Асимптотический анализ турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VI 197 5

М 3

УДК 532.536.4

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В. И. Пономарев

Проведено исследование турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости методом внутренних и внешних асимптотических разложений. Показано, что всю область течения внутри пограничного слоя можно разделить на три характерные зоны: зона закона дефекта скорости, промежуточная зона и вязкая зона или зона закона стенки. Полученные уравнения в каждой из этих зон остаются незамкнутыми. Толщины этих зон выражаются через характерную величину динамической скорости на стенке и число Рейнольдса. Показано, что закон трения Кармана не следует из условий асимптотического сращивания решений.

Уравнения Рейнольдса турбулентного движения несжимаемой жидкости, записанные в безразмерном виде, содержат малый параметр при старшей йроизводной. Поэтому естественно попытаться провести анализ турбулентного пограничного слоя с помощью метода внутренних и внешних асимптотических разложений [1]. Нельзя, конечно, надеяться, что такой анализ позволит замкнуть уравнения турбулентного пограничного слоя. Целью такого анализа должно быть выяснение структуры пограничного слоя, получение упрощенных уравнений в различных зонах течения. Такой анализ может оказаться весьма полезным при проверке различных гипотез замыкания уравнений турбулентного течения. В работах [2 — 5] проведено асимптотическое исследование турбулентного пограничного слоя. Однако в работе [2] это исследование выполнено для уравнений, замкнутых с помощью гипотезы турбулентной вязкости, а в работах [3 — 5] выпущена из рассмотрения промежуточная зона, в которой профиль продольной скорости описывается известным экспериментальным законом следа.

Так как уравнения Рейнольдса не замкнутые, то для их анализа будут использованы два известных экспериментальных закона — закон дефекта скорости и закон стенки.

1. Внешняя зона течения. Выпишем уравнения Рейнольдса для случая плоского в среднем движения несжимаемой жидкости

тт д и . тудСІ дФ

и —нт- + V —Т— +

дх

и¥

дх

где Ие:

ду

дУ

дх д ши

+

д иі;

ду

дvг

ду

д Ц дх

ду

+

д V ду

д Р дх

дР

дУ

= 0,

+

+

Ие

1

“Йё \ дх?

<У> и

дх2 д2 V

+

+

да V ду2

д2 V

ду3

О)

характерный размер тела, Иж — характерная

скорость набегающего потока.

Из экспериментальных данных известно, что вне турбулентного пограничного слоя величины напряжений Рейнольдса, отнесенные к квадрату скорости набегающего потока, очень малы. Поэтому решение уравнений (1) для этой зоны течения будем искать в следующем виде:

и = ио (х, у) + . . . ; «^ = є0 мг/0 (х, у) + . . . ;

V = У0(х, у)

Vі

■ е„ г»о (х, у) .

(2)

Р =Р0(х, у)+ . . .; ы2 = з0но(л:, у) + . . ., где е0 С 1 — величина, характеризующая’турбулентность набегающего потока.

После подстановки разложения (2) в уравнения (1) в нулевом приближении получаются обычные уравнения Эйлера и соответствующие им граничные условия. Из-за невозможности удовлетворения условиям прилипания на стенке следует необходимость рассмотрения тонкой пристеночной зоны.

2. Внешняя зона турбулентного пограничного слоя или зона К Переходя к рассмотрению этой зоны, примем во внимание два экспериментальных факта:

а) толщина 81 турбулентного пограничного слоя больше толщины ламинарного пограничного слоя, т. е.

1 » у » Ке 2 ;

б) в основной части турбулентного пограничного слоя действует закон дефекта скорости [6], который при -*■ 0 имеет следующую асимптотическую форму:

1Т-ив = и,[А1(х)1пУ1 + ААх)], (3)

где У1 — 4г-; «* =-?т—V ——динамическая скорость; и (х) — ско-

и со Г р

рость на внешней границе пограничного слоя; т0 — величина, характеризующая порядок трения на стенке.

