CC BY
30
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2014 Управление, вычислительная техника и информатика № 4 (29)
УДК 519.872
Е.А. Фёдорова
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ В RQ-СИСТЕМЕ MMPP|M|1
Работа выполнена в рамках проекта Министерства образования и науки РФ № 1.511.2614/К.
Исследуется RQ-система ММРР|М|1 методом моментов. Найдены «квазиточные» формулы для вычисления первого и второго начальных моментов распределения вероятностей числа заявок в ИПВ. Проведен численный анализ полученных результатов.
Ключевые слова: RQ-система; источник повторных вызовов; метод моментов.
Исследования реальных систем передачи данных и сетей сотовой связи привели к тому, что описанные системы требуют рассмотрения математических моделей, выходящих за рамки множества классических систем массового обслуживания - систем с ожиданием и систем с потерями. Таким образом, стали выделять новый класс систем, который получил название RQ-системы (Retrial Queueing Systems [1-3]) или системы с повторными вызовами.
Принципиальное отличие RQ-систем от классических систем массового обслуживания состоит в том, что заявки, пришедшие в систему и обнаружившие прибор занятым, не покидают систему, а идут в источник повторных вызовов, где после некоторой задержки пытаются снова занять прибор для обслуживания.
Первые работы, посвященные исследованию систем с повторными вызовами, были опубликованы в середине ХХ в. R.I. Wilkinson [4] и J.W. Cohen [5]. Основные подходы к описанию систем с ИПВ были рассмотрены G. Gosztony [6], A. Elldin [7] и др. Большинство первых работ посвящено описанию практических задач и влиянию эффекта повторных вызовов в телекоммуникационных системах.
Наиболее полное и глубокое исследование различных процессов в системах с повторными вызовами проведено в работах Г.И. Фалина, J.R. Artolejo, A. Gomez-Corral и J.G.C. Templeton [1-3]. Ими получены допредельные характеристические функции для RQ-систем М|М|1, M|GI|1, M|M|c и т.д., а также рассмотрены разнообразные методы для исследования RQ-систем.
Большинство исследований Retrial Queueing System реализуются численно или с помощью имитационного моделирования [08-11]. Аналитические методы получены только в тех случаях, когда модели потока и дисциплина обслуживания относительно просты (например, пуассоновский поток и экспоненциальное распределение закона обслуживания) [1]. RQ-системы с входящими МАР- и ВМАР-потоками исследуются в работах В.И. Клименок, А.Н. Дудина [12], в которых используются преимущественно матричные методы исследования. Кроме того, матричные методы исследования RQ-систем используются также в работах M.F. Neuts, J.R. Artalejo, A.G omez-Corral [13], J.E. Diamond, A.S. Alfa [14] и др. В ТГУ под руководством А.А. Назарова активно развиваются различные асимптотические методы исследования моделей СМО, в том числе и RQ-систем [15, 16]. Асимптотические и приближенные методы исследования RQ-систем развивались также Г.И. Фалиным [17], В.В. Анисимовым [18] и др.
Часто для построения аппроксимирующих распределений необходимо, чтобы были известны точные моменты искомых распределений. Однако в RQ-системах известны аналитические формулы вычисления моментов распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов лишь для систем с простейшим входящим потоком. В данной работе предложено вычислить моменты для RQ-систем с входящим марковским модулированным потоком (MMPP).
1. Математическая модель
Рассмотрим однолинейную RQ-систему с источником повторных вызовов (ИПВ), на вход которой поступает MMPP-поток заявок с матрицей условных интенсивностей рЛ и матрицей инфинитези-
мальных характеристик Q (рис. 1), время обслуживания каждой заявки распределено по экспоненциальному закону с параметром ц. Если поступившая заявка застает прибор свободным, то она занимает его для обслуживания. Если прибор занят, то заявка переходит в ИПВ, где осуществляет случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром о. Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь обращается к обслуживающему прибору с повторной попыткой его захвата. Если прибор свободен, то заявка из ИПВ занимает его для обслуживания, в противном случае заявка мгновенно возвращается в источник повторных вызовов для реализации следующей задержки.
