О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралax Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 1 (2010). С. 3-16.

УДК 517.54

О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛAX ЛАПЛАСА

Р.А. БАШМАКОВ, К.П. ИСАЕВ, Р.С. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. Во многих вопросах анализа в качестве характеристики выпуклости функции используются вторые производные, что накладывает серьезные ограничения на класс рассматриваемых функций. В работе вводятся геометрические характеристики выпуклости, что с нашей точки зрения более естественно при изучении весовых функциональных пространств. Более подробно рассматривается одномерный случай, доказывается эквивалентность различных характеристик. В качестве приложения изучается асимптотика многомерного интеграла Лапласа.

Ключевые слова: выпуклые функции, сопряженная по Юнгу функция, преобразование Лапласа.

1. Геометрические характеристики выпуклых функций Часть результатов анонсирована в работе [1].

Пусть x = (xi,x2, ...,xn), y = (yi, y2,..., yn) — элементы пространства Rn, и скалярное произведение xy = ^2n=i XkУк. Для выпуклой функции h, заданной на множестве E из Rn, определим функцию, сопряженную по Юнгу (см. [2])

h(y) = sup(xy — h(x)), y Е Rn.

x€E

Удобно считать, что функция h принимает значение вне множества E и тогда в определении h(y) вместо верхней грани по множеству E можно брать верхнюю грань по

Rn

Известно (см. [2]), что h также выпуклая функция, причем сопряженная по Юнгу к функции h, совпадает с h. Пусть E = {y Е Rn : h(y) < +то}. Будем считать, что

внутренность E — не пустое множество.

Через V(A) будем обозначать n-мерный объем множества A С Rn. Пусть E — некоторая область в Rn и x Е E. Определим по индукции по размерности пространства величину vd(x,E), которую будем называть "объемным расстоянием"(см. [6]). Если E С R, то положим

vd(x, E) = inf{|x — y| : y Е E}

— обычное расстояние от точки x Е E до границы E. Пусть величина vd(x, E) определена в пространстве Rn и E С Rn+1. Возьмем точку y0 Е ÖE такую, что

inf{|x — y1 : y Е E} = |x — yo1.

Если таких точек на границе несколько, то возьмем любую из них. Через точку y0 проходит единственная опорная гиперплоскость, ортогональная отрезку, соединяющему точки x, y0. Пусть P — гиперплоскость, параллельная этой опорной гиперплоскости и проходящая

R.A. Bashmakoy, K.P. Isaev, R.S. Yülmükhametov, On Geometric Characteristics of Convex Functions and Laplace Integrals.

Поступила 20 февраля 2010 г.

через точку х. Размерность выпуклого множества Е1 = РР|Е равна п и х Е Е^ По допущению индукции величина уё(х, £1) уже определена. Положим

уё(х, Е) = уё(х, £1)|х — у о |.

Как видно из определения, величина у^х, Е) не всегда определяется однозначно, если п > 1. Если обычное расстояние от х до границы Е или одного из сечений Е плоскостями достигается не в единственной точке, то в зависимости от выбора точки достижения величина Е может получиться различной. Из доказываемых теорем будет видно, что в случаях, рассматриваемых в наших утверждениях, разные значения у^х, Е) будут сравнимыми.

Пусть в дальнейшем

Б = {(х,у) б!п х : Л(х) + Л(у) — ху < 1}, и для у Е через Бу обозначим проекцию на ЩП сечения множества Б:

Бу = {хЕ : (х, у) ЕБ}.

При фиксированном у возьмем произвольную точку х = ху, для которой верно равенство

Л(у) + Н(ху) — уху = 0, и через Бу обозначим проекцию на сечения множества Б:

Бу = {г : (ху, г) Е Б}.

2. Одномерный случай

Рассмотрим подробнее "объемное расстояние" в одномерном случае, а также введем и изучим близкие к нему характеристики выпуклых функций. Если в определение интервала Бу подставить условие, определяющее точку ху, то получим интервал

{г : ВД — ВД — ху(г — у) < 1}.

Очевидно, график линейной функции /(г) = Л(у) + ху(г — у) есть не что иное, как одна из касательных прямых к графику функции Л. Поэтому мы можем перейти к определению, не использующему преобразование Юнга.

