Исследование динамической и адаптивной RQ-систем с входящим ММРР-потоком заявок Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Управление, вычислительная техника и информатика № 3(24)

УДК 519.872

Т.В. Любина, А.А. Назаров

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ И АДАПТИВНОЙ RQ-СИСТЕМ С ВХОДЯЩИМ ММРР-ПОТОКОМ ЗАЯВОК1

Проводится исследование динамической и адаптивной RQ-систем с входящим ММРР-потоком заявок методом асимптотического анализа в условии большой загрузки. Показана эквивалентность представленных RQ-систем. Приводятся численные результаты проведенных исследований.

Ключевые слова: RQ-система, пропускная способность, метод асимптотического анализа, коррелированный поток.

Построению и исследованию RQ-систем (Retrial Queue) [1, 2] в настоящее время посвящается достаточно большое количество научных работ, например работы Г.И. Фалина [3], В.И. Клименок [4], А.Н. Дудина [5], А.А. Назарова [6, 7], поскольку считается важным оценить производительность и спроектировать телефонные сети, локальные вычислительные сети с протоколами случайного множественного доступа, широковещательные радиосети, мобильные сотовые радиосети. Наличие повторных попыток получить обслуживание является неотъемлемой чертой этих систем, игнорирование данного эффекта может привести к значительным погрешностям при принятии инженерных решений.

Методы теории массового обслуживания [8-10] являются наиболее результативными в исследовании RQ-систем. Наиболее эффективным является метод асимптотического анализа [11], которым воспользуемся при проведении исследования динамической и адаптивной RQ-систем с ММРР-потоком заявок.

1. Математическая модель динамической RQ-системы

В данной работе динамической RQ-системой с входящим ММРР-потоком заявок будем называть систему массового обслуживания (СМО) с источником повторных вызовов (ИПВ) и входящим марковски-модулированным пуассоновским потоком (ММРР-потоком) заявок, управляемую динамическим протоколом доступа [12].

На вход RQ-системы поступает ММРР-поток заявок из внешнего источника, определяемый диагональной матрицей Л условных интенсивностей Хп и матрицей Q инфинитезимальных характеристик qvn цепи Маркова n(t), управляющей

ММРР-потоком. Заявка, заставшая прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметром ц. По завершении обслуживания заявка покидает прибор. Если во время обслуживания заявки поступает другая, то поступившая заявка переходит в ИПВ. Из ИПВ после случайной задержки заявка с динамической (завися-

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-01-90810-мол_рф_нр и в рамках государственного задания Минобрнауки РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2012-2014 годы, задание 8.4055.2011.

щей от состояния ИПВ) интенсивностью у / і вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата, і - число заявок в ИПВ. Если прибор свободен, то заявка становится на обслуживание, если же он занят, то возвращается в ИПВ.

Состояние системы в момент времени ґ определяется трехмерной цепью Маркова {к(ґ), п(ґ),і(ґ)}, где і(ґ) - число заявок в ИПВ, п(ґ) - значения цепи Маркова, управляющей ММРР-потоком, а к(ґ) определяет состояние прибора следующим образом: к(ґ) = 0 , если прибор свободен, и к(ґ) = 1, если прибор занят.

Обозначим Р {к(ґ) = к,п(ґ) = п, і(ґ) = і} = Р(к, п,і, ґ) - вероятность того, что в момент времени ґ прибор находится в состоянии к , цепь Маркова в состоянии п и в ИПВ і заявок. Таким образом, распределение вероятностей Р(к, п, і, ґ) удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей Р(к,п,і,ґ):

дР(Ъ,п, і, ґ) = _(Х п + у) р(0, п, і, ґ) + цР(1, п, і, ґ) + £ Р(0, V, і, ґ )дт

дґ ч

. дР(1,пl,ґ) =_(Х + Ц)р(1,і, ґ) + уР(0,п, і +1, ґ) + XпР(0,п,і,ґ) + (1)

дґ

+ХпР(0, п, і _ 1, ґ) + £ Р(1, V, і, ґ )дм.

V

Решение системы уравнений Колмогорова (1) достаточно полно определяет функционирование динамической Я^-системы с входящим ММРР-потоком заявок. Допредельное исследование проведем методом производящих функций.

