Устойчивость на конечном промежутке времени в одномерной задаче микроволнового нагрева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955.8

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 1

УСТОЙЧИВОСТЬ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ В ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧЕ МИКРОВОЛНОВОГО НАГРЕВА

Ф. Райтманн, С. Н. Скопинов

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

В данной работе рассматривается микроволновая задача нагрева однородного материала в одномерном случае. Изучается вопрос устойчивости на конечном промежутке для данной задачи. Приводятся достаточные условия существования устойчивости на конечном промежутке с помощью варьируемых функций. Для одномерной задачи нагрева эти функции, в том числе функционал Ляпунова, приведены явно. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: устойчивость на конечном промежутке, функционалы Ляпунова, микроволновый нагрев.

1. Введение. В данной работе рассматривается микроволновая задача нагрева однородного материала в одномерном случае, которая может быть выведена из многомерного случая, как это сделано в работе [1]. Понятие устойчивости на конечном промежутке времени для данной задачи вводится на основании определений из работ [2, 3]. Приводится теорема об устойчивости на конечном промежутке времени, которая использует варьируемые функции в общем виде. Эта теорема является развитием теоремы 1 работы [4], но в отличие от неё в данной работе варьируемые функции, в том числе функция Ляпунова, приведены в явном виде.

2. Постановка задачи. Рассмотрим систему, состоящую из параболического и гиперболического уравнений, описывающую в одномерном случае уравнения Максвелла и теплопроводности [1]:

Щгг - Щхх + а(в)щ = 0, ж е (0,1),г е (0,Т), (1)

вг — вхх = а(в)щ2, ж е (0,1),г е (0,Т), (2)

щ(0,г) = : 0,Щ(М) = 0, г е (0,Т), (3)

в(0,г) = в(М) =0, г е (0,Т), (4)

в(ж, 0) = = во (ж), ж е (0,1), (5)

щ(ж, 0) = = и>о(ж), щ(ж, 0) = щх(ж), ж е (0,1), (6)

где в — температура, щ — интеграл по времени от ненулевой компоненты электрического поля, а — электрическая проводимость, которая зависит от температуры, Т > 0. Предположим, что следующие условия выполнены:

(Л1) скалярная функция а удовлетворяет локальному условию Липшица на (0, и существуют константы ао и а\, такие что 0 < ао < а(в) < а\ на (0,

(Л2) щ0, щ е £2(0,1), в0 е £~(0,1), в0 > 0 п.в. на (0,1).

В условиях (А1) и (А2) существует слабое решение системы (1)-(6) в смысле интегральных тождеств для произвольного фиксированного Т > 0 ([1]). Введём обозначение «(ж,¿) := щг(ж,£). Тогда задача (1)-(6) имеет слабое решение

(w(x,t),v(x,t),0(x,t)) в пространстве Z := (C([0,T]; L2(0,1)))2 x (L2(0,T; H 1(0,1)) П C([0,T]; L2(0,1))) (см. [1]).

Определим нормированное пространство Y := Hg(0,1) x L2(0,1) x L2(0,1) с нормой

ii(w,*,0)iiY = ikHLW) + iivnL2(o,i) + IIöHL=(O,I>, (7)

где (w, v, 0) G Y. Рассмотрим функцию y(t) = y(t,to,yo) = (w(-, t), v(-, t), 0(-, t)) как решение задачи (1)—(6) в пространстве Y с нормой (7), где вместо начального момента времени 0 берется произвольное 0 < to < T такое, что y(to, to, yo) = (wo,wi,0o), где w( ■, t), v( ■, t), 0( ■, t) G Y и удовлетворяет системе (1)—(6) в слабом смысле.

3. Устойчивость на конечном промежутке времени. Введём понятие устойчивости на конечном промежутке времени для задачи (1)—(6), аналогичное введённому в работах [2, 4]:

Определение 1. Система (1)-(6) называется (a,ß,to,T', ||-||Y)-устойчивой, где 0 < а < ß, to > 0, T' > 0, [to, to + T') С (0, T) — произвольные числа, если для каждого 'решения y(t) этой системы из условия ||y(to)||Y < а следует, что ||y(t)||Y < ß для всех t G [to, to + T').

Замечание 1. Свойство устойчивости на конечном промежутке тесно связано с понятием области достижимости, которое изучается в теории управления [5]. Однако к начально-краевой задаче (1)-(6) общие теоремы, характеризующие области достижимости, непосредственно не применимы.

Сформулируем следующую теорему об устойчивости на конечном промежутке времени для системы (1)-(6):

Теорема 1. Пусть J := [to,to + T') С (0, T) — временной интервал, 0 < а < ß — положительные числа, и существуют дифференцируемый по Фреше функционал Ф : Y ^ R и интегрируемая функция g : J ^ R такие, что следующие условия выполнены:

jt4v{t)) < g(t) (8)

для п.в. t G J и произвольных функций y( ■ ) G Z, таких, что а < ||y(t)||Y < ß;

/ д(т)dr < min Ф(у) - max Ф(у) (9)

Js v^Y'-WVWy=ß V^Y'-WVWY=a

для любых s, t G J, s < t.

