CC BY
62
УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
УДК 681.51
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-9-681-686
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ ИНТЕГРАТОРОВ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ
К. А. Зименко1, А. Е. Поляков2, Д. В. Ефимов2, А. С. Кремлев1
1 Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: kostyazimenko@gmail. com
2 Государственный институт исследований в информатике и автоматике, 59650, Вильнёв-д'Аск, Франция
Рассматривается проблема анализа устойчивости системы последовательно соединенных интеграторов на конечном интервале времени. Предложен алгоритм стабилизации системы, основанный на использовании метода неявных функций Ляпунова и применении некоторых свойств однородных систем. Расчет параметров управления базируется на решении системы линейных матричных неравенств. Эффективность предложенного метода подтверждается результатами компьютерного моделирования.
Ключевые слова: устойчивость на конечном интервале времени, метод неявных функций Ляпунова, управление по вектору состояний.
Введение. Использование алгоритмов управления и наблюдения за вектором состояний системы гарантирует выполнение всех переходных процессов на конечном интервале времени. На практике такие алгоритмы востребованы, в частности, для синтеза систем управления робототехническими, мехатронными, транспортными и другими устройствами. Поэтому проблема управления на конечном интервале времени весьма актуальна и является предметом множества исследований (см., например, [1—5]).
В настоящей статье предложен алгоритм стабилизации системы последовательно соединенных интеграторов на конечном интервале времени. Схемы управления, используемые при решении задачи стабилизации цепи интеграторов, могут быть легко расширены для более широкого класса систем [6], более того, необходимость разработки подобных алгоритмов управления обусловливается их применением во множестве механических и электромеханических систем [7, 8]. Представленный в настоящей статье алгоритм управления базируется на развитии результатов, полученных в работе [9], в отличие от которых предлагаемый алгоритм не требует выполнения каких-либо дополнительных вычислительных процедур. Расчет параметров управления, как и в [9], выполняется на основе решения системы линейных матричных неравенств. Реализация алгоритма базируется на использовании метода неявных функций Ляпунова и применении некоторых свойств однородных систем.
Постановка задачи. Основные положения. Рассмотрим систему, описывающую цепь интеграторов:
x = Ax + bu , (1)
где х е Rn — вектор состояния, u е R — управляющее воздействие,
(0 10 — 0 Л (0^
A =
001
000 000
0
b =
0
V1У
Задача заключается в синтезе алгоритма стабилизации системы (1) на конечном интервале времени с простой схемой настройки параметров системы управления. Приведем предварительные сведения о некоторых свойствах системы. Устойчивость на конечном интервале времени. Рассмотрим математическую модель системы:
x = f (t, x), x(0) = Xq , (2)
где x e Rn — вектор состояния, f e R+ x Rn ^ Rn — нелинейное непрерывное векторное поле (может быть разрывным по отношению к переменной состояния).
Примем, что начало координат является положением равновесия системы (2). Определение 1 [2, 4, 9, 10]. Начало координат системы (2) является глобально устойчивым на конечном интервале времени, если для системы выполняются следующие условия:
— аттрактивность на конечном интервале времени (существует такая функция времени
стабилизации T: Rn \ {0} ^ R+, что lim x(t, x0) = 0 для всех x0 e Rn \{0} );
t ^T ( Xq)
— устойчивость по Ляпунову.
Отметим, что функция времени стабилизации системы позволяет оценить время ее перехода в состояние равновесия.
Однородные системы [11—13]. Введем вектор весов r = (,..., rn) и симметричную
матрицу D(X) = diag{Xr }n=1, где ri е R+, i е{1, ..., n},
и
X > 0. Отметим, что
Т
ДХ)х = (г X!, ..., Хг"хп) для х = (, ..., хп)т е Rn .