Определение 1. Пусть и(х) — выпуклая функция на интервале I С К. Возьмем положительное число р. В любой точке у Е I существует хотя бы одна касательная к графику функции и. Предположим, что график линейной функции /(х) является касательной в точке у. Возьмем интервал

11(/,у,р) = {х : и(х) — /(х) < р},

и расстояние от точки у до границы этого интервала обозначим через р1(и,у,р).

Отметим некоторую неоднозначность данного определения величины р1(и,у,р), связанную с свободой выбора функции /(х): если функция и не дифференцируема в некоторой точке у, то касательных в этой точке может быть несколько. Но из последующих лемм следует, что значения величины р1(и,у,р) при различном выборе функции /(х) сравнимы между собой и, тем самым, пригодны для наших целей. Кроме того, можно рассматривать в каждой точке касательную с наибольшим или, наоборот, с наименьшим угловым коэффициентом. Если функция и дифференцируема в точке у, то величина р1(и,у,р) определяется однозначно. Напомним, что функцию и за пределы интервала I мы доопределяем равной +то. Если имеется в виду одна функция и, то в обозначении р1(и,у,р) символ и будем опускать.

Лемма 1. При д > р > 0 имеют место двусторонние оценки

р Р1(у,д) > р1(у,р) > -Р1(у,д) д

при одном и том же выборе касательной прямой /.

Доказательство. Левое неравенство очевидно. Пусть 11(у,д) = (ад; Ья) и а = р, х = аЬд + (1 — а)у. Тогда в силу выпуклости функции и1 = и — / имеем

р и1(х) < аи1(6д) + (1 — а)и1(у) = -и1(6д) < р. Следовательно, если 11(у,р) = (ар; Ьр), то Ьр > аЬд + (1 — а)у, то есть Ьр — у > а(Ьд — у). Точно также покажем, что у — ар > а(у — ад). Таким образом, р1(у,р) > ар1(у,д) = рр1(у,д).

Для положительного числа р введем еще одну величину:

^ г у+*

р2(и, у,р) = вир < ¿> 0: / |и'(т) — и'(у)| ^т < р

I Л-*

Величина р2(и, у,р) более корректно определена: производная выпуклой функции существует всюду за исключением счетного множества точек и монотонна, поэтому интеграл в определении существует для почти всех значений у и непрерывно зависит от пределов интегрирования. Далее заметим, что интеграл (1) легко считается и величину р2 = р2(и,у,р) можно определить из равенства

и(у — Р2) + и(у + Р2) , ч р

---------2-------------и(у) = 2 •

Таким образом, величина р2 оказывается определенной и для тех значений у, в которых и;(у) не определена.

Лемма 2. 1. Для любого положительного р выполняются оценки

2р2(у,р) > р1(у,р) > р2(у,р).

2. При д > р > 0 имеют место двусторонние оценки

р Р2(у,д) > р2(у,р) > -Р2(у,д). д

Доказательство. 1. Докажем правое неравенство в первом соотношении. По замечанию перед леммой величину р2 = р2(и,у,р) можно определить из равенства

и(у — Р2) + и(у + Р2) / ч р

---------2-------------и(у) = 2 •

Пусть / — линейная функция, определяющая величину р1(и,у,р) и и1 = и — /. Для краткости положим а = у — р2, Ь = у + р2 и 12(у,р)) = (а; Ь). Тогда а + Ь = 2у, и1(у) = 0, и1 (х) > 0 и

и1(а) + и1(Ь) = р.

Так как каждое слагаемое в левой части — неотрицательная величина, то каждое из них не превосходит р, то есть а,Ь Е 11(/,у,р) или 12(у,р) С 11(/,у,р). Другими словами,

р1(и,у,р) > р2(и,у,р).

Пусть теперь 11 (/, у, 2) = (т; п). Это значит, что

и1(т) < р и1(п) < 22. (2)

Если, например, y — m < n — y, то pi(y, p) = y — m, причем

P

ui(y + (y — m)) < ui(n) < 2•

Сложим последнее неравенство с первым неравенством в (2) и получим

ui(y — (y — m)) + ui(y + (y — m)) < p.

