Научная статья на тему 'Асимптотический анализ системы ММР|м|1|ИПВ в условии предельно редких изменений состояний входящего потока'

Асимптотический анализ системы ММР|м|1|ИПВ в условии предельно редких изменений состояний входящего потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
142
60
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
асимптотический анализ / ммр-поток / условие предельно редких изменений / состояния входящего потока / the asymptotic analysis / markov modulate poisson process / the condition of limit rare changes of arrival process state

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Назаров Анатолий Андреевич, Горбатенко Анна Евгеньевна

В качестве математической модели сети связи рассмотрена система массового обслуживания ММР|М|1|ИПВ. Для нахождения распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов предложен метод асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего потока.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The queuing system MMP|M|1|CRC has been considered as a mathematical model in the communication network. The method of asymptotic analysis in condition of limit rare changes of arrival process states was proposed for determining distribution of probabilities related to the demands in a recall source.

Текст научной работы на тему «Асимптотический анализ системы ММР|м|1|ИПВ в условии предельно редких изменений состояний входящего потока»

УДК 519.872

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ MMP|M|1|ИПВ В УСЛОВИИ ПРЕДЕЛЬНО РЕДКИХ ИЗМЕНЕНИЙ СОСТОЯНИЙ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА

А.А. Назаров, А.Е. Горбатенко

Томский государственный университет E-mail: anngo86@mail.ru

В качестве математической модели сети связи рассмотрена система массового обслуживания ММРМЦИПВ. Для нахождения распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов предложен метод асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего потока.

Ключевые слова:

Асимптотический анализ, MMP-поток, условие предельно редких изменений, состояния входящего потока. Key words:

The asymptotic analysis, Markov Modulate Poisson Process, the condition of limit rare changes of arrival process state.

Введение

В связи с быстрым развитием информационных технологий эффективность работы многих компаний зависит от доступности и актуальности информации. Сети связи обеспечивают возможность оперативно получать, обрабатывать и передавать необходимую информацию. Стохастический характер функционирования таких сетей и сложность структуры передаваемой информации приводит к невозможности построения детерминированных математических моделей. Поэтому актуальной является задача построения адекватных стохастических моделей сетей связи случайного доступа и методов их исследования.

Исследованию математических моделей сетей связи посвящено достаточное количество работ, выполненных как отечественными, так и зарубежными учеными. Некоторые из них были рассмотрены в работах [1-5].

Математическая модель сети случайного доступа

Математическую модель сети случайного доступа определим в виде однолинейной системы массового обслуживания ММР|М|1|ИПВ (рис. 1), на вход которой поступает ММР-поток заявок из внешнего источника. Если общий ресурс сети (обслуживающий прибор) свободен, то заявка успешно обслуживается и покидает систему. Если прибор занят, то поступившая заявка уходит в источник повторных вызовов (ИПВ), после случайной задержки в котором заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата.

В качестве входящего потока рассмотрим MMP-поток (Markov Modulate Poisson Process), который относят к классу специальных потоков. В отличие от классических моделей случайных потоков (пуассоновского и рекуррентного) математические модели специальных потоков (к которым относят ММР, МАР, BMAP, COX и SM потоки) [6-8] более адекватно представляют телекоммуникационные потоки реальных данных.

Рис. 1. Математическая модель сети случайного доступа. ц, g - параметры продолжительности обслуживания заявки и ее задержки ИВП

Чтобы определить ММР-поток, введем сначала определение случайного потока однородных событий.

Последовательность t0<t1<t2<... моментов наступления рассматриваемых событий называется случайным потоком однородных событий или точечным случайным процессом [9].

Случайный поток однородных событий будем представлять в виде случайного процесса m(t) - числа событий потока, наступивших за время t или на интервале времени [0,t).

Пусть задана эргодическая цепь Маркова n(t), определяемая матрицей инфинитезимальных характеристик Q(1) с элементами , а также набор неотрицательных чисел А„>0.

Случайный поток однородных событий будем называть марковским модулированным пуассо-новским потоком (ММР-потоком) [10], управляемым цепью Маркова n(t), если выполнены следующие условия:

P{m(t + At ) = m +11 m(t) = m, n(t) = n1} = = A At + o(At),

P{m(t + At) > m + 1 |m(t) =m, n(t) =n1} =o(At).

Состояниями ММР-потока будем называть состояния его управляющей цепи Маркова n(t).

Продолжительность обслуживания заявки является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром /. Если во время обслуживания заявки поступает другая заявка, то поступившая заявка отправляется в ИПВ, не искажая обслуживающуюся заявку. Продолжительность задержки заявки в ИПВ случайная и имеет экспоненциальное распределение с параметром а, одинаковым для всех заявок [11].

