CC BY
7< у3 >"' +10(к - ^/С) < у3 >" +9(7?- \к)2 <у3> = 0,
< у4 >"" +20(7? - |/С) < у4 >" +64(7? - |/С)2 < у4 > = 0.
Автор приносит глубокую благодарность профессорам Д. Д. Соколову и В.Н. Тутубалину за прочтение рукописи и сделанные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-02-00127).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ламбурт В.Г., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. Поля Якоби вдоль геодезической со случайной кривизной // Матем. заметки. 2003. 74, № 3. 416-424.
2. Артюшкова М.Е., Соколов Д.Д. Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной // Астрон. журн. 2005. 82, № 7. 584-589.
3. Artyushkova M.E., Sokoloff D.D. Modelling small-scale dynamo by the Jacobi equation // Magnetohydrodynamics. 2006. 42, N 1. 3-19.
4. Lamburt V.G., Sokoloff D.D., Tutubalin V.N. Light propagation in a Universe with spatial inhomogeneities // Astrophys. and Space Sci. 2005. 298. 409-418.
5. Зельдович Я.Б. Наблюдения во Вселенной, однородной лишь в среднем // Астрон. журн. 1964. 41. 19-24.
6. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // Успехи физ. наук. 1987. 152, № 1. 3-32.
7. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. The Almighty Chance. Singapore: World Scientific, 1991.
8. Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в случайном потоке // Успехи физ. наук.1985.145, № 4. 593-628.
9. Kleeorin N., Rogachevskii I., Sokoloff D. Magnetic fluctuations with zero mean field in a random fluid with a finite correlation time and a small magnetic diffusion // Phys. Rev. E. 2002. 65. 303-307.
10. Грачев Д.А. Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями // Вестн. Моск. ун-та. Физика. Астрономия. 2008. № 1. 16-19.
11. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.
12. Семенов Д.В. Усреднение параболических дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами // Матем. заметки. 1989. 45, № 3. 123-126.
13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004.
14. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2000.
Поступила в редакцию 30.10.2009
УДК 519.218
РЕКУРРЕНТНОСТЬ МАТРИЧНЫХ КОЦИКЛОВ М. Е. Липатов1
Рассматриваются измеримые коциклы со значениями в подгруппе SL(2, C) диагональных и антидиагональных матриц над эргодическим преобразованием, сохраняющим вероятностную меру. Доказывается рекуррентность таких коциклов при некоторых условиях, а также эквивалентность двух определений рекуррентности.
Ключевые слова: рекуррентность, коцикл, консервативное преобразование, косое произведение.
This paper considers measurable cocycles with values in the subgroup of SL(2, C) of diagonal and skew-diagonal matrices over an ergodic, transformation preserving the probability
1 Липатов Максим Евгеньевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
measure. We prove the recurrence of such cocycles under certain conditions as well as the equivalence of two definitions of recurrence.
Key words: recurrence, cocycle, conservative transformation, skew product.
В настоящей работе мы доказываем рекуррентность измеримых коциклов специального вида со значениями в группе SL(2, C), которые определены на вероятностном пространстве, где действует эргоди-ческий, сохраняющий меру автоморфизм. С точки зрения теории вероятности речь идет о возвратности случайного блуждания на группе. Аналогичный результат для коциклов со значениями в группе SL(2, R) был получен в [1] и [2]. В вещественном случае рассматриваемый вид коциклов соответствует одному из четырех классов когомологии коциклов [3, 2]. Также мы доказываем эквивалентность двух определений рекуррентности коциклов данного вида. Ниже везде (Q, F,P) будет обозначать стандартное борелевское пространство, где P — вероятностная мера. Сформулируем основное утверждение.