Рис. 1. яд-система ММРР|М|1
Обозначим вектор-столбец Я - стационарное распределение вероятностей значения цепи Маркова, управляющей входящим ММРР-потоком, которое определяется из следующей системы:
RQ = 0,
(1)
ЯЕ = 1,
где Е — единичный вектор-столбец, 0 - вектор-столбец с нулевыми элементами. Очевидно, что интенсивность входящего потока равна Х = Я • рЛ • Е . Пусть параметры системы таковы, что выполняется
Я • Л • Е = ц. (2)
Тогда загрузка системы определяется как р = Х / р = А, / (Я •Л • Е).
Для данной системы ставится задача найти математическое ожидание и дисперсию распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов такой системы.
Пусть /(X) - процесс, характеризующий число заявок в ИПВ. Процесс /(X) не является марковским. Однако его можно марковизировать путем введения дополнительных компонент: п(?) - цепь Маркова, управляющая ММРР-потоком, а процесс к(?) определяет состояние прибора следующим образом:
к^^ |0, если прибор свободен, [1, если прибор занят.
Обозначим Р[Щ) = к, /(X) = /, п(0 = п} = Р(к,/,п,0 - вероятность того, что прибор в момент времени X находится в состоянии к, управляющая ММРР-потоком цепь Маркова - в состоянии п, и в источнике повторных вызовов находится / заявок.
Очевидно, что процесс {к(0, /(X), п(0} изменения состояний данной системы во времени является марковским. Для получения распределения вероятностей Р(к,/,п,0 состояний рассматриваемой Я^-системы составим систему уравнений Колмогорова:
аР(°;^Х) = Р, п,/, X)-(рХп +/а-?пп) Р(0, п,/, X) + Х Р(0, V,/, X) ^,
5Р(1;п 7Х) = -(р^п + Ц - Чпп) Р(1, п,/, X) + р^Р(0, п,/, X) + (3)
дх
+р^Р(1,п,/ -1, X) +с(/ +1) • Р(0,п,/ +1, X) + XР(1, V,/, х).
Обозначим векторы-строки P(k,i) = {P(k,1,i) P(k,2,i) ... P(k,N,i)}, где в стационарном режиме limP(k,i,n,t) = P(k,i,n). Тогда в матричном виде система (3) примет вид
t ^да
P(0,i)(Q -рЛ - ia • I) + цР (1,i) = 0,
P(1,i)(Q - рЛ - ц1) + Р(0,/)рЛ + P(1,i - 1)рЛ + a(i +1) • P(0,i + 1) = 0, ()
где I - единичная матрица.
Перейдем в системе (4) к частичным характеристическим функциям H(k,u) = ^ eJulP(k,i), где
i
j = V-1 - мнимая единица. Тогда система уравнений (4) для характеристических функций перепишется в виде
H(0,u)(Q - рЛ) + + цН(1,и) = 0,
ди (5)
H(1,u)(Q - рЛ - ц1) + Н(0,u)рЛ + H(1,u)рЛеju - jae-ju дН(0,и) = 0.
ди
Из системы (5) найдем первый и второй моменты распределения вероятностей числа заявок в ИПВ, для этого будем использовать метод моментов.
2. Метод моментов
dH (k, u)
Обозначим mk = - j
du
, где к = 1,2, тогда математическое ожидание числа заявок в
u=0
ИПВ вычисляется как m = (m 0 + m1)E = mE.