Тем самым, p2(y,p) > y — m = Pi(y, p). Из правой оценки в лемме 1 следует

Pi^ p) > ! Pi(y,P). Значит P2(y,P) > § Pi (y,P).

2. Докажем теперь второе утверждение. Левое неравенство очевидно. Положим r = P2(y,q). Определение величины p2(y,q) означает, что выполняется равенство

u(y — r) + u(y + r) q

---------2-----------u(y) = 2 •

Пусть a = p. Тогда a E (0,1] и

y — ar = a(y — r) + (1 — a)y, y + ar = a(y + r) + (1 — a)y.

В силу выпуклости функции u имеем

u(y — ar) < au(y — r) + (1 — a)u(y), (3)

u(y + ar) < au(y + r) + (1 — a)u(y). (4)

Сложив эти два неравенства, получим

u(y — ar) + u(y + ar) u(y — r) + u(y + r) q p

-----------------------— u(y) = a---------------— au(y) = a— = —.

2 vy' 2 v ' 2 2

По определению эта оценка значит, что

p

P2(y,P) > ar = -P2(y,q). q

Величину p2 (y,p) можно определить более функциональным образом.

Определение 2. Для произвольной непрерывной функции u(y) на вещественной оси и положительного числа r через d(u,y,r) обозначим отклонение в равномерной норме функции u на промежутке [y — r; y + r] от линейных функций:

d(u,y,r) = inf{ max |u(t) — /(t)|, l — линейна}.

te[y-r;y+r]

Через p(u,y,p) обозначим наибольшее число r, такое, что на интервале [y — r; y + r] функция u отклоняется от линейных функций не более чем на р:

p(u, y,p) = sup{r : d(u,y,r) < p}.

Лемма 3. Если для выпуклой функции u величина p2(u,y,p) определена по соотношению (1), то

P(u,y,P) = P2(u^ 2P).

Доказательство. Пусть r = р2 (u,y, 2р), тогда по определению этой величины

u(y — r) + u(y + r)

2

Возьмем линейную функцию

— u(y) = p.

,/4 x — (y — r) , N x — (y + r) , .

1(x) = -----—-------u(y + r) + -----—-------u(y — r).

Для этой функции верны соотношения

1(y — r) = u(y — r), /(y + r) = u(y + r),

u(x) < /(x), xE [y — r; y + r].

Для линейной функции

выполняются соотношения

*i(y - r) = - r) = u(y^

u(x) > /1(ж), іЄ [y; y + r].

Для линейной функции Д/(ж) = / (ж) — ^(ж) легко сосчитать значения на концах интервала [у; у + г]:

A/(y)= ^, A/(y + r) = 2p,

значит, в промежутке [y; y + r] имеет место оценка

0 < /(x) — u(x) < /(x) — /1 (і) < 2p.

Аналогично, с помощью линейной функции

, , N x — y , ч і — (y + r) , . /2(1) =-------u(y + r) +-------------------------u(y)

r

r

покажем, что и в промежутке [у — г; у] выполняется такая же оценка. Итак,

Теперь положим r = p(u,y,p). Тогда существует линейная функция /0, которая в промежутке [y — r; y + г] удовлетворяет оценке

|u(x) — /0(ж)| < р,

причем в силу определения величины p(u,y,p)

max (u(t) — Z0(i)) = — min (u(t) — Z0(t)) = p.

i€[y-r ; y+r] i€[y-r ; y+r]

Положим /i(x) = Z0(x) + p, тогда

/(у — г) = и(у — г) < /1 (у — г), /(у + г) = и (у + г) < /1(у + г).

Для линейных функций неравенство продолжается внутрь промежутка:

/ (ж) < /1 (ж), ж € [у — г; у + г].

Отсюда и из (7) получим

0 < /(ж) — и (ж) < 2р, ж€ [у — г; у + г], в частности /(у) — и (у) < 2р. Подставим определение функции /(ж):

Это неравенство означает, что

Р2(и^ 2Р) > г = р(и,у,р).

