CC BY
23
ББК 22.162
УДК 517.982.3, 517.982.22, 519.712.3
ОПИСАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С РАДИАЛЬНЫМ ВЕСОМ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ИНФОРМАТИКЕ
Луценко В.И.*
Пусть ) = (1/2) 1п ) выпуклая функция. Рассмотрим пространство
функций с нормой
/
'£г( А*)
(І )|2/ м(і &
КО
І = (^, ?2,..., Іп ) , & = &1&2...&п. 0={І<Е
К Щ<г}
Наша задача описать пространство функционалов на этом пространстве относительно обобщенного преобразования Лапласа ,
Б(2) = Б(ехр(< ?, 2 >)) , < 2, ? >= 2^ + 22?2 + ... + 2п?п
Ь*2 (В, м) изоморфно пространству аналитических функций в Сп с нормой
\\^1\Я 2 =
V д*д*
-преобразование Юнга.
, к (х) = вир(< х, ? > -Щ))
(Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
грант N° 02-01 - 01058)
Пусть В - огран и ченная область в Кп и м(ґ) положительная функц ия на В. Обозначим через Ь2(В,м) пространство функц и й ЬХ (В) для которых конечна следующая норма
/ \
'і2( О ,м)
j\/ (і )\2/ м(і )й
1/2
, где і = (і1,і2,...,іп) и & = йі1йі2...йіп.
Пусть Б л и нейный непрерывный функц и онал над пространством Ь2(В, м) . Определ и м преобразован и е Фурье-Лапласа функц ионала Б следующ и м образом Б(2) = Б(ехр(< ?,2 >)), где < 2,? >= 21?1 + 22?2 +... + 2и?и . Преобразован и е Фурье-Лапласа сопоставляет каждому л и нейному функц и оналу Б целую функц ию Б (2) в С" и , тем самым, определяет сопряженное пространство
Ь*2(В,м). В данной статье рассматр ивается задача оп и сан и е этого подпространства целых функц и й. Одно и з решен и й этой задачи сводится к определен и ю нормы в пространстве целых функц ий с
помощью формулы \\ Р \\ =
1/2
V О
, где ц(2) - неотри цательная мера Бореля, такая,
что для любого функц и онала £ выполняется следующее соотношен и е
с\\ £\\ , <
11 иь2(р,м)~
|\£ ( 2 )\2 ф ( 2)
V О
< С\\ £ \
>Ь2( Ам)
(1)
Если такая мера существует, то преобразован ие Фурье-Лапласа устанавливает изоморф изм пространства Ь2(В,м) и пространства целых функц и й с нормой || || . Справедли ва следующая
Луценко Владимир Иванович - к.ф. - м.н., доцент кафедры программирования и экономической информатики математического факультета БашГУ.
Теорема А. (Юлмухаметов Р.С.) [1] Для существования неотрицательной меры ц на С” , с условием (1), необходимо и достаточно, чтобы нашлась неотрицательная мера ^ на Я”, удовлетворяющая условию см(і) < | е2< хД> іц (х) < СМ(^), ? є Б , причем, константы с и С такие
Я”
же, как в (1), а іц (х + іу) = іц (х)іу.
В случае кпасси ческой теоремы Пели-В и нера $Р=[0,1], @^)=1.$
Пр и жестких услов и ях на функц и ю м(і) , а и менно, когда |ехіст
где
сіст - неотри цательная мера Бореля получены аналогичные оп и сан ия пространства функц ионалов
Э. ЭоКоИ [2].
Пр и п=1 для произвольных логари фм и чески выпуклых функц и ях, получено оп и сан и е пространства функц и оналов с аналогом равенства Парсеваля (1), где с и С абсолютные константы. Требован и е логари фм и ческой выпуклост и необход и мо.
Данный результат и спользовался в работах [3-7] для аналогичных оп и сан и й пространств функц и оналов над пространствам и последовательностей, См и рнова, Бергмана.
Сформулируем этот результат:
Теорема В.[8-9] Пусть 1п м(ї) = к(?) - выпуклая функция на интервале I с Я и определим сопряженную по Юнгу функцию к (х) = вир(хі - к(ґ)). Также, обозначим I* = {хє Я : к (х) < да} .
Ґєі
Тогда весовое пространство І2(В,м) и пространство целых функций Н2 с нормой
\ 1/2
, где іц (г) = ехр(-2к (х))р (х)ік'(х) и р (х) находится из
V і -да
тождества к (х + р (х)) + к (х - р (х)) - 2к (х) = 1 изоморфны относительно преобразования Фурье-
Лапласа. Заметим, что меру ц можно записать как ф (2) =
-1
VI
ік\ х) [10].
