УДК 519.872
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ MMP|M|1|ИПВ В УСЛОВИИ ПРЕДЕЛЬНО РЕДКИХ ИЗМЕНЕНИЙ СОСТОЯНИЙ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
А.А. Назаров, А.Е. Горбатенко
Томский государственный университет E-mail: anngo86@mail.ru
В качестве математической модели сети связи рассмотрена система массового обслуживания ММРМЦИПВ. Для нахождения распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов предложен метод асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего потока.
Ключевые слова:
Асимптотический анализ, MMP-поток, условие предельно редких изменений, состояния входящего потока. Key words:
The asymptotic analysis, Markov Modulate Poisson Process, the condition of limit rare changes of arrival process state.
Введение
В связи с быстрым развитием информационных технологий эффективность работы многих компаний зависит от доступности и актуальности информации. Сети связи обеспечивают возможность оперативно получать, обрабатывать и передавать необходимую информацию. Стохастический характер функционирования таких сетей и сложность структуры передаваемой информации приводит к невозможности построения детерминированных математических моделей. Поэтому актуальной является задача построения адекватных стохастических моделей сетей связи случайного доступа и методов их исследования.
Исследованию математических моделей сетей связи посвящено достаточное количество работ, выполненных как отечественными, так и зарубежными учеными. Некоторые из них были рассмотрены в работах [1-5].
Математическая модель сети случайного доступа
Математическую модель сети случайного доступа определим в виде однолинейной системы массового обслуживания ММР|М|1|ИПВ (рис. 1), на вход которой поступает ММР-поток заявок из внешнего источника. Если общий ресурс сети (обслуживающий прибор) свободен, то заявка успешно обслуживается и покидает систему. Если прибор занят, то поступившая заявка уходит в источник повторных вызовов (ИПВ), после случайной задержки в котором заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата.
В качестве входящего потока рассмотрим MMP-поток (Markov Modulate Poisson Process), который относят к классу специальных потоков. В отличие от классических моделей случайных потоков (пуассоновского и рекуррентного) математические модели специальных потоков (к которым относят ММР, МАР, BMAP, COX и SM потоки) [6-8] более адекватно представляют телекоммуникационные потоки реальных данных.
Рис. 1. Математическая модель сети случайного доступа. ц, g - параметры продолжительности обслуживания заявки и ее задержки ИВП
Чтобы определить ММР-поток, введем сначала определение случайного потока однородных событий.
Последовательность t0<t1<t2<... моментов наступления рассматриваемых событий называется случайным потоком однородных событий или точечным случайным процессом [9].
Случайный поток однородных событий будем представлять в виде случайного процесса m(t) - числа событий потока, наступивших за время t или на интервале времени [0,t).
Пусть задана эргодическая цепь Маркова n(t), определяемая матрицей инфинитезимальных характеристик Q(1) с элементами , а также набор неотрицательных чисел А„>0.
Случайный поток однородных событий будем называть марковским модулированным пуассо-новским потоком (ММР-потоком) [10], управляемым цепью Маркова n(t), если выполнены следующие условия:
P{m(t + At ) = m +11 m(t) = m, n(t) = n1} = = A At + o(At),
P{m(t + At) > m + 1 |m(t) =m, n(t) =n1} =o(At).
Состояниями ММР-потока будем называть состояния его управляющей цепи Маркова n(t).
Продолжительность обслуживания заявки является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром /. Если во время обслуживания заявки поступает другая заявка, то поступившая заявка отправляется в ИПВ, не искажая обслуживающуюся заявку. Продолжительность задержки заявки в ИПВ случайная и имеет экспоненциальное распределение с параметром а, одинаковым для всех заявок [11].
Постановка задачи
Задача исследования системы сводится к нахождению распределения вероятностей состояний канала и числа заявок в ИПВ.
Обозначим i(t) - число заявок в источнике повторных вызовов и k(t) - состояние обслуживающего прибора [11], которое определяется следующим равенством:
[0, прибор свободен
к(t) = •
[1, прибор занят
Процесс [k(t),n(t),i(t)} является трехмерной цепью Маркова с распределением вероятностей P(k, i, n, t) = P{k (t) = к, i (t) = i, n(t) = n}.