Кроме того, введем обозначения {R0, Ri} - двумерное совместное стационарное распределение вероятностей состояний ММРР-потока и состояний прибора. Очевидно, что для векторов R0 и R1 выполняются равенства (R 0 + R1)Q = 0 и R0 E + R1E = 1. Метод моментов состоит из нескольких этапов Этап 1. Примем u = 0 в системе (5). Получим следующую систему:
ÍR 0(Q -рЛ)-от 0 +^Ri =0, (6)
[R1 (Q - ц1) + R0рЛ + от0 = 0. ( )
Умножим уравнения системы (6) на единичный вектор-столбец:
ÍR 0 (Q - рЛ^ -om0E + ^R1E = 0, [R1 (Q - ^I)E + R ^E + om0E = 0.
В результате упрощения получим два одинаковых уравнения:
Í-R ^E - om0E + ^R1E = 0, j-R^E + R 0рЛE + от 0E = 0.
Из этих уравнений можно выразить m 0E :
от0 E = ц - R0(mE + рЛE). (7)
Объединив первое уравнение системы (6) и уравнение (7), получаем систему для определения вектора m0 (при условии, что будут найдены векторы R0 и R1):
[om0 = R 0(Q -рЛ) + цК1, (8)
[om 0E = ц- R 0(^,E + рЛE).
Этап 2. Продифференцируем систему (5) по переменной и:
аы(0,м)
би бН(1, и)
(Q -рЛ) + /а
б2 Н(0,и) бН(1,и)
би2
Ц-
би
би +/2ае
(Q - рЛ - ц1) + ^^М рЛ + ^^ рЛе/и + /Н(1,и)рЛе/и
би
2ае-/и бН(0,и) - и б2Н(0,и)
би
би
/ае
би2
0.
Обозначим dk = у
б2 Н (к, и)
би2
, где к = 1,2, тогда второй момент распределения вероятностей
числа заявок в ИПВ вычисляется как й = + d1)E = dE . Примем и = 0 в системе (9):
Гш -рЛ) -аd° +ЦШ1 =0,
[т1 (Q - ц1) + ш 0рЛ + Я1рЛ - аш 0 + аd° = 0.
Сложив уравнения системы (10), получим
(ш0 + + Я1рЛ -ат0 = 0. Умножим уравнение (11) на единичный вектор-столбец:
аш0 Е = ЯрЛЕ - Я0рЛЕ. Учитывая условие (2), имеем следующее выражение:
аш0Е = рц - рЯ0 ЛЕ.
Приравняем (12) к (7):
рц - рЯ0 ЛЕ = ц - (цЕ + рЛЕ).
Отсюда несложно получить, что выполняются следующие равенства:
|К 0Е = 1 -р, [^Е = р.
Умножим уравнения системы (10) на единичный вектор-столбец:
Г-рш0ЛЕ - ad°E + цш1Е = 0,
[-цш1Е + рш0ЛЕ + рЯ1ЛЕ - аш0Е + аd0Е = 0.
В итоге некоторых преобразований получим дополнительное уравнение
ad°E = цш1Е - рш0 ЛЕ. Этап 3. Продифференцируем систему (9):
б!Н(0-и)- рЛ) + + цЁН« = 0,
би2
би3
2
би2
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
б2 Н(1,и) А тч б2 Н(0,и) . бН(1,и) и б2 Н(1,и) и .2 .
^ -рЛ -ц1) +-рЛ + ]-^ рЛе]и +-рЛе]и + / 2Н(1,и)рЛе1
+/
би2 бН(1,и)
би
би2
би
би2
А /и -3_ - /и бН(0,и ) .2 - ,и - "V",-/ .7 - /и
рЛе - / ае--+ / ае--'- '
2___ ^ б2Н(0,и), -/и б2Н(0,и) б3Н(0,и)
би
би2
/ ае
би2
/ае
би3
0.
и=0
Обозначим вектор-строки ек = — у
53И (к, и)
ди3
, где к = 1,2. Аналогично предыдущему этапу,
примем и = 0 в системе (15):
1А(О — рЛ) — сво + ц( = 0,
[( (О — ц1) + (0рЛ + 2т1рЛ + Я1рЛ + ст0 — 2с((0 + се0 = 0.