Вместе с соотношением (6) это неравенство доказывает утверждение леммы 3.

(6)

0 < /1 (x) — u(x) < 2p, і Є [y — r; y + r]. Возьмем функцию /(x), определенную по формуле (5). Тогда

Функция p(u,y,p) сравнима с величиной p1(u,y,p) и, кроме того, обладает свойством непрерывности по переменным и и y.

Лемма 4. 1. Пусть и — выпуклая функция на вещественной оси и p — положительное число. Тогда функция p(y) = p(u,y,p) удовлетворяет условию Лифшица: для всех x,y из области определения функции и

|p(y) — P(x)| < |y — x|.

2. Пусть и1,и2 — выпуклые функции на вещественной оси, такие, что

|ui(x) — и2(ж)| < C,

p — положительное число. Тогда функции p1(y) = p(u1,y,p) и p2(y) = p(u2,y,p) удовлетворяют условию

t p^p(u1,y,p) < p(u2,y,p) < (p + C)p(u1,y,p).

(p + C) p

Доказательство. 1. Возьмем произвольное y и x G (y — p(y); y + p(y)). По определению p(y) существует линейная функция /(t), удовлетворяющая оценке

|u(t) — /(t)| < p, t E [y — P(y);y + p(y)].

Не уменьшая общности, будем считать, что x > y, и положим r = y + p(y) — x. Тогда [x — r; x + r] С [y — p(y); y + p(y)], поэтому

|u(t) — /(t) | < p, t G [x — r; x + r].

Следовательно,

p(x) > r = y + p(y) — x,

то есть

p(y) — p(x) < x — y.

Если p(y) > p(x), то мы имеем |p(y) — p(x)| < |x — y|. Если же p(y) < p(x), то y G [x — p(x); x + p(x)] и мы можем провести рассуждения, поменяв местами x и y, в результате получим

p(x) — р(у) < y — x

или

|P(x) — Р(У)| < |У — x|.

Итак, если x G [y — p(y); у + р(у) |, то выполняется последнее неравенство, которое означает непрерывность функции p(t). Возьмем теперь произвольные x,y, x < у, и положим

6 = min p(t).

te[x,y]

Поскольку p(t) — положительная непрерывная функция, то 6 > 0. Возьмем возрастающую последовательность t1 = x < t2 < ... < tn = y, такую, что ti+1 — ti = 6 для всех i. Тогда ti G [ti+1 — p(ti+1); ti+1 + p(ti+1)], и по доказанному

|P(ti+1) — P(ti)| < ti+1 — ti.

Следовательно,

|P(y) — P(x)|

n— 1

< (ti+1 — ti) = |y — x|.

i=1

п— 1

^ КрС^+0 — Р(^))

г=1

Утверждение первого пункта леммы 4 доказано.

2. Положим г = р(и1,у,р). Тогда существует линейная функция /(ж), удовлетворяющая условию

|и1(ж) — /(ж)| < р, ж€ [у — г; у + г].

По условиям леммы

|u2(x) — 1(x)| < |u2(x) — ui(x)| + |ui(x) — 1(x)| < C + p, x E [y — r; y + r].

Значит,

p(u2,y,P + C) > r = p(ui,y,p).

В силу правого неравенства во втором пункте леммы 2 получаем

p(u2,y,p) > ^xP(u2,y,p + C) > ^ p(ui,y,p).

(p + C) (p + C)

Проведя те же рассуждения и поменяв местами функции u1, u2, получим и верхнюю оценку.

Лемма 4 доказана.

Введем еще одну характеристику для выпуклых функций. Пусть z — фиксированная точка на плоскости. Для любого положительного числа r > 0 через B(z, r) обозначим круг {w : |w — z | <r} и для непрерывной в B(z, r) функции f положим

||/||r = max |f (w)|.

wGB(z,r)

Пусть d(f, z,r) — расстояние от функции f до подпространства гармонических в B(z,r) функций:

d(f,z,r) = inf{||f — H||r, H — гармонична в B(z,r)}.

Если u(x) — выпуклая функция на интервале I С R, то функция u(w) = u(Re w) является непрерывной функцией в вертикальной полосе I + Ж на плоскости. Для положительного числа p положим

т(u, z,p) = sup{r : d(u,z,r) < p}.