2. Исследование динамической ЯО-системы методом производящих функций

Будем полагать, что система функционирует в стационарном режиме, то есть Р(к, п, і, ґ) = Р(к, п, і). Запишем систему (1) для стационарного распределения в матричном виде. Обозначив вектор-строки

Р (к, і) = {Р(к, 1, і), Р(к ,2, і),..., Р(к, N, і)},

получим

Р(0,0)(2 _ Л) + Р(1,0)ц = 0 , і = 0,

Р (1,0)( Q _ Л -ц/) + Р (0,0) Л + Р (0,1) у = 0, і = 0,

Р(0, і)(2 _ Л _ у/) + Р(1,і)ц = 0 , і > 1, (2)

Р(1, і)(2 _ Л _ц/) + Р(0, і)Л + Р(1, і _ 1)Л + Р(0, і + 1)у = 0 , і > 1.

Чтобы решить систему (2), определим векторные производящие функции

ад

в(к, х) = £ X Р (к, і), к = 0,1. (3)

і=0

Из системы (2), с учетом равенства (3), получаем следующую систему для функций Є (к, х):

{а(0, х)(б - л - у/)+а(1, х)ц = -ур(0,0),

(а(0, х)(Лх + у/) + а(1, х)(б + (х -1)л - ц/)х = уР(0,0). ( )

Из системы (4) получаем выражения для а(0, х) и а(1, х):

а (0, х) = Р(0,0) |у/ + ^ х ( + (х -1) Л -ц/ ) |{(1 - х)у/ + хб -

--(б - Л-у/)(2 + (х -1) Л)х | , (5)

ц ]

а(1, х) = - - [уР(0,0) + 0(0, х)(б - л - у/)]. ц

Обозначим матрицы

Л(х) = у/ +—х(( + (х -1) Л -ц/), ц

В(х) = (1 - х)у/ + хб -х(б- Л-у/)(х-1)(б + Л), ц

тогда равенство (5) перепишется в следующем виде:

а (0, х) = Р (0,0) А( х)В- (х).

Производящая функция а(0, х) определена для всех значений х е [0,1], но матрица В(х) вырождена при х = ху , где ху - корни уравнения |В(х)| = 0, принадлежащие рассматриваемому интервалу [0,1].

-1 -1 1

Обратную матрицу В (х) запишем в виде В (х) = ---------------------

|В( х)|

Т (х), где элемен-

тами Б(х)^п матрицы В(х) являются алгебраические дополнения к элементам В(х)п1п2 матрицы В(х).

Из равенства нулю определителя |В( ху )| = 0 следует, что компоненты вектора Р(0, 0) удовлетворяют однородной системе линейных алгебраических уравнений Р (0,0) А( ху )В т(ху) = 0.

Эта система определяет значения компонент вектора Р(0,0) с точностью до

мультипликативной постоянной, значение которой определяется условием нормировки. Таким образом, удалось найти выражения (5) для производящих функций а(к, х)

3. Исследование динамической ЯО-системы методом асимптотического анализа

Нахождение явного выражения (5) для производящей функции в математических моделях Я^-систем является исключительной ситуацией, поэтому требуется разработка других методов анализа таких моделей. Наиболее плодотворным в этом направлении является метод асимптотического анализа, изложение которого выполним для данной модели. Это позволит выявить эффективность разработан-

ного метода путем сравнения асимптотических результатов с допредельными [13], а также позволит сравнить их с асимптотическими результатами, полученными для адаптивной Я^-системы.

Систему (4) модифицируем следующим образом:

ГН(0, и)(б -рЛ - у/) + Н(1, и)ц = -уР(0,0), (б)

1#(0,и)(рЛ + е~]иу/) + Н(1,и)(б + (е]и - 1)рЛ-ц/) = е-иуР(0,0), - )

где р - параметр, который используется для получения предельного условия большой загрузки Я^-системы, а функция Н (к, и) = а (к, е1и) = а (к, х).

Систему (6) будем решать методом асимптотического анализа в условии большой загрузки рТ 51, где 51 - пропускная способность динамической И^-системы [14]. Обозначив е = 51 -р, будем полагать также е^-0 и систему (6) будем решать при выполнении этого условия. В системе (6) выполним замены Р = 51 - 8 , и = е\г , Нк (и) = Ек (V, е), Р(0,0) = еП(е) и перепишем в виде

1'^0 (IV, е) (( - (5 - е) Л - у/) + Е1 (IV, е) ц = -уеП(е), (7)

(V, е)((,^1 - е) Л + е~у/) + ) (V, е) (б + (е;™ -1) (51 - е) Л - ц/) = е“^уеП(е).

