Асимптотическое поведение интегралов Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

ББК 22.161.5 УДК 517.54

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ЛАПЛАСА Башмаков Р.А., Исаев К.П.

В работе изучается асимптотика многомерных интегралов Лапласа (У) = |И(х)dX, где И(х) — выпуклая функция, X, у £ К.

Пусть Е - выпуклая область в пространстве К и И - выпуклая функция в области Е. Рассмотрим интеграл

вида

4 (У) = |х)dX, (1)

п

где для X = (x1, X2,..., Xn), у = (У1,У2,..., Уп) использовано обозначение ^ ^x.y..

k =1

В монографии [1] рассматриваются выпуклые функции, для которых допускается значение +¥. Доопределим при необходимости функцию к , полагая И(x) = +¥ для x £ E , и будем считать, что функция

к определена и выпукла на всем пространстве К (см. [1]). Функция И (у) = 8ир(xy — И(x)) , У £ К

X

называется сопряженной по Юнгу к функции И . Известно ([1]), что И также выпуклая функция, причем

функция, сопряженная по Юнгу к функции И , совпадает с И . Пусть Е = {У £ К : И (У) <+¥}. Если

внутренность множества Е пуста, то интеграл в (1) расходится для всех У £ К . Поэтому будем считать, что

внутренность Е непустое множество.

Если функция И дважды непрерывно дифференцируема и ее вторая производная удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, то рассматриваемая задача является классической и подробно изучена. Соответствующие результаты можно найти в книгах [2], [3].

Введём необходимые обозначения и определения.

Через V(А) будем обозначать п-мерный объем множества А С К . Пусть Е — некоторое множество в К и X £ Е . Определим по индукции по размеренности пространства величину уё(X, Е) , которую будем называть «объемным расстоянием». Если Е С К , то положим уё(X, Е) = тД | X — У |: У £ Е} — обычное расстояние от точки X £ Е до границы Е. Пусть величина уё(X, Е) определена в пространстве К и Е С Яп+1. Возьмем точку Уо £ ЭЕ , такую, что шД| X — у |: у £ Е} =| X — Уо |. Если таких точек на границе несколько, то возьмём любую из них. Через точку Уо проходит единственная опорная гиперплоскость, ортогональная отрезку, соединяющему точки X, Уо . Пусть Р — гиперплоскость, параллельная этой опорной гиперплоскости и проходящая через точку х. Размерность выпуклого множества Е1 = Р О Е равна п и X £ Е^. По допущению индукции величина уё(X, Е1) уже определена. Положим

уё(X, Е) = уё(X, Е1) | X — У0 |. Как видно из определения, величина уё(X, Е) не всегда определяется однозначно, если п > 1. Если обычное расстояние от X до границы Е или одного из сечений Е плоскостями достигается не в единственной точке, то в зависимости от выбора точки достижения величина уё( X, Е) может получиться различной. Из доказанных теорем будет видно, что в случаях, рассматриваемых в наших утверждениях, разные значения уё( X, Е) будут сравнимыми.

Лемма 1. Пусть у(X) — неотрицательная выпуклая функция на К и (Х^) = V({X : у(X) £ {}), t > 0.

—4 x ')dx =

К1 о

Доказательство• Пусть = {X £ К : у(X) £ {}. Разобьем отрезок [0, Т] точками

0 = t1 < t2 < ... < = Т. Тогда |е у(;с')dx = ^ |е у(;с')dx. Т.к. tk—1 £ у(X) £ tk при X £ \^, то

°Т k=1 Ч ^—!

У(Оч \ вч 1) е^ ) < | е^(х)&х < У(Оч \ в,к 1) е~чН к = 1,2,..., и

а, \а

1к^1к-1 или, то же самое

е _у(гк) («(гк) - «(гк-1)) < |е_У(х)&х <е~у(гк-1) («Ок) - «(гк-l)), к = ъ2,...,".

Суммируя эти выражения по значениям к , и переходя к пределу при параметре разбиения, стремящемся к нулю, получим утверждение леммы.

Теорема 1. Пусть В = {(X,у) £ Я" XЯ" : И(х) + И(у) < 1}, и для у £ Я"

Ву = {х £ Я" : (X,у) £ В} — проекция на Я" сечения множества В для фиксированного у £ Я". Тогда справедлива оценка

в-1У(Бу)е'(у) < |еху-И{х&х < (1 + п\)У(Бу)е'(у), у £ Е.

Доказательство. Нижняя оценка очевидна в силу неотрицательности подинтегральной функции и определения множества В. Зафиксируем у. Заметим, что при всех х и у выполняется неравенство

И (у) + И(х) - ху > 0. Положим «7) = V({х : И (у) + И(х) - ху < г}), г > 0. В наших обозначениях

«(1) = V(Оу ) . Как известно ([4]), — вогнутая возрастающая функция на [0;+¥) (здесь " — размерность

пространства).