Применив формулу полной вероятности, получим: ' P(0, n, i, t + A) =
= P(0, n, i, t)(1 - X„A){1 - iaAt )(1 + q£> A) + +P(1, n, i, t)^At + £ P(0, v, i, t) q® A + o(At),
v *n
P(1, n, i, t + A) =
= P(1, n, i, t)(1 - A„At)(1 - /uA)(1 + q^A) + +P(0, n, i +1, t )(i + 1)oAt + +{P(1, n, i -1, t) + P(0, n, i, t)} АиA + +£ P(1,v, i, t) q® At + o( At). (1)
Выполнив несложные преобразования, получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
dP(0, n, i, t) =
dt
= -(An + ia)P(0, n, i, t) + +^(1, n, i, t) + £ P(0,v, i, t) q®,
v
dP(1, n, i, t)
dt
■ = -(^ + A) P(1, n, i, t) +
+An{P(1, n, i -1, t) + P(0, n, i, t)} +
+(i + 1)aP(0, n, i + 1, t) + £ P(1, v, i, t) qv(n).
(2)
Для стационарного распределения вероятностей Р(к,г,п) из (2) можно записать следующую систему уравнений:
-(An + ia) P(0, n, i) + iuP(1, n, i) + +£ P (0,v, Oq® = 0,
V
-(^ + An) P(1, n, i) + An{P(1, n, i -1) + P(0, n, i)} + +(i + 1)aP(0, n, i +1) + £ P(1,v, i) q® = 0. (3)
Обозначим
да
H (k, n, u) = £ eJuiP(k, n, i),
(4)
где 1.
Функции Н(к,п,и) будем называть функциями, аналогичными характеристическим.
Домножив обе части уравнений системы (3) на и просуммировав по всем г, получим:
дН (0, п, и)
-JG-
ди
- = -AnH (0, п, и) +
+V-H (1, n, u) + £ H (0,v, u)qv(1n)
V
-Ju dH(0, n, и)
jae
du
= (An (eju -1) H (1, n, u) +
+AnH (0, n, u) + £ H (1,v, u)qv(n).
(5)
Значения инфинитезимальных характеристик -дП? определяют времена пребывания ММР-пото-ка в п-х состояниях.
Исследование системы дифференциальных уравнений (5) выполним методом асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока [11].
Метод асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока
Пусть 5 - некоторый малый положительный параметр.
Условием предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока будем называть равенства
(6)
q(1) =8q
определяющие достаточно малые значения инфинитезимальных характеристик, что влечёт достаточно редкие изменения состояний потока [11, 12].
С учетом (6) система (5) будет выглядеть следующим образом:
дН (0, п, и,5)
-Ja-
du
- = -AH (0, n, u,S) +
+ßH (1, n, u,S) + S£ H (0,v, u,S) q,
V
- ju dH (0, n, u,S)
Jae
du
= (A (eju -1) -ß)H(1, n, u, S) +
+AnH(0,n,u,S) + S£H(1,v,u,S)qn.
(7)
V
i=0
V
V
В соответствии с теоремой Пуанкаре [13] об аналитической зависимости решения от малого параметра можно утверждать, что существует предел
limH(k,n,u,5) = F(k,n,u), к = 0,1.
В системе (7) выполним предельный переход при 5>0; для функций F(k,n,u) получим следующие равенства:
dF (0, n, u)
J
joe
du
-ju dF(0, n, u)
= -knF (0, n, u) + /dF (1, n, u),
du
= (k(eju -1) - /)F(1, n, u) + knF(0, n, u).
(8)
F (1, n, u) =
к
/-Ke>
-F (0, n, u).
(9)
Подставив (9) в первое уравнение системы (8), получим совокупность (не систему) дифференциальных уравнений:
( .л \
dF (0, n, u)
-jO - :
du
-k + -
/к
F(0, n, u),
решения которых имеют следующий вид:
C
F (0, n, u) =-n-—,
F (1, n, u) =
(d-kej" У k • С
к.
(d-ke*)O
(10)
(11)
Константы Cn можно найти из начальных усло-
вии:
F (0, n, u) + F (1, n, u) = R(n),
где Я(и) - стационарные вероятности значений цепи Маркова и(0, определяемые однородной системой линейных алгебраических уравнений
I R(vKn = 0
V
и условием нормировки
IВД = 1.