Ясно, что т(u,z,p) зависит только от Re z. Кроме того, поскольку функцию u при необходимости мы доопределяем, полагая равной вне интервала I, то т(u,z,p), как и

p1(u,y,p), p(u,y,p), не может превосходить расстояния от y до границы интервала определения функции u.

Лемма 5. 1. Для функции т(y,p) = т(u,y,p) для любого положительного p выполняются оценки

т(y,p) > p(y,p) > ^т(y,p).

16

2. При q > p > 0 имеют место двусторонние оценки

p

т(y,q) > т(y,p) > —т(y,q).

16q

3. Функция т(y) = т(u,y,p) удовлетворяет условию Лифшица: для всех x,y из области определения функции u

|т(y) — т(x)| < |y — x|.

4. Пусть u1,u2 — выпуклые функции на вещественной оси, такие, что

|ui(x) — U2(x) | < C,

p — положительное число. Тогда функции ri(y) = p(ui,y,p) и т2(y) = p(u2,y,p) удовлетворяют условию

p -т(Ui,y,p) < т(U2,y,p) < 16(p + C) p(ui,y,p).

Доказательство.

1. Зафиксируем точку г € С так, что у = И,е г лежит в области определения функции и. Положим г = р(и,у,р). Тогда существует линейная функция /, удовлетворяющая условию

|и(ж) — /(ж) | < р, ж € [у — г; у + г].

Функция г>(ад) = /(И,е ад) — гармонична и

|и(И,е ад) — /(И,е эд)| < р, ад€В(г,г).

Тем самым

т(у,р) > г = р(у,р).

Теперь положим г = т(и,у,р). В круге В(г,г) существует гармоническая функция Н такая, что ||и — Н||г < р. Возьмем линейную функцию / такую, что /(ж) < и(ж), Уж , /(у) = и (у) (существование такой функции обеспечивается выпуклостью функции и), и пусть г'(и’) = /(И,е ад). Тогда в круге В(г,г) выполняются неравенства

^(ад) < и(ад) < Н(ад) + р,

следовательно,

(Н(ад) + р) — -у(ад) > 0.

Кроме того, поскольку г>(г) = и(И,е г), то

(Н(г) + р) — ^(г) = (Н(г) + р) — и(И,е г) = (Н(г) — и(И,е г)) + р < 2р.

Применим неравенство Харнака для неотрицательных гармонических функций к функции Н(ад) + р — ^(ад), в круге В(г, |) имеем оценку

(Н(ад) + р) — -у(ад) < 3 ((Н(г) + р) — •и(г)) < 6р.

Тогда в том же круге В (г, 2) выполняется оценка

|и(И,е ад) — -у(ад)| < |м(Ие ад) — Н(ад)| + |Л,(ад) + р — ^(ад)| + р < 8р.

Функции в левой части этого неравенства зависят только от ж = И,е ад, поэтому мы получаем

|и(ж) — /(ж) | < 8р, ж €

Из этой оценки следует, что

у—2; у+2.

г р^ 8р) > ^ = т(у,р)

или

т(у,р) < 2P(У, 8р).

Из этой оценки по леммам 2 и 3 получим

т(у,р) < 16р(у,р)

2. Вторая часть леммы 5 может быть получена на основе п. 1 и лемм 2 и 3.

3. Возьмем точки у1, у2 из области определения функции и(ж) и пусть г = т(и, у1,р). Это значит, что в круге В(у1,г) существует гармоническая функция Н(г), удовлетворяющая условию

|и(И,е г) — Н(г)| < р.

Если |у1 — у2| < г, то это неравенство выполняется и в круге В(у2, г — |у1 — у2|), тем самым

т(и,у2,р) > г — |у1 — у2| = т(и,у1,р) — |у1 — у21,

или

т(и,у1,р) — т(и,у2,р) < |у1 — у2|.

Если же |у1 — у2| > г = т(и,у1,р), то тем более

т(и,у1,р) — т(и,у2,р) < |у1 — у2|.