Теорема 1. Значение 51 пропускной способности динамической RQ-системы с входящим ММРР-потоком заявок равно значению корня уравнения

уЯ Е - 51 Яг ЛЕ = 0, (8)

где вектор-строка Як - совместное распределение вероятностей состояний прибора и значений цепи Маркова, управляющей входящим ММРР-потоком, которое определяется равенствами

Я (51 ) = цЯ{(ц + у)/ + 5!Л-б}-1,

Я (5! ) = Я {/-ц[(ц + у)/ + 5! Л - б]-1}.

Доказательство. Доказательство этой теоремы выполним в два этапа.

Этап 1. Обозначим Иш ¥к (V, е) = ¥к (V), выполнив в (7) указанный предель-

е^0

ный переход, получим систему

[^ И(б-51Л-У/) + *1 Мц = а (10)

^0 (^)(51 Л + у/) + ^ (^)(б -ц/) = 0. ( )

Решение Ек (V) системы (10) будем искать в виде

Ек (V) = Як Ф( V), (11)

где функция Ф(V) на бесконечности равна нулю, а Як - распределение вероятностей состояний прибора, определяемое системой

ГЯд (б-51Л-у/) + Я1ц = 0,

Я (51Л + у/) + Я (б-ц/) = 0. ( )

Нетрудно показать, что (Я0 + Я1)б = 0, то есть Яб = 0, где Я = Я + Я1 и

удовлетворяет условию нормировки ЯЕ = 1, тогда Яд и Я1, зависящие от 51,

определяются равенствами

Я (51 ) = цЯ{{ + У)/ + 5Л_2}_1,

Я (5!) = Я{/_ц[(ц + у)/ + 5Л_2],

совпадающими с (9).

Этап 2. Переписав (7) в виде

1>0 (м>, є) (2 _ 51Л _ у/ + єЛ) + ^1 (і^, є)ц = _уєП(є) + О (є2 ),

(^0 (м>, є)(51 Л + у/ _є(Л + ]м>у/)) + ^1 (і^, є)(2 _ц/ + jєwS1 Л) = уєП (є) + О (є2 ),

просуммируем по к и п все уравнения полученной системы и получим уравнение

^0 (^,є)є]м>уЕ _ ^ (^,є) jєwS-lЛЕ = 0 ,

из которого имеем

Г0 (^, є) уЕ _ ^ (^, є) 5ЛЕ = 0 .

Используя (11), получим равенство

Я0Ф(м0уЕ _ Я1Ф(^)51 ЛЕ = 0 , откуда получаем выражение

уЯ Е _ 51Я1 ЛЕ = 0,

которое совпадает с (8) и определяет значение пропускной способности 5-й динамической Я^-системы.

4. Математическая модель адаптивной ЯО-системы

Рассмотрим однолинейную СМО с ИПВ и входящим ММРР-потоком, управляемую адаптивным протоколом доступа [15]. Такую систему будем называть адаптивной Я^-системой с входящим ММРР-потоком.

На вход системы поступает ММРР-поток заявок [7], определяемый диагональной матрицей рЛ условных интенсивностей рХп и матрицей 2 инфинитезималь-ных характеристик qVn цепи Маркова п(ґ), управляющей ММРР-потоком. Заявка,

заставшая прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметром ц. По завершении успешного обслуживания заявка покидает прибор. Если во время обслуживания заявки поступает другая, то поступившая заявка переходит в ИПВ. Из ИПВ после случайной задержки заявка, с интенсивностью 1/Т , где Т - состояние адаптера в текущий момент времени, которое определим ниже, вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если прибор свободен, то заявка становится на обслуживание, если занят - возвращается в ИПВ.

Состояние системы в момент времени ґ определяется четырехмерным процессом Маркова {к(ґ), п(ґ), і(ґ), Т(ґ)} [5, 6], где к(ґ) определяет состояние прибора следующим образом: к(ґ) = 0 , если прибор свободен, и к(ґ) = 1, если прибор занят; п(ґ) - значения цепи Маркова, управляющей ММРР-потоком; і(ґ) - число заявок в ИПВ; адаптер с течением времени ґ свои состояния Т(ґ) меняет следующим образом: Т(ґ + Дґ) = Т(ґ) _аДґ, если к(ґ) = 0, и Т(ґ + Дґ) = Т(ґ) + рДґ, если

к(/) = 1, где величины а > 0, р> 0 - параметры адаптера, значения которых заданы [11].