Теорема 1. Пусть T — эргодический автоморфизм Q, сохраняющий P, и пусть измеримая функ-
a(w) 0 0 a-1(w),
-1 ^
ция A(u) : Q ^ SL(2, C) равна диагональной матрице ( (п ) Л ) при и G Д и антидиагональной
a(u) ^ при и G А (Д G F), причем ln |a(u)| G L1(P). Тогда если einlA(w) не когомологично 1 (не
равно g-1 (Tu)g(u) п.н. ни при какой борелевской функции g : Q ^ R), то коцикл An(u),n G Z, заданный соотношениями
Ai(u) = A(u), Am+ra(u) = Am(Tnw)An(w), m,n G Z,
рекуррентен, т.е.
lim ||Ara(w) — Id|| = 0 п.н. (*)
n—>oo
Заметим, что свойство (*) инвариантно относительно выбора матричной нормы.
Предложение. Определение (*) рекуррентности матричных коциклов данного вида равносильно следующему свойству, которое принимается за определение рекуррентности в [1, 2]:
V е> 0, B G F+, 3n G N : P(B П T-nB n{||An(u) - Id|| < е}) > 0,
где F+ := {A G F : P(A) > 0}.
При доказательстве этих утверждений мы будем пользоваться известными фактами эргодической теории (теоремы 2-5). Прежде чем к ним перейти, напомним некоторые понятия.
Нормой на группе (G, *) называется функция || ■ || : G ^ R, такая, что ||g|| = ||g-11| ^ 0 для любого g G G, причем равенство выполняется только на нейтральном элементе, и такая, что ||g * h|| ^ ||g|| + ||h|| для любых g, h G G.
Пусть далее G — локально-компактная, польская топологическая группа с левой мерой Хаара шс, нормой || ■ || наделенная борелевской ст-алгеброй. И пусть ^ : Q ^ G — некоторая измеримая функция.
Рассмотрим расширение (Q х G, F® ®(G), P х шс, T) динамической системы (Q, F, P, T), T — несингулярное, необязательно обратимое преобразование пространства (Q, F,P) и T^ — косое произведение, имеющее вид T<^(w,g) = (Tw,^>(w) * g). Тогда T™(u,g) = (Tnw,^>n(w) * g), где коцикл ^>n(w) задается формулой
|V(Tn-1w) * ... * ^>(Tw) * <p(u), n ^ 1;
^n(u) := < e, n = 0;
[^>-1(T-lnlw) * ... * (T-2u) * (T-1 u), T обратимо и n ^ -1,
и удовлетворяет условию ^>m+n(w) = ^>m(Tnw) * ^>n(w) для всех и G Q, m,n G N (m,n G Z, если T обратимо). Также можно рассматривать косое произведение T^(w,g) = (Tu,g * <^(w)) с соответствующим образом определенным коциклом ^>n(и) со значениями в группе с правой мерой Хаара.
Множество W G F ® ®(G) называется блуждающим для T^, если множества {T—nWпопарно не пересекаются. Преобразование T^, называется консервативным, если не существует T^,-блуждающего множества W G F ® ®(G), такого, что (P х mc)(W) > 0.
Теорема 2 [4]. Если T — преобразование Q, сохраняющее P, то косое произведение T^, консервативно тогда и только тогда, когда
lim ||t£>ra(w)|| = 0 п.к.
га—>оо
Теорема 3 [4]. Если Т — эргодическое преобразование О, сохраняющее Р, то косое произведение Т^ консервативно тогда и только тогда, когда коцикл фп(ш) рекуррентен, т.е.
Уе> 0,В е У+, Зн е N : Р(В П Т-пВ П [\\^пУ < е}) > 0.
Доказательство предложения. Рассмотрим коцикл фп(ш) = Ап(ш) — Ы, порожденный функцией ^(ш) = А(ш) — Ы, со значениями в группе С, состоящей из матриц вида А — Ы, где матрица А е БЬ(2, С) либо диагональная, либо антидиагональная с операцией А * В = АВ + А + В. Введем на С норму
\\(М\\ = \1п Г]к\ + \Vjk\-
ajk+Sjk=rjkeгVjk =0 €[-п,п) Кроме того, С обладает мерой Хаара "тс(д) = йуй:и/\у\\2, где параметр V такой, что
V — 1 0 \ „ (—1 —V-1
д = 1 либо д = .