Тогда задача (1)-(6) будет (а, ß,to, T', || ■ ||Y)-устойчива.

Доказательство этой теоремы проводится аналогичным доказательству теоремы 1 в работе [4] образом. Определим ниже конкретный вид функционала Ф и функции g для задачи нагрева, которые удовлетворяют всем условиям теоремы 1. При этом используем следуюший результат, который вытекает из доказательства теоремы 4.1 работы [1], который назовём свойством (S):

(S) для любых а > 0 и T' G (0, T) существует число 0 < к = к(а, T') < то такое, что для любых решений (w(x, t), v(x, t), 0(x, t)) системы (1)-(6) с начальными данными (wo,wi,0o) при to = 0 из ||wo|L2(o>1) + l|wiН^од) + ||0oMl2(o,1) < а2 слеДУет, что supie[ojT'] ||0(■ ,t)ML^(oji) < K.

Теорема 2. Пусть существуют варьируемые параметры А > 0, е > 0, а > 0 и параметры 0 < а < в такие, что выполнены следующие условия:

1 2 0 < Л < 1, -0-16-1 <0, Л2 < б < 1,

А ( 2_<Т1 + 1 ) ~ ао + аа 1К <0, 0 < тт

А2 ' 1 — б, 1--, а

е

в2 - тах[2,1 + А2, а]а2,

(10)

где параметры ао и а! берутся из соотношения (А1), к = к(а, Т') —параметр, введённый в условии (Я). Рассмотрим функционал Ляпунова в виде

Ф(у) = Ф(и, V, 0) = I + 2Аи^ + V2 + а02)йж, у = (и,^,0) € У, (11) Jо

который можно трактовать для определенных параметров А > 0, а > 0 как суммарный «интеграл энергии» относительно системы Максвелла и уравнения теплопроводности, и варьируемую функцию

д(г) =-Стт[1, а]а, г € [0, Т'), (12)

где

_ 2гшп[а, -Л(^1б - 1), ~(\(±а1 + 1) - а0 + аочк)]

тах[2,1 + А2, а] ' 1 '

Тогда функционал Ф и функция д(г) из (11) и (12) удовлетворяют неравенствам (8) и (9) относительно функций из 2 с г0 = 0 и 0 <а < в из (10). Следовательно, задача (1)-(6) будет (а, в, 0, Т', ||^||у)-устойчива.

Доказательство. Рассмотрим функционал Ляпунова (11). Для произвольных функций (и,-у,0) € У имеем с учётом неравенств (10):

Г-!

(иг + 2Аи-у + V2 + а02)йж

о

! /•!

2 + и2 + А2V2 + V2 + а02)Йж < (2и2 1 п 1 л2)-2 . -02)

оо

< тах[2, 1 + а2, а](|их !) + У^ь^о,!) + ||0||Ь2(о,!) )• (14)

Ф(и,-у,0) = [ (и2 +2Аи« + V2 + а02)^ж <

о

< (и2 + и2 + А2V2 + V2 + а02)^ж < (2и2 + (1 + А2)«2 + а02)^ж < ./о ./о

Здесь были использованы неравенство Фридрихса в виде ||и||Ь2(о 1) < ||их||ь2(о !) Для функции и € Нд(0,1) и неравенство Коши—Буняковского.

С другой стороны, для таких же функций (и, V, 0) € У имеем

[ (и2 + 2Аи-у + V2 + а02)йж >

о

!'! А 2 Г! А 2

> / (т2х-еи?--V2 + у2 +ав2)(1х > / ((1 - б)«^ + (1--)у2 + ав2)<1х >

./о е ]о е

> тт[1 - б, 1 - а](|К||22(0Д) + |М|22(0Д) + ||6»||^2(од)). (15)

Теперь рассмотрим функционал Ляпунова на пространстве функций (ад, V, 0) € 2 и для п.в. £ € (0, Т') продифференцируем по £ этот функционал:

"Г"/ + 2Auw + a02)dx = 2 [ (~wxxv + \v2 + (\w+ v)vt +a00t)dx. (16) dt J о Jq

Здесь было использовано соотношение /0 wxwxtdx = /0 —= /0 — которое выполнено для функции и>(ж, £) с однородными нулевыми граничными условиями.

Выразим V и из (1) и (2), подставим в (16) и оценим интеграл для п.в. £ € (0,Т'):

Ф(у(^) = 2 / (-Wxv + Av2 + (Aw + v)(wxx - ^(0)v) + а0(0Жх + CT(0)v2))dr =

о

= 2 / (-Aw2 - Act(0)wv + (A - ст(0) + аст(0)0>2 - a^))dx <

о

/•1 1 1

< 2 / (-А(-ст(0)б - 1 )w2x + (—Аст(0) + А - ст(0) + аа(в)в)у2 - ad2))dx. (17) 7о 2 2е

2

C учётом предположения (A2), свойства (S) и соотношений (10) легко получить оценку

Jt4y{t)) < -CMIKII^) + |Mll2(0il) + ||0||l2(Oil)) (18)

для п.в. t € (0,Т'), где С\ = 2min[a, —A(i<7i6 — 1), — (A(^cti + 1) — сто + cjctik)].

