Аэродинамическое нагревание стенок малой прямоугольной траншеи на поверхности пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Г о м XI / 9 8 О

М 3

УДК 532 526.011.518.5

АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРЕВАНИЕ СТЕНОК МАЛОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРАНШЕИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ

В. В. Боголепов

Рассмотрено обтекание малой прямоугольной траншеи на поверхности плоской пластины дозвуковым или сверхзвуковым потоком вязкого газа при стремлении характерного числа Рейнольдса к бесконечности. Исследован такой режим течения, когда в первом приближении малая траншея обтекается пристеночной частью невозму-щениого пограничного слоя и течение около малой траншеи описывается уравнениями Мавье — Стокса для вязкой жидкости. Численное решение получено для траншеи квадратного сечения в широком диапазоне изменения местного числа Рейнольдса (от 0 до 10 000). Представлены распределения тепловых потоков и напряжения трения по стенкам траншеи. Численно исследовано поведение решения вблизи краев траншеи при изменении размеров разностной сетки. Получено, что на расстояниях, больших 20% ширины траншеи от ее переднего края, возрастание теплового потока не превышает 10% его величины в певозмущенпом пограничном слое, а на меньших расстояниях среднее возрастание теплового потока не превышает 50%.

Малые искривления поверхности летательных аппаратов вызывают значительные изменения распределений тепловых потоков и напряжения трения, приводят к появлению локальных срывных зон, способствуют более раннему переходу ламинарного режима обтекания к турбулентному [1]. Систематические теоретические и численные исследования обтекания малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа описаны в работе [2].

В связи с современным развитием летательной техники большое практическое значение приобретает задача об обтекании различных малых канавок на поверхности летательных аппаратов, которые возникают конструктивно на стыках панелей теплозащитных покрытий.

В работе [3] экспериментально исследовалось влияние наличия малых канавок на ровной поверхности на распределение тепловых потоков; структура течения около прямоугольных канавок рас-

сматривалась в работах [4, 5], сведения о расчете обтекания прямоугольных канавок содержатся в работе [6].

Настоящая статья посвящается расчету обтекания малой прямоугольной траншеи на поверхности плоской пластины дозвуковым или сверхзвуковым потоком вязкого газа при стремлении характерного числа Рейнольдса к бесконечности. Глубина и ширина малой траншеи таковы, что в первом приближении она обтекается пристеночной частью невозмущенного пограничного слоя и течение описывается уравнениями Навье — Стокса для вязкой жидкости.

Постановка задачи. Пусть плоская пластина обтекается равномерным дозвуковым или сверхзвуковым потоком вязкого газа, и на расстоянии / от ее передней кромки находится малая поперечная канавка. Строится решение уравнений Навье —Стокса при стремлении характерного числа Reoo к бесконечности (Re^ =

— PooUooI/ik = s-2; р^, (а,о — значения плотности, скорости и коэф-

фициента динамической вязкости соответственно в певозмущенном набегающем потоке).

Предполагается, что характерные ширина b и глубина а малой канавки ио порядку величины а~й~0(е3/2/) и канавка имеет вид прямоугольной траншеи. С переднего угла траншеи происходит срыв потока, и над траншеей образуется вязкий слой смешения. Из условий, что слой смешения вязкий и что траншея обтекается ирисгеночной сдвиговой частью пограничного слоя, следует, что характерная толщина этого слоя по порядку равна _у~0(г32/). Поэтому около малой траншеи необходимо рассматривать возмущенную область течения с характерными размерами л:~у~0(г3'2/). Принцип сращивания асимптотических разложений (см., например, [7]) в пограничном слое и в возмущенной области течения показывает, что решение в этой области при хх =х1ггг21 -> — <х> и у, = y/s3/2/-> со должно переходить в сдвиговое течение с такими • же поперечными градиентами продольной скорости да ду и энтальпии dh ду, как и в невозмущенном пограничном слое у поверхности пластины. На основании этих оценок в возмущенной области течения вводятся следующие независимые переменные и асимптотические разложения для функций течения:

X = е3'2 lxt; y = s3/2 /у,; и{х, у; г) = иж[г'12и,(хи у,}+ . . .];

у; s) = Ucc, |г1/2г/, {хх, у,) + . . .]; р(х, у, [£/;,(*,, у,)+ . . •];

р(*, у; s) = Роо [рда-}- ■ ■ ■];

li (х, у; г) = [гсо[[хц, + . . .];

/г (а-, .у; г) = и.1 \hw + г’/'2 /г, {хи .у,) + . . . ];

■'Ах, У\ £) = роо Иоо/ [-2 ф1 (а:,, .у,) + .. .]•

Здесь индексом ю отмечены безразмерные величины в невозмущенном пограничном слое у поверхности пластины. После подстановки разложений (1) в уравнения Навье — Стокса и совершения предельного перехода г -*•0 получается, что в возмущенной области течение в первом приближении описывается уравнениями Навье — Стокса для несжимаемого газа

диу дх{ дах х дух

I дих .