Исследования данной адаптивной Я^-системы были выполнены методом асимптотического анализа в условии большой загрузки при определении величины 52 пропускной способности адаптивной Я^-системы как точной верхней границы тех значений р, для которых существуют стационарные режимы функционирования рассматриваемой математической модели Яр-системы и при выполнении асимптотического условия рТ 52. Результаты данного исследования опубликованы авторами в работе [16]. В ходе этих исследований была сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 2. Значение 52 пропускной способности адаптивной RQ-системы с

входящим ММРР-потоком заявок определяется системой уравнений

[уЯо Е - 52 Я ЛЕ = 0,

аИ0 Е -РЯ Е = 0, ( )

где а, р - параметры адаптера, значения которых заданы, у - некоторая положительная постоянная, также определяемая этой системой, Як - распределение вероятностей состояний прибора, которое определяется равенствами

я (52,у) = цЯ{(ц + у)/ + 52Л - 2}-1,

Я (52, у) = Я {/-ц[(ц + у)/ + 52 Л - 2 ].

Из вида первого уравнения системы (13) для нахождения пропускной способности адаптивной Яр-системы и уравнения (8) для нахождения пропускной способности динамической Яр-системы следует, что пропускная способность адаптивной Яр-системы 52 равна пропускной способности динамической Яр-

системы 5[, то есть 5[ = 52.

Вид равенств (14) для нахождения распределений вероятностей состояний прибора адаптивной Яр-системы также совпадает с равенствами (9) для нахождения распределений вероятностей состояний прибора динамической Яр-системы.

5. Численный анализ динамической ЯО-системы

Векторную характеристическую функцию Н(и) для распределения вероятностей Р (г) = Р (0, г) + Р (1, г) числа заявок в ИПВ запишем в виде

Н(и) = Н(0, и) + Н(1, и) = Н(0, и) I / - - (2 - Л - у/) I -^Р(0,0).

Ц У Ц

Тогда распределение вероятностей р(г) = Р(г)Е числа заявок в ИПВ определяется обратным преобразованием Фурье от скалярной характеристической функции к(и) = Ме]т() = £ е]тр(г) = Н(и)Е :

г

1 п -

р(г) = — [ е ]тк(и)ёи . (15)

2п J

Для заданных значений параметров ц = 1, у = 3 и матриц

Г-0.7 0.4 0.3 А (10 0А (1А (1 0 0А

2 =

0.1 -0.4 0.3

ч 0.4 0.5 -0.9,

Л =

0 2 0 0

Е =

1

чЪ

I =

0 1 0 0

(16)

определяющих к(ы), численным интегрированием (15) получим распределение вероятностей числа заявок в ИПВ р(і) (табл. 1).

Т аблица 1

Распределение вероятностей р(і) числа заявок в ИПВ, і = 0, 1, 2,...

і 0 1 2 3 4 5 6 7

р(і) 0,220 0,094 0,082 0,072 0,063 0,056 0,049 0,043

8і 0,425 0,872 0,878 0,880 0,881 0,881 0,882 0,882

Особенность данного распределения заключается в том, что последовательность отношения 8i = р(1 +1)/ р(/) достаточно быстро стабилизируются и при I > 3 принимает постоянное значение с точностью до двух знаков после запятой.

Аналогичные результаты имеют место и для других значений параметров ц, у и матриц Л и Q. При приведенных значениях параметров и матриц значение пропускной способности динамической Яр-системы равно 51 = 0,790.

6. Численный анализ адаптивной ЯО-системы

При заданных параметрах адаптивной Яр-системы определим значения пропускной способности 52 и величины у . Пусть значения параметров будут определены в виде ц = 1, Р = 1, а значения матриц в виде (16).

Решая относительно 52 и у систему (13) получим следующие численные результаты (табл. 2).

Т аблица 2

Значения величин £2 и у при различных а

а 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3,768 5 10 100

0,167 0,286 0,375 0,444 0,5 0,667 0,790 0,833 0,909 0,99

У 0,036 0,121 0,236 0,369 0,516 1,355 3 4,187 9,105 99,01

По данным табл. 2 можно сделать вывод, что при увеличении а/р значение пропускной способности 52 увеличивается, при этом значительно увеличивается и значение величины у .