По лемме 1 имеет место представление

¥

Ь (у) = е''( у) I е ~‘«(>).

0 _____

По определению «(0) = 0 . Из вогнутости функции "(«(г)) следует оценка

(«(г))" < («(1))"г, г > 1. (2)

Интегрированием по частям получим

1 ¥ ¥

Ь' (у)е ~к( у) = | е _г&«(г) +1 е _г&«(г) < «(1) +1 е ~г «(г) &.

0 1 1

Воспользуемся оценкой (2):

С ¥ Л

< (1 + "\)«(1).

V 1 )

Теорема 1 доказана.

Замечание. Очевидно, вместо множества В можно было бы взять любое множество В(Р) = {(х, у) £ Я" XЯ" : И(х) + И (у) - ху < р}, где р — любое положительное число. Теми же рассуждениями можно доказать асимптотику

~ г С "\ Л ~ ~

е-V(В(р))еИ(у) < Iеху-И(х)&х < 1 + — V(D(p))eh(у), у £ Е.

* V Р")

При фиксированном у £ Я" возьмём любую точку х = ху, для которой верно равенство

И (у) + И(ху ) — уху = 0 , и пусть Ву = {г : (ху, 2) £ В} — проекция на Я" сечения множества В . Теорема 2. Имеют место неравенства

---------1-е~(у) < Iеху-И(х)&х < е (1 + "\)(2" ек(у), у £ Е .

е(1 + "\)уё( у, Ву ) ■* уё( у, Ву )

Доказательство. Для сокращения записей при фиксированном у £ Я" введем обозначение

и(х) = И(у) + И(х + ху ) - (х + ху )у .

ЬИ (у)е~И (у) <«(1) 1 +1е~гг"йг

\°ь-1

6

раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

Тогда U - неотрицательная выпуклая функция и u(0) = 0, причем (x : u(x) £ 1} = Dy — Xy. Нетрудно убедиться в истинности равенства: U(z) = h(z + y) — h(y) — Xyz . По определению сопряженной по Юнгу

функции h(z + y) > x(y + z) — h(x) для всех X, в частности, h(z + y) > Xy (y + z) — h(Xy ) . Поэтому

U(z) = h(z + y) — h(y) — Xyz > Xy (y + z) — h(Xy ) — h(y) — Xyz = 0, (3)

причем U(0) = 0 . Рассмотрим выпуклое множество E = (z : U(z) £ 1} и опорную функцию H этого множества: H (z) = sup zt. Поскольку 0 G E, то H (z) > 0 .

Лемма 2. Пусть F = (u(X) £ 1}, G1 = (H(X) £ 1}, G2 = (H(X) £ 2}. Тогда

имеют место

включения G1 с F с G2.

Доказательство. Если u(x) £ 1, то

H(x) = sup Xz £ sup (Xz — U(z) +1) £ sup (Xz — U(z)) +1 = u(x) +1 £ 2,

zgE zgE zgE

и, тем самым, правое включение доказано. Пусть H (x) £ 1 и z £ E, тогда, поскольку 0 G E, то

найдётся t > 1 и z0 G dE так, что z = tz0. В силу выпуклости функции U имеем

1 = U( z0) £1 U( z) +1 1 —1 | U(0) =1 U( z), t ^ t j t

то есть U(z) > t. Поэтому xz — U(z) £ t(xz0 — 1) £ t(sup xz'— 1) = t(H(x) — 1) £ 0.

z GE

Отсюда в силу неотрицательности функции U вытекает следующая оценка u(x) = sup (xz — U(z)) £ max (sup (xz — U(z)), sup (xz — U(z))) £ max (sup (xz — U(z)), 0) £ sup xz = H(x) £ 1.

z zgE z£E zgE zgE

Лемма доказана.

С помощью замены переменных X := X + Xy получим равенство

Lh (y) = J ^—h( x) dx = J e{ X+Xy) y—h( X+Xy) dx = eh (y) J e~u (x )dx. (4)

Применим к последнему интегралу теорему 1, учитывая, что U(0) = 0 :

e-lV(F) £ Je-u(X)dx £ (1 + n !)V(F), а объем множества F оценим по лемме 2:

e~lV(Gj) £ Je~u(X)dx £ (1 + n!)V(G2).

Опорная функция Н тоже неотрицательная, значит (0) = 0, и по замечанию к теореме 1 имеем

e~2V(G2) £ Je"H(X)dx £ (1 + n !)V(Gj).