I ", ~ + V,

\ ^'1 ду I

. , „ ал, '

-7-----------П 1 —

ддг, <?>■,

ду,

д.*!

— 0;

дх] ду\

дрх_________/ д'1 V] ,

^У‘1 I дх{

Рг

ду

ду2

(2)

здесь Рг —число Прандтля.

На поверхности траншеи должны выполняться обычные краевые условия

и{ = у{ = А, =0.

(3)

Внешние краевые условия получаются из сращивания решения в возмущенной области течения с решением для невозмущенного пограничного слоя вблизи поверхности пластины:

а{ -> Лу,, //-! Вух при .V, -

оо или ух

эс,

(4)

где А и В — безразмерные градиенты скорости диду и энтальпии д/1 ду у поверхности пластины в невозмущенном пограничном слое соответственно.

Из вида разложений (1) следует, что в возмущенной области течения тепловые потоки и • напряжение трения изменяются в своем основном порядке.

Если теперь в возмущенной области течения все линейные размеры отнести к ширине траншеи Ь{ (Ь = е3-2/&,, /?,~0(1)), скорость и энтальпию — к их значениям в пристеночной части невозмущенного пограничного слоя на расстоянии Ьх от поверхности пластины (Ь{ А и ЬХВ соответственно), давление — к г^А2Ь\ и функцию тока — к Ръ,АЬи то краевая задача (2) — (4) преобразуется к виду

да

дх

—— = 0;

ду

и

да

~дх

д%)

дх

и

V

V

да

~ду

ди

дН

дх

ду

V

др.

дх

др

ду

дЬ_

ду

1 / д2и

Не \ дх*

1 / д2 V

V дх* д*Н ,

+

ду

1?еРг \ дх2

д- Н ду2

Рис. 1

где и = 1) = к = 0 на поверхности траншеи; и -> у, к ->у при л;-* —эо или у -> оо. Здесь все индексы у переменных опущены, местное п Ы ь\ А

число Ке=—--------. Схема исследуемого течения представлена на

рис. I [а^*?/21ах, а|~0(1)].

Метод решения задачи и результаты численных расчетов.

Численное решение краевой задачи (5) удобно проводить в новых переменных

у2 д2 6 ^2 Л

2 дх* ду* у & ' '

При удалении от малой траншеи принимались следующие законы затухания функций <р, ш и £*, [2]:

ср ^ си ~ £ ~ Х~'2 при Л* -> — оо;

о, СО -> и, -* 0 при у оо;

ду ду

¥ — л:_2/3, ш — Х“4/3, ^~х-1 при А -> сс.

(7)

Краевая задача в частных производных для функций ?, «> и £ аппроксимировалась разностной первого порядка точности [8]. Получающаяся разностная краевая задача решалась методом переменных направлений [9]. В поле течения задавалась неравномерная разностная сетка, которая сгущалась по мере приближения к стенкам траншеи и поверхности пластины по закону геометрической прогрессии с показателем к — 5/6. На рис. 2—4 представлены результаты расчетов, когда минимальный шаг разностной сетки был равен Д.*т1„ = Лут|п = 0,01926, внутри траншеи задавалась разностная сетка 21X21, вне траншеи — 71X27 (все эго для траншеи квадратного сечения а, = В этой серии расчетов местное число Рейнольдса изменялось в диапазоне Ие — Он-Ю1, во всех расчетах число Рг — 0,71.

На рис. 2 представлены распределения безразмерного напря-

ди , ди ,

женин трения " ~ Л~ (за характерное значение принята его

величина в невозмущенном пограничном слое у поверхности пластины) около передней угловой точки В при различных значениях местного числа Йе. Вид кривых на этом рисунке позволяет заключить, что при приближении к угловой точке В поток газа разгоняется (так как резко возрастает напряжение тренпя). При умеренных числах Ре поток газа затекает за точку В и отрывается

несколько ниже этой точки. С ростом числа Ие толщина вязкого слоя смещения уменьшается [относительная толщина слоя смешения ~0(&Г2/3)], что приводит к уменьшению возмущений напряжения трения около угловой точки В и уменьшению смещения точки отрыва потока газа относительно точки В. На дне траншеи напряжение трения мало и примерно равно т^0,05. Течение около точки Е по своему характеру схоже с течением около точки В.