Поменяем местами у1,у2:

т(и,у2,р) — т(и,у1,р) < |у1 — у2|.

Таким образом,

|т(и,у1,р) — т(и,у2,р)| < |у1 — у2|.

4. Этот пункт доказывается точно также, как п.2 леммы 4.

3. Асимптотикл интегралов Лапласа

Пусть Е — выпуклая область в пространстве М и к — выпуклая функция в области Е. В этом параграфе изучается асимптотическое поведение интегралов вида

Ыу) = I еху—^(х) ^ж,

где для ж = (ж1, ж2,..., жп), у = (у1, у2,...,уп) использовано обозначение жу = ^П=1 ж^у».

Если функция к дважды непрерывно дифференцируема и ее вторая производная удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, то рассматриваемая задача является классической и подробно изучена. Соответствующие результаты можно найти в книгах

[2], [3].

Теорема 1. Пусть

Б = {(ж, у) € М х ЕП : к(ж) + к(у) — жу < 1} и для у € М через Бу обозначим проекцию на МП сечения множества Б:

Бу = {ж € МП : (ж, у) € Б}.

Тогда

е—1V(Бу)вй(у) < у еху—^ж < (1 + гс!)У(Бу)вй(у), у € Е

Доказательство. Нижняя оценка очевидна в силу неотрицательности подынтегральной функции и определения множества Б. Зафиксируем у. Заметим, что при всех ж и у

к(у) + к(ж) — жу > 0.

Положим

а(£) = V({ж : к(у) + к(ж) — жу < ¿}), £ > 0.

В наших обозначениях а(1) = V(Бу). Как известно ([4]), (а(£))" — вогнутая возрастающая функция на [0; +то). Имеет место представление

_ РОС

Ь^(у) = / е—* ^а(г).

./0

Не уменьшая общности, будем считать, что а(0) = 0. Из вогнутости функции (а(£))" следует оценка

(а(£))п < (а(1))п¿, £ > 1.

Интегрированием по частям получим

_ г1 гж гж

Ь^(у)в—^(у) = е—* ^а(^) + / е—* ^а(^) < а(1) + / е—*а(£) ^¿.

0 1 1

Воспользуемся оценкой (8):

Ыу)е—'*(у) < а(1) (^1 + [ е—Чп < (1 + п!)а(1).

Теорема 1 доказана.

Замечание. Очевидно, можно было бы взять любое положительное число р и вместо множества Б взять множество

Б(р) = {(ж, у) € М х МП : к(ж) + к(у) — жу < р}

и теми же рассуждениями доказать асимптотику

е—1"V(Б(р)у)ей(у) < [ еху—^ ^ж < (1 + (Б(р)у)ей(у), у € Е

р

При фиксированном у возьмем произвольную точку ж = жу, для которой верно равенство

к(у) + к(жу) — ужу = 0 и через Бу обозначим проекцию на М сечения множества Б:

Бу = {г : (жу, г) € Б}.

Теорема 2. Имеют место неравенства

----- 1 е^(у) < [ еху—^ ^ж < 62(1 + п!)(2п)П ^(у), у € Е.

е(1 + n!)vd(y,Бy) У у^у,Бу)

Доказательство. Для сокращения записей при фиксированном у введем обозначение

и(ж) = к(у) + к(ж + жу) — (ж + жу )у.

Тогда и — неотрицательная выпуклая функция и и(0) = 0, причем {ж : и (ж) < 1} = Бу — жу.

Нетрудно вычислить, что имеет место равенство

м(г) = к(г + у) — к(у) — жу г.

По определению сопряженных по Юнгу к(г + у) > ж(у + г) — к(ж) для всех ж, в частности,

к(г + у) > жу (у + г) — к(жу).

Поэтому

м(г) = к(г + у) — к(у) — жуг > жу(у + г) — к(жу) — к(у) — жуг = 0, (9)

причем м(0) = 0. Рассмотрим выпуклое множество

Е = {г : м(г) < 1} и опорную функцию Н этого множества:

Н (г) = вир ¿¿.

Поскольку 0 € Е, то Н(г) > 0.