В табл. 3 при а = 3,768 пропускная способность адаптивной Яр-системы 52 = 0.790 и у = 3, что соответствует пропускной способности динамической Яр-системы 51 = 0,790 при у = 3, что подтверждает асимптотическую эквивалентность адаптивной и динамической Яр-систем с входящим ММРР-потоком заявок.

Заключение

Вв данной статье проведены исследования динамической и адаптивной RQ-системы с входящим ММРР-потоком заявок методом асимптотического анализа в условии большой загрузки. В результате исследования динамической RQ-системы получены распределение вероятностей числа заявок в ИПВ p(i), уравнение (8) для нахождения пропускной способности S . При исследовании адаптивной RQ-системы получена система уравнений (13) для нахождения пропускной способности S2 и значения величины у . Было показано, что S1 и S2 совпадают.

Далее все полученные аналитические результаты были представлены численно. Также было показано равенство пропускных способностей S1 и S2 при заданных параметрах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Artalejo J.R., Gomez-Corral A. Retrial Queueing Systems: a Computational Approach. Springer, 2008. 309 p.

2. Назаров А.А., Судыко Е.А. Метод асимптотических семиинвариантов для исследования математической модели сети случайного доступа // Проблемы передачи информации. 2010. № 1. С. 94-111.

3. Falin G. I. A Survey of retrial queues // Queuing Systems. 1990. V. 7. P. 127-167.

4. Klimenok V.I. Optimization of dynamic management of the operating mode of data systems with repeat calls // Automatic Control and Computer Sciences. 1993. V. 24. Issue 1. P. 23-28.

5. Dudin A.N., Klimenok V.I., Kim C.S., Lee M.H. The SM/PH/N queueing system with broadcasting service // Proc. 13th Int. Conf. on Analytical and Stochastic Modeling Techniques and Applications. Bonn, Germany, 2006. P. 8-13.

6. Назаров А.А., Семенова И.А. Исследование RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 3 (12). С. 85-96.

7. Гарайшина И.Р., Моисеева С.П., Назаров А.А. Методы исследования коррелированных потоков и специальных систем массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2010. 204 с.

8. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: учебное пособие. 2-е изд., испр. Томск: Изд-во НТЛ, 2010. 228 с.

9. Гнеденко Б.В., Коваленко И.И. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: КомКнига, 2005. 400 с.

10. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1971. 519 с.

11. Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 112 с.

12. Любина Т.В., Назаров А.А. Исследование немарковской модели компьютерной сети связи, управляемой динамическим протоколом доступа // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 1 (18). С. 16-27.

13. Любина Т.В., Назаров А.А. Исследование марковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 3 (12). С. 73-84.

14. Любина Т.В., Назаров А.А. Исследование немарковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок // Вестник Кемеровского государственного университета. 2012. № 1 (49). С. 38-44.

15. Назаров А.А., Кузнецов Д.Ю. Адаптивные сети случайного доступа. Томск: ТПУ, 2002. 256 с.

16. Любина Т.В., Назаров А.А. Исследование адаптивной RQ-системы с входящим ММРР-потоком заявок методом асимптотического анализа // Информационные технологии и

математическое моделирование (ИТММ-2012): материалы XI Всерос. науч.-практич. конф. с междунар. участием (г. Анжеро-Судженск, 23-24 нояб. 2012 г.). Кемерово: Практика, 2013. Ч. 2. С. 94-99.

Любина Татьяна Викторовна

Филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске Назаров Анатолий Андреевич Томский государственный университет

E-mail: lyubina_tv@mail.ru; anazarov@fpmk.tsu.ru Поступила в редакцию 29 ноября 2012 г.

Lyubina Tatiana V., Nazarov Anatoly A. (Anjero-Sudjensk branch of the Kemerovo State University, Tomsk State University). Research of the dynamic and adaptive retrial queue systems with input MMPP-process requests.

Keywords: retrial queue system, traffic capacity, method of asymptotical analysis, correlated flow.

Research of dynamic and adaptive retrial queue systems with input MMPP-process requests is carried out in this paper.

Using method of generating functions there is found the probability distribution of number of requests in the source of repeated calls of a dynamic RQ-system asthea the inverse Fourier transform. By method of asymptotic analysis under condition of high load there is obtained an equation for throughput and stationary probability distribution of status signals of the dynamic RQ-system.

Investigation of adaptive RQ-system is scheduled in the asymptotic heavy load conditions, as a result of which is determined the capacity and value of у for the RQ-system. We show the asymptotic equivalence of presented RQ-systems. Numerical results of the research are given.