т

-3

1 -2

1 \\ \

\

[ \

10

я ■ п С

В

— 1 ] I—

Изменение смещения точек отрыва (кривая 1) и присоединения (кривая 2) потока газа относительно точек В и В соответственно показано на рис. 3.

Распределения безразмерных тепловых потоков д = дк;дп (п — внешняя к поверхности тела нормаль, за характерное значение теплового потока принята его величина в невозмущенном

при л-► + оо, используемых для учета различного характера распространения возмущений вверх и вниз по потоку, при Ре=0 приводит к асимметрии решения относительно оси у менее чем в 0,59о по значениям напряжения трения или теплового потока.

13 работе [5] при 1?е = 0 было показано, что в угловых точках В и В имеется особенность. Для анализа поведения решения в окрестности этих точек была проведена серия расчетов при Ке = 0, Рг = 0,71 и различных разностных сетках. На рис. 5 и 6 цифрами 1 отмечены результаты, полученные на разностной сетке внутри траншеи 7X7 (Дх|п1п = Дуп|1п = 0,13736;, цифрами 2 — для разностной сетки 1 1X1 1 (&Хт]п =- ДУтт = 0,0672), цифрами 3 — для сетки 15X15 (Алгт1-П — Ад'т{п = 0,0387) и цифрами 4 — для сетки 21 > 21 (АхП1И1==

— кутш = 0,01926). Во всех случаях размеры расчетной области вне траншеи выбирались примерно одинаковыми.

На рис. 5 представлены распределения напряжения трения т вблизи точки В. Хорошо видно, что по мере сгущения расчетных точек около угловой точки В наклон кривых увеличивается и рассчитанные зависимости -(я) приближаются к зависимости т — (0,5 — л:)-0*456, полученной в работе [5] (на рис. 5 эта зависимость показана пунктирной линией).

На рис. 6 представлены распределения возмущения теплового потока (<7—1) вблизи угловой точки В. Заметно, что изменение расчетной сетки влияет на результаты расчетов на расстояниях не больших, чем 0,2, от угловой точки В.

Очевидно, что для практических целей особый интерес представляет интегральная величина возрастания теплового потока около края траншей но сравнению с его значением в невозмущен-

пограничном слое у поверхности пластины) около угловой точки В при различных значениях числа 1?е представлены на рис. 4 (распределения тепловых потоков около угловой точки В аналогичны представленным).

Распределения напряжения трения вдоль стенок траншеи позволяют сделать вывод о наличии в точках С и О слабых вторичных срывных зон во всем исследованном диапазоне изменения чисел Не. Следует отметить, что асимметрия краевых условий (7)

4—«Ученые записки» X» 3

49

ном пограничном слое, т. е. величина <3— | (<7—\)йх. Зависимость

— 00

этой величины от числа узлов расчетной сетки внутри траншеи N представлена на рис. 7. Ход кривой на этом рисунке показывает, что величина (? мало меняется при /V ^ 20 и, видимо, <5тах < 0,1 при N-*00. Так как вблизи передней угловой точки траншеи В

Рис. 7

при (0,5—д:)^0,2 (<7 —1)^0,1 (см. рис. 6), то можно считать, что на расстояниях (0,5 —- л*) > 0,2 не происходит заметного изменения теплового потока </(<7^1), а все влияние траншеи сказывается только на расстоянии 0,2 от ее переднего края, и на этом участке тепловой поток в среднем увеличивается на величину

<7сР - 1 * « 0,5. (8)

Оценка (8) определяет максимальное среднее возрастание теплового потока вблизи угловой точки В.

Автор выражает благодарность А. В. Зубцову за критическое обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sedney R. The effects of steady, threedimensional perturbations in boundary layers. „А1АА Paper-, N 713, 1972.

6. Боголепов В. В., Нейла нд В. Я. Исследование локальных возмущений вязких сверхзвуковых течений. Сб. „Аэродинамика". М., „Наука", 1976.

3. Bertram М. Н., Wiggs М. М. Effect of surface distortions 011 the heat transfer to a wing at hypersonic speeds. IAS Paper, N 127, 1962.

4. llama F. R. Experimental studies on the lip shock. „А1АА J.“, X 2, 1968.

5. W e i n b a u in S. On the singular points in the laminar two-dimensional near wake flow field. „J. Fluid Mech.", vol. 33, p. 1, 1968.

6. Roachc P. J., Mueller T. J. Numerical solutions of laminar separated flows. „А1АА J.“, N 3, 1970.

7. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир“, 1967.

8. Госмен А. Дм II а и В. М., Ран чел А. К., Сполдинг Д. Б., Вольфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. М., .Мир-, 1972.

9. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., „Наука14, 1971.

Рукопись поступила 1011 1978 г.