Нам понадобится следующее утвержден и е и з работы [8].
Лемма А В условиях теоремы А справедливы оценки
с < | ехр(х? - к(?) - к (х))р (х^к'(х) < С, причем с и С абсолютные константы.
I *
Сформулируем основное утвержден и е стать и при услов и и п > 1.
Теорема 1. Пусть к(?) = (1/ 2)1п м(?) - выпуклая, радиальная к(?) = к(| ? |) функция в круге Б = {е Яп : | ? |< г} и а = а (к) определим из уравнения ак'(| а |) = 1, также определим
~ Г у(п-1)/2, у > 1,
сопряженную по Юнгу функцию к (х) = вир(< х, ? > -к(?)). Обозначим ^(у) = <
{ 1, у < 1.
Тогда к (х) - радиальная функция и пространство Ь*2(0, м) изоморфно относительно преобразования Фурье - Лапласа пространству целых функций Н2 (Сп) с нормой
где
| ^(х + іу) | іст (к (х))іу
V я”я”
іст (к(х)) = ехр(-2к (х))р (| х |)(^(| х | /к'(| х |)))іА(к (х)), и
іА(к(х)) = ік'Хі (х)Аік'ч (х)А...Аік'х (х) - обобщенный оператор Монжа-Ампера и
іу = іу і іу 2... іу ”.
Причем выполняется аналог равенства Парсеваля для норм
с || * И^)<|| £(") ||Н2 < СЗе2(е(” -1))(”-1)/2*(Г/а) || 5 (2)
Замечание: В работе [1] показано, что при абсолютной константе с в левом неравенстве оценки (2) верхнее ограничение будет не ниже const(n)s(r /a). Т.е. правая константа неравенства (2), принципиально, не улучшаема.
Для доказательства основной теоремы нам необход и мо доказать несколько лемм.
Лемма 1. Если h(t) = h(\ 11) радиальная функция, то и h (х) = h (| х |) является радиальной. Доказательство. По определен ию h (х) = sup(< х, t > -h(\ t \)) . Так как, неравенство Коши-
teD
Буняковского < х, t ><\ х \\ t \ дост ижимо, то sup(< t, х > -h(t)) = sup(\ t \\ х \ -h(\ t \)). Следовательно,
teD teD
значен и я функц и и h (х) не зав и сят от поворотов аргумента х и h (х) = h (\ х \).
Лемма 2. Пусть В = {хe Rn : \ х \= 1} и do в (х/ \ х \) - мера Лебега на сфере. Обозначим
\У(n-1)/2, у > 1, функцию s(у) = < тогда верны неравенства
I 1 У <1
е\х\\Ч
< I е<хД>do в (х/\ х \) < Mn-, где mn, Mn константы.
* tYI v II t I'l
е'
т -------
" *(| х || 11) В в" ' '' " 5(| х || 11)'
Доказательство. Пусть | х || ? |> 1, тогда обозначи м меньшую часть сферы отсеченной плоскостью Ву (?) = {х / | х |е В : 0 >< х, ? > - | х || ? |> - у} , то В(-1, ?) - множество точек на ед и н и чной сфере отсеченной плоскостью от края на расстоян и и 1/ | х || ? |, пр ичем площадь сечен и я плоскостью Р(-1, 0 соизмери ма с площадью £(В(-1, ?)). Поэтому
|е<хД>ёо В (х/1 х |) = е№| |е<хД>-|х|Иёо В (х/1 х |) > е|х|И |е~1ёо В (х/1 х |) > е|хМ-1 /(2 | х || ? |)(и-1)/2
В В В^-и)
Если рассмотреть конус с вершиной в точке пересечен и я еди н и чной сферы с лучом и з 0 в направлен и и вектора ? и образующей окружностью Р(-1,0, тогда
£(В(-а,0) < 2(и-1)/2Р(-а,0 < 2(и-1)/2а ”-1 Р(-1,?). Следовательно,
0< х,1 >
do.
f \ х
W х1 У
= е1х\\ч е<х’г>-\х\\"\do
f \ х
< е|х\\^е"“an-1 Р(-1, t) < е|х\\'\-п-1(2(п -1)2 / \ х \\ t \)(п-1)/2
Если | х || ? |< 1, то е< е~№| < е<хХ> < еш < е и и нтеграл соизмер и м с площадью поверхност и ед и н и чного шара. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть Щ) выпуклая функция на интервале I = (0, г) с Р . Также, число а определим из условия аИ(а) = 1. Тогда справедливо соотношение
С < Iе2xt-2h(t)-2h{х)р (х} s(JCh '(х)) dir '(х) < Cs
(3)
Vй/
5( х?)