Рассмотрим зону толщиной Решение в этой зоне будем искать в следующем виде:

и~и10(х, Кх) + Дп £?„(*, /,) + ...; ~ ~

у = -Г 1^10 (х> + Д и Уи (х, У1) +

Р = Я10 (х, У,) + ДцРц (*, Ух) + .. .; здесь Дп С 1, € 1.

uv = в] йг»10 +

и2 =

V

еі Міо + ...;

(4>

dUw | 1/ диы I др]0 дх ‘ 10 dYx дх

дРла п ди10 , дУи

Q. _чу10 _4_ sno Q

• 'Л v и.

дУг ’ дх ' dYt

Решением этих уравнений, удовлетворяющим условиям сращивания с внешним решением при Yx -> оо и условиям непротека-ния на стенке, является разложение внешнего решения при у О, т. е.

^io = Ue(x); V10 = — и'е(х) Y\\ Я10 = —-j-U\{x) + const.

В первом приближении получаются следующие уравнения:

/) 11 л-ll' П __ П V f -?1_____^ L дрп _п.

е дх +UexLJn Ue*Y 1 1 и* \ <ЭГ, UVW+ дх —и>

дРп . п. dUn дУп п

дх ’ дх ‘ д У, ■

(5)

Уравнения (5) незамкнутые, поэтому вид асимптотического разложения решения этих уравнений при У1 0 получить нельзя. В работах [4, 5] авторы задавались асимптотическим представлением напряжения Рейнольдса при таким, чтобы в процессе

интегрирования уравнений (5) получить закон дефекта скорости (3). Правильно поступить наоборот. Нужно взять асимптотическое поведение решения для средней продольной скорости из закона дефекта скорости и из уравнений (5) получить асимптотическое поведение для остальных величин. Далее будет показано, что если поступать таким образом, то получится разложение для напряжений Рейнольдса, отличающееся от разложения, которым задавались авторы работ [4, 5]. Из сравнения (3) с разложением (4) для средней продольной скорости видим, что

Из того факта, что член, отвечающий напряжениям Рейнольдса в уравнениях (5), имеет порядок единицы, получим

3. Промежуточная зона турбулентного пограничного слоя или зона II. Условие прилипания на стенке осталось невыполненным. Для его выполнения необходимо рассмотреть зону, в которой становятся существенными вязкие члены в уравнениях Рейнольдса. Однако если находить толщину этой вязкой зоны из условия

8 - —

равенства вязких и инерционных членов, то получим, что у ~Ие 2 .

Это означало бы, что трение в турбулентном пограничном слое

такое же по порядку, как и в ламинарном, что противоречит экспериментальным данным. Поэтому остается предположить, что

вязкие силы могут быть уравновешены только силами, порожден-

ными напряжениями Рейнольдса. В работах [3—5] из этого усло-

вия находится толщина вязкой зоны и производится непосредст-

венное сращивание решения в этой зоне с решением в зоне I, т. е. непосредственно сращиваются закон стенки и закон дефекта

скорости. Однако известен экспериментальный закон следа Коулса [7], с помощью которого осуществляется такой переход. Кроме того, из проведенного выше рассмотрения следует, что для зоны I в балансе количества движения в нулевом приближении вязкость и напряжение Рейнольдса не участвуют. В вязкой зоне главную роль в этом балансе играют вязкость и напряжение Рейнольдса. Отсюда следует, что должна существовать промежуточная зона, в которой осуществляется равновесие между инерционными силами и силами, связанными с градиентом давления и напряжениями Рейнольдса. Рассмотрим такую зону. Решение в этой зоне будем искать в следующем виде:

О = иы (х, У2) + Д21£/„ (х, У2) + ...; иг> = е2 [иг>20+Д21 йг>21 + ...;

V = у- [ У2о (х, У2) I ^21 У21 (х, ^2)+ • •.; м2 — г2 [м2о + Д21М214“ • • •; (6)

Р = Р2о (х, У2) 4- ^21Р21 (•*> У2) V2 = н [^20 4- Д21 ^21 + •. •;

здесь У2 = ^ Уи е2«1иД21«1.