Сложив уравнения системы (16), получим следующее равенство:
((0 + (1)О — 2с(0 + 2т1рЛ + Я1рЛ + ст0 = 0. Умножим полученное уравнение на единичный вектор-столбец.
2с(0Е = 2т1рЛЕ + Я1рЛЕ + ст 0Е.
(16)
Подставляя в последнее уравнение выражение (14), можно получить следующее скалярное урав-
нение:
т1 (цЕ — рЛЕ) = -2 Я1рЛЕ + -2 т 0(2рЛЕ + сЕ).
(17)
Из матричного уравнения (11) и скалярного уравнения (17) получаем систему для определения вектора тх
т^ = ст0 — т0О — К^Л,
т1 (цЕ — рЛЕ) = -2 Я1рЛЕ + -2 т0(2рЛЕ + сЕ).
(18)
Так как векторы тх и ( связаны соотношением (14), то из (10) для определения вектора ( полу-
чаем систему
[с^ = т 0(О — рЛ) + цт1, [с( 0Е = цт1Е — рт 0 ЛЕ.
(19)
Этап 4. Немного преобразуем систему (15):
д!Н°и) (о—рл)+усд^^+цд!Н!и=о,
ди2 ' ^ ди3 ди2
д2Н(1,и),Л тч д2Н(0,и) . „ дН(1,и) , , -^(О — рЛ — ц1) + Д' 7 рЛ + 2рЛеу
д2 Н(1,и)
ди2
+у2 Н(1, и) рЛе у — у 3се—
ди2 дН(0,и)
ди
ди2
рЛе е
ди
-2 у2 се—
д2 Н(0,и)
ди2
- усе"
д3 Н(0,и)
ди3
0.
Продифференцируем полученную систему:
д^д—рЛ)+/в£4Н<0и)+цд!НМ=0,
ди3 д3 Н(1,и)
ди3
(О — рЛ — ц1)
ди4 д3Н(0,и)
ди3
. дН2(1,и)
-рЛ + 2 у Д' рЛе]и +2 у
ди ди
дН(1,и)
ди
рЛе3
д3 Н(1,и)
+у
д2 Н(1,и)
рЛеуи + у 3Н(1,и )рЛеуи + у
дН(1,и)
ди
ди
—2/се+ 2 у2се-.жжуц' и> + у2се—у
Л М , '4_ -уи дН(0,и) -3_ - уи
рЛе + у се--'
ди3
2
рЛе3
ди
33 и д Н(0,и) у се
(20)
ди2
д2 Н(0,и)
ди2
_ .2с _!„ д3Н(0,и) + у2се-уи д3Н(0,и) уи д4Н(0,и) 2у се--и 7 ---
ди3
■у се
ди3
усе
ди4
0.
и=0
,4 б4Н (к, и)
Обозначим моменты 4-го порядка следующим образом: gk = /
би
и = 0 в системе (20):
, где к = 1,2 . Примем
и=0
[е^ -рЛ) -аg° + це =0,
[е1 (Q - ц1) + е0рЛ + 3ш1рЛ + 3d1рЛ + Я1рЛ - аш0 + 3аd° - 3ае0 + аg0 = 0.
(21)
Сложив уравнения системы (21), получим
(е0 + е1^ + 3ш1рЛ + 3d1рЛ + Я1рЛ -аш0 + 3аd° -3ае0 = 0. (22)
Умножим уравнение (22) на единичный вектор-столбец:
3ае0Е = 3ш1рЛЕ + 3^рЛЕ + Я1рЛЕ - аш0Е + 3аd°E. (23)
Подставим первое уравнение системы (15) в выражение (23):
3ц^Е - 3d1рЛE = 3d°рЛE + 3ш1рЛЕ + Я1рЛЕ - аш 0 Е + 3аd 0 Е. Отсюда получим следующее уравнение:
d1 (цЕ - рЛЕ) = d° (рЛЕ + аЕ) + ш1рЛЕ + 3 Я1рЛЕ - 3 аш 0Е. (24)
Объединяя уравнения (16) и (24), составим систему для вычисления вектора dl:
d1Q = -d°Q + 2ad° - 2ш1рЛ -Я1рХ-аш0,
1 1 (25)
d1 (рЛЕ + цЕ) = d 0(рЛЕ + аЕ) - ш1рЛЕ - 3 Я1рЛЕ - 3 аш0Е.