у \ 0 V-1 — 1) у ^ V —1
Применяя к <^п теоремы 2 и 3, получаем эквивалентность двух определений рекуррентности Ап(ш). Предложение доказано.
Для доказательства теоремы 1 потребуются также теоремы 4 и 5.
Теорема 4 [5]. Пусть Т — эргодическое преобразование О, сохраняющее Р. Если измеримая функция / : О м М интегрируема, то коцикл
п- 1
/п(ш) = 52 /(Ткш)
к=0
рекуррентен тогда и только тогда, когда Е/(ш) = 0.
Теорема 5 [2]. Пусть на стандартном борелевском пространстве (О, $) задана а-конечная мера т, С — компактная польская группа с левой (правой) мерой Хаара, Т — консервативное преобразование О, сохраняющее т. Тогда соответствующее косое произведение Т^ консервативно.
Доказательство теоремы 1. Пусть для вещественных функций г : О м М+, в : О м [—п,п)
а(ш) = г(шУв(ш), 1п а(ш) = 1п г(ш) + 1в(ш).
Далее Л — мера Лебега, /л = — мера Хаара на Ж,2 = {0,1}, 5*1 = {ф : —7Г ^ ф ^ 7г}. Рассмотрим
преобразование Т пространства (О х Z2 х М х Б1, Р х ц х Л х Л):
Т(ш,к,х,ф) = (Тш, к + 1А(ш) шоё 2, х + 1п г(ш)е™к, ф + в(ш)е™к + пк1А(ш) шоё2п). Пусть Т1 : (ш,к) м (Тш, к + 1а(ш) шоё 2^. Перейдем к преобразованию, изоморфному Т1:
Т2 : (ш,г) м (Тш, £(ш)г^, где г е {±1}, С(ш) = .
Ввиду того что Т — эргодическое преобразование и С(ш) не когомологично 1, любая почти инвариантная функция Е(ш,г) = /о(ш) + /1(ш)г, т.е. такая, что Е(Т2(ш,г)) = Е(ш,г) п.н., является константой (п.н.).
Таким образом, преобразования Т2 и Т1 эргодичны. Поскольку
И1п г^к "Р"ц=0
по теореме 4, учитывая интегрируемость функции 1п г(ш), получаем рекуррентность коцикла
п- 1
фп(ш,к) = ^ ф(Тк(ш, к)), где ф(ш,к) = 1п г(ш)е™к.
к=0
Тогда из теоремы 3 вытекает, что ограничение преобразования T на первые три координаты консервативно. Следовательно, по теореме 5 преобразование T консервативно. Для итераций преобразования T имеем
Tn(u,fc,x,^) = (Тпш, (k,x,^) * (и)),
где коцикл ^n(w) порождается функцией ^ : и ^ ^!д(и), lnг(и), 0(и)^ и принимает значения в группе Z2 х R х S1 c операцией
(k, ж, * (l, y, = (k + l mod 2, ж + yeink, ^ + + nkl mod .
Снабдим эту группу следующей нормой: ||(k,x,^)y = k + |ж| + (1 — k)|^|/2.
Согласно теореме 2, lim^ ,JC ||t£>ra(w)|| = 0 п.н. Обозначим (zn(ui), wn(u))T : = Ап(ш)(1, 0)т. Для каждого n G N определим измеримую функцую kn : Q ^ Z2, равную 0 на множестве {zn(и) =0} и 1 на множестве {wn(u) = 0}, имеющую смысл номера ненулевой координаты вектора (zn(u),wn(u))T. Пусть жп(и) и ^n(u) — вещественная и мнимая части логарифма этой координаты соответственно. Заметим, что ^n(u) можно представить в виде (kn(u),xn(u),^n(и)). Очевидно, что
lim \\(kn(üü),xn(üü),ipn(uj))\\ = 0 п.н. lim \zn(uo) — 1| = 0 п.н.
n—n—
Последнее равенство равносильно рекуррентности коцикла А^и). Теорема 1 доказана.