Лемма 6. Пусть

Б = {и(ж) < 1}, Сг = {Н(ж) < 1}, С2 = {Н(ж) < 2}. Имеют место включения

С1 С Б С С2.

Доказательство. Если u(x) < 1, то

H(x) = supxz < sup(xz — w(z) + 1) < sup(xz — U(z)) + 1 = u(x) + 1 < 2, zee zee

и, тем самым, правое включение доказано. Пусть H(x) < 1 и z E E, тогда, поскольку

0 E E, то найдется т > 1 и zo E dE так, что z = тzo. В силу выпуклости функции и имеем

1 = w(z0) < — U(z) + ( 1---) и(0) = — w(z),

т \ т J т

то есть w(z) > т. Поэтому

xz — w(z) < т(xz0 — 1) < т( sup xz; — 1) = т(H(x) — 1) < 0.

z'ede

Отсюда в силу неотрицательности функции и справедлива следующая оценка u(x) = sup(xz — w(z)) = max(sup(xz — U(z)), sup(xz — w(z))) <

z zee zee

< max(sup(xz — U(z)), 0) < sup zx = H(x) < 1.

zee zee

Лемма доказана.

С помощью замены переменных x := x + xy получим равенство

My) = / e— = / e(x+xy ) = eh(y) / e-u(x) ,10)

Применим к последнему интегралу теорему 1, учитывая, что и(0) = 0:

e-iV(F) J e-u(x) dx < (1 + n!) V(F), а объем множества F оценим по лемме

e-iV(Gi) <J e-u(x) dx < (1 + n!) V(G2).

Опорная функция H тоже неотрицательная, значит, H(0) = 0, и по замечанию имеем

e-2V(G2) < У e-H(x) dx < (1 + n!) V(Gi).

Последние два соотношения дают оценку

1 1 e-H(x) dx < e-i V(Gi) < [ e-u(x) dx <

e(1 + n!)

< (1 + n!)V(G2) < (1 + n!)e2 [ e-H(x) dx.

Вместе с представлением (10) получим

е(1^г!)б/1(у^ е—Н(Х) ^ (у) < (1 + гс!)еУ*(у) ^ е—н(х) ¿ж. (11)

Таким образом, для доказательства теоремы 2 нам нужно выяснить асимптотику интеграла от ехр(—Н(ж))), где Н(ж) — опорная функция множества

Е = {г : м(г) < 1}.

Заметим, что

Е + у = {£ : к(£) — (у) — жу£ + жуу < 1} = {к(£) + к(жу) — жу£ < 1} = Бу,

поэтому у^у,Бу) = у^0,Е). Следовательно, утверждение теоремы 2 будет вытекать из следующей леммы.

Лемма 7. Пусть Е — выпуклое множество, содержащее начало координат и Н(ж) — опорная функция этого множества. Тогда

1 Г и(х) , (2п)П

< е—и(х) ¿ж < 1 '

vd(0,E) J vd(0,E)’

Доказательство. При определении величины vd(x, E) мы фактически строили ортогональный репер с началом в точке х. Поскольку утверждение леммы инвариантно относительно поворотов системы координат, то можем считать, что

inf{|х| : х = (0,..., 0, Xj, xi+1,..., xn) Є E}

достигается в точке (0,..., 0,ai, 0,..., 0) Є dE, причем ai > 0. При таком выборе системы координат, очевидно

vd(0, E) = a1a2...an.

Пусть Hi — опорная функция симплекса с вершинами в точках (0,..., 0, ±aj, 0,..., 0). Очевидно, что этот симплекс лежит в E, поэтому для всех х H1(x) < H(х). С другой стороны,

1 n

H1(x) = шах(±а^) = maxfojxj) > — } ajxj,

i i n

i=1

следовательно,

f e-"<x> dx < i dx < i e-І ^.(«.М) dx = (2n)n .

J J J a1a2...an

Таким образом,

f є-» <*> dx <-J2n)l_ = 4^1

a1a2...an vd(0, E)

Докажем нижнюю оценку. По выбору системы координат опорная гиперплоскость P1 к множеству E в граничной точке (a1, 0,..., 0) описывается уравнением

х = (х1, ...,xn) : х1 = a1.