Доказательство. По определен ию к(х) = вир(х? - к(?))тогда, есл и обозначим ?х точку макс имума
1е1
вогнутой функц и и х? - к(?) т.е. х = к'(?х), то верно тождество к (х) = х?х - к(?х). Прод и фференц и руем
это тождество по х к'(х) = к"(?хУ^х + к'(?хУх - к'(?х)/х . Учитывая, что к"(?х)?' = 1 получаем
равенство к'(х) = 1х е I ил и 0 < к'(х) < г .Из равенств х = к'(?х)и к'(х) = 1х получаем х = к'(к'(х)),
т.е.функц и и к'Х) и к'(х) обратные. По услов ию ак'(а) = 1 ^ к'(к'(а)) = к'(1/а) ^ а = к'(1/а).
Оцен им и нтеграл сверху. Пусть 1/1 < 1/а , тогда разобьем интеграл леммы на сумму трех и нтегралов
1/1 1/а
| | | .В первом интеграле ^( х?) = ^( хк?'(х)) = 1, тогда
0 1/* 1/а
|е2х;-2вд-2?(х)р(х) э(хк (х)) ёк?'(х) < Iе2х‘-2к^-2к(х)р(х)ёк'(х) < Iех‘-т-к(х)р(х)ёк'(х)°?.\га
о £(х0 0 о
Во втором и нтеграле я(х^ = (х?)(п 1)/2 и^(хк'(х)) = 1. При х > 1/1 справедли ва оценка 1/ ^(х?) < 1 и и нтеграл можно оцен ить
1/а ? 1 1/а ? +ад ?
I е2х^)-2к(х)р (х)-ё?'(х) < Iе2х‘-2к^-2к(х>р (х)ё?'(х) < Iех‘-к(‘)-к(х)р (х)ё?'(х) = М.
Ш 5(х?) 1/г 0
Пр и х > 1/а верно я(хк'(х))/я(х^ = (хк'(х)/(х?))(и-1)/2 = (к'(х)/?)(п-1)/2 < (г /а)(и-1)/2 < ^(г /а). И тогда трет и й интеграл оцен ивается следующ и м образом
' е2xt-2h(t)-2h(х)р(х)s(xh (х» dh'(х) <s(r /a) fе2x‘-2h«-2h(х)р(хЩ'(х) <s(r /a)Int. s(xt) J
1 /а 1 /а
Следовательно, и спользуя лемму А, окончательно получаем оценку
0е2)-2?(х)р(х)^ Хх)) ёк'Хх) <1п{ + М + ф /а) 1п < ЗСф /а).
1/ а 1/1 +ад
Пр и 1/^ > 1/а, аналогично, разобьем интеграл на сумму трех и нтегралов I + I + I
0 1/а 1/(
Первый и нтеграл оцен и вается также, как и первый и нтеграл в выше рассмотренном случае.
Пр и оценке второго и нтеграла и спользуем следующ и е вспомогательные рассужден и я.
Пр и хt < 1 верны равенства ^(х?) = 1 и я(хк'(х)) = (хк'(х))(п-1)/2. Выпуклая функция наход ится выше своей касательной. Это верно и для касательной в точке 1/а , друг им и словами, справедлива оценка к (х) > к '(1/ а)(х -1/ а) + к (1/ а) = ах -1 + к (1/ а). Тогда показатель экспоненты пр и
1/ а < х < 1/1 удовлетворяет неравенству х? - к(?) - к (х) < 1 - к(?) - ах +1 - к (1/а) < 2 - ах. Далее
ех'-^)-?(х> *(хк (х)) < е2[е(ах)(п-1)/2 ](кГ'(х)/ а)(п-1)/2 < Кпя(г /а),
^( х?)
где Кп = е2+(п-1)/2((п - 1)/2)(п-1)/2
Оцен им второй и нтеграл
I е2хх-2т-2Чх)р(х) ‘<хк (х)) ё?'(х) < I ех^-кХ^)-?Хх> я(хк (х)) е^0-?х)р(х)ёк''(х) <КпС*(г /а).
1/а ^ 1/а ^
В третьем и нтеграле х > 1/? > 1/а , рассмотренная оценка с касательной остается справедливой т.е. к (х) > к '(1/ а)(х -1/ а) + к (1/ а) = ах -1 + к (1/ а). Оцен им показатель экспоненты х? - к(?) - /г (х) < х? - к(?) - ах +1 - к(1/ а) < -(а - ?)х +1.