Таким образом, мы получили формулы (8), (18), (19) и (25) для вычисления компонент математического ожидания и второго начального момента распределения вероятностей числа заявок в ИПВ.
3. Квазиточные моменты
Для использования формул (8), (18), (19) и (25) необходимо знать векторы Я0 и Я1 в явном виде. В ходе вычислений мы получили лишь соотношение (13):
[Я 0Е = 1 -р, [^Е = р.
Кроме того, из начального описания системы и введенных обозначений известно
[(Я 0 + = 0,
Е + Я1Е = 1.
Очевидно, что при дальнейшем использовании метода моментов к системе (5), т.е. при получении формул для моментов высших порядков, дополнительной информации о векторах и Я1 получить невозможно. А с помощью указанных систем уравнений однозначно векторы и Я1 определить нельзя.
В связи с этим предлагается аппроксимировать векторы {Я0, Я1} векторами, пропорциональными вектору Я. Тогда несложно показать, что они определяются следующим образом:
Я0 =(1 "р} (26) Я, =рЯ.
По определению, векторы {Я0, Я1} - двумерное совместное стационарное распределение вероятностей состояний ММРР-потока и состояний прибора. Поэтому такой вид векторов и Я1 возможен в
предположении о независимости распределений вероятностей состояний прибора и состояний цепи Маркова, управляющей ММРР-потоком.
4. Численный анализ
Для определения точности предлагаемой аппроксимации проведем численное сравнение полученных моментов с их точными значениями.
Возьмем параметры системы следующими: ц = 1,
Q
Г-0,5 0,4 0,1 ^ 0,2 -0,5 0,3 0,1 0,2 -0,3
Г0,780 0
Л =
0,936 0
0 0
1,170
Л
Будем исследовать зависимость результатов вычислений от значений параметра загрузки р и задержки о.
В табл. 1 представим относительную погрешность численного сравнения значений математического ожидания и дисперсии, вычисленных с помощью описанных выше формул и полученных с помощью численного алгоритма.
Замечание. Численный алгоритм имеет естественные ограничения для числа заявок в ИПВ 1 > 150 , так как это соответствует необходимости решения системы линейных алгебраических уравнений (4) размерностью до 1 000. В таких случаях провести сравнение не представляется возможным, поэтому в таблице присутствуют пустые ячейки.
Т а б л и ц а 1
Относительная погрешность вычислений
р а = 0,1 а = 0,5 а = 1 а = 2 а = 10
М D М D М D М D М D
р = 0,1 0,010 0,122 <0,001 0,046 0,007 0,073 0,015 0,089 0,026 0,106
р = 0,3 0,007 0,079 <0,001 0,020 0,006 0,033 0,012 0,041 0,022 0,046
р = 0,5 0,004 0,044 <0,001 0,006 0,004 0,013 0,009 0,015 0,017 0,016
р = 0,7 0,002 0,018 <0,001 0,001 0,002 0,003 0,005 0,004 0,010 0,003
р = 0,8 <0,001 0,015 <0,001 <0,001 0,001 <0,001 0,003 0,002 0,007 0,001
р = 0,9 0,001 0,010 0,001 0,002 0,001 0,001 0,004 0,004
Представим сравнение (табл. 2) значений математического ожидания и дисперсии для следующих параметров системы: ц = 1,
Г-0,5 0,45 0,05^ Г0,594 0 0 ^
Q
0,28 -0,3 0,02 0,5 0 -0,5
Л =
1,187 0 0 1,781
Т а б л и ц а 2
Относительная погрешность вычислений
р а = 0,1 а = 0,5 а = 1 а = 2 а = 10
М D М D М D М D М D
р = 0,1 0,042 0,653 0,013 0,049 0,008 0,127 0,029 0,160 0,061 0,178
р = 0,3 0,029 0,401 0,009 0,010 0,006 0,051 0,022 0,066 0,048 0,067
р = 0,5 0,017 0,210 0,006 0,004 0,004 0,017 0,015 0,022 0,035 0,019
р = 0,7 0,007 0,080 0,003 0,004 0,002 0,004 0,008 0,005 0,020 0,002
р = 0,8 0,003 0,049 0,001 0,009 0,001 0,002 0,005 0,002 0,013 <0,001