Рассмотрим пересечение E1 множества E с подпространством R1 = {х = (х1, х2,..., хп) : х1 = 0}. Снова по выбору системы координат опорная гиперплоскость Р2 к множеству E1 в пространстве R1 в граничной точке (0, a2, 0,..., 0) описывается уравнением (в пространстве R1) х2 = a2. Значит, во всем пространстве Rn уравнение этой опорной плоскости имеет вид

A-2,1x1 + х2 = a2.

Продолжая рассуждать аналогичным образом, получим, что опорная гиперплоскость Pi к множеству E в точке (0,..., 0, ai, 0,..., 0) описывается уравнением вида

Aj,1x1 + Ai,2x2 + ... + Ai,i-1xi-1 + xi = ai.

Положим

Ai,i = 1, Ai,j = 0, j > i,

и через A обозначим треугольную матрицу с элементами Ai,j. Через G обозначим выпуклую неограниченную область, ограниченную гиперплоскостями Pi, i = 1, 2,..., n, содержащую множество E. Область G есть пересечение полупространств

Pi- = {х = (х1, ...,xn) : Ai,1x1 + Ai,2x2 + ... + Ai,i-1xi-1 + xi < ai}.

При линейном преобразовании пространства y = Ax область G преобразуется в область

G' = {y = (yi,...,y„) : y* < a*, i = 1 2,...,n}.

Опорная функция области G; легко вычисляется:

тт t \ JS* a*z*, если все z* > 0,

HG'(z) = <

I в противном случае.

Пусть B — обратная матрица к матрице A. Тогда для опорной функции области G выполняется формула

HG(z) = sup zx = sup z(By) = sup(BTz)y = HG'((AT)-1z),

жеС y€G' y€G'

где AT, BT — транспонированные матрицы. Поскольку E С G, то H(x) < Hg(x), значит

J e-H(x) dx > J e-HG(x) dx = J e-HG'((AT)-1(x)) dx.

Произведем замену переменных в последнем интеграле, учитывая, что detA = l, f e-H(ж) dx > f e-H°'(y) dy = [ e-H°'(y) dy = [ e-^ “i№ dy 1

Л+ ai...On

Лемма 7 доказана.

Подставим соотношения леммы 7 в оценки (5) и получим утверждение теоремы 2.

В заключении на основании лемм 2-5 сформулируем теорему 2 для одномерного случая следующим образом:

Теорема 2 (а). Пусть ^(¿) — выпуклая функция на интервале I и

К (х) = У е2х-2ад^,

Л,(х) = sup(xí — ^(¿)),

I

З = {х Є К : Л-(х) < то}.

Тогда для любого р > 0 существует постоянная С(р) такая, что

1 1 -е2^ < К(х) < С(р)-^----е2Й(х), Ух Є З.

C(p) t(h,x,p) t(h,x,p)

где функция t(h,x,p) — любая из введенных выше функций p(h,x,p), p1(h,x,p),

p2(h,x,p), т(h,x,p).

Введенные геометрические характеристики в одномерном случае, когда Л,(х) дважды непрерывно дифференцируема, будут эквивалентны величине , 1 , и мы получаем клас-

сические результаты об асимптотике интегралов Лапласа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Напалков В.В., Башмаков Р.А., Юлмухаметов Р.С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // ДАН. Т. 413. № 1. 2007. С. 20-22.

2. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

3. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука. 1977.

4. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука. 1979.

5. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука. 1969.

6. Юлмухаметов Р.С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа // Сб. БНЦ УрО АН СССР. Уфа. 1989.

7. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Матем. заметки. Т. 48. № 5. 1990. С. 83-87.

8. Луценко В.И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С. 79-85.

9. N. Aronszajn Theory of reproducinq kernels // Transactions of the American Mathematical Society. V. 68. № 3. 1950. P. 337-404.

10. S. Saitoh Fourier-Laplace transforms and Bergman spaces on the tube domains // Мат. вестн. Т. 38. № 4. 1987. С. 571-586.

Рустэм Абдрауфович Башмаков,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]

Константин Петрович Исаев,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Ринад Салаватович Юлмухаметов,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]