Постановка задачи

Задача исследования системы сводится к нахождению распределения вероятностей состояний канала и числа заявок в ИПВ.

Обозначим i(t) - число заявок в источнике повторных вызовов и k(t) - состояние обслуживающего прибора [11], которое определяется следующим равенством:

[0, прибор свободен

к(t) = •

[1, прибор занят

Процесс [k(t),n(t),i(t)} является трехмерной цепью Маркова с распределением вероятностей P(k, i, n, t) = P{k (t) = к, i (t) = i, n(t) = n}.

Применив формулу полной вероятности, получим: ' P(0, n, i, t + A) =

= P(0, n, i, t)(1 - X„A){1 - iaAt )(1 + q£> A) + +P(1, n, i, t)^At + £ P(0, v, i, t) q® A + o(At),

v *n

P(1, n, i, t + A) =

= P(1, n, i, t)(1 - A„At)(1 - /uA)(1 + q^A) + +P(0, n, i +1, t )(i + 1)oAt + +{P(1, n, i -1, t) + P(0, n, i, t)} АиA + +£ P(1,v, i, t) q® At + o( At). (1)

Выполнив несложные преобразования, получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

dP(0, n, i, t) =

dt

= -(An + ia)P(0, n, i, t) + +^(1, n, i, t) + £ P(0,v, i, t) q®,

v

dP(1, n, i, t)

dt

■ = -(^ + A) P(1, n, i, t) +

+An{P(1, n, i -1, t) + P(0, n, i, t)} +

+(i + 1)aP(0, n, i + 1, t) + £ P(1, v, i, t) qv(n).

(2)

Для стационарного распределения вероятностей Р(к,г,п) из (2) можно записать следующую систему уравнений:

-(An + ia) P(0, n, i) + iuP(1, n, i) + +£ P (0,v, Oq® = 0,

V

-(^ + An) P(1, n, i) + An{P(1, n, i -1) + P(0, n, i)} + +(i + 1)aP(0, n, i +1) + £ P(1,v, i) q® = 0. (3)

Обозначим

да

H (k, n, u) = £ eJuiP(k, n, i),

(4)

где 1.

Функции Н(к,п,и) будем называть функциями, аналогичными характеристическим.

Домножив обе части уравнений системы (3) на и просуммировав по всем г, получим:

дН (0, п, и)

-JG-

ди

- = -AnH (0, п, и) +

+V-H (1, n, u) + £ H (0,v, u)qv(1n)

V

-Ju dH(0, n, и)

jae

du

= (An (eju -1) H (1, n, u) +

+AnH (0, n, u) + £ H (1,v, u)qv(n).

(5)

Значения инфинитезимальных характеристик -дП? определяют времена пребывания ММР-пото-ка в п-х состояниях.

Исследование системы дифференциальных уравнений (5) выполним методом асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока [11].

Метод асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока

Пусть 5 - некоторый малый положительный параметр.

Условием предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока будем называть равенства

(6)

q(1) =8q

определяющие достаточно малые значения инфинитезимальных характеристик, что влечёт достаточно редкие изменения состояний потока [11, 12].

С учетом (6) система (5) будет выглядеть следующим образом:

дН (0, п, и,5)

-Ja-

du

- = -AH (0, n, u,S) +

+ßH (1, n, u,S) + S£ H (0,v, u,S) q,

V

- ju dH (0, n, u,S)

Jae

du

= (A (eju -1) -ß)H(1, n, u, S) +

+AnH(0,n,u,S) + S£H(1,v,u,S)qn.

(7)

V

i=0

V

V

В соответствии с теоремой Пуанкаре [13] об аналитической зависимости решения от малого параметра можно утверждать, что существует предел

limH(k,n,u,5) = F(k,n,u), к = 0,1.

В системе (7) выполним предельный переход при 5>0; для функций F(k,n,u) получим следующие равенства:

dF (0, n, u)

J

joe

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

du

-ju dF(0, n, u)

= -knF (0, n, u) + /dF (1, n, u),

du

= (k(eju -1) - /)F(1, n, u) + knF(0, n, u).

(8)

F (1, n, u) =

к

/-Ke>

-F (0, n, u).

(9)

Подставив (9) в первое уравнение системы (8), получим совокупность (не систему) дифференциальных уравнений:

( .л \

dF (0, n, u)

-jO - :

du

-k + -

F(0, n, u),

решения которых имеют следующий вид:

C

F (0, n, u) =-n-—,

F (1, n, u) =

(d-kej" У k • С

к.

(d-ke*)O

(10)

(11)

Константы Cn можно найти из начальных усло-

вии:

F (0, n, u) + F (1, n, u) = R(n),

где Я(и) - стационарные вероятности значений цепи Маркова и(0, определяемые однородной системой линейных алгебраических уравнений

I R(vKn = 0

V

и условием нормировки

IВД = 1.