Определение 2 [12]. Функция g : Rn ^ R (векторное поле / : ^ ^ Rn ) однородна со степенью т , если g (!)(Х)х) = Xmg(х) (/ (0(Х)х) = XтО(X)/(х)) для всех Х> 0 и х е Rn.
i ) ( n
Введем однородную единичную сферу Sr = 1х е Rn : ||х|| = 1[, где ||х|| = ^ \xi
r r V i=1
IP/'
Л1/ P
однородная норма, р > maxt r.
Теорема 1 [13]. Пусть f — однородное непрерывное векторное поле на пространстве
Rn, такое что система (2) локально асимптотически устойчива. Тогда система (2) глобально асимптотически устойчива и для нее существует однородная функция Ляпунова V .
Для однородной функции Ляпунова V со степенью m существуют константы Ci и C2, такие что выполняется следующее неравенство:
c1\\x\\r -V(х)-с2\\цг .
Доказательство теоремы приведено в работе [13].
(3)
0
что:
Метод неявных функций Ляпунова. Приведем следующую теорему. Теорема 2 [9, 14, 15]. Если существует такая непрерывная функция Q(V, x): Rn+l ^ R,
1) функция Q(V, x) непрерывно дифференцируема для Vx е Rn \{0} и VV е R+;
2) для любого Vx е Rn \{0} существуют V- е R+ и V + е R+, такие что Q (V -, x) < 0 < Q (V+, x);
3) lim V = 0+, lim ||x|| = 0, lim V = +да , где Q = {(V,x) е Rn+1: Q(V,x) = 0};
x^0 V ^0+
(V,x )е^ (V, x)eQ (V, x)sQ
4) неравенство -да < 8Q(V, x) < 0 выполняется для Vx е Rn \{0} и VV е R+;
8 V
8Q(V,x) .. . Ti„ 8Q(V,x) W/T. Л
5) неравенство --j (x) <^V ^^-- выполняется для V(V,x) е£2 и некото-
8 x 8V
рых констант 0 <ц< 1 и л> 0, то начало координат системы (2) глобально устойчиво на конечном интервале времени со
Vц
следующей оценкой времени стабилизации: T (x0) < ——.
Доказательство теоремы приведено в работах [9, 14, 15]. Основной результат. Введем неявную функцию Ляпунова:
б (V, х) = хТБ^-1) РО(¥-1) х -1,
л гТ г>ихи
где Р = Р е К — симметричная положительно-определенная
, — диагональная матрица, е (0,1]. Теорема 3. Если разрешима система линейных матричных неравенств
АХ + ХАТ + Ъу + уТЬТ + аХ + р1 п < 0, ХИЦ + И X < 0, X > 0, Р1п >уХ,
(4)
матрица,
Г у y >
VyT X
> 0,
X I n - H (С) ^
V In - H (С)
ßI n
> 0
(5)
для Нц= diag (-1 - (n - /)ц)П=1, H(A,) = diag {;,(n )цЩ=1, це (0,1], a, ß, у, С е R+ : a>ß,
X е Rnxn, y е R1xn и существует такое си, которое удовлетворяет одному из неравенств
С
> cu > c2;
C1 > cu >
С
(6) (7)
где коэффициенты с1 и с2 удовлетворяют неравенству (3), то закон управления
и(х) = ( \\4Г )1 ^ кИ (( \\4Г ) 1) х, (8)
где к = уХ-1, стабилизирует систему (1) на конечном интервале времени.
Доказательство. В соответствии с работой [9] система х = Ах + Ъи + ё ^, х) робастно устойчива на конечном интервале времени для некоторого возмущающего воздействия ё ^, х), если выполняются следующие условия:
c
1
1) разрешима система линейных матричных неравенств
AX + XAT + ЬУ + yTbT + аX + £1п < 0, -«X < XИ| + Иц X < 0, X > 0, ие R+;
2) закон управления представлен выражением
u (V, х) = V1-1 kD(V-1) х,
(9)
(10)
где V е R+ : Q(V, х) = 0 и функция Q(V, х) приведена в (4) для P = X 3) функция возмущений d ^, х) удовлетворяет неравенству
ёТ ^, х)D2 (V-1 )d(t, х) < р2V-2ц .