Подставляя (6) в уравнения (1), получим в нулевом приближении уравнения

и.

20

+ Цо дР2 о

ди,

20

дР*

ди,о

дх 1 гы дУ2 1 дх

. I диЬ'

+ £2-ь7

- -21 = о-

дУ2 и'

= 0;

диж

дх

дУ«

:0.

(7)

дУ2 дх 1 дУ2

Из условия равенства инерционных сил и напряжений Рейнольдса получаем

1 ^2. ^ == 52-

Далее выпишем уравнения в первом приближении

и.

ди.»

20

дх

V.

ди,,

20

дУ,

ус,20 ТТ

~дГ и 21

ди2а т> дУ2

дРш

дУ2

;0;

ди, 1

дх

1^21 + дУ21

дР-п

дх

+

дау

дУ2

21 ____________

0;

дУ2

0.

Перейдем к рассмотрению вязкой зоны.

4. Вязкая пристеночная зона или зона III. В этой зоне вязкие напряжения должны компенсироваться напряжениями Рейнольдса. Решение здесь будем искать в следующем виде

и = ^80 [^80 (■*> Уз)4~ Д31 ^81 (х, ^з)“Г ■ • ■ >

V = Д30 -у- [1^80 (х, Уз) + ^31 Ц,, (х, Уг) 4" • • •;

Р = Рзо (х, У3) ; (8)

№ = е3 [ыг/30 4- Д8, Мы + ... ;

И2:

;ез [мзо 4- Д31 «31 4" • • • >

здесь У3

У1

V2 = е3 [г»зо + Д31 ^31 + • • •;

= Ф- У2, ДзоСЬ Д31<С1, б,<1.

д3(7зо 83£3Не дтж _____~ диж , дУ№

(Ч. ^30 I иУзо __п /ПЛ

дУ23 А«о “ дУ3 * дх д¥3 ^

Из условия равенства вязких сил и напряжений Рейнольдса получим

У/ — Д9о/®3

Первое из уравнений (9) можно проинтегрировать

да

30

д¥.

3

йг,зо = * (•*)• (10)

Оценим теперь порядок трения на стенке

т„. 1 ди

риі Ке дУ

у=0

ди

= е<- -Гз

= в3х (х)

у=0

и, вспоминая теперь выражение (3), получим

е* = и?.

5. Асимптотическое сращивание решений. Воспользуемся еще одним экспериментальным фактом, а именно законом стенки при больших значениях переменной закона стенки [6]

и— н*

В10{х) 1п 1-^-1 +В20(х)

Штрихами здесь обозначены размерные величины.

Переходя к переменной К3, получим

V = а. [д10 (х) 1п (Г3 + В20 (л)] . (И)

Сравнивая разложение для средней продольной скорости (8)

и (11), получим

А 30 =

Подставив (11) в уравнение (10), получим асимптотическое

поведение для uvso при К3 оо

«г»з0 = Вю (х) -р- — т (х). (12)

Далее перейдем в формулах (12) и (11) к переменной У2 и = и* [Вм (.х) 1п (и* ®2 Ке) 4- В10 (х) 1п У2 + В2о (х)]; |

м = а?.[в10(х) |

Сравнивая выражения для напряжений Рейнольдса (13) и (6) и принимая во внимание, что трение в турбулентном пограничном слое больше, чем в ламинарном и, следовательно, (и* е2 Йе)-1<С! 1. получим

е2=и*.

Асимптотическое поведение решения для продольной скорости в. зоне I при У^ —> 0 следует из закона дефекта скорости (3). Воспользовавшись этим законом и уравнением для продольной скорости (5), найдем выражение для асимптотического поведения

напряжения Рейнольдса в зоне I при Уг 0 и перейдем в этом выражении и законе (3) к переменной К2

— м3 [ и3 \ и3

и — Уе + ^1 “т11° ( т4- I + [А1° ^2 + А2\,

е1 V е1 ] °1

и3 ( и8

V

иг» = - в, (х) + (б^); Г2 1п +

+ [ (£/, л,); ш к2 + (£/в л2>; - л- и'ех л ,+-^ ] г, -£

Сравнивая разложения (14) и (6), получим

Д21 = 1п М*, ^22’=’Чщ И 5] = И*.