р = 0,9 <0,001 0,006 0,003 0,023 0,002 0,002 0,007 0,004
Для случая входящего простейшего потока известны точные аналитические формулы вычисления первого и второго начальных моментов:
1 + р + —+ 2р2 —+ р2
с с
(28)
Для получения простейшего входящего потока в рассматриваемой системе положим элементы матрицы условных интенсивностей Л одинаковыми или размерность матриц Л и Q примем равной 1. Однако в этом случае несложно показать, что формулы (8), (18), (19) и (25) не зависят от и Я0 и совпадут с выражениями (27), (28).
Анализ табл. 1 и 2 позволяет сделать вывод, что предложенные формулы достаточно близки к точным для большей области изменений значений параметров системы. В частности, для значений интенсивности задержки заявки в ИПВ, близких к интенсивности обслуживания, абсолютная погрешность вычислений математического ожидания не превышает 3%. Таким образом, предложенные формулы вычисления первого и второго моментов распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов можно назвать почти точными или «квазиточными», так же как и сами значения моментов.
Системы массового обслуживания с повторными вызовами, рассматриваемые в данной статье, являются математическими моделями реальных процессов, возникающих в телекоммуникационных системах. В связи с этим научные результаты, полученные в этой области, имеют как теоретическую, так и практическую ценность для развития информационно-коммуникационных технологий и, как следствие, имеют большую значимость для экономики и социальной сферы.
В работе проведено исследование Я^-системы ММРР|М|1 методом моментов. Найдены приближенные формулы для вычисления первого и второго моментов распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов. Сделано предположение о независимости распределений состояний цепи Маркова, управляющего ММРР-потока и состояний прибора. Проведенный численный анализ показал, что в таком случае моменты достаточно близки к точным для широкого спектра значений параметров системы.
Таким образом, вычисленные предлагаемым способом моменты можно назвать «квазиточными». В дальнейшем исследовании они могут быть применимы для построения аппроксимирующих распределений (например, гауссовского, гамма-распределения или геометрического).
1. Falin G.L., Templeton J.G.C. Retrial queues. London : Chapman & Hall, 1997. 328 p.
2. Artolejo J.R., Gomez-Corral A. Retrial Queueing Systems: A Computational Approach. Berlin : Springer, 2008. 267 p.
3. Artalejo J.R., Falin G.I. Standard and retrial queueing systems: A comparative analysis // Revista Matemratica Complutense. 2002.
V. 15. P. 101-129.
4. Wilkinson R.I. Theories for toll traffic engineering in the USA // The Bell System Technical Journal. 1956. V. 35, No. 2. P. 421-507.
5. Cohen J.W. Basic problems of telephone traffic and the influence of repeated calls // Philips Telecommunication Review. 1957. V. 18,
No. 2. P. 49-100.
6. Gosztony G. Repeated call attempts and their effect on traffic engineering // Budavox Telecommunication Review. 1976. No. 2.
P. 16-26.
7. Elldin A., Lind G. Elementary Telephone Traffic Theory. Ericsson Public Telecommunications, 1971.
8. Jonin G.L., Sedol J.J. Telephone systems with repeated calls // Proc. of the 6th International Teletraffic Congress. Munich, 1970.