(11)
Доказательство соответствия функции (4) условиям 1—5 теоремы 2 приведены в работе [9]. Представив разность законов управления (10) и (8) как функцию возмущений
d Ц, х) = - Ь (V1_ ^£0 (V-1 ))-(^м|Ы1г )1 1 kD (и\\х\\г ) 1 х = -V1-ЦЬ£
I п- И
( V ^
У cu II х11 г у у
D (V-1)
и подставив ее в неравенство (11), получим
I п-и
( V ^
V cu 1хИг у у
k1k
I n-H
( V ^
V cu 11х1г у у
<р2 P.
(12)
Введя неравенство РР > у1 п (соответствующее четвертому неравенству системы (5)) и
т
неравенство k k < уР (соответствующее пятому неравенству системы (5) при использовании дополнения Шура), выражение (12) можно переписать в виде
I п^
( V ^
V cu НхНг у у
P
I п^
( V ^
V cu НхНг у у
или для X = P 1 и у = kP 1 — в виде
р X >
I n-H
( V ^
V ^ II х11 г у у
(13)
В соответствии с уравнением (4) можно сделать вывод, что функция Ляпунова V (х) является однородной со степенью, равной единице, так как Q(V, D(X)х) = Q(X, х) или Vф(Х)х) = XV(х).
Перепишем неравенство (3) следующим образом: ^ ||х\\г < V(х) < С21|х\\г . Тогда для C е R+, удовлетворяющего неравенству (6) или (7), получим выражение
I п^
( V ^
V cu II х11г у у
<( n-H (C ))2.
(14)
2
Используя дополнение Шура, неравенство (Iп - И (С)) < PX можно переписать в виде
линейного матричного неравенства, совпадающего с последним неравенством системы (5). ■
Пример. Рассмотрим систему (1) для случая, когда п = 2. Решив систему линейных матричных неравенств (5) для | = 0,2, С = 0,55, а = у = 0,1, получим следующие значения матриц Р и £ :
P =
( 2,1637 0,5956^
v 0,5956 3,8310 у
, k = (-0,6121 -0,4418).
Согласно полученным оценкам коэффициентов с = 1,1 и с2 = 1,96 параметр си в соответствии с выражением (6) должен удовлетворять неравенству 2 > си > 1,96 .
Результаты моделирования для си = 1,97, .^(О) = 3 и Л2(0) = 2 приведены на рисунке.
Xi 4 3 2 1 0 -1 -2
г ! I
/ \
Ч \ \ \ ^ \
S \ ---■■■ -V \ V' \ /
i i
0 5 10 15 20 25 t, с
Заключение. Представлен алгоритм стабилизации системы последовательно соединенных интеграторов, основанный на использовании метода неявных функций Ляпунова и применении некоторых свойств однородных систем. Расчет параметров управления базируется на решении системы линейных матричных неравенств. Эффективность предложенного метода подтверждается результатами компьютерного моделирования.
Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при государственной финансовой поддержке ведущих университетов Российской Федерации (субсидия 074-U01) и Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0031).
список литературы
1. Amato F., Ariola M. Finite-time control of discrete-time linear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 2005. Vol. 50, Iss. 5. P. 724—729.
2. Roxin E. On finite stability in control systems // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 1966. Vol. 15(3). P. 273-283.
3. Levant A. On fixed and finite time stability in sliding mode control // IEEE of the 52nd Annual Conf. on Decision and Control (CDC). 2013. P. 4260—4265.
4. Bhat S. P., Bernstein D. S. Finite-time stability of continuous autonomous systems // SIAM Journal of Control and Optimization. 2000. Vol. 38(3). P. 751—766.