Автор приносит благодарность научному руководителю профессору В. И. Оселедцу за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ochs G., Oseledets V.I. On recurrent cocycles and the nonexistence of random fixed points. Report N 382. Bremen: Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 1996.
2. Thieullen Ph. Ergodic reduction of random products of two-by-two matrices //J. Anal. Math. 1997. 73. 19-64.
3. Oseledets V.I. Classification of GL(2, R)-valued cocycles of dynamical systems. Report N 360. Bremen: Institut für Dynamische Systeme, Universitat Bremen, 1995.
4. Aaronson J. An introduction to infinite ergodic theory // Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 50. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.
5. Atkinson G. Recurrence of co-cycles and random walks //J. London Math. Soc. 1976. 13, N 2. 486-488.
Поступила в редакцию 21.12.2009
УДК 511.35
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ МОДУЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ
В. А. Кухта1
В работе получена асимптотическая формула для среднего значения модуля дзета-функции Римана на последовательности, лежащей в критической полосе. Ключевые слова: дзета-функция Римана, среднее значение.
An asymptotic formula for the mean absolute value of the Riemann zeta-function in a critical stripe is obtained in the paper.
Key words: Riemann zeta-function, mean value.
В настоящей работе мы продолжаем исследования Р. Т. Турганалиева [1]. Нами получена асимптотическая формула для среднего значения модуля дзета-функции Римана по некоторой последовательности
1 Кухта Вячеслав Анатольевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
точек, лежащих в критической полосе. Общие подходы к изучению дробных моментов ((в) были предложены А. Е. Ингамом [2] и Г. Бором, Б. Йессеном [3]. С другим методом решения рассматриваемой нами задачи можно ознакомиться в работе К. Б. Хаселгрова [4]. Наилучшая оценка остатка в асимптотической формуле для среднего значения модуля ((в) получена Р. Т. Турганалиевым [1] (см. также [5, гл. 7, с. 180; 6]).
Пусть N ^ 2 — натуральное число; а,Ь1,..., ¿м ,Т — вещественные положительные числа, и пусть на прямой Кв = а в критической полосе дзета-функции Римана заданы точки в к = а + И к, где
1/2 < а < 1,Ь1 <Ь2 < ... <Ьк < ... <Ьм = ТN = Т. Выведем асимптотическую формулу при Т м то суммы
N
М1(Т) = N-1£ К(вк)\.
к=1
Пусть в = а + И. Тогда при а > 1 справедливы следующие разложения:
\ те
1 + Е "нР-НЛ = £ атт-°,
Н=1 ) т=1
где
3 ■ 5 ■ ... ■ (21 — 1) 1 , 1 .
Щ =--т-т-< 1, а,1 = 1, ат = йн ■... ■ а^ < 1 при т = '[){■...■
И2*
Теорема. Пусть N ^ Т 1п Т/2, вк = а + Ик, где
1/2 < а < 1, 0 < ¿1 < ¿2 < ...<Ьк < ...<Ьм = Т N = Т,
, , , \У1 \ + ... + \Ум\ п =Т/М + ук, 1П1 ---= 0.
N ^те Т
Тогда при Т м то имеем
М1{Т) = А + 0{Т1/^/2)+0{В1/2), А=^а2тт~2°, В = М±1_±Ш_
т=1
Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение [1]. Лемма. Пусть в = а + И. Тогда при а > 1 и \Ь\ ^ Т имеем
К (в)\ = \п(в)\2 + 0(\Б(в)\) + 0(Т-°/2),
где
0(в) = Б(в; Т )= атт-3, Б (в) = Б (в; Т) = ^ Ьт т-8, 0 <Ьт < 1. Доказательство теоремы.
Положим ^ = N2-к, Т1 = N1N-1Т, к ^ 1og2 N. Из леммы имеем
и1(Т1)= £ \с (вк)\ = £ \°(вк; Т1)\2+ +о( \Б(вк; Т1)^ + 0(тТ-а/2) = ип + о(ии) + о (и 13).
■ М1/2<к^М1
Далее получим
т^уЛТ