Отсюда можно показать, принимая во внимание (14), что ^Ф(y(t)) < —СФ(г/(£)) для п.в. t G (0, T'), где параметр C определён в (13).

Тогда, с учётом неравенства (15), введём на [0, T') функцию

g(t) := - Cmin[1,a]inf(|K( ■ ,*)Н|,= (о,1) + IK',*)Н|,= (о,1) + П0( ', t)Н(о, 1)), (19)

где inf берётся по всем (w(■ , ■ ), v( ■, ■ ), 0(■ , ■ )) G Z таким, что а < ||w(■, t), v(■, t), 0( ■, t)|| Y < в, чтобы выполнялось условие (8).

Ясно, что g(t) = -Cmin[1,a]a будет искомой функцией на [0, T'). Оценим слагаемые в правой части неравенства (9), учитывая выражения (14) и (15): min Ф(у) > min[l - е, 1 - a]ß2, тах Ф(у) < тах[2,1 + А2, а]о2.

Отсюда следует, что для выполнения соотношения (9) достаточно, чтобы выполнялись неравенства

-Cmin[1, a]aT' < min

A2

1 — б, 1--, а

е

в2 - max[2,1 + A2,а]а2, (20)

0 min

A2

1 — б, 1--, а

е

в2 - max[2,1 + A2, а]а2. (21)

Из условий (10) следует, что неравенства (20), (21) верны.

Полученные в статье результаты могут быть легко распространены на случай общих граничных условий типа Дирихле для w. Соответствующие теоремы существования решения имеются, например, в работе [6], и получение аналогичных выводов об устойчивости на конечном промежутке не представляет труда. Случай других граничных условий для температуры, например граничных условий типа Неймана, требует дополнительного анализа. Соответствующие теоремы существования решения в разных функциональных пространствах имеются в работе [7].

Литература

1. Manoranjan R. V., Yin H.-M., Showalter R. On two-phase Stefan problem arising from a microwave heating process // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2006. Series A. Vol.15, N4. P. 1155-1168.

2. Weiss L., Infante E. F. On the stability of systems defined over a finite time interval // Proc. Nat. Acad. Sci. 1980. Vol.54, N4. P.44-48.

3. Kalinichenko D. Yu., Reitmann V., Skopinov S. N. Asymptotic behavior of solutions to a coupled system of Maxwell's equations and a controlled differential inclusion // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Supplement. 2013. P. 407-414.

4. Kalinichenko D. Yu., Reitmann V., Skopinov S.N. Stability and bifurcations on a finite time interval in variational inequalities // Differential Equations. 2012. Vol.48, N13. P. 1-12.

5. Berkovitz L. D. Optimal Control Theory. New York: Springer-Verlag. Applied Mathematical Sciences, 1974. Vol. 12.

6. Morgan J., Yin H.-M. On Maxwell's system with a thermal effect // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B. 2001. Vol.1. P. 485-494.

7. Yin H.-M. On a free boundary problem with superheating arising in microwave heating processes // Advances in Mathematical Sciences and Applications. 2002. Vol. 12, N1. P. 409-433.

Статья поступила в редакцию 23 октября 2014 г.

Сведения об авторах

Фолькер Райт.манн —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

Скопинов Сергей Николаевич — аспирант; [email protected]

ON A FINITE TIME INTERVAL STABILITY

FOR THE ONE-DIMENSIONAL MICROWAVE HEATING PROBLEM

Volker Reitmann, Sergey N. Skopinov

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]

In this paper the microwave heating problem with homogeneous material in one-space dimension is considered. Stability on a finite time interval for this problem is investigated. Sufficient conditions for such a stability using auxiliary functions are derived. For the one-dimensional microwave heating problem these functions including a Lyapunov functional, are given in explicit form. Refs 7. Keywords: finite time stability, Lyapunov functionals, microwave heating.

References

1. Manoranjan R.V., Yin H.-M., Showalter R., "On two-phase Stefan problem arising from a microwave heating process", Discrete and Continuous Dynamical Systems Series A. 15(4), 1155—1168 (2006).

2. Weiss L., Infante E. F., "On the stability of systems defined over a finite time interval", Proc. Nat. Acad. Sci. 54(4), 44-48 (1980).

3. Kalinichenko D. Yu., Reitmann V., Skopinov S. N., "Asymptotic behavior of solutions to a coupled system of Maxwell's equations and a controlled differential inclusion", Discrete and Continuous Dynamical Systems Supplement, 407-414 (2013).

4. Kalinichenko D.Yu., Reitmann V., Skopinov S.N., "Stability and bifurcations on a finite time interval in variational inequalities", Differential Equations 48(13), 1-12 (2012).

5. Berkovitz L. D., "Optimal Control Theory", Applied Mathematical Sciences 12 (Springer-Verlag, New York, 1974).

6. Morgan J., Yin H.-M., "On Maxwell's system with a thermal effect", Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 1, 485-494 (2001).

7. Yin H.-M., "On a free boundary problem with superheating arising in microwave heating processes", Advances in Mathematical Sciences and Applications 12(1), 409-433 (2002).