XяЗдесь Xя —линейная оболочка {^¿}я=1. Ортопроекторы на эти пространства обозначим соответственно пя, пм.
Два решения задачи (4)-(6) будем обозначать у1(£) = (Ф1(^,£), (•,¿)), У2(г) =
(Ф2Ы), *20,г)).
Лемма 1. Существуют ¿1 > 0 и N € N такие, что при N > N выполняется неравенство Цтг^г/1^) - у2(Ь 1))||Хо < \ Цу^0) ~ У2(°)|1х0-
Доказательство — стандартными методами теории эволюционных уравнений. Сформулируем окончательный результат.
Теорема 2. Коцикл (у, т), порожденный задачей (1)-(3), имеет конечное число определяющих функционалов в смысле теоремы 1.
Доказательство. Приводим только набросок. Лемма 1 дает условие (Н2*) для коцикла задачи, нулевое начальное время не ограничивает общности. Приведенные выше рассуждения неприменимы непосредственно из-за различных определений решения (в задаче (1)-(3) используются слабые решения, в доказательстве леммы 1 — вариационные). Применяется аппроксимация слабых решений гладкими. Коцикл (у, т) имеет требуемую парную структуру, и имеется полученная в [4] оценка для второй компоненты решения с начальным временем в, верная для почти всех
г > в:
Цв1 (•, г; в) - в2(•, г; в)||Ь2(ол) < е-с(Ь-8) Цв1 (•, в; в) - в2(, в; в)|^2(о.1) , где с > 0. Проверку остальных предположений теоремы 1 мы опускаем.
Литература
1. Ладыженская О. А. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Записки научных семинаров ЛОМИ. Т. 163. 1987. С. 105-129.
2. Чуешов И. Д. Теория функционалов, однозначно определяющих асимптотическую динамику бесконечномерных диссипативных систем // УМН. 1998. Т. 53. Вып. 4(322). С. 77124.
3. Langa J. A. Asymptotically finite dimensional pullback behaviour of non-autonomous PDEs // Archiv der Mathematik. 2003. Vol.80. P. 525-535.
4. Ermakov I. V., Kalinin Yu. N., Reitmann V. Determining modes and almost periodic integrals for cocycles // Differential Equations. 2011. Vol.47, N13. P. 1837-1852.
5. Ermakov I. V., Reitmann V. Determining functionals for cocycles and application to the microwave heating problem // Proc. Internat. Conf. Equadiff 2011, Loughborough, UK.
6. Kloeden P., Schmalfuss B. Nonautonomous Systems, Cocycle Attractors and Variable Time-Step Discretization // Numerical Algorithms. 1997. Vol. 14. P. 141-152.
7. Yin H.-M. Existence and regularity of a weak solution to Maxwell's equations with a thermal effect // Math. Meth. Appl. Sci. 2006. N29. P. 1199-1213.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