5. Moulay E., Perruquetti W. Finite-time stability and stabilization: State of the art // Lecture Notes in Control and Information Sciences. 2006. Vol. 334. P. 23—41.
6. Polyakov A., Efimov D., Perruquetti W. Robust stabilization of MIMO systems in finite/fixed time // Intern. J. Robust. Nonlinear Control. 2014. P. 1—19.
7. Chernous'ko F. L., Ananevski I. M., Reshmin S. A. Control of Nonlinear Dynamical Systems: Methods and Applications. Berlin: Springer-Verlag, 2008.
8. Utkin V. I., Guldner J., Shi J. Sliding Mode Control in Electro-Mechanical Systems. CRC Press, 2009. 503 p.
9. Polyakov A., Efimov D., Perruquetti W. Finite-time stabilization using implicit Lyapunov function technique // Proc. of the 9th Symp. on Nonlinear Control Systems. 2013. P. 140—145.
10. Orlov Y. Finite time stability and robust control synthesis of uncertain switched systems // SIAM Journal of Control and Optimization. 2010. Vol. 43(4). P. 1253—1271.
11. Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957. 242 с.
12. Зубов В. И. О системах обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями // Изв. вузов. Математика. 1958. № 1. С. 80—88.
13. Bacciotti A., Rosier L. Lyapunov Functions and Stability in Control Theory. Springer, 2005. 237 p.
14. Коробов В. И. Решение задачи синтеза с помощью функции управляемости // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248, № 5. С. 1051—1055.
15. Adamy J., Flemming A. Soft variable-structure controls: A survey // Automatica. 2004. Vol. 40. P. 1821-1844.
Сведения об авторах
Константин Александрович Зименко — аспирант; Университет ИТМО; кафедра систем управления и
информатики; E-mail: [email protected] Андрей Евгениевич Поляков — канд. техн. наук; Государственный институт исследований в
информатике и автоматике; E-mail: [email protected] Денис Валентинович Ефимов — канд. техн. наук; Государственный институт исследований в
информатике и автоматике; E-mail: [email protected] Артем Сергеевич Кремлев — канд. техн. наук; Университет ИТМО; кафедра систем управле-
ния и информатики; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
систем управления и информатики 22.04.15 г.
Университета ИТМО
Ссылка для цитирования: Зименко К. А., Поляков А. Е., Ефимов Д. В., Кремлев А. С. Устойчивость системы последовательно соединенных интеграторов на конечном интервале времени // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 9. С. 681—686.
FINITE-TIME STABILITY OF SYSTEM OF SERIES-CONNECTED INTEGRATORS
K. A. Zimenko1, A. E. Polyakov2, D. V. Efimov2, A. S. Kremlev1
1 ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
2 National Institut for Research in Informatics & Automatics (Institut national de recherche en informatique et en automatique — INRIA), 59650, Villeneuve-d'Ascq, France
The problem of finite-time stability analysis of system of series-connected integrators is considered. An algorithm of the system stabilization is proposed. The algorithm makes use of implicit Lyapunov function technique as well as several properties of homogeneous systems. Evaluation of control parameters is based on solution to a system of linear matrix inequalities. Effectiveness of the proposed method is confirmed by presented results of computer modeling.
Keywords: finite time stability, implicit Lyapunov function technique, state feedback control.
Data on authors
Konstantin A. Zimenko — Post-Graduate Student; ITMO University; Department of Computer
Science and Control Systems; E-mail: [email protected] Andrey E. Polyakov — PhD; INRIA; E-mail: [email protected]
Denis V. Efimov — PhD; INRIA; E-mail: [email protected]
Artem S. Kremlev — PhD; ITMO University; Department of Computer Science and Control
Systems; E-mail: [email protected]
For citation: Zimenko K. A, Polyakov A. E., Efimov D. V, Kremlev A. S. Finite-time stability of system of series-connected integrators // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 9. P. 681—686 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-9-681-686