9. Степанов С.Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами. М. : Наука, 1983. 230 с.
10. NeutsM.F., Rao B.M. Numerical investigation of a multiserver retrial model // Queueing Systems. 1990. V. 7. P. 169-190.
11. Ridder F. Fast simulation of retrial queues // Third Workshop on Rare Event Simulation and Related Combinatorial Optimization Problems. Pisa, 2000. P. 1-5.
12. Dudin A.N., Klimenok V.I. Queueing System BMAP/G/1 with repeated calls // Mathematical and Computer Modelling. 1999. V. 30, No. 3-4. P. 115-128.
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
P. 435/1-5.
13. Artalejo J.R., Gomez-Corral A., Neuts M.F. Analysis of multiserver queues with constant retrial rate // European Journal of Operational Research. 2001. V. 135. P. 569-581.
14. Diamond J.E., Alfa A.S. Matrix analytical methods for M/PH/1 retrial queues // Stochastic Models. 1995. V. 11. P. 447-470.
15. Назаров A.A., Моисеева C.n. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск : Изд-во HTJI, 2006. 112 с.
16. Моисеева Е.А., Назаров А.А. Исследование RQ-системы MMPP|GI|1 методом асимптотического анализа // Вестник ТГУ. УВТИ. 2013. № 4. С. 84-94.
17. Фалин Г.И. Асимптотические свойства распределения числа требований в системе типа m/g/1/да с повторными вызовами // ВИНИТИ. 1983. № 5418-83.
18. Anisimov V.V. Asymptotic analysis of highly reliable retrial systems with finite capacity // Queues, Flows, Systems, Networks. Proc. of the International Conference «Modern Mathematical Methods of Investigating the Telecommunicational Networks». Minsk, 1999. P. 7-12.
Фёдорова Екатерина Александровна. E-mail: [email protected]
Томский государственный университет Поступила в редакцию 2 сентября 2014 г.
Fedorova Ekaterina А. (Tomsk State University, Russian Federation). Calculation of moments in retrial queueing system MMPP|M|1. Key words: retrial queueing system, orbit, method of moments
In the paper, we investigate a retrial queueing system with the input Markovian Modulated Poisson Process (MMPP) which is defined by matrixes pX and Q, and the service time of each call is distributed by the exponential law with rate ¡i.
We introduce the following denotations: i(t) is the process defining the call number in the orbit, n(t) is the underlying Markov chain of the input ММР-process, and k(t) describes states of the server.
Stochastic multidimensional process {k(t), i(t), n(t)} is a Markov process. To obtain the probability distribution P(k,i,n,t), the system of the Kolmogorov differentiate equations is composed. This system is written in matrix form at stationary regime. Then, it is rewritten with making use of characteristic functions and the obtained system is studied by the method of moments.
Using mathematical transforms, the following systems for components of the mean and the second order initial moment of probability distribution of calls number in the orbit are obtained:
jam 0 = R 0(Q -pA) + [am 0 E = ц - R 0 (цЕ + pAE),
mjQ = am0 - m0Q - RjpA, m1 (цЕ - рЛЕ) = 2 RjpAE +1 m 0(2pAE + aE),
ad 0 = m 0(Q -pA) + цmJ, ad 0E = цmJE - pm 0 AE,
d1Q = -d0Q + 2ad0 - 2m1pA - R1pX -am0,
d1 (pAE + цE) = d 0(pAE + aE) - m1pAE - 3 R1pAE - 3 am0 E.
However, the form of vectors {R0, R1}, which is two-dimensional joint stationary probability distribution of the MMP-process and the server states, is unknown. So, we assume the independence of the MMP-process and the server states distributions, and the vectors {R0, R1} have the following form:
[R 0 = (1 -p) • R, IR =p-R.
The analysis of the results shows that moments calculated through obtained formulas are sufficiently close to exact ones obtained by numerical methods. Thus, the moments calculated by proposed way can be called «quasiexact». The formulas for moments calculation can be used in future researching by composing approximate distributions and also for other practical problems.