Далее, если 1/а < 1/1 < 2/а , то ^(хк (х)) < (к (х^1---------< 2(п-1)/2^(г /а) . Есл и 1/1 > 2/а , то
я(х0 ?(п-1)/2
1/(а - ?) < 2/а и справедливы неравенства
е^-ад-мх) 5(хк (х)) < е'[е-(а-')х((а - Г)х)(п-1)/2](?'(х)/((а- 0х0)(п-1)/2 < 2(п-1)/2Кпя(г /а)/е,
^( х?)
Поэтому трет и й интеграл оцен и вается
+|»
I е2х«^)-2h(х)р(х)s(xh (х)) dh'(х) <C2(n-1)/2(Kn /е + 1)s(r /a). rn s(x0
Следовательно, сумм и руя рассужден ия в случае 1/1 > 1/a, получим неравенство
f е2х'-2h(')-2h(х)р(х)s(xh (х)) dh'(х) < 3C2(n-1)/2Kпs(r /a), rn s(xf)
и окончательную оценку сверху fе2xi-2h(i)-2h(х)р(х) s(xh (х))dh'(х) <3е2(е(п- 1))(п-1)/2Cs(r /a).
о s( xf)
Использован и е леммы А и с аналогичным и рассужден иям и дают оценку сн и зу в неравенстве (3)
Доказательство основной теоремы: По теореме А достаточно найти меру ёц с условием с < | е2<хД>-2к(і')ёц (х) < С, і є Б . Докажем, что нам подойдет мера ёц = ёа (к(х)).
К"
По условию теоремы 1 и согласно лемме 1 функция к (х) - радиальная, следовательно, в интеграле можно ввести полярную систему координат и упростить запись
+»
11е2<х-‘>-2к(№-2к(іхі)р (I х |>(| х I /к'(| х |))(к'(I х |))(и-1)/2ёкг'(I х |)ёа В (х/1 х |).
В О
Поменяем пределы интегрирования и используем определение функции я , чтобы заменить
+»
интеграл эквивалентным выражением |е~2к®)-2к(|х|)р (| х |)я(| х | к'(| х |))ёк'(| х |)|е2<х,і>ёа В (х/ | х |).
ОВ
е 2Ш
По лемме 2 внутренний интеграл можно заменить на функцию -------, тогда примем для простоты
s(|х||t|)
обозначения: | х |= х и | Ґ |= Ґ, тогда нам нужно оценить снизу и сверху следующий интеграл
+»
|е2^-2ко)-2к(х)р(х)я(хк'(х))/я(х?)ё/7'(х). Для требуемых оценок применим лемму 3. Теорема
О
доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Youlmukhametov R.S. and Lutsenko V.l. Weighted Laplas transform. // Pitman Research Notes in Mathematics, Logman Scientific & Technical, 1991, pp.232-24o.
2. S. Saitoh Generalization of Paley-Wiener’s theorem for entire function of exponential type, //Proc.Amer.Math.Soc. 99(1987), 465-467.
3. Луценко В.И., Юлмухаметов P.С. Обобщение теоремы Пэли - Винера на функционалы в пространствах Смирнова. //Труды Математического института им. В.А.Стекпова, т. 200 г. Москва, «Наука» 1991г., с.245-254.
4. Исаев К.П., Луценко В.И., Весовые последовательности. //Сборник научных трудов. Актуальные проблемы математического анализа., Изд. «ГинГо», г. Ростов-на-Дону, c. 76-80.
5. Исаев К.П., Луценко В.И., Топологический изоморфизм весовых пространств. //Труды международной конференции, Комплексный анализ, г. Уфа, 2000 г. c. 65-70.
6. Зайцева Г.А., Теорема типа Пэли-Винера для весовых пространств последовательностей.
//Труды международной конференции, Комплексный анализ, г. Уфа, 2000 г.с.54-58.
7. Напалков В.В., Зайцева А.В. Теорема типа Пэли-Винера для пространств последовательностей.// ДАН 2000г. т. 374, N2, c. 157-159.
8. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли - Винера на весовые пространства. // Математические заметки т.48, вып. 5, 1990. стр. 80-87.
9. Луценко В.И. Теорема Пэли - Винера на неограниченном интервале.// Исследования по теории приближений. Уфа, 1989, стр.79-85.
10. Юлмухаметов Р.С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа. // Исследования по теории приближений. Уфа, 1989, стр. 132-139.
Луценко Владимир Иванович - к.ф.-м.н., доцент кафедры программирования и экономической информатики математического факультета Башкирского госуниверситета, т. 23-68-80.
Поступила в редакцию 18.11.ОЗ г.