V

(14)

Теперь можем оценить порядок толщины вытеснения турбулентного пограничного слоя: 8*~«2. Из этой оценки следует, что граничными условиями в зоне I при оо должны быть ип -*■ О

и иг>10 0, и если еще наложить вполне естественное требование

то из первого уравнения (5) и из того, что в _зонах_1 и II

дР др п

с точностью до членов порядка и* включительно получим

дРп дР-д ___ дР22__0

дх дх дх

Дальнейшее сращивание решений уравнений в зонах I, II и III зависит от величины следующего параметра 7 = и* 1п (и* Ие). Могут реализовываться два случая: |~1 и т<С1-

Рассмотрим случай, когда т~1. Без ограничения общности положим, что

и* 1п (и^ Яе) = 1 при Ие -> оо. (15)

Теперь из сращивания решений для средней продольной скорости в зонах II и III получим связь между йго при У2 (] и и30 при У3 -*■ оо

^20 (■*, 0) = ВХй (х). (16)

Подставляя выражение (16) в уравнения (7), получим асимптотическое поведение напряжения Рейнольдса иг>20 при У2 0:

Ц'1>2о= {ие иех' Вщ В\о х) У2В&0 (х). (17)

Из сращивания выражений (17) и (13) для напряжения Рейнольдса иг/ получим еще одну связь

' В30 (х) = — т (х),

Далее из сращивания решений для средней продольной скорости и для напряжения Рейнольдса в зонах I и II получим граничные условия при У2 -> оо:

^20 = ие (■*) и иг^о = — Н (х).

Теперь видно, что можно построить решение уравнений (7) непосредственным сращиванием решений в нулевом приближении в зонах I и III в промежуточном пределе, т. е. при и*-*- 0, Яе -> оо

и У2 фиксированном. Это сращивание дает следующие результаты в нулевом приближении

В,о (х) = ие (х) и т (х) = Н (х). .

Аналогично можно провести сращивание продольной скорости и напряжения Рейнольдса с точностью до членов порядка к* включительно ,

Аг = ие (х) и А2 = #20 (■*)•

Если теперь воспользоваться законом стенки в следующем

виде

ГДЄ Ііт = І/оо К# У * (X) И 7)

£/=их/(7|),

уШ и* Ут (х)

и сделать замену зависимой переменной

^30= У7*'/(■»!).

то уравнение (10) преобразуется к следующему виду

Л/ __ иУзр | с!г/ т (х) ' '

Таким образом, напряжение Рейнольдса uv30 можно представить в следующем виде

uvso = т(x) Г (у). (18)

Переходя к переменной у} в выражении (12) и сравнивая полученное выражение с равенством (18), получим

ие (х) = Ь10 УТ(х).

Использовав аналогично асимптотическое представление для средней продольной скорости (11), получим

#20 (•*) = 4г- V* {X) 1п Т (ж) + Ь20 Ух (х).

Легко теперь получить из предположения (15) известный закон трения Кармана

“ ~у* [1п (Не С/)+21п

Весь проделанный выше анализ основывался на предположении (15). В работах [3—5] авторы не рассматривали промежуточную зону II и равенство (15) следовало из необходимости сращивания решения в зонах I и III. Поэтому в их рассмотрении нет зоны, в которой должен действовать известный экспериментальный закон — закон следа Коулса.

Рассмотрим второй возможный случай, когда величина к = = и*1п(«^1?е) мала. Тогда из условий сращивания решения для С/ в зонах II и III получаем граничное условие для и20 на стенке

- 0

■0.

'20 — ч при Г2

Из этого граничного условия следует, что, хотя уравнения (7) невязкие, способ замыкания их должен быть таким, чтобы обеспечить выполнение на стенке не только условий непротекания, но и условий прилипания. Например, если применить в этих уравнениях гипотезу турбулентной вязкости, то порядок уравнений

повысится и можно будет обеспечить равенство нулю на стенке' как поперечной, так и продольной составляющей скорости. Если же решение берется с точностью до членов порядка ч включительно, то условие прилипания уже не следует из условий сращивания и этим оправдано введение вязкой зоны.