REFERENCES
1. Falin G.L., Templeton J.G.C. Retrial queues. London: Chapman & Hall, 1997. 328 p.
2. Artolejo J.R., Gomez-Corral A. Retrial Queueing Systems: A Computational Approach. Berlin: Springer, 2008. 267 p.
3. Artalejo J.R., Falin G.I. Standard and retrial queueing systems: A comparative analysis. Revista Matemtatica Complutense, 2002,
vol. 15, pp. 101-129.
4. Wilkinson R.I. Theories for toll traffic engineering in the USA. The Bell System Technical Journal, 1956, vol. 35, no. 2, pp. 421-507.
DOI: 10.1002/j.1538-7305.1956.tb02388.x
5. Cohen J.W. Basic problems of telephone traffic and the influence of repeated calls. Philips Telecommunication Review, 1957, vol. 18,
no. 2, pp. 49-100.
6. Gosztony G. Repeated call attempts and their effect on traffic engineering. Budavox Telecommunication Review, 1976, no. 2, pp. 16-
26. DOI: 10.1109/MILCOM.2006.302071
7. Elldin A., Lind G. Elementary Telephone Traffic Theory. Ericsson Public Telecommunications, 1971.
8. Jonin G.L., Sedol J.J. Telephone systems with repeated calls. Proc. of the 6th International Teletraffic Congress. Munich, 1970,
pp. 435/1-5.
9. Stepanov S.N. Chislennye metody rascheta sistem spovtornymi vyzovami [Numerical methods of calculation of retrial queues]. Mos-
cow: Nauka Publ., 1983. 230 p.
10. Neuts M.F., Rao B.M. Numerical investigation of a multiserver retrial model. Queueing Systems, 1990, vol.7, pp. 169-190. DOI: 10.1007/BF01158473
11. Ridder F. Fast simulation of retrial queues. Third Workshop on Rare Event Simulation and Related Combinatorial Optimization Problems. Pisa, 2000, pp. 1-5.
12. Dudin A.N., Klimenok V.I. Queueing System BMAP/G/1 with repeated calls. Mathematical and Computer Modelling, 1999, vol. 30, no. 3-4, pp. 115-128. DOI: 10.1016/S0895-7177(99)00136-3
13. Artalejo J.R., Gomez-Corral A., M.F. Neuts. Analysis of multiserver queues with constant retrial rate. European Journal of Operational Research, 2001, vol.135, pp. 569-581. DOI: 10.1016/S0377-2217(00)00330-1
14. Diamond J.E., Alfa A.S. Matrix analytical methods for M/PH/1 retrial queues. Stochastic Models, 1995, vol. 11, pp. 447-470. DOI: 10.1080/15326349508807355
15. Nazarov A.A., Moiseeva S.P. Metod asimptoticheskogo analiza v teorii massovogo obsluzhivaniya [Asymptotic analysis method on queueing theory]. Tomsk: NTL Publ., 2006, 112 p.
16. Moiseeva E.A., Nazarov A.A. Researching of Retrial Queueing system MMPP|GI|1 by using asymptotic analysis method on heavy load condition. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika- Tomsk State University Journal of Control and Computer Science, 2013, no. 4(25), pp. 84-94. (In Russian).
17. Falin G.I. Asimptoticheskie svoystva raspredeleniya chisla trebovaniy v sisteme tipa m/g/1/<» s povtornymi vyzovami [Asymptotic properties of probability distribution of the number of request in system m/g/1/<» with repeated calls]. VINITI, 1983, no. 5418-83. (In Russian).
18. Anisimov V.V. Asymptotic analysis of highly reliable retrial systems with finite capacity. Queues, Flows, Systems, Networks. Proc. of the International Conference "Modern Mathematical Methods of Investigating the Telecommunicational Networks". Minsk, 1999, pp. 7-12.