Последние два соотношения дают оценку

----1-Je~H(x)dx £ e-1V(G1) £ Je-u(x)dx £ (1 + n !)V(G2) £ (1 + n !)e2 Je~H(x)dx.

e(1 + n!)J J J

Вместе с представлением (4) получим

----1-eh(y) Je~H(X)dx £ Lh (y) £ (1 + n !)e2eh(y) Je"H(x)dx. (5)

e(1 + n!) J J

Таким образом, для доказательства теоремы 2 нам нужно выяснить асимптотику интеграла от e—H (x) , где H(x) — опорная функция множества E = (z : i%(z) £ 1} = (z : h(z + y) — h(y) — Xyz £ 1}. Заметим, что

E + y = (t: h(t) — h(y) — xyt + Xyy £ 1} = (t: h(t) + h(Xy ) — xyt £ 1} = Dy,

поэтому vd(y, Dy ) = vd(0, E) . Следовательно, утверждение теоремы 2 будет вытекать из следующей леммы.

Лемма 3. Пусть Е — выпуклое множеств, содержащее начало координат, и H(x) — опорная функция этого множества. Тогда ~ £‘-_JJ (x ^ £ (2n)

------£ Je~H(x)dx £

n J

vd(0, E) J vd(0, E)

tG E

Доказательство. При определении величины уё(X, Е) мы фактически строили ортогональный репер с началом в точке х. Поскольку утверждение леммы инвариантно относительно поворотов системы координат, то можем считать, что ІПҐ{ | X |: X = (0,...,0, Хі, хі+1,..., Хп) ї Е достигается в точке (0,...,0, аі ,0,...0) Є ЭЕ,

причем аі > 0. При таком выборе системы координат, очевидно Уё(0,Е) = а1а2...ап.

Пусть Н1 — опорная функция симплекса с вершинами в точках (0,...,0, +аг.,0,...,0). Очевидно, что

этот симплекс лежит в Е, поэтому Н1(х) £ Н(х) для всех х. С другой стороны,

1 п

Н1(х) = шах(±аіхі) = шах(аг. | хі |) > — V аі | хі |, следовательно,

г г п і=1

f e~H(x)dx < f e~Hl(x)dx < f e n«a,'X,'dx = (2n) = (2n) .

J J J a1a2...an vd (0, E)

Докажем нижнюю оценку. По выбору системы координат опорная гиперплоскостьР1 к множеству E в

граничной точке (a^0,...,0) описывается уравнением X1 = a1, X = (X1, x2,..., Xn). Рассмотрим

Ej = E O Rj, где Rj = {x = (xj,..., xn): xj = 0}. Снова по выбору системы координат опорная

гиперплоскость Р2 к множеству Ej в пространстве Rj в граничной точке (0,a2,0,...,0) описывается

уравнением ( в пространстве Rj) x2 = a2. Значит, во всем пространстве Rn уравнение этой опорной

плоскости имеет вид A2jxj + x2 = a2. Продолжая рассуждать аналогичным образом, получим, что опорная

гиперплоскость Pi к множеству Е в точке (0,...,0, ai ,0,...,0) описывается уравнением вида

Ax + Ax +... + A._,X.,+ X = a,. Положим A = 1, A,-= 0, j > i, и через А обозначим

i ,1 1 1,2 2 i, i 1 i 1 i i i ,i i, j ^ if ^ a

треугольную матрицу с элементами A >. Через G обозначим выпуклую неограниченную область, отсекаемую

‘, J

гиперплоскостями Р, i = 1,2,...,n, содержащую множество Е. Область G есть пересечение полупространств Р = {x = (xj,..., xn ): Aij xj + A-2 x2 +... + Aii_j x_ + X < a;-}. При линейном преобразовании пространства у = Ax область G преобразуется в область G' = {y = (yj,..., yn ) : y. < a, i = 1,2,..., n}. Опорная функция области G' легко вычисляется:

Г ^ aizi, если все zt > 0,

Hg (z) = i

в противном случае.

Пусть В — обратная матрица к матрице А. Тогда для опорной функции области G выполняется формула HG (z) = sup zx = sup z(By) = sup (BT z)у = HG, ((AT )_j z), где AT, BT - транспонированные матрицы.

xeG xeG' xeG'

Поскольку E С G , то H (x) < HG (X), значит f e H (x )dx > f e Hg(X)dx = f e Hg'((A)_1 x)dX. Произведем

замену переменных в последнем интеграле, учитывая, что det A = 1 получим

f e~H(x)dx > f e~HG’(y)dy = f e~HG’(y)dy = f e ‘ ' dy = —1—.

J J J J /1 /7

□ + □ + tV'-Un

Лемма 3 доказана.

Подставим соотношения леммы 3 в оценки (5) и получим утверждение теоремы 2.

Авторы выражают благодарность Р.С. Юлмухаметову за неоценимую помощь при выполнении данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

2. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

3. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

4. Погорелов А.В Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука. 1969.

Поступила в редакцию 05.05.06 г.