Учитывая полученное граничное условие для £/20 и выражение для скорости (13), найдем из первого из уравнений (7) поведение для «г>20 при У2 -> О

И^20 = —ие и'ек +- В3 (х).

Из условий сращивания выражений для напряжения Рейнольдса снова получим

е2 = И* И Ва (х) = - т (*).

В выражении для напряжения Рейнольдса остались не сра-

1

щенными члены порядка Зг) . Эти члены должны сраститься

V 1\6 '

* ___ в высших приближениях. Из условий сращивания решения для и в зонах II и I получаем граничное условие для и2о при У2 оо

й20 = ие(х).

. Таким образом, решение для продольной скорости в промежуточной зоне обладает некоторыми свойствами функции следа Коулса, т. е. обращается в нуль на стенке и равняется 1}е (х) на внешней границе. Однако для того чтобы иы являлась действительно функцией следа, необходимо, чтобы ее производная по У2 обращалась в нуль на стенке. Для того чтобы в этом убедиться, нужно произвести сращивание решений в зонах II и III до членов порядка (и^Ие)-1. А так как нет уверенности в том, что используемый для этих целей экспериментальный закон стенки дает асимптотическое представление решения с такой степенью точности, то вопрос о равенстве нулю производной и'ю на стенке остается открытым.

Из условий сращивания решения для «®20 в зонах II и I получим

мы=—Н(х) при У2 оо.

Рассматривая решение в промежуточной зоне с точностью до членов порядка -у включительно, получим из условий- сращивания следующие соотношения:

Д21 = Т, _^21 (■*» 0) = Яю (•*). иг>21 (х> 0) = 0 и ыг>2, 0, и21 0 при У2 -> оо.

Дальнейшее сращивание членов разложений порядка и* Ши* и и* можно производить, как в случае 7=1, непосредственным сращиванием решения в зоне I с решением в зоне III в промежуточном пределе. Это сращивание снова дает

= 510 (л) и А2 = В20 (х).

Краткие выводы:

а) показано, что все течение внутри турбулентного пограничного слоя можно разбить на три характерные зоны. Картина течения представлена на фигуре.

4 — Ученые записки № 3 49

Получены толщины этих зон, уравнения, действующие в них, и граничные условия;

б) доказано, что требование и* 1п (и* Ие) = 1, являющееся основой для получения закона трения Кармана, не является необходимым условием для асимптотического сращивания решений.

/—внешняя зона турбулентного пограничного слоя; 2—промежуточная зона турбулентного пограничного слоя; 3—вязкая пристеночная зона турбулентного пограничного слоя

Более того, предположение о том, что это требование не выполняется, приводит к решению в промежуточной зоне течения, обладающему некоторыми свойствами экспериментально найденной, Коулсом функции следа. Однако в этом случае остается открытым вопрос о связи динамической скорости и числа Рейнольдса, т. е. о законе трения в турбулентном пограничном слое.

ЛИТЕРАТУРА

1. В а н д-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир“, 1967.

2. Bush W. В., Fen dell F. Е. Asymptotic analysis of turbulent channel and boundary-layer flow. J. Fluid Mech., vol. 56, part 4, 1972.

3. F e n d e 11 F. E. Singular pertubation and turbulent shear flow near walls. J. Astronautical Sci., vol. XX, N 3, 1972.

4. Yajnik K- S. Asymptotic theory of turbulent channel and boundary-layer flows. J. Fluid Mech., vol. 42, 1970.

5. Noor Afzal. A higheg order theory of turbulent Channel and boundary-layer flows. J. Fluid Mech., vol. 57, part 1, 1973.

6. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Ч. I. М., „Наука", 1965.

7. Coles D. The law of the wake in turbulent boundary-layer.

J. Fluid Mech., N ?, 1956. •

Рукопись поступила 26/Ш 1974 г.