Константы Cn определяются из выражения:
к+1 ./-к)O
Си = R(n)-
(12)
С учетом (12) из (10) и (11) получим:
F (0, n, u) = R(n) I 1 -k
(
d-kne
X,
'n~
F (1, n, u) = R( n)
kГ /-к л
d-ke
ju 'n~ /
(13)
(14)
Домножив первое уравнение системы (8) на е-и и сложив его со вторым, получим:
-Хпе~ j"F (0, п, и) + |лe-"F (1, п, и) +
+(Хп еи -1) -1)F(1, п, и) + Х^(0, п, и) = 0,
приведя подобные, получим:
-Х^(0, п, и) + (Хпе'и - |)F(1, п, и) = 0.
Из полученного равенства с помощью несложных преобразований выразим функцию F(\,n,u) через функцию F(0,n,u):
Для достаточно малых 5 выполняется приближенное (асимптотическое) равенство:
H(к,n,u) = H(к,n,u, 5) и F(к,n,u). (15)
Просуммировав (15) по всем n и к получим функцию
H (u) = XIH (к, n, u) «XlF (к, n, u). (16)
n к n к
С помощью обратного преобразования Фурье и асимптотических равенств (15) и (16) найдем вид распределения вероятностей числа заявок в ИПВ:
1 П
P(i) = , n,i) = — J e-juiH(u)du и
n к 2n
1 П
и — J e"jui F(к, n, u) du.
2n -П „к
С учетом формул (13) и (14) асимптотическое распределение вероятностей числа занятых приборов в ИПВ имеет следующий вид:
P(i) и^-Т 0 -р„ ) R(n)х
2п „
х e
Г 4 1 -pe\
(1+рп (1 - eu)) du, (17)
Хи
где рп = -*■.
I
На рис. 2 представлен график распределения вероятностей числа заявок в ИПВ, найденное по формуле (17), при следующих значениях матрицы инфинитезимальных характеристик 2, величин Хп, параметров ц и о
'-3 1 2 ^ О = 3 -4 1
14 2 -6,
Х= 1; Х2 = 1,5; Х3 = 2; |= 3; о= 0,03.
Полученное асимптотическое распределение является многомодальным, что имеет принципиальное значение при численных реализациях.
л
n
Выводы
Рассмотрена математическая модель сети случайного доступа, представленная в виде системы массового обслуживания ММР|М|1|ИПВ. С помощью метода асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока найдено распределение вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов, которое является многомодальным. Это имеет
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бочаров П.П., Шлумпер Л.О. Система массового обслуживания MAP/G/1/r с фоновыми заявками // Информационные процессы. - 2005. - Т. 5. - № 5. - С. 367-369.
2. Бочаров П.П. Система МАР/Г/1/г в условиях большого коэффициента вариации времени обслуживания // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 11. - С. 89-98.
3. Dudin A.N., Klimenok V.I., Kim C.S., Lee M.H. The SM/PH/N queuing system with broadcasting service // Proc. of the 13th Intern. Conf. on analytical and stochastic modeling techniques and applications. - Bonn, Germany, 2006. - P. 8-13.
4. Artalejo J.R., Joshua V.C., Krashnamoorthy A. An M|G|1 retrial queue with orbital research by the server // Stochastic Analysis and Applications. - 2005. - V. 23. - P. 975-997.
5. Назаров А.А., Цой С.А. Общий подход к исследованию Марковских моделей сетей передачи данных, управляемых статическими протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 2. - С. 90-105.
6. Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes // Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1955. - V. 51. - № 3. - P. 433-441.
7. Neuts M.F. A versatile Markovian arrival process // Journal ofAppl. Prob. - 1979. - V. 16. - P. 764-779.
принципиальное значение при численных реализациях, т. к. условием останова является достижение определенного достаточно малого значения вероятности, которое может достигаться в окрестности первого локального минимума.
Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010гг.)» Федерального агентства по образованию по проекту «Разработка методов исследования немарковских СМО их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».
8. Лопухова С.В. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. - Томск, 2008.
- 167 с.
9. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 204 с.
10. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: КомКнига, 2007. - 336 с.
11. Назаров А.А., Моисеева А.А. Метод асимптотический анализ в теории массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006.
- 112 с.
12. Горбатенко А.Е. Исследование системы MMP|M|<» в условиях предельно редких изменений состояния входящего потока // Научное творчество молодежи: Матер. XI Всеросс. научно-практ. конф. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. - Ч. 1. -C. 14-17.
13. Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.
Поступила 20.10.2009 г.