Константы Cn определяются из выражения:

к+1 ./-к)O

Си = R(n)-

(12)

С учетом (12) из (10) и (11) получим:

F (0, n, u) = R(n) I 1 -k

(

d-kne

X,

'n~

F (1, n, u) = R( n)

kГ /-к л

d-ke

ju 'n~ /

(13)

(14)

Домножив первое уравнение системы (8) на е-и и сложив его со вторым, получим:

-Хпе~ j"F (0, п, и) + |лe-"F (1, п, и) +

+(Хп еи -1) -1)F(1, п, и) + Х^(0, п, и) = 0,

приведя подобные, получим:

-Х^(0, п, и) + (Хпе'и - |)F(1, п, и) = 0.

Из полученного равенства с помощью несложных преобразований выразим функцию F(\,n,u) через функцию F(0,n,u):

Для достаточно малых 5 выполняется приближенное (асимптотическое) равенство:

H(к,n,u) = H(к,n,u, 5) и F(к,n,u). (15)

Просуммировав (15) по всем n и к получим функцию

H (u) = XIH (к, n, u) «XlF (к, n, u). (16)

n к n к

С помощью обратного преобразования Фурье и асимптотических равенств (15) и (16) найдем вид распределения вероятностей числа заявок в ИПВ:

1 П

P(i) = , n,i) = — J e-juiH(u)du и

n к 2n

1 П

и — J e"jui F(к, n, u) du.

2n -П „к

С учетом формул (13) и (14) асимптотическое распределение вероятностей числа занятых приборов в ИПВ имеет следующий вид:

P(i) и^-Т 0 -р„ ) R(n)х

2п „

х e

Г 4 1 -pe\

(1+рп (1 - eu)) du, (17)

Хи

где рп = -*■.

I

На рис. 2 представлен график распределения вероятностей числа заявок в ИПВ, найденное по формуле (17), при следующих значениях матрицы инфинитезимальных характеристик 2, величин Хп, параметров ц и о

'-3 1 2 ^ О = 3 -4 1

14 2 -6,

Х= 1; Х2 = 1,5; Х3 = 2; |= 3; о= 0,03.

Полученное асимптотическое распределение является многомодальным, что имеет принципиальное значение при численных реализациях.

л

n

Выводы

Рассмотрена математическая модель сети случайного доступа, представленная в виде системы массового обслуживания ММР|М|1|ИПВ. С помощью метода асимптотического анализа в условии предельно редких изменений состояний входящего ММР-потока найдено распределение вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов, которое является многомодальным. Это имеет

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочаров П.П., Шлумпер Л.О. Система массового обслуживания MAP/G/1/r с фоновыми заявками // Информационные процессы. - 2005. - Т. 5. - № 5. - С. 367-369.

2. Бочаров П.П. Система МАР/Г/1/г в условиях большого коэффициента вариации времени обслуживания // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 11. - С. 89-98.

3. Dudin A.N., Klimenok V.I., Kim C.S., Lee M.H. The SM/PH/N queuing system with broadcasting service // Proc. of the 13th Intern. Conf. on analytical and stochastic modeling techniques and applications. - Bonn, Germany, 2006. - P. 8-13.

4. Artalejo J.R., Joshua V.C., Krashnamoorthy A. An M|G|1 retrial queue with orbital research by the server // Stochastic Analysis and Applications. - 2005. - V. 23. - P. 975-997.

5. Назаров А.А., Цой С.А. Общий подход к исследованию Марковских моделей сетей передачи данных, управляемых статическими протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 2. - С. 90-105.

6. Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes // Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1955. - V. 51. - № 3. - P. 433-441.

7. Neuts M.F. A versatile Markovian arrival process // Journal ofAppl. Prob. - 1979. - V. 16. - P. 764-779.

принципиальное значение при численных реализациях, т. к. условием останова является достижение определенного достаточно малого значения вероятности, которое может достигаться в окрестности первого локального минимума.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010гг.)» Федерального агентства по образованию по проекту «Разработка методов исследования немарковских СМО их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

8. Лопухова С.В. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. - Томск, 2008.

- 167 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

9. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 204 с.

10. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: КомКнига, 2007. - 336 с.

11. Назаров А.А., Моисеева А.А. Метод асимптотический анализ в теории массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006.

- 112 с.

12. Горбатенко А.Е. Исследование системы MMP|M|<» в условиях предельно редких изменений состояния входящего потока // Научное творчество молодежи: Матер. XI Всеросс. научно-практ. конф. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. - Ч. 1. -C. 14-17.

13. Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

Поступила 20.10